Характеризация дополняемых подпространств в декартовых произведениях структурно несравнимых пространств Кёте из классов (f)_0 и (f)_1 Драгилева

Пусть на. числовой оси задана, нечетная логарифмически выпуклая функция / быстрого роста, т. е. функция 1п/(ехр(-)) выпукла, для ж > 0 и при любом a Е (0,1)

г ^аж) п hm „. . = и.

В статве рассматриваются декартовы произведения пространств Кёте числовых последовательностей вида.

х                ОО                                                  А

/2[ехр/(АД„)] = ^ = Ц„) : £ № ехр 2ЖМ = |^ < оо, г Е нк где Ar f А, А = — 1, 0,1 или оо, bn f оо, с топологией, определяемой счетной системой гильбертовых норм (| ■ |r)-x. В зависимости от значения А эти пространства. Кёте относят к классам (/)-i, (/)о, (/)1, (/)оо соответственно (см. [1]). При рассмотрении различных функций /1,/2, указанного вида, классы (/i)-i и (/2)0 ((/1)1, (/2)оо) могут иметь пересечения, но между парами пространств ((/i)-i, (/1)0) и ((/2)i, (/2)оо) пересечений нет, поскольку эти пары расположены в более широких непересекающихся классах (d2) и (ф) соответственно, выделенных также в [1].

Напомним, что пространство Кёте /2[аг(п)] (0 ^ аг(п) < аг+Цп)) относят к классу

(г = 1,2), если соответственно (см. [1]):

1) (3r)(Vs)(31)

2) (Vr)(3s)(Vi)

sup„

Известно, что в счетно-гильбертовых пространствах Кёте классов (/)о С Д2^ (/)i С (<Ц) каждое дополняемое подпространство имеет безусловный базис и изоморфно некоторому координатному подпространству, порождаемому частью канонического базиса, (ортов) (см. [2-4]).

Пространства Фреше Е и F назовем структурно несравнимыми , если не существует пары изоморфных друг другу подпространств Е^ С Е и Fi С F таких, что либо изоморфизм Е\ на F\ , либо обратный к нему можно продолжить до непрерывного отображения Е в F, либо F в Е (ср. [2]).

В настоящей работе будет показано, что и в декартовых произведениях структурно несравнимых пространств из указанных классов имеет место такая же характеризация дополняемых подпространств. А именно, будет доказано следующее утверждение.

Теорема 1. Пусть счетно-гильбертовы пространства Фреше Е и F изоморфны структурно несравнимым пространствам Кёте из классов (/До и (/2)1 соответственно. Тогда в декартовом произведении X = Е X F каждое дополняемое подпространство имеет безусловный базис и изоморфно подходящему координатному подпространству, порождаемому некоторой подпоследовательностью канонического базиса ортов.

• <    Сначала с помощью модификации известного приема, использующего элементы теории Рисса (см., например, [2, 3]), покажем, что каждое дополняемое подпространство G пространства X изоморфно декартову произведению вида Е^ х Fi , где Е^ — дополняемое подпространство в Е, a Fi — дополняемое подпространство в F.

Утверждение теоремы тогда будет следовать из результатов работ [4-7], в которых показано, что Е^ изоморфно некоторому координатному подпространству в Е (см. [4-6]), а Fi-подходящему координатному подпространству в F [7].

Для изложения упомянутой выше модификации приема из [2, 3] нам понадобится следующий факт.

Лемма 1 [3]. Если Е Е (Ф), aF Е (Ф), то всякое непрерывное линейное отображение Т : Е —» F компактно (в смысле [8]).

Известны примеры пар пространств Е Е (Ф), F Е (ф) таких, что все непрерывные отображения из F в F компактны (см., например, [9]). В этом случае Е и F, очевидно, структурно несравнимы. Напомним определение строго сингулярного оператора в смысле Т. Като (см., например, [10]).

Оператор Т : Е —» F называют строго сингулярным, если никакое сужение Т на бесконечномерное подпространство Fi С F не является изоморфизмом Е^ на ТЕ^.

Легко проверить, что компактный оператор, действующий в пространствах Фреше, является строго сингулярным. Имеются простые примеры строго сингулярных операторов (например, оператор тождественного вложения Д в Z2), не являющихся компактными.

Упоминавшийся выше изоморфизм G — Е^ + Fi будет получен в следующем вспомогательном утверждении, аналогичном полученному в [2].

