Характеристический признак поверхностей с постоянным гауссовым кручением в Е4

Известно, что всякое двумерное риманово многообразие М ² со знакопостоянной гауссовой кривизной К имеет рекуррентный тензор кривизны Римана R . Имеет место равенство [2]: VR = d ln |К| ф R , где д — риманова метрика М 2 , V — риманова связность, согласованная с д . Основным инвариантом нормальной связности D двумерной поверхности F ² в евклидовом пространстве Е ⁴ является гауссово кручение к . В каждой точке ж Е F ² |к| = 2аЬ , где а , b — полуоси эллипса нормальной кривизны в ж .

Обозначим через D и R ^± соответственно нормальную связность и тензор нормальной кривизны F ² С Е ⁴ . Пусть V = V ф D — связность Ван дер Вардена — Бортолотти. Определение 1. Тензор нормальной кривизны R ^± = 0 называется параллельным, если VR ^± = 0.

Определение 2. Тензор нормальной кривизны R ^± = 0 называется рекуррентным (в связности V ), если существует 1-форма и на F ² такая, что VR ^± = и ф R ^± [3].

Справедлива следующая теорема.

Теорема 1. Поверхность F ² с ненулевым гауссовым кручением к = 0 в Е ⁴ имеет рекуррентный тензор нормальной кривизны R^:

VR ^ = d ln l^®R \                         (1)

Из теоремы 1 мы получаем следующий характеристический признак двумерных поверхностей с постоянным гауссовым кручением к = const = 0 в Е ⁴ .

Теорема 2. Поверхность F ² с Е ⁴ имеет постоянное гауссово кручение к = const — 0 тогда и только тогда, когда тензор нормальной кривизны R^ — 0 параллелен.

Замечание. Поверхности F ² с постоянным гауссовым кручением к = const — 0 в Е ⁴ существуют [1].

1. Рекуррентность тензора нормальной кривизны двумерной поверхности в Е ⁴

Пусть Е ⁴ — 4 -мерное евклидово пространство с декартовыми прямоугольными координатами (х ¹ , х ² , х ³ , ж ⁴ ) , <,> — скалярное произведение в Е ⁴ . Пусть F ² — двумерная поверхность в Е 4 , заданная в окрестности каждой своей точки векторным уравнением

г(и1,и2) = {х1(и1, и2), х2(и1, и2), х3(и1,и2),х4(и1, и2)}, (и1,и2) G U, где U — некоторая область параметрической плоскости (и1,и2), ха(и1,и2) G С^(U), tt — 1,..., 4.

Рассмотрим на поверхности F ² в окрестности каждой точки регулярное оснащение {n _a | }L 1 , < n _a | ,n » | >— 5_а1 з ,   где 6 ^. — символ Кронекера, а, 8 — 1, 2 . Пусть

-    аг ^{( и} 1 ^{,и 2)}    _      а ² г ^{( и} 1 ^{,и 2)}     _       ап _а | ^{( и} 1 ^{,и 2)}     . .

ft —             ,       —              , И —               , 2,7 — 1, 2, а — 1, 2.

^г           ди ^г      , ^гз         ди^гдиз ,      “ ^{| г}            ди ^г        ,     ,j , ,             ,

Векторы {г _г (х)} ² =1 и {п _а | (х)} ² =1 соответственно образуют базисы касательной плоскости T _X F ² и нормальной плоскости T ^ F ² поверхности F ² в точке х .

Метрическая форма поверхности F ² имеет вид:

ds2 — дг, dиг d/и?, где дг, —< Тг, т, >, г, j — 1, 2. Обозначим через

II (п _а | ) — Ь^ , dи^г dи³

вторую квадратичную форму поверхности F ² относительно нормали п _а | , где коэффициенты 6 _а | г, — <  п _а1 ,т гз > , 2,j — 1, 2 , а — 1, 2 .

Vg

Линейные формы

Шар Га»гdи , а, 8   1,2, называются линейными формами кручения поверхности F2 с Е4, где коэффициенты Г^^|г —< ^а|,И^|г > называются компонентами нормальной связности D поверхности F2 с Е4. Имеет место равенство Г^ + Г^г — 0.

Ковариантная производная вектора п _а | в нормальной связности D вычисляется по формуле

DA.| — F^f п№ где F^f — 6»" Г^а|,, г — 1,2, а,8,^ — 1,2, матрица ||5а/3|| = ||5а/? || 1.

