Характеризации типа ВМО, диагональное отображение и ограниченнность интегральных операторов в некоторых пространствах аналитических функций

Основная цель настоящей заметки распространить результаты о характеризациях типа ВМО классов Бесова и Блоха, полученные в [1, 2], дополнить утверждения об оценках рациональных функций и известные результаты о диагональном отображении из [3, 8], а также обобщить на голоморфные пространства Лизоркина — Трибеля недавно полученные утверждения об ограниченности операторов типа Чезаро из [4].

Для формулировки теорем, установленных нами, введем стандартные обозначения. Всюду ниже D — круг на комплексной плоскости C, D = { z : | z | < 1 } , T — его граница, T = { z : | z | = 1 } . н p (D) — класс Харди [5], H p (D) = { f е H (D) : || D t f || h p <  ro} , где H (D) — класс всех голоморфных в D функций, t Е R, 0 < p 6 ro , (Df)(z) = P (k + 1) t a k z k , t Е R, f (z) = P a k z^k . Легко видеть (Df )(z) = (zf (z)). Всюду ниже k > 0 k > 0

B _p ^α — аналитические пространства Бесова [11]:

B α p

< f Е H (D) : k f IB = j D t f (z) [ (1 - | z | ) ^{( t - a ) p -1} dm 2 (z) <  ro >  ,

D где a, t, p Е R, t > a, 0 < p < ro.

Теорема 1. Пусть t + 1 < p < ro, (s — a)p = 1 + в + Y, t < 1, s > a + 1, в, Y > 0, причем t = в или t = Y • Тогда следующие условия равносильны:

• 1)    f Е B a ;

• 2)    J = JR

DD

( D ^s-1 f ) ( z ) - ( D ^s-1 f ) ( w )

z - w

p

(1 — | z | ) ^{e -1} (1 — | w | ) ^{Y -1} dm ₂ (z) dm 2 (w) <  ro .

<1 2) ^ 1): Основная идея — привлечь диагональное отображение. Действительно, импликация 2) ^ 1) — непосредственное следствие теоремы о диагональном отображении, доказанной в [8]. Функция G , где

G(z, w) =

Г f (z)-f ( w ) z - w    ^,

1 f 0 (z),

^z = w, z = w

— аналитическая функция в бидиске в D ² = D х D [8], а теорема о диагональном отображении утверждает [8, 14], что Diag A a (D n ) = A an +2 n - 2 (D), где Diag f = f (z, ...,z), a > 1, 0 < p <  to , n E N, а A a (A a = B p , a = — вр — 1, в <  0) — классы Бергмана. Для доказательства обратной импликации нам понадобятся несложные операции с формулой проекции Бергмана.

Следующее равенство выводится непосредственно из формулы проекции Бергмана [8]:

| F ⁽z,^{w) |} =

D s ^-1 f (z) - D ^{s -1} f (w) z - w

= C

(V)/

D

~ V+1                    T,

D   Ds-^f (ге)(1 - |W| ) V w

— wz) (1

- ww

dm 2 (го)

( ( io S   г \ ^{Г(к +} s ⁺ 1) k

I D   ^f) ^(z) = S r(k + s) a k ^z -

\                   k > 0

f=    akzk k>0

Для достаточно большого t и V, близкого к — 1, V >  — 1, имеем:

e t +1 e t +1

^D z ^D w F^(z,w)

= C (V) /

D

~ V+1 -               _

D    D^^-1f (W)(1 — |t0 | ) ^V w

Л - V⁺² Л - V⁺²

I 1 — wz I 11 — wz I

dm ₂ (га)

и

J-=//

DD

t +1 t +1          ^p

Dz Dw F(z,w) (1 — |z|)(1+t)p+e-1 х х (1 — |w|)(1+t)p+Y-1 dm2(z)dm2(z) 6

6 c// /( I De V ⁺ s f (w) Г (1 — | z | ) V^P (1 — | w | ) ^{p ( t +1)+ Y -1} (1 — | z | ) ^e - ^{1+ p ( t +1)} - ^ep