Лемма 2 (ср. [2]). Пусть G — дополняемое подпространство в X = Е + F, Е Е (Ф), F Е (ф) иЕ, F — структурно несравнимые пространства. Тогда существует изоморфизм Т из X на. X такой, что TG = TG A F + TG А F.

• <    Пусть Q — непрерывный линейный проектор из А = Е + F на G. Покажем, что тогда существует фредгольмов оператор S:E + F^E + F с индексом 0 и дополняемые подпространства Е^ С Е и ф С F конечной коразмерности. Определим оператор R •. Е + F —> Е -V F по формуле R = P1QP1 + P2QP2, где ф : X —» Е, F2 : X —» F — проекторы на слагаемые прямой суммы X.

В этом случае легко проверить, что R = Q — P1QP2 — F2QF1 = Q + К, где К — строго сингулярный оператор. Это вытекает из того, что согласно лемме 1 P2QP1 — компактный оператор и если Ф = —P1QP2 — F2QF1 обратим на каком-нибудь подпространстве, то и Ф + P2QP1 = —P1QP2 непрерывно обратим на некотором подпространстве согласно теории Рисса (см., например, [10]), а это противоречит структурной несравнимости Е и F.

Покажем, что спектр a^R) представляет собой счетное множество и имеет не более двух предельных точек А = 0иА = 1,а для остальных точек спектра соответствующие спектральные операторы конечномерны.

Так как оператор Q — А/, где I — тождественный оператор, при А ^ 0 и А ^ 1 имеет непрерывный обратный ^^((l — A)Z — Q), оператор Q + К — XI имеет при Ау 0 и А ^ 1 конечный индекс согласно обобщению классической теории Рисса (см., например, [10]). Определим множество Ед тех точек А Е С, для которых R — XI изоморфизм на некотором подпространстве конечной коразмерности в X. Его иногда называют множеством точек не бесконечно сингулярных для R. Согласно отмеченной выше конечности индекса оператора R — XI, имеем Ед D С \ {0,1}, а совокупность точек А ^ 0,1 спектра R представляет собой множество изолированных точек в не более, чем счетном числе, и имеет не более двух предельных точек 0 и 1. Конечномерность спектральных подпространств, соответствующих точкам спектра R, отличным от 0 и 1, выводится стандартными рассуждениями, основанными на том, что строго сингулярные операторы являются изоморфизмами в указанных пространствах.

Введем оператор

8 =     [ Res(A,SHA, где Г — гладкая кривая, ограничивающая фигуру, симметричную относительно действительной оси, не пересекающая спектра сг(Д), с точкой А = 1 внутри указанной фигуры и точкой А = 0 во внешности P,Res(A, R) — резольвента R.

Обычным образом проверяется, что S² = 8, т. е. 8 — проекция, и RS = SR. Поскольку резольвента Res(A, R) коммутирует с Р\ и F2, имеем SP\ = PiS и SP2 = P2S. Отсюда следует, что ImS = S1 + F1, где Si = ImPiS, Fi = Im /AS. Спектр a(S — R) = o(S — Q — K) состоит из последовательности сходящихся к нулю точек и для всякой отличной от нуля точки из o^S — R) спектральная проекция конечномерна. Это следует из того, что 8 — R = (I — R^S — R^I — S) имеет образ ImS и ker 8 в качестве инвариантных подпространств и в этих подпространствах 8 — R имеет спектр с описанными выше свойствами (I — R аналогичен R, поскольку I — R = Р^(1 — Q)F( + Рг(1 — Q^P2Y Оператор I — 8 — R является фредгольмовым и, так как Q — R строго сингулярный,

» = / + (S-R)-(Q-R) = / + S- Q является фредгольмовым оператором с нулевым индексом. Очевидно, что фредгольмов оператор Ф отображает дополняемое подпространство Im Q на замкнутое дополняемое подпространство Ф(1т<2).

Убедимся, что Ф(1т<2) является подпространством конечной коразмерности в ImS. Заметим, что ФУ = SQ, а поэтому Ф(1ш9) С ImS и Ф |i_mQ = 8 |i_mQ. Если предположить, что 1т5/Ф(1т(2) бесконечномерно, то существует бесконечномерное подпространство Y С ker Q такое, что Ф |_у изоморфизм и Ф(У) С ImS. Но для у G У имеем Ф(у) = у + Sy G ImS, а. значