Группа центральных единиц целочисленного группового кольца знакопеременной группы степени 14

Ранее группы центральных единиц целочисленных групповых колец знакопеременных групп А_п для п<1 были описаны в работе [1]. Дальнейшее продвижение уже было затруднительно получить без использования компьютера. Также в работе [2] Ферраз нашел, что ранг г_п группы центральных единиц целочисленных групповых колец знакопеременных групп равен 0 тогда и только тогда, когда и g {1,2,3,4,7,8,9,12} . В работе [3] доказано, что ранг г_п равен 1 тогда и только тогда, когда и g {5,6,10,11,13,16,17,21,25}. В работе [4] полностью описываются группы центральных единиц целочисленных групповых колец знакопеременных групп в случаях, когда п е {10,11,13,16,17,21,25}. В совокупности с [1] получено полное описание групп центральных единиц целочисленных групповых колец знакопеременных групп, имеющих ранг 1. В работе идет исследование самого первого случая, когда ранг > 1, а именно п = 14, в этом случае ранг группы центральных единиц целочисленного группового кольца группы А_м равен 3 .

Основные определения

Обозначение 1. Если К - ассоциативное кольцо с 1, то U_n(K) = {х е К | Зх' G К хх' = х'х = 1} группа его единиц (= обратимых элементов) - мультипликативная группа кольца К .

Определение 1. Пусть К - кольцо. Центральной единицей группового кольца KG называется единица центра /(AG) этого кольца, то есть и е KG - центральная единица, если и g Z(KG) и существует такой элементы' е Z(KG), что ии' = 1.

Следующие результаты хорошо известны.

Лемма 1. Группа центральных единиц совпадает с центром группы всех единиц группового кольца. Более точно, пусть К - кольцо, тогда

U_n(Z(KG)) = Z(KG) n U_n(KG) = Z(U_n(KG)).

Лемма 2. Имеем

G„(Z(ZG))=<-l>x7(Z(ZG)), где Z(Z(ZG)) = {v g U_n(Z(ZG)) | Д_У(1_С) = 1} - множество центральных единиц, у которых сумма коэффициентов при разложении по всем элементам группы равна 1.

Изучение локального случая

Пусть х ~ нецелый неприводимый характер группы А_П, нецелые значения х ^это <\уЬ^)2 и (1-бТД)/2, где b - натуральное число, d - целое число свободное от квадратов.

Положим co_d = (l + ^Jd)/2, a = (\ + bJd)l2=^-~ + ba>_d и *о = (\-^Id^[2=^—^ybco_d .

Следующая лемма очевидна.

Лемма 3.

Каргаполов А.В.

2 d — 1          * .                    * .      2 d — 1          * 1— d

®d^~®d’ tr ®d =tr rod =\, tr®d=-^- + \, todO)d= — .

Лемма 4. Пусть X - единица кольца Z^b®^, u^Z^^yjyj - локальная единица U{Z{ZA_nP.

Тогда согласно [5]

у ^Х^\Х-\р

'z где z-\An |/deg %, yt - классовые суммы для классов с представителями xt, yf - целые числа.

Лемма 5. Пусть X = а + p®_d, тогда

/г(Я-1) = 2(«-1) + р,(2)

trW-XP = ka-\V-^p,(3)

tr^X-Xp =

Доказательство. В самом деле tr^X -1) = tr(.(a -1) + Pwd) = Да -1) + Р, tr

, nd + X ., X-b п ,х,       , ., bd + b + X-b о ,       X + bd o

= bP—^ + b(a-X) + — /3 + 2(1 -b^a-^ = («-!) +-------[Ца -Х) + —^—р, trX*cpX -Vp-tr

/ I-bd _

Лемма 6. Локальная единица и(X) g U„ (Z(ZAn)^ тогда и только тогда, когда для некото рого целого /

₁ z bd +1 a = l +--t,

2 bd

P = -—t. bd

По-другому и (Я.) e U_n ^Z (ZA_n )) тогда и только тогда, когда X е 1 + zZ\bro_d ].