Компоненты тензора нормальной кривизны R± вычисляются по формуле p La _

^R№ =

д 1^ д 1^

ди

-

диг

+ ^l '

-

m? -

Обозначим

^R№ = ^R№ ^1-

В окрестности точки ж Е F ² ковариантная производная тензора нормальной кривизны R ^± в связности Ван дер Вардена — Бортолотти V вычисляется по формуле

v» rl i, = Dk (rl,,)

-

m E>L

¹ ki ^R y | mj

-

m Z?L

¹ kj ^R ylim

-

L a p.L

¹ У | k ^R a | ij ,

где 1 ^m — символы Кристоффеля, вычисленные относительно метрического тензора g _i, .

Доказательство теоремы 1. В окрестности точки ж Е F ² в локальных координатах (и ¹ , и ² ) из формулы (3) имеем:

^R 1|12 =

⊥ 2

^{д 1} 1|1 ди ²

-

⊥ 2

^{д 1} 1|2 ди ¹

ⁿ 2| ^,

^R 2|12 =

д 1 L|1 ди ²

-

д 1 2,1 ди ¹

ⁿ 1| .

Обратимся к уравнению Риччи:

r" = ■     ( b y i i* b ”,

^{- b} P|jk ^b ml) ^,

ij,i,m = 1, 2,

aj3 = 1,2,

где b “j = 5 "4 b y । _i, . Из (5) находим

R L| ? 2 = g ^km ( b^ k b ” 2

-

6 112 » %1) ,

R LT12 = g ^km ( b 2^ k b ” 2

-

^b 2|2k ⁶ m1) -

Из (6) в силу (2) имеем:

R ^L12 = R 1I1 2TM = R ^L12 n 2| = K ^V gU 2l ,

R ^L12 = R^n ^ i = R ^L12 П 1| = -xVgn 1| .

По формуле (4) находим

^V k ^R y| 12 = ^D k (^ 12 )

-

р m р_

¹ ki^R/3 | m 2

-

р т р_

¹ k2^Rf} |1 m

-

1^ 12 ,   _a,P = 1, 2.

Мы имеем:

B » (R m i2 ) = D k ( K V9«21) = к Vg p LA n il +

^{д (к} Vg) --------------ⁿ 2| ^,

ди »

^D k ^{( R l}| 12 ⁾ = ^D k ^{( — K} Vig ⁿ 1| ) = ^—к Vh ^{Г L}|2 k ⁿ 2|

-

^{д (к} V9) ди ⁿ 1^{l -}

Учитывая (9), (10), из (8) соответственно получим v» Rti 12 = к Vg 1^ ni | +

(qV ) ⁿ 2| - (¹ k 1 ^{+ Г} k 2 ) ^{R L}|12

-

⊥ 2    ⊥

¹ 11 k ^R 2|12 ,

V k R L12 =

^{-к V g} ^k ⁿ 2|

-

^{д (} д_и^ П и - ( 1 k , + г k ₂ ) R₂ L₁2

-

⊥ 1    ⊥

¹ 2| k ^R 1|12 ^-

Отсюда, применяя соотношения (7), находим

V ±       /ДТ±1 "     3( к уд) _     d (In у^{д )}      _      ±2 /         \

^V k ^R 1\12 ^{- к} Уд ^Г 2\ _k П 1| +-- d^ k --"2\-- ду к -- ^К V^^l - ^Г 1\ к (^-к^"Ш

-

^{д (к} уд) ди^к

-

^ln Vs            ^{д к}

1SF ^к ^) " 2 \ ^- dyk V5 " 2 ^-

дln|к|    у . _дln|к| р± дУ К V^21 - d„k R1\12,

V k R ±12 -

-

^г±2 -   дк уд кдгГ1 \к"21 _ -уууг "1 \

-

Эпк

^{( - к у}дУ । ) ^{_ Г} ± к ^{к у д}П 21 ^-

_- / ^{д (к} у^д) , \   ди^к

Следовательно,

^{д (ln} уд) ди^к

куд^ n i| -

д к ы^-

д ln |к|

"дут у

^{д ln | к |} р± dy k ^R 2^2 ^.

V k R

⊥

д ln | к|

^2 = ду к

R ±12 ,    к -1, 2,    3 -1, 2.

Так как ^R ±|11 ^{- R} ±|22 = О , ^R ±|12 ^-

_R ± ₂₁ , из (11) находим

V k R ±_гз - ^дуИ r ± _гз , _г,₃,к -1, 2,  3 -1, 2.               (12)

Из (12) получаем, что на поверхности F ² с ненулевым гауссовым кручением к - 0 в Е ⁴ выполнено уравнение VR ± - v ® R ± , где 1-форма v - d ln |к|.

Теорема доказана.

Теорема 2 непосредственно следует из теоремы 1.