Группы с условием инцидентности для ненильпотентных (неразрешимых) подгрупп

В работе [1] доказан ряд утверждений, относящихся к группам с условием инцидентности, для Е -подгрупп (где Z — некоторое теоретико-групповое свойство).

В настоящей работе в качестве свойства S мы рассматриваем сначала "нениль-потентность", затем "неразрешимость". Отметим, что эти свойства, очевидно, переносятся на надгруппы.

Полупрямые произведения будем обозначать знаком А , а запись A <>  B означает, что подгруппы А и В инцидентны.

• 2.    Конечные группы с условием инцидентности для ненильпотентных подгрупп

Определение 1. Ненильпотентную группу, в которой не существует ни одной пары неицидентных ненильпотентных подгрупп, назовем IN -группой (или группой с IN -условием ). Отметим, что IN -группами являются по этому определению группы Шмидта и группы с единственной истинной ненильпотентной подгруппой.

Группы Шмидта определены в [2]; там же начато их изучение. Многие свойства таких групп перечислены в [3]. Мы отметим некоторые из них.

Лемма 1 . Всякая конечная группа Шмидта G представима в виде G = P A Q , где P - р -группа, Q - циклическая q- группа ( p ^ q ), Ф(Р) с Z(G) , C p (Q) = Ф(Р) (последнее свойство приведено в теореме 1 из [3] -свойство 9).

Следствие. Если P , - истинная подгруппа группы Шмидта G , допустимая относительно Q , то Pj с Ф(Р) .

Доказательство. В силу условия подгруппа PQ <  G и поэтому она нильпотентна, т.е. P 1 AQ = P 1 х Q , откуда P 1 с C_P(Q) . В силу леммы 1 P₁ с Ф(Р) . Следствие доказано.

Лемма 2 . Пусть Н - подгруппа Шмидта конечной IN -группы G , H ^ G и Р - инвариантная силовская р -подгруппа группы Н . Если g - произвольный p '-элемент группы G , не содержащийся в Н , то либо g е C(P) , либо H с PX <  g > . В частности, если G = H <  g > , то G = P A <  g >  .

Доказательство. В силу леммы 3 из [1] H <  G , а тогда и P <  G , как характеристическая подгруппа группы Н . Рассмотрим подгруппу S = P A <  g >. Если она нильпотентна, то S = P х< g > , так как - р' -группа и g е C(P) . Пусть группа S ненильпо-тентна. Тогда в силу IN -условия S <>  H . Так как g £ H , то S ^ H . Значит, H с S. Если G = H <  g > , то тогда G = S <  g >= S (ибо g е S ). Лемма доказана.

Лемма 3. Если G/N - циклическая р-группа, то любые две подгруппы А и В груп- пы G, содержащие N, инцидентны (ибо в циклической р-группе подгруппы A/N и B/N инцидентны).

Рассмотрим конечные IN -группы. Пусть G – группа, не являющаяся группой Шмидта. В силу теоремы 2 из [1] она содержит инвариантную подгруппу Шмидта Н такую, что G/ N – циклическая r -группа. По лемме 1 H = PAQ (1), где P - р -группа, Q -циклическая q- группа ( p ^ q ). Так как H <  G , то по лемме Фраттини имеем: G = H • N(Q) (2). Так как G/N - циклическая r т-группа, то

HN(Q)/H = N(Q)/N(Q) n H - циклическая r -группа, а тогда

N(Q) = (N(Q) n H) <  g >  (3), где g можно считать r -элементом из N(Q) .

Из (2) и (3) получаем: G = H <  g >  (4), где g e N(Q) (5) и g &  H . Покажем, что N(Q) – нильпотентная группа. Действительно, в противном случае из-за IN -условия H <>  N(Q) ; но если H >  N(Q) , то в силу (2) G=H , в противоречие с условием, а при N(Q) >  H из (2) следовало бы, что G = N(Q) , т.е. Q <  G и H = P х Q не является группой Шмидта. Значит, N(Q) – нильпотентная группа. Так как Q с N(Q) , g e N(Q) и (\g\, Q) = 1, то получаем, что Q с C(g) (6).