DDD

^11 — to |        11 — tow |      ^ dm ₂ (га) dm ₂ (z)dm ₂ (w) 6

6 C j |DDV+sf (w |p (1 — |w-|)(s-a)p-1+Vp dm2 (г0) -D в силу известных оценок

6 C

D

| f (w) | (1 — | w | ) ^V dm 2 (w) \ p | 1 — wz l ^a | 1 — wz ₁ | ^{2+ e} J

| /(w)П1 -j wD VpX 1-_kD - p dm2^w)

| 1 — t5z | ^pa | 1 — wz - | ^{- p +2+ ep}

p >  1, a-в >  0;

f (1 — | w | ) u dm 2 (w) 6 C

J       | 1 — wz | ^Y           (1 — | z | ) ^Y - u ^-2

D где u > —1, y > u + 2, z, z1 E D, e > V, f j If (w)l (1 — ЫГ dm2(w)^ 6 C j |f (w)|p (1 — |w|)ap+2p 2 dm2(w), p 6 1, DD

приведенных, например, в [7, 8, 17, 19].

Остается применить известную теорему Харди — Литтлвуда о действии производной в пространствах Бергмана, точнее ее вариант для дробной производной, легко выводимый из классической теоремы Харди — Литтлвуда [5, с. 81] слева и справа в (3):

J 6 CJ 1 6 C 1 k f k P a . ^p

Меняя в (4) z и z i , мы восстановим симметрию в индексах. B

Замечание 1. Теорема 1 распространяет в двух направлениях утверждение, установленное в [2, теорема 3]. Рассуждение, приведенное в [2] — доказательство характеристики типа ВМО (инвариантных относительно преобразования Мебиуса) 1

классов B p , p >  2 в части необходимости и в части достаточности существенно использует свойства этого преобразования. Наши рассуждения, на наш взгляд, существенно проще.

Замечание 2. Приложения различных характеристик типа ВМО классов Бесоа известны [9, 10, 22].

Замечание 3. Если а = 1/p, p >  2, s = 1, в = Y = р/2 — 1, то мы получаем в точности теорему, установленную в работе [2].

Подход, основанный на диагональном отображении, позволяет доказывать различные утверждения подобного рода. Следующая теорема распространяет результат из [1], где получен частный случай теоремы 2 при в = 1, а = 1.

Теорема 2. Пусть 0 < а < 1, t, V >  0, t + V = а, в — любое действительное число,

∞ , ∞ α, β

< f E H (D) : sup M ^ ( d ^e f,rA (1 — r) ^a <  го

I                   r e (a ,i) ^{v 7}

Тогда f ∈ A _α ^∞ _, ^, _β ^∞ если и только, если

S = sup sup r, R |w|=r, |z|=R

D ^{e -1} f) (w) — (П ^{e -1} f) (z)

z - w

(1 — R) t (1 — r) ^V <  го .

C Достаточность условия (7) тривиальна (при этом надо учесть, что

(Df) (z) = (zf(z)) 0 = zf 0 (z)+ f(z)).

Для доказательства необходимости мы снова воспользуемся равенством (1).

Имеем

J = sup sup

| z | | w |

((1 -| z | ) t ^{1 +} t (1 -| w | ) ^{t 2 + V}

t 1 e t 2

D w D z

(

D ^e -1 f (z) — D ^e-1 f (w) z - w

6 c(V ) sup

| z | , | w |

/

D

DV ^{+ e} f (t)(1 - | w ! ) ^V w

1     V^{2 +1} Л V^{1 +1}

1 - wz 1 - ww

dm ₂ (w)

(1 -| z | ) ^{t 1 + t} (1 — | w | ) ^{V + t 2} 6

(

sup

| z | , | w | , | w | < 1

M^\D^{V +e} f, l w

e

(1 - |w| ) ^{V +a}

)

X

X

(i i w i ) " _:i i zii zi i wT- " ²

I             l t ^{2 +1} 1              l ^{t 1 +1}

1 - wz 1 - ww

dm ₂ (w) = S

(t + V = a, V — достаточно большое число). Учитывая оценку (8) и оценку последнего интеграла [7], получим

S 6

(1 — Н) ‘ (1 -M) ^V | 1 — zw | t | 1 — zw l V

6 const,

0 < t ₂ + a <  1, 0 < t ₁ + a <  1, t ₁ + t ₂ + a >  0 (мы на последнем шаге использовали теорему Харди — Литтлвуда о действии производной [5, с. 87] справа и слева в (8)).