Доказательство. По условию леммы б нужно, чтобы у, для всех i были целыми. Из вида таблицы характеров следует, что будут интересны b'(X-l) _2(а -1) + р zz tr^cr(X-l^ (a-X) + P(l + bdp2 22

tr^a^X-1)) _ ^a-\ypx\-bdp2

zz

Таким образом, нужно чтобы выполнялись условия системы z|2(a-l) + р

■ zi(a-l) + p(X + bd)/2 z^(a-l) + p(l-bd)/2

z^2(a-l) + p z^(a-l) + P(l + bd)/2

2(a -1) + P + zv_t =0 (a -1) + p(l + bd)/2 + zv₂

= 0

(a-l)--P/2-zv1/2       f(a-l) = -P/2-zv1/2  ((a-l)=z(2v2-v1)/2bd-zv1/2

- P/2-zv1/2 + p(l + bd)/2 + zv2=0   P = zvjbd-2zv2Hd       P = -2^2v2-vx^bd

Так как интересует делимость на z, то можно упростить решение:

Лемма доказана.

Будем изучать и(2) для характеров % = /₂₀ степени 4752, z = Z57 степени 29 952, z = Z59 степени 34 320.

Лемма 7. Значения характеров ^20 > Zsi > Z59 лежат в кольцах Z[13], Z[ty₃₃], Z[3®₅], при этом группы единиц данных колец:

Z/(z[®₁₃])=<-l>x+ (y₁₃ >, ?7(z[0₃₃]) =<-1>х<19 + 8ш₃₃ >, 7/(z[35]) =<-1>х<2 + Зш₅ >.

Поэтому

Лю " ^ЗО 0 + ^з) » ^7 “ ^57 (^ + 8й>33) , ^59 = f59 (2 + 3(У5) ,               (6)

где s^q, s₅₁, s₅₉ е {-1,1} и k,m,neZ.

/ х l^l 210-З5-52-72-11 13 210-З5-52-72-1 1-13

Обозначение 2.   = z (   1 =----— =----------------=------—:-------=

20          ^g^         _4?52              2⁴•З³ -11

= 26-З2 ■ 52 • 72 ■ 13 = 9172 800,

Z57 = z(z57)=JAL=^^^

• ⁵⁷           deg/57         29 952              2⁸-3²-13

• ⁵⁹          deg 259         34 320           2⁴-3-5-11-13

Лемма 8. Пусть / = exp([/(z[показатель группы единиц U(Z [ш]/zZ [ш]), фактор кольца Z[ty]/zZ[Тогда

/20 = 43 6 80, для z20 =26-З2■52•72■13 = 9 172 800,(7)

/„=55 440, для z„ =22-33-52-72-11 = 1455 300,(8)

/59 =30240, для z59 =26-34-5-72 =1270 080.(9)

Доказательство. Так как z₂₀ = 2⁶ • З² • 5² - 7² • 13 = 9172 800, то по лемме 3 из [1] /₂₀ - наименьшее общее кратное чисел exp^L7^Z[ty]/P^6e2)),exp(t7(z[to]/T^2e3)),exp(?7(z[®]/Т²"⁵)), exp^TZ^Z[]/S^¹ ^, ехр^/7^[ш]/£^е|3 ^, где Р - простой идеал из Z[m], содержащий 2, и е₂ -его индекс ветвления над 2Z, Т - простой идеал из Z[ty], содержащий 3, и е₃ - его индекс ветвления над 3Z, F - простой идеал из Z[®], содержащий 5, и е₅ - его индекс ветвления над 5Z, S - простой идеал из Z[to], содержащий 7, и е₇ - его индекс ветвления над 7Z , Е - простой идеал из Z[®], содержащий 13, и е_!3 - его индекс ветвления над 13Z .

Теперь по предложению 5 из [6] имеем ехр^^^/т^^З-г5 =96,    ехр((7(г[®]/т2ез)) = 2-3 = 6, exp^t/^Zf®]/^2^ jj = 4-5 = 20 ,      exp(/7(z[®]/52e7)) = 6-7 = 42,

Каргаполов А.В.                                 Группа центральных единиц целочисленного

____________________________________группового кольца знакопеременной группы степени 14 exp^Z^]/Е^е« )) = 12-13 = 156.

Отсюда /20 = НОК (96, 6,20, 42,156) = 25 • 3 • 5 • 7 • 13 = 43 680 .

Доказательство утверждения для /57 и /59 опустим, так как оно аналогичное.

Теорема 1. Допустим, что и_т^еИ^Т^Уу Тогда Я = (1+ <У] з )^3360Лдля подходящего целого к .

Доказательство. По лемме 7

^гф + ^з)* = ак + Рка)п, где s е {-1,1}, к, а. Де Z.

Поймём, что достаточно рассматривать случай, когда к > 0 . Заметим, что

Л* = а_к + р_кср₃ =s (1 + <д*₃) = Е(Х + со_гзу^к.