Возможны следующие случаи:

• I.    r ^ p .

• II.    r = p .

Рассмотрим каждый из них.

• I.    r ^ p . Тогда по лемме 2 (учитывая (4)) возможны подслучаи:

• I.    1. g e C(P) .

• I.    2. G = P A <  g > , g e C(P) .

  • I.1.    g e C(P) . Имеем

G = (P A <  a > ) <  g > , где <  a >= Q и H = PA <  a > .

Рассмотрим элемент f = ag (7). Он содержится в N(^a^), ибо g e N(a). Далее, так как в силу (6) a e C(g), то f e (а} х ^ = T < G, причем Т либо примар-на, либо бипримарна. Так как а и g взаимно просты с числом р, то (\f\,p) = 1, т.е. f - p'- элемент. Из (7) следует, что g = a-1 f, а отсюда и из (4) получаем, что G = Hf (ибо a e H) (8). Далее, если бы f e C(P), то из (7) и условия I.1 получили бы, что a e C(P), а тогда Н не была бы группой Шмидта. Отсюда и из (8) следует, что G = P^ f) (9). Если f-примарный элемент, то G – группа типа I.2. Этот тип мы будем рассматривать ниже.

Пусть элемент f бипримарен. Тогда |g| = p ^Y q ^a r ^в (10), т.к. |g/p| = | a|*| g | = q ^a r ^в и |P | = p ^a . Но | G/P | = | f | (в силу (9)), и потому | f | = | a| * |g|. Из (9) следует

H = P A (H n< f > ) = P A <  c > , (11) и (9), G = P A ( < c >х< d > ) (12), где d - r -элемент, с - q -элемент. Если d e C(P) , то в силу леммы 2 G = P A <  d >  - бипримарная группа, в противоречие с равенством (10). Значит, d с C(P) . Отсюда и из (11) и (12) следует, что G = H х <  d > .

Получили следующий тип IN -групп:

• I.    G = H х <  d > , где Н - группа Шмидта, d – примарный элемент и ( d| ,| H ) = 1.

• I.2.    G = P A <  g >  , g e C(P) , P - р -группа, g - r -элемент. Так как H ^ P , то H = PAR , где R с< g > .

Рассмотрим Ф(Р) . По свойствам группы Шмидта (см. лемму 1) Ф(Р) с Z(P) (13). Так как Ф(Р) - характеристическая подгруппа группы Р и P <  G , то Ф ( P ) <  G и можно построить подгруппу M = Ф(Р)А <  g > . В силу (6) M ^ G. Если М ненильпотентна, то в силу IN -условия M <>  H . Но H &  M (ибо P & M ). Значит, M с H , а тогда g e H и в силу (6) G = H вопреки условию.

Значит, подгруппа М нильпотентна, т.е. М = Ф(Р) х< g > . Отсюда Ф(Р) с C(g) , а тогда из (13) и (6) следует, что Ф(Р) с Z(G) .

Получаем следующий тип IN -групп:

• II.    G = P A <  g > , P - р -группа, g - r -элемент, r ^ p , H = PAB - группа Шмидта, B с< g >  и Ф(Р) с Z(G) .

• II.    r = p . В силу (1) и (4) имеем G = (P A Q) <  g >  (14), и в силу (6)

g e C(Q) (15), g - р -элемент, Q - циклическая q -группа, p * q и H = P A Q - группа Шмидта.

Из (14) и (15) следует, что р- подгруппа S = P <  g >  инвариантна в G , т.е. она является ее единственной силовской р -подгруппой и G = S A Q (16).

Пусть в S существует истинная Q -допустимая подгруппа S , не содержащая Р . Тогда S₁AQ = T - истинная подгруппа группы G. Если S 1 c P , то T <  H и, по свойствам группы Шмидта, Т нильпотентна. Пусть Sj &  P (17). Если Т ненильпотентна, то ввиду IN -условия H <>  T . Но в силу (17) T &  H , а из H c T следовало бы, что P c S₂ , вопреки выбору S . Значит, Т нильпотентна.