Замечание 4. Аналогичные утверждения можно вывести и для производных (обычных) f ^{( n )} (z). Но доказательства этих предложений технически несколько сложнее.

Подобный подход можно использовать и для классов функций с «нестандартной» квазинормой. Здесь снова (по крайней мере) половина критерия будет получена, если будет установлена надлежащая теорема о диагональном отображении. Ниже мы покажем это на примере пространств

D V ^Т Р.» = ' е D V : f е т’в},

где a >  0, в >  — 1

/\ 1/p

If1

Т Рв (D) = W е H (D) : sup (1 — p) ^a / i f (pR^) l p (1 — R) ^e dm 2 (R^)

,                             p^O,1))

< го

Определение 1 [8]. Пусть H (D n ) — пространство всех голоморфных в полидиске D n функций, D n = { z = (z ₁ , z ₂ ,..., z _n ), i z j | < 1, j = 1,...,n } , X C H (D n ) — подпространство H (D n ). Скажем, что след класса X на диагонали поликруга совпадает с Y , Y C H (D), Y — подпространство H (D), если для любой функции f е X f (z,..., z) G Y и для любой функции g G Y существует функция G G X, такая, что G(z,..., z) = g(z). При этом будем использовать обозначение DiagX = Y . Задача о диагональном отображении в H ^p (D ⁿ ) рассматривалась многими авторами [8, 14].

Незначительно модифицируя доказательство из [8] (рассуждения следует применять к функциям f _p , g _p , р G (0,1)), нетрудно установить следующий результат.

Предложение С. Пусть а >  0, n Е N, 0 < p <  го . Тогда

Diag A , = т а в (D) = Ь Е H (D) : sup (1 - р) ^а х [                   р е (0 , 1)

/                                            \ 1 /p

х

I У If (pRO\P (1 - R)e RdR^m(0 I в = n — 2, n > 1.

D

A p = b Е H (D n ) : sup M p (f,r)(1 — r) ^a <  го I , I                      r e (0 , i)                                   )

M p (f, r) = M p (f,r,...,r), 0

го , а >  0.

Из предложения С следует оценка ( \ w \ = \ z \ = r)

i/p suP (1 — Р)а pe(0,i)

p

/ \Df f (pR<) \ RdRdm (£)

D

6 c sup r

De ^{e -1} f) (z) — (De ^{e -1} f) (w) z — w

p

dm(^) dm (у) I (1 — r) ^a .

Обратная оценка выводится как и выше из (1)–(3) путем несложных преобразований. Пусть p 6 1, t i , t 2 > 0, t i , t 2 — достаточно большие положительные числа. Тогда из (1) и (6) имеем

(1 _— p) P^a +^{( t} 1 + t 2 ⁾ P у

T ²

D t ¹ D t ² D ^{e -1} f (р^) — D ^{e -1} f (ру) Ру — Р<

p dm (£) dm (у) 6

6 c(V) Я/

T ² D

\ d V ^{+ в} f (pw) I (1 — \ ге \ ) V \ w \ dm ₂ (га)

I                I t1 + 1 I       _. |t2+1

p

(1 — p) ^{pa +( t 1 + t 2 ) p} dm (£) dm (у) 6 M.

Применив дважды теорему Харди — Литтлвуда [5, с. 87], получим

c

M 6

^c(V V

D

ID V ^{+ в} f (рге) | ^P (1 — \te \ ) ^{Vp +2 p -2} dm 2 (w) (1 — \ w \ p)^{(t 1 +r)p-1} (1 — Ир)^¹ )*^-1

t 1 + t 2

D   D^v f (pRO

(1 — Р)

pa +( t i + t 2 ) p

p

(1 — R) ^Vp RdRdm (^) (1 — p) ^{( t 1 + t 2 ) p} (1 — p) ^pa 6 c k f k D e _A p

α

При этом, чтобы «избавиться» от t 1 , t 2 слева необходимо потребовать в >  p + а — 1 [22]. Случай p >  1 расматривается аналогично с привлечением оценки (4) вместо (6).

Итак, нами установлена

Теорема 3. Пусть а > 0, в Е R, в > p+2-1, 0 < p < го. Тогда f Е DвТРо если и только, если sup re(0,1)

De ^{в 1} f (r^) — D^{в 1} f (гу) r^ — гу

dm (^) dm (у)     (1 — r) ^a <  го .

