H-однородные lambda-пространства

Все пространства предполагаются сепарабельными метризуемыми.

Сепарабельное топологическое пространство X называется счётно плотно однородным , если для любых двух счётных всюду плотных множеств А и В из пространства X существует такой гомеоморфизм f : X ^ X , что f ( A ) = B . Кратко такое пространство X называется CDH-пространством. Это понятие применяется только для сепарабельных пространств. Термин «CDH-пространство» был введён Беннетом в 1972 г. Однако понятие CDH-пространства является классическим; оно фактически встречалось ещё в работах Кантора, Брауэра, Фреше и других математиков прошлого века. Важными примерами CDH-пространств служат евклидово пространство R n и гильбертов куб [0;1] ^ю .

Теорема 1. Любое абсолютно борелевское CDH-пространство метризуемо полной метрикой .

Напомним, что абсолютно борелевским пространством называется пространство, гомеоморфное борелевскому подмножеству полного метрического пространства. Теорема 1 доказана М. Хрусаком и Б. Авилес [1] в предположении выполнения аксиом теории ZFC . Отметим также [1], что из аксиомы детерминированности вытекает, что любое CDH-пространство метризуемо полной метрикой. В то же время, как известно, аксиома детерминированности противоречит аксиоме выбора.

Теорема 1 показывает, что поиск других CDH-пространств нужно вести среди множеств, устроенных более сложно, чем борелевские множества в польских пространствах. Ниже в теореме 2 указан ещё один класс CDH-пространств. Теорема 2 доказана в системе аксиом ZFC и представляет собой основной результат заметки; она усиливает утверждение 4.9 из статьи [4].

Обозначения . Запись X = Y означает, что пространства X и Y гомеоморфны. Наименьший бесконечный кардинал обозначается буквой ш также to = {0,1,2,...}.

Топологическое пространство называется нульмерным , если оно является T i -пространством и обладает базой из открыто-замкнутых множеств. Нульмерное пространство называется h-однородным , если любое его непустое открыто-замкнутое подмножество гомеоморфно всему пространству. Пространство X называется пространством первой категории , если его можно представить в виде счётного объединения нигде не плотных подмножеств.

Куратовский [2, §40] ввёл так называемые Х -пространства. Сепарабельное пространство X называется А -пространством , если любое счётное подмножество из X является G g -множеством в X . Можно доказать [2], что любое несчётное польское пространство содержит несчётное Х -множество.

Остальные обозначения и применяемые термины можно найти в монографиях [2] и [6].

Отметим следующие связи между Х -пространствами и пространствами первой категории.

Лемма 1 [2]. Любое А -пространство является пространством первой категории.

Лемма 2 [3]. Любое CDH-пространство первой категории является А -пространством.

В дальнейшем нам понадобится следующее утверждение.

Лемма 3 [5]. Пусть в нульмерном метризуемом пространстве X i дано замкнутое нигде не плотное множество F i , где i е {1;2} . Пусть дан гомеоморфизм f : F 1 — F 2 .

Тогда существует покрытие V i множества X i \ F i попарно не пересекающимися открытозамкнутыми (в X i ) множествами для каждого i е {1;2} и биекция у : V — V₂ такие, что для любых множеств D 1 с U V 1 и D ₂ с U V₂ , связанных произвольной биекцией g : D 1 — D ₂ и удовлетворяющих условию g ( D 1 П V ) = D ₂ П y ( V ) для любого V е V 1 , комбинированное отображение f V g : F 1 U D 1 — F₂ U D ₂ непрерывно в каждой точке множества F 1 , а обратное отображение ( f V g ) ¹ непрерывно в каждой точке множества F₂.

В ситуации, описанной леммой 3, мы будем говорить, что:

• 1)    покрытие V i множества X i \ F i образует остаточное семейство множеств относительно множества F i для каждого i е {1;2};

• 2)    биекция у : V — V ₂ согласована с гомеоморфизмом f : F 1 — F ₂;

• 3)    тройка ^V 1 , V₂ y образует KR-покрытие для ^ X 1 \ F X ₂\ F ₂, f^ .

Результат, аналогичный лемме 3, был также получен А.В. Островским и ван Энгеленом. Отметим, что термин «KR-покрытие» был предложен ван Энгеленом.

В доказательстве теоремы 2 используются некоторые идеи из статьи [4].

Теорема 2 . Любое h-однородное несчётное ^ -пространство является CDH-пространством.

Доказательство . В h-однородном несчётном Х -пространстве X зафиксируем счётные всюду плотные множества А и В .

Так как пространство X нульмерно, то согласно [6, теорема 7.3.1] существует такая последовательность U_x, U₂, ^ дискретных открытых покрытий пространства X , что семейство U = {U е U _n : n е to } образует счётную базу пространства X , состоящую из открыто-замкнутых множеств, причём для любого n покрытие U _{n + 1} вписано в покрытие U _n . По определению h-однородного пространства, для каждого множества U е U существует гомеоморфизм Ф и : X —— U .

Счётное множество A и U ^ u ( A ): U е U } расширим до счётного множества A' = { a _n : n е to } таким образом, чтобы множество A' \ A было бы всюду плотно в X . Аналогично, счётное множество B и U { ф _U ( B ): U е U } расширим до счётного множества B ‘ = {b _n : n е to } таким образом, чтобы множество B' \ B было бы всюду плотно в X .

Так как пространство X - несчётное, то X' = X \ (A' U B‘) - всюду плотное множество в пространстве первой категории X; следовательно, X' также является множеством первой категории в X. По определению Х-пространства, A' U B' - множество типа G§ в пространстве X. Тогда X' = U{Xn : n е to}, где каждое множество Xn замкнуто и нигде не плотно в X. Так как пространство X нульмерно, то без ограничения общности можно считать, что множества Xn, n е to, попарно не пересекаются. По построению, для любых U е U и n е to множество фи (Xn) замкнуто и нигде не плотно в X, причём фи (Xn) с U , фи (Xn) П A = 0 и фи (Xn) П B = 0 .

Построим гомеоморфизм f : X — X , для которого f ( A ) = B .

Для этого по индукции в пространстве X построим замкнутые нигде не плотные множества F _n и E _n , гомеоморфизм f _n : F _n — E _n , KR-покрытие ^V _n , W _n , y _n ^ для XX \ F _n , X \ E _n , f _n ), удовлетворяющие следующим условиям для любого n е to".

• 1)    X n U F n U { a n } с F n + 1 ;

• 2)    X n U E n U { b n } с E n + 1 ;

• 3)    f n ( a П F n ) = в П E n ;

• 4)    сужение f n I F = f_t для любого i <  n ;

• 5)    семейство V _{n + 1} вписано в V _n , а семейство W _{n + 1} вписано в W _n ;

• 6)    если V е V _n и V * е V m для n <  m , то V * с V ^ v _m (V *) с v _n (V ).

База индукции. Для n = 0 положим F₀ = E ₀ = 0 , V₀ = W₀ = { X }, y ₀ ( X ) = X и f 0 ( 0 ) = 0 .

Индуктивный переход . Предположим, что множества F n и E _n , гомеоморфизм f n : F n ^ E _n и KR-покрытие ^V _n ,W n, v _n^ для ( X \ F n , X \ E n , f n ) построены согласно условиям (1)-(6).

Сделаем следующий шаг. Зафиксируем множества V е V n и W = v _n (V ) е W n .

Положим Y = V П X _m , где m - наименьший индекс, для которого множество Y Ф 0 . Аналогично, положим Z = W П X k , где k - наименьший индекс, для которого множество Z Ф 0 .

Множество A' всюду плотно в X . Зафиксируем точку a i е V П A с наименьшим возможным индексом i . Выберем точку b j е W П B' с наименьшим возможным индексом j по следующему правилу: b j е B о a i е A .

Множество Y и { a i } нигде не плотно в V , поэтому существует такое базисное множество U е Ы , что U с V и U П ( Y и { a i }) = 0 . Положим F V = Y и { a i } и ф _и ( Z ). Аналогично, найдётся базисное множество U * е Ы , удовлетворяющее условиям U * с W и U * П ( Z и { b j -}) = 0 . Пусть E _W = Z и { b j -} и ф _и * ( Y ). Определим гомеоморфизм f V : F V ^ E _W по следующему правилу:

^fV ^{( x} ) = ‘

b j , ^{если x} = a , Ф и * ( x ), если x е Y , ( ф и ) 1 ( x ), если x еф ( Z ).

По лемме 3 существует KR-покрытие ^V _V , W _V , y _V ^ для V \ F _V , W \ E _W , f _V ).

^{Несложно п}р^овер^ить, ^что F n + i = F n ^и U { ^FV ^: V ^{е V} n } ^{и E}n + 1 = ^En ^и U { ^E y n ( V ) ^{: V е V} n } ^{- замк} нутые нигде не плотные множества в пространстве X . Зададим отображение f _{n + 1} : F _{n + 1} ^ E _{n + 1}

по следующему правилу:

f n + 1^{( Х} ) =

f ^fV ^{( Х} ), I f n ^{( Х} ),

если x е F _V для некоторого V е V _n , если x е F _n .

Из построения вытекает, что отображение fn+1 является локальным гомеоморфизмом в точках множества Fn+1 \ Fn, а из индуктивного предположения и леммы 3 следует, что отображение fn+i является гомеоморфизмом в точках множества Fn .

Семейство Vn+1 ={U е V: Vе Vn} образует покрытие множества X \ Fn+1, а семейство Wn+1 ={yV (U) е V : U е VV, V е Vn } образует покрытие множества X \ En+1. Биекция yn+1: Vn+1 ^ Wn+1 определяется естественным образом: yn+1(U) = yV (U), если U е VV для неко торого V е Vn . Несложно проверить, что биекция yn+1 согласована с гомеоморфизмом fn+1. Итак, VVn+1, Wn+1, Vn+1) образует KR-покрытие для (X \ Fn+1, X \ En+1, fn+1).

Ясно, что все условия (1)-(6) выполняются. Индуктивный переход завершён.

Из условий (1) и (2) следует, что X = U { F _n : n е t y } = U { E _n : n е to } .

Зададим отображение f : X ^ X по правилу f ( x ) = f _n ( x ), если x е F _n для некоторого n . Это определение корректно в силу условия (4). Более того, f - биекция. По построению, сужение f | _F является гомеоморфизмом. Из леммы 3 вытекает, что f - гомеоморфизм.

Из условия (3) следует, что f ( A ) = B .

Теорема 2 доказана.

Из теоремы 2, леммы 1 и леммы 2 вытекает следующая неожиданная характеристика Х -пространств.

Следствие 1 . Пусть дано h-однородное несчётное пространство X. Тогда X является ^ -пространством тогда и только тогда, когда X- CDH-пространство первой категории.

Следствие 2 . Пусть X = © { X n : n е to } , где каждое X _n является h-однородным несчётным ^ -пространством. Тогда X- CDH-пространство.

Установим ещё одно свойство h-однородных Х -пространств.

Теорема 3 . Пусть дано h-однородное несчётное Х -пространство X. Тогда X гомеоморфно своему подпространству X \ A для любого счётного множества A с X.

Доказательство . Так как пространство X нигде не счётно, то дополнение X \ A является всюду плотным подмножеством в X . Согласно лемме 1, X - пространство первой категории. Тогда [2] дополнение X \ A также будет пространством первой категории относительно себя.

Так как пространство X нульмерно, то согласно [6, теорема 7.3.1] существует такая последовательность Ы_х, ^₂,... дискретных открытых счётных покрытий пространства X , что семейство U = {U е ^ _n : n е to } образует счётную базу пространства X , причём для любого n покрытие ^ _{n + 1} вписано в покрытие ^ n . По определению h-однородного пространства, для каждого множества U е U существует гомеоморфизм ф _и : X ^ U .

Рассмотрим счётное множество A * = A и и { ф _и ( A ): U е U }. Из определения Х -множества следует, что А * - множество типа G § в пространстве X . Несложно проверить, что X * = X \ A * -всюду плотное множество в пространстве первой категории X ; следовательно, X * также является множеством первой категории в X . Более того, X * - множество типа F _а в пространстве X. Поэтому множество X * можно представить в виде счётного объединения X * = U { X _n : n е to } замкнутых (в X) нигде не плотных множеств X n . Из построения вытекает, что множество ф _и ( X _n ) замкнуто и нигде не плотно в X , причём ф _и ( X _n ) с U \ A для любых U е U и n е to .

Применяя лемму 4 из [5], делаем вывод, что любое открытое множество из пространства X \ A содержит нигде не плотное замкнутое (относительно X \ A ) подмножество, гомеоморфное пространству X . Тогда по теореме 3 из [5] пространство X \ A гомеоморфно h-однородному расширению h ( X , to ) пространства X относительно пространств первой категории. В [5] было показано, что для любого сепарабельного h-однородного пространства X первой категории расширение h ( X , to ) гомеоморфно самому пространству X.

Теорема 3 доказана.

Замечание . Интересно выяснить, останутся ли теоремы 2 и 3 верными для (нульмерных) однородных пространств.