Итак, в обоих случаях Т – нильпотентная группа, и поэтому T = S 1 х Q . Значит, S i c C(Q) . _

Получили следующий тип IN -групп:

Ш. G = H <  g > , где H = P A Q - группа Шмидта, Р – р-группа, Q – циклическая q -группа, g - р -элемент, Q c C(g) , и всякая истинная Q -допустимая подгруппа группы P <  g > , не содержащая P , содержится в C(Q) .

Мы получили три типа IN -групп. Теперь мы можем сформулировать следующее утверждение.

Теорема 1. Конечная ненильпотентная группа G является IN -группой тогда и только тогда, когда она – группа одного из следующих типов:

• I.    G = H х <  d > , где Н - группа Шмидта, d - примарный элемент и (|d|, H) = 1.

• II.    G = P A B , где Р - р -группа, B =< g >  - r -группа, H = PAB 1 - группа Шмидта, где B, <  B и Ф(Р) c Z(G) .

• III.    G = H <  g >  , где H = P A Q - группа Шмидта, Р – р -группа, Q – циклическая q -группа, g - р -элемент, g c C(Q) , и всякая истинная Q -допустимая подгруппа группы S = P <  g > , не содержащая P , принадлежит C(Q) .

• IV.    G – группа Шмидта.

Доказательство. Необходимость доказана в проведенном выше исследовании конечных ненильпотентных IN -групп, не яв- ляющихся группами Шмидта – именно такие типы I – III там получены.

Так как группа Шмидта (типа IV) по определению является IN -группой, то для доказательства достаточности надо проверить, что группы каждого из типов I–III являются IN -группами. Все они ненильпотентны, ибо содержат истинную подгруппу Шмидта.

• I.    Пусть G – группа типа I. Тогда каждая ее ненильпотеная подгруппа R представлена в виде     R = ( R n H ) х ( R n <  d > ) ,    где

( R n H ) ненильпотентна. Так как Н - группа Шмидта, то R n H = H и R о H . В силу леммы 3 в G любые две ненильпотетные подгруппы инцидентны, т.е. G является IN -группой.

• II.    Пусть G – группа типа II. Пусть S – ее ненильпотентная     подгруппа.     Тогда

S = P AB₂ , где P <  P и B₂ - циклическая r -группа. Тогда B₂ c B , и, так как вместо S можно взять изоморфную ей подгруппу S^x , можно считать, что B, c B .

Пусть P 1 <  P . Если B₂ <  B , то S <  H и S нильпотентна по определению группы Шмидта, что вступает в противоречие с выбором S . Значит, B 1 <  B 2 . Поэтому P 1 инвариантна относительно B , и по свойствам группы Шмидта Pj c Ф(Р) . Но по условию 2 Ф(Р) c Z(G) , и потому P, c Z(G)  и

S = Pj х B₂ нильпотентна, что противоречит ее выбору. Значит, Pj = P , т.е. S о P . Так как G/P – примарная циклическая группа, то, по лемме 3, G является IN -группой.

• III.    Пусть G – группа типа III и Т – ее ненильпотентная     подгруппа.     Тогда

T = T A T _q, где T <  S (так как S - инвариантная силовская р -подгруппа группы G , а T – силовская q -подгруппа группы Т ). Тогда найдется x e G , что T_q = Q, <  Q (ибо си-ловские q -подгруппы группы G сопряжены) и T^x = T AQ, . Подгруппа T , как и Т , нениль-потентна.

Воможны 2 случая:

• 1.    Q 1 <  Q . Тогда, по свойствам группы Шмидта, Q, c Z(H) . Но по условиям группы типа III Q c C(g) , и так как

• 2.    Q i = Q , т.е. T = T p A Q . Тогда T* Q -допустима. В силу условия группы типа III T о P , а тогда T о ( P A Q ) = H . Но H о G , и поэтому T о H .