Заметим, что справедливо и обратное. Опираясь на утверждение о характеризациях

классов голомрфных функций через разности

( D^tf ) (z)- ( D ^t f ) ( w ) z - w

можно полностью

описывать следы тех или иных функциональных классов в бидиске на диагонали (z, z).

Действительно,

,                       X ( D ^-1 f ) (z)- ( D ^-1 f ) (w)

функция F (z,w)    ^-w —

дает искомое продолжение.

Имеем F (z,z) = (d 1 f ) (z) = f (z), где (Ъ 1 f ) (z)

неравенства следуют непосредственно из теорем 1 и 2:

z

= J f (w)dw и следующие

sup    \ F^{(z,w) | (}1 - \ z \ ^{) V (1} - \ wD t 6 c ^{k f} Ha^ , ^a >  o, t + V = ^a-

|z|<1, |w|<1                                                                      0'“ j j\F (z,w)\p (1 -\z\)e 1 (1 -\w\)Y 1 dm2(z) dm2(w) 6 c kf Hb^ , где p > 1 + y, в < 1, a 6 -1, в, Y > 0, (-ap) = 1 + в + Y•

Обратное к последнему неравенству при любом n ∈ N получено в [8]. А неравенство sup sup (\f(z,z)l (1 - \z\)V+t) 6 ci    sup    (\f(z,w)l (1 -|zDV (1 - \w\)t),

0 1 | z | = r                                            | z | < 1 , | w | < 1 '

где V, t >  0, очевидно.

Предположим далее, что всюду ниже R(z) — рациональная функция степени n, n = 1, 2,..., полюса которой лежат вне диска D, Bl — класс Блоха,

Bl = If G H ^{( D )} : ||^{f k} Bi = sup |^{f 0 (z)}| ^{(1 -} \ z \ ⁾<  to I .

| z | < 1

Мы установим, что имеет место оценка

α

1 /a

/ |D ^{a +1} R (p^) |    dm (^)   (1 - p) ^a 6 n ^a k ^DR k

Bl

T для всех a, 0 < a < to.

Отметим, что при a >  1 эта оценка установлена Пекарским [3]. Нам понадобится в дальнейшем следующая векторнозначная максимальная теорема.

Теорема А [6]. Пусть X — квазинормированное пространство. Тогда sup zer(?)

k f (z) k x dm «) 6 c (X) j k f (O k x dm «),

Г«) = {z :|1 - Iz l < (1 -\ z \ )} .

T

А. Пекарский в [3] для a 6 1 вывел следующие два неравенства:

||R| ^i/a 6 С1 (a) na ||RkBl, 0

Ha kRk Da Л1/а 6 c2 (a) na kRkBl , 0

1/a-1

1/a kRka 1/a =sup / |Daf (r^) |   dm (£);

Ha

T kRkDaAi/a x= / |da+1f (ri)^ (1 - r)1/a-1 drd^. a D

C Докажем сначала, что (9) при а < 1 выводится из теоремы А и (10) при а = 1. Заметим, что при а < 1

~ 2 ~а-1

DD R

(Pi) = (о) /у 0 0

D D Rr (ppi) ^ (1 - р)^-

dρ dr,

где

(D“Л (z) = P k.    akzk, а > -1, D^-1(d 1f) = f.

\     /        k>0                                     -

Пусть A = f | D³R 0

Y=\\^DRL⁽¹- p^)-

A, имеем

(rppC) | dr. Тогда A 6 min (X, Y), где X = max J | D³R (rppi) | dr, ^p о

Следовательно, оценивая, интегрируя по T и используя теорему

/

T

~ a+1

D   R (pi)

1/a                                  C ( Г dm. (i) 6 c (kRHBVa)1/a) J I у

T \0

D R (rpi)

dm (i) .

/ I                    11/a           \^a                              II ~ II

Значит, sup If^|D^a+1R (pi)^|   dm (i) ) (1 — p)^a 6 cn^a°DR° .

Мы учли, что

ee(0,1) Vt I                  I                                               " BBl ff D3R (r pi) didr 6 c f DR ( pi) dm (i) (1 - p)-1 и (10) при а = 1.