Тогда

и(Л)и(Л*) = 1.

Из алгебраической сопряжённости характеров /20 и Z21 получаем, что одновременно и(л) и и(л) принадлежат £Z(Z(Z414)). Отсюда и получаем, что достаточно рассматривать случай, когда к > 0 .

Итак, к > 0 . Пусть для любого неотрицательного целого к О + ^з/ = ^+А<У13-По лемме 6 получим ак =1 + 4 939 200т(mod9172 800) и Дк =8 467 200t(mod9172 800).        (10)

По китайской теореме об остатках получим, что эти условия равносильны системе условий: аЛ=1 (mod 64) ак =1 (mod9) ^ак si (mod 25) Pk=Q(mod 64) Pk=^ (mod 9) ’ Pk=® (mod 25)’ ak s 1 (mod49) ak si+ 6-1 (mod 13)

/?A s0 (mod 49) ’     ^=/(modl3)

Согласно лемме 7 [4] имеем следующие рекуррентные соотношения:

«к+2 =3ak+1+afc,a0 = 1,^=1,

А₊2=зд₊₁ + д,д_о=о,д=1, поскольку ?г(1 + <у₁₃) = 3 и Normal + ®_п^ = -1 по лемме 5. Посчитаем последовательности

{^}”=о и {А}”=о по М°ДУЛЯМ 64,9,25,49,13.

По модулю 64 имеем:

• {«4 }^₌₀ = {1,1,4,13,43,14,21,13,60,1,63,62,57,41,52,5,3,14,45,21,44,25,55,62,49,17,36, 61,27,14,5,29,28,49,47,62,41,57,20,53,51,14,29,37,12,9,39,62,33,33,4,45, 11,14,53,45,60,33,31,62,25,9,52,37,35,14,13,53,44,57,23,62,17,49,36,29,59, 14,37,61,28,17,15,62,9,25,20,21,19,14,61,5,12,41,7,62,1,1,...},

{А^о"^0’1’3’10’33’45’40’37’23’42’21’41’16’25’27’42’25’53’56’29’15’10’45’17’32’49’ 51,10,17,61,8,21,7,42,5,57,48,9,11,42,9,5,24,13,63,10,29,33,0,33,35,10,1, 13,40,5,55,42,53,9,16,57,59,42,57,21,56,61,47,10,13,49,32,17,19,10,49,29,8, 53,39,42,37,25,48,41,43,42,41,37,24,45,31,10,61,1,0,1,...}.

Получаем, что эти последовательности периодичны с периодом 96, по соотношениям (И) подходят

«96 д =1 (mod 64), Абд = 0 (mod 64)

для любого целого р_} > 0. По модулю 9 подходят а_6р^ и Д_рг для любого целого р₂ > 0 . По модулю 25 подходят «_60рз и Р_№рз для любого целого р₃ >0. По модулю 49 подходят Л]^ и Д_12р4 для любого целого ^₄>0. По модулю 13 подходят а_4р5 и Д_4р. для любого целого p_s > 0. Таким образом, получаем к = 96/?, = 6р₂ = 60/?₃ = 112^>₄ = 4р₅.

Наименьшее общее кратное чисел 96,6,60,112,4 равно

25 -3-5-7 = 3360.

Применение леммы 10 завершает доказательство.

Теорема 2. Допустим, что u₅₇(X)eU^Z(ZA₁₄)y Тогда 2. = (19 + 8®₃₃)^840тдля подходящего целого т .

Теорема 3. Допустим, что u₅₉(A)eU^Z(ZA₁₄)y Тогда Л = (2 + Зщ₅)^504идля подходящего целого п.

Изучение глобального случая

Лемма9.Пусть u^u^X^u^X^u^X^EU^Z^ZAy^ тогда

Ао = (^{1 +} ®1з)* =^ак*Рк^ю\з ^и «к-^Рк = 1 (mod 9172 800 ),

А? =(19 + 8^33)'" = а'_т*Д_та)₃₃ и а^+17Д =1 (mod 1455 300 ), Я5₉=(2 + 3®₅)^п = «" + р"_псо₅ и «"+8^" = ! (mod 1270 080).

Доказательство. Докажем истинность леммы для характера j₂₀ (для /₅₇ и Z59 доказательство аналогичное).