G = H <  g > , то Q_I c Z(G) , а тогда T x = T x Q_t нильпотентна, вопреки условию. Случай 1 невозможен.

Итак, все ненильпотентные подгруппы группы G содержат H .

Так как G/H - циклическая р -группа, то, по лемме 3, G является IN -группой.

• IV.    Группа Шмидта является IN -группой по определению.

Теорема доказана.

Во всех IN -группах типов I-III существует единственная истинная подгруппа Шмидта Н , все ненильпотентные подгруппы группы G содержат Ни G/H - примарная циклическая группа. Поэтому если G - конечная группа с единственной истинной ненильпотентной подгруппой, которой является Н , то | G/H | — простое число. Отсюда и из теоремы 1 вытекает

Теорема 2. Конечная группа G является группой с единственной истинной ненильпотентной подгруппой Н тогда и только тогда, когда G - группа одного из типов:

• I.    G = H x< d > , где d\ = r - простое число и (| H |, r ) = 1 .

• II.    G = P A B , где Р - р -группа, B =< g >  - r -группа, r ^ p , H = P A <  g^r >  и Ф (P) c Z(G) .

• III.    G = H <  g >  , где H = P A Q -группа Шмидта, Р - р -группа, Q - циклическая q -группа( q ^ p ), |q | = P" , g^P c P, g e C ( Q ) и всякая истинная Q -допустимая подгруппа группы P <  g >  принадлежит C(Q) .

• 3. Группы с условиями инцидентности для неразрешимых подгрупп

Определение 2. Неразрешимую группу, в которой не существует ни одной пары неин- цидентных неразрешимых подгрупп, назовем IS -группой.

I S -группами являются, очевидно, минимальные неразрешимые группы (т.е. минимальные S -группы).

Лемма 4 . Если N - минимальная неразрешимая подгруппа IS -группы G , то N о G и G / N - циклическая р -группа или квази-циклическая р -группа.

Доказательство. Из доказанной ранее в [1] леммы 3 следует, что такая подгруппа N единственна и поэтому инвариантна в G . В силу теоремы 1 из [1] G/N - циклическая р -группа или квазициклическая р -группа. Лемма доказана.

Лемма 5 . Всякая неразрешимая подгруппа Т группы G, содержащей инвариантную минимальную S -подгруппу N такую, что G/ N разрешима, содержит N .

Доказательство. Так как G/N разрешима, то TN / N = T / T n N - разрешимая группа. Если ( T n N ) ^ N , то ( T n N ) -разрешимая группа, а тогда и Т разрешима, как расширение разрешимой группы при помощи разрешимой, вопреки условию леммы. Значит, T о N . Лемма доказана.

Следствие . Расширение G минимальной S -группы N при помощи циклической р -группы или квазициклической р -группы является I S -группой.

Доказательство . Пусть А , В - две неразрешимые подгруппы группы G . По лемме 5 A о N, B о N. Поэтому A/N,B/N -две подгруппы группы G/N . Так как в G/N любые две подгруппы инцидентны, то A/N <> В/N и поэтому A <> B , т.е. G - IS -группа. Следствие доказано.

Теперь из лемм 4 и 5 вытекает

Теорема 3. Группа G , содержащая минимальную S -подгруппу N , тогда и только тогда является IS -группой, когда N о G и G/N -циклическая или квазициклическая р -группа.

Следствие 1 . Конечная группа G тогда и только тогда является IS -группой, когда G -либо расширение минимальной неразрешимой группы при помощи циклической р- группы, либо - минимальная неразрешимая группа.

Справедливость этого утверждения вытекает из теоремы 3, так как конечная нераз- решимая группа всегда содержит минимальную неразрешимую подгруппу.

Следствие 2 . Указанное в теореме 3 строение имеет и IS -группа, удовлетворяющая условию минимальности для неразрешимых подгрупп.