T0                    T

Отметим, что для любой аналитической функции f неравенство kf kBi 6 csupM1/a \ D +1 f, p) (1 — p) , а 6 1 ρ

(т. е. «обратное» к (9)) также справедливо и следует из известных теорем Харди — Литтлвуда о росте средних M_p(f,r) [5, с. 84]. Подобная «обратная» оценка для рациональных функций была установлена Е. Дынькиным в [18]:

1+a                                   p nRkH^6 n p kRkAa,1 <2+а < p, ст = 2+а.

Оценка kf k_Ap_α6 kfk_Hσ — известная теорема Харди — Литтлвуда [5, с. 87], где как и выше

p

Aap-1

= < f G H(D) : j If (z)|p (1 — |z|)ap-1 dm2(z) < ^ > , а > 0, p > 0.

D

Следующее утверждение связано с интегральным оператором Tg, где (Tgf) (w) = w f f (z)g0(z) dz (частный случай этого оператора — так называемое преобразование 0

Чезаро), которому посвящено большое количество работ в последние годы [4, 12, 13]. Наиболее общие результаты — критерии для ограниченности операторов Tg — действующих в классах Харди и Бергмана получены недавно [4, 12].

Теорема В [4, 12]. Пусть 0 < p < го, а > 0. Тогда

• 1)    оператор Tg действует из Hp в Hp в том и только том случае, когда g Е BMOA;

• 2)    оператор Tg действует из Аа в Аа в том и только том случае, когда g Е Bl, где BMOA, Bl — известные классы: BMOA = BMO П H², Bl — класс Блоха [2].

Пусть, далее, 0 < p, q < го, t > s, s Е R. Обозначим

2п / 1                                      \^p/q

Fpq = ,

f Е H(D) : j I ^ |Dtf (R€) |q (1 - R)⁽t^-s)q-1dR I   dm(0 < го >

0 \0                                   )

• — голоморфные классы Лизоркина — Трибеля [19]. Очевидно Ftp⁴= А^ при p = q, s < 0, а = —s [19, 28]. Fp²= H^p [5], 0 < p < го.

Ниже мы сформулируем и докажем обобщение второй части теоремы В.

Теорема 4. Пусть s < 0, - > S + 1, 0 < p < го. Оператор Tg действует из FS'^q в F^'^q p2

тогда и только тогда, когда g Е Bl.

Замечание 5. Случай s = — q, p = q содержится в теореме В.

• C Доказательство теоремы 4. Отметим сначала, что справедливы следующие неравенства:

kTgfkFp-q 6 kgkBi x Ilf kFp-q ⁶kgkF^-q x Ilf kFp-q’ ^s< ⁰p,q ^{Е (0, гo),     (14)}

О   ООО kTgfkFp-q 6 IlgllH(1/p-i/Pi)-1 IlfН^1’,   s < 0, p- >p, pep Е (0, го),        (15)

где

∞,q s⁼

г |D^af (z) |q (1 — |z|)^(a-s)q-1dm2(z)

f Е H(D) : sup                     _ n+1------------ (1 — |w|)n < го , w J              |1 — ZW|

D а > s, 0 < q < го, n Е N.

Заметим, что (Tgf )0 (w) = f (w)g⁰(w). Поэтому первое неравенство в (14) — следствие теоремы Харди — Литтлвуда [5, с. 84], второе — следует из представления Бергмана [19]. Неравенство (15) — простое следствие теоремы о сильной факторизации Fs^{p, q} Вербицкого — Кона [20].

Легко вывести также оценку kTgf kFsp-q 6 c sup (|D)g(z)| (1 — |z|)-1/p+1/pi+1) |f^p-q , s> 0, p-- — p > 0.     (16)

Оценки (14)-(16) при q = 2, s = 0 получены в [4].

Покажем теперь справедливость неравенства обратного к (14). Нам понадобится следующая лемма.

Лемма А. Пусть t > — 1. Тогда существуют положительные числа а и в такие, что верна оценка

|1

(1 — |w|)t d|w|

— WZ2l^aq |1 — WZ1l^eq

p/q dm (^) 6

c(p,q,t,a,в')

|1 — z1 ^2|(a+e)p-(t+1)p/q-1 ’ где zi Е D, i = 1, 2.