Рассмотрим коэффициент y_v (х) соответствующий 48 -му столбцу в таблице характеров группы Л₁₄ . Из леммы 1.45 [5]:

^И = 7” £ (degT)zWAW-               (12)

I I /efrr(G)

В сумме (12) Д(х) = 1 для всех характеров, за исключением /2о ’ Z57 и Z59, следовательно нужно вычислить эту независящую от X часть и уже на основе данного значения искать нужную степень единицы кольца Z[®13]. Заметим также, что в столбце 48 таблицы характеров в строках, соответствующих характерам /57 и Z59 ’ стоят нули, таким образом получаем следующее выра жение для у:

1 _J у ---------+ deg z?o

9172 800       0

^зО + ^з^ ,

’13

91728001 m 37

+ ^3

1       /    /          * \ п / 2                     1

(^ + 7Д-1).

= —----- Щ 0-3 +69,3 + Д СУ13 +(УП =.........-.................

9172 800 v ^{3    3}'       ^{13   13} Н 9172 800

Из (13) следует, что для целочисленности у необходимо выполнение условия а_к+1 Р_к 1 (mod 9172 800 ). Лемма доказана.

Найдем степени фундаментальных единиц квадратичных полей, которые необходимы для получения глобальных центральных единиц группы U (/(ZZ₁₄)).

Каргаполов А.В.                                 Группа центральных единиц целочисленного группового кольца знакопеременной группы степени 14

Лемма 10. Пусть и = и₂₀ (До)^м57 (Д? )^м59 ( Д9 ) ^G ^(^(^14)) > ^то^а

^о=(^^з)336°к ^u20gU(Z(ZZ14)),

^₇=(19 ₊ 8®₃₃)^840m и _M57e[/(Z(Z4₄)),

^₉ = (2 + Зюз)⁵⁰⁴" и u₅₉gU(Z(Z4_X4)) для подходящих k,n,m е Z .

Доказательство. Докажем истинность леммы для характера ^о (Д^ляZsi^и Z59 доказательство аналогичное).

Согласно лемме 9 и китайской теореме об остатках получаем систему: а_к + 7 Р_к = 1 (mod 64) а_к⁺ 7Рк -1 (^m°d 9)

< а_к +1 Р_к = 1 (mod 25) .                                  (14)

а_к + 7 Р_к = 1 (mod 49) а_к +1 Р_к = 1 (mod 13)

На основании уже вычисленных при доказательстве теоремы 1 последовательностей \а_к }”₌₀ ^и {А}”-₀ по модулям 64,9,25,49,13 проанализируем выражение а_к + 2Р_к.

По модулю 64 имеем:

^а_к + 7 р_к }”_₀ = {1,8,25,19,18,9,45,16,29,39,18,29,41,24,49,43,50,1,53,32,21,31,50,53,

17,40,9,3,18,57,61,48,13,23,18,13,57,56,33,27,50,49,5,0,5,15,50, 37,33,8,57,51,18,41,13,16,61,7,18,61,9,24,17,11,50,33,21,32,53, 63,50,21,49,40,41,35,18,25,29,48,45,55,18,45,25,56,1,59,50,17, 37,0,37,47,50,5,1,8,...} .

Получаем, что эти последовательности периодичны с периодом 96, по соотношениям (14) подходят индексы 0, 17 и 86. На основании леммы 10 показатель группы единиц Z₂₀ = 43680, а так как 17, 86 не делят /₂₀, то подходят только «₉₆^ и Д_6д для любого целого р_х >0.

По модулю 9 подходят а_6рг и Р_6р2 для любого целого р₂ > 0.

По модулю 25 подходят а_60рз и Р_60рз для любого целого р₃ > 0.

По модулю 49 подходят «цг^ ^и Д_12/,₄ для любого целого р₄ >0.

По модулю 13 подходят а_4р5 и Р_4рз для любого целого р₅ > 0.

Таким образом, получаем к-96рх = 6р2 = 60р3 =112р4 ~^р5.

Наименьшее общее кратное чисел 96,6,60,112,4 равно 25-3-5-7 =3360.

Лемма доказана.

Следствием является теорема о строении группы центральных единиц U(Z (Z4_M)).

Теорема 4.

UyZxx^^^

Доказательство. На основании теорем 1, 2 и 3 известны локальные единицы группы U(Z(ZZ_X4)y Если учитывать композиции единиц квадратичных полей, порожденных различными характерами Д₄, то могут появиться новые единицы группы U(Z (ZT₁₄)), которые отсутствуют в локальном случае.

В лемме 10 находится нижняя граница для степеней единиц квадратичных полей, она совпадает с локальным случаем. Следовательно, глобальный случай исчерпывается локальными единицами. Теорема доказана.