C Нам понадобится следующее неравенство [7]:

/ i

T

dm (£)

1 — ^z\^s |1 — £w|^{q s}

|1

c(q,s)

-

-1 q—1’ zw|

0 < s < 1, 1 < q < 1 + s.

Имеем следующую оценку внутреннего интеграла (t > — 1)

1 / o

(1 — N)t dw

11 — |w|ei^ z₁\    |1 — |w|ei^z₂|^eq

Ro

=/ o

(1 — M)t

αq

\ 1 — |w|ei^z₁\    \ 1 — |w|e^г^z₂ \

вт_ч^d|w|+

1 / Ro

+/

Ro

-

|w|)^t

αq

1 — |w|ei^z₁\    |1 — |w|ei^z₂1

—d|w|, Ro =max(|z1|, |z₂|). βq

(1 — N)t

αq

1 — |w|ei^ z₁\    |1 — |w|ei^z₂|

d|w| 6 βq

(1 — R₀)^t/2+1/2(1 — Ro)^t/2+1/2

|1 — z₁ei^|^aq|1

— z₂ei^|^eq

6^c

|1 — z₁e^ip|^aq— ^ |1 — z₂e^ip|^вq—1:+¹,

Ro

/I

(1 — N)t

αq

1 — |w|ei^ z₁\    |1 — |w|ei^z₂|

Ro

_βqd|w| 6 o

(1 — R|z|)^t/2+1/2(1 — R)^-1/2+t/2dR

\        — I eq

|1 — Rei^p \1 — Rei^z₂\

6^c

__ieq—1/2—1/2 ’

— z₂e^tp \

I              I aq—t/2—1/2 i

\ 1 — z₁e^tp \                \ 1

Учитывая (17), получим 1^1/p =

------ c t+1 1 при s > t^, где s = а или в, |1—ziz2|(a+e)-~ - p                2q в + а > 1+t + 1, а, в > 1, а < 1 + 1+, в < 1 + Pt• B q p , ,           , p 2q , p 2q .

Используя неравенство [28] f (z)| (1 — |z|) ^{s+ p}6 c kf kF?,q, s < 0, выводим оценки

I (Tg^f)0(^w)| = | g⁰(^w) \ ^|fw,wi (^w)l 6 —" gf "Fp^qi,.⁶ (1 — |w|)^—s+p+1

c kfk_Fp,q s

^{(1 — |w|)}

s+ p+¹’

где ^fw,wi^(z) = _n    ,r+1¹ _,V+1, w = w1, w, w1 e D, r, V > 0.

( 1 Wu Z )      (1 Wu 1 z )

Следовательно, учитывая лемму А при а = r + 1, в = V + 1, t = —sq — 1 и неравенство f (1 — |z|)a , / х              С

β

> а + 2, а > —1.

---------dm^(z) 6 ---------я ,

J |1 — wz^            (1 — |w|)^e—a—2

D

Выводим из (18)

min ((l, m, n > 0), (1 + max(r, V))) < -p

-

s

2,

r + V + 2 > - — s,

min (r, V) > max I---1, 0

( |g⁰(w)|²(1 — |w|)¹

J |1 -

D

m wwi|

dm2(w) (1 - |wi|)n 6

^{(1 — |w|)}'

C

D |1 — wwi| |1

p+2(r+s-

p¹

12(r+1+s-— wwi|

YY dm2(w) (1 — |wi|)n 6 const ^p

при m+2 r + 1 + s —1.

Итак, g ∈ Ql,n .

-

pj > l+2 (r + s — pj +2 о m>l и при n = m—l, l+2 (r + s — pj >

Ql,n

= sup / w1 D

|g⁰(w)|²(1 — |w|)l

|1 — ww^n+l

(1 — |w₁|)n dm₂(w) < to.

Напомним, что [21] Qi,n = Bl при l = n > 1, при Qi,n = BMOA l = n = 1, Qi,n = Q_p при 0 < p = l = n < 1 . Пространства Qin интенсивно изучаются в последние годы [21]. Проведем анализ параметров в вышеприведенных неравенствах.

Пусть r + s — p > 0. Тогда, учитывая последнее неравенство и условия теоремы 4, имеем ¹— S > r + 1 > ¹— s + 1 ^ s > 2, что противоречит предположениям теоремы 4 p2             p

(s < 0). Следовательно, имеет место неравенство r + s — p 6 0.

Из (18), (19) выводим ограничения на p, s, n, r:

- > — + 1, s < 0, (l + 2 — m) < 2 < I p2

—1 —

r+s—

1/рУ

1 r6

p

-

s

-

Сопоставляя полученные выше ограничения на параметры, получаем такие условия:

max

-

s

-

1, 0^ < r < - — s ^

¹> (s+ p2

-

1)' 1 > p

s + 1.

Окончательно выводим l > —1 + 2 (- — r — s^ '

s < 0, -p

> s + 1 + r.

Заметим, что если l 6 1, то r + s — p >

-

1. Откуда —1 — s +

1 6 r < 1 pp

-

s

-

Противоречие. Поэтому l > 1. Учтем, что [21] ||дкв| 6 kgkQll, l > 1 [27]. B

Заметим, что совершенно аналогично при s < 0 и некоторых ограничениях на p q можно установить, что оператор Tg действует из пространства Bs^{p, q}в Bs^{p, q}в том только том случае, когда g ∈ Bl, где [15, 16]

и

и

можно получить обобщение приведенных утверждений об операторе Tg в полидиске Dⁿ, к примеру оценка в лемме В «перейдет»в неравенство

(11                  \ p/q

/     /Y ⁽¹— ^|Wk ^{|)4 d|w|}       |             <

c(p^,q^,t,a,e)

n |i - zk(z₂)_k|(^a+^e)^p-(t+ⁱ)ⁱ/^q-1’ k=1

••• П Й------I aq H -_k в^ I dm ^ ⁶

0     0 k=1 11 - wk zk I 11 - zk wk 1 / где zi G Dn, Z2 6 Dn, а параметры a, в, P, q, t удовлетворяют тем же условиям. Учитывая оценку [15]

(1                                         \ pi/q

J If (z)|q (1 -|z|)-q(t+ p - pr)-1 d|z| I     dm (£) 6 c kf kFp,q max(—1, t) <,

p < P1 и рассуждения, проведенные выше, нетрудно установить также следующее обобщение основного результата из [4].

Теорема 5. Оператор Tg действует из F_t^{p, q} в F_t^p1,q, p

1, о < p - pi 6 ¹, t < pi^-Р если и только если sup |g⁰(z)| (1 — |z|) ^{1 p + p}i < to.

z

Условие g = 0 необходимо и достаточно для действия оператора Tg из F^ в Ff¹^, ¹—    > 1.

• p p1       ^.

Отметим, что при q = 2, t = 0 эти утверждения получены в [4].

Основное утверждение последней части заметки — теорема о действии известных операторов Теплица [7, 22] Тф, ф G H^ и о наличии K-свойства в пространствах типа BMOA и M OAω,α,p.

Определение 2. Пусть X — подпространство H¹(D²). Скажем, что X обладает K-свойством, если TфX С X для всех ^ G H^ (D²).

При n = 1 термин введен в [26]. Наличие K-свойства в одномерном случае обеспечивает возможность деления на внутреннюю функцию, т. е. наличие у аналитического пространства так называемого f -свойства [26].

Определение 3. Подпространство X С H 1(D) обладает f-свойством,, если для любой внутренней функции I и для любой функции h ∈ X верно h/I ∈ X при условии, что h/I G H 1.

Пусть a G R, p G (0,1), ^(z, z⁰) > 0, ^(z,z⁰) = Ц ^i(zi,zi). Введем пространства i=1

BM OAω,α,p (типа BM OA),

BMOAω,α,p

< f G H (D²) : sup [ Dd^af (z) |p z⁰∈D²

D²

w(z, z')dm₄(z)< to ,

^z0 = ^(z1 ^,z2 )•

Наличие или отсутствие f-свойства в различных подклассах H 1(D) устанавливалось многими авторами (см., например, [23]).

K -свойство (а следовательно, возможность деления на внутреннюю функцию) в классах (типа BMOA) Q_p, p < 1, Qp С H 1, которым уделялось много внимания в последние годы (см., например, [24, 27]), было установлено недавно в [23].

В [23] задача решалась посредством псевдоаналитической характеристики классов Qp . Ниже мы предложим более простой подход, позволяющий получать информацию о наличии K-свойства в общих пространствах ВМОАШ, a,p, в бидиске при а = 0. Мы также предъявим две шкалы пространств типа BMOA (см. следствие 1 и 3) в единичном круге, обладающих f -свойством. Результаты, полученные нами в круге, дополняют известные ранее утверждения о наличии или отстутствии f -свойства в тех или иных шкалах пространств аналитических функций. Утверждение теоремы 6 — новое и для n = 1.

Пусть ниже Dtx = ©f : Dtf G X} , t G R. Заметим, что DeВМОА_Шр,o, 2 = Qp, 0 < p < го, где

^p(z, z)

YY (1 -|Zk|)^p(1 -|zk|)^p

0 < p < го.

I -I -    0 12p k=1      I1 — zk zk I

Отметим важную работу [27], где также были рассмотрены классы существенно более общие, чем Q_p пространства.

Всюду ниже весовая функция ш = Ш1 х ш2 удовлетворяет условию Sa при а = 0, supsup G D(1 - |Vo|2)-(2+a)

_z0 V₀

^adm₂(Z)

1/q

i/p

Bp,q = <

k - ∀, k > s.

х

< го (Sa), p + 1 = 1, z = (z, z0), w(e) = w(z, z0), j = 1,2, (1 - |z|) = (1 - |z|) (1 - |z0|).

Теорема 6. Пусть имеет место включение ВМОА_ш,о,р С H¹(D²). Тогда пространство BMOA^o,_pобладает K-свойством.

• <1 Доказательство теоремы опирается на следующий критерий, установленный в [25].

Пусть а > —1, 1 < p < го, ш(z) > 0. Тогда оператор f (w) (1 — |w|)a.7 (Pf) (z) =   —---_ . a+2 dm2(w)

J (1 — wz) ⁺

D

(проекция Бергмана) действует из Lp v в себя: Lpv = L^p(D, V(z)(1 — |z|)^adm2(z)) в том и только в том случае, когда

11 pq sup(1 — |w|²)^-(2+a)I /V(z)(1 — |z|)^adm₂(z) I ( / (V(z))^-p(1 — |z|)^adm₂(z) I < го, w∈D

Sw                           Sw

(21) где p +1 = 1, Sz = {w G D : |w| > |z|, | argz — arg w| < 2n(1 — |z|)} — коробка Карлесона.

Условие (21), приведенное выше, напоминает условие A_p Макенхаупта и разница в количестве «берущихся коробок», S_z — коробка, «встречающаяся» с границей D. Условие (20) можно получить обычной итерацией, т. е. применением по каждой переменной в отдельности критерия (21).

Действительно, пусть ai = а2 = а > —1, z1, z2 фиксированы. Тогда при V G S_a, V = Vi • V>

ш

D D D2

f(wi,W2) (1 - |wi|)^a1 (1 — |w2|)^a2 dm4(w) (1 - wizi)^a1⁺²(1 - W2Z2r²⁺²

p

X

X (1 - |zi|)^aVi(zi,z1) (1 - |z2|)^aV2(z2,z2)dm4(z) 6

p       αα

6 / If (wi,W2) I Vi(wi,Wi)V2(W2,W2) (1 -|wi|) (1 - |w2|) dm4(wi,W2).

D²

Далее, легко видеть, что h(w)f (w) (1 - wz)2

|(Thf)(z)| = c I

D²

dm4(w) , где f (z) = ^ a^2 zk1 zk2 • k1,k2>0

Остается воспользоваться критерием при а = 0 по каждой переменной и перейти к супремуму сначала справа по wi, W2, затем слева в полученном неравенстве. B

Следствие 1. Пространство DkHⁱП ВМОА_ш,о,_Р (D) при k € N, Р € (0, го), обладает f -свойством.

Следствие 2. Класс D^-iQ_p (D²) П Hⁱ, p < 1 обладает K-свойством, D^-iQ_p (D) П Hⁱ обладает f -свойством при p < 1.

Следствие 3. Если ВМОА_Ш,₀,_Р (D) C Hⁱ(D), то ВМОА_Ш,0,p обладает f -свойством.

Нетрудно показать, что вес ω_pудовлетворяет условию (20). Утверждения следствия 2 установлены. Оставшиеся утверждения следуют из замечаний, приведенных выше и из факта, что DkHⁱ, k € N, обладает f-свойством (см., например, [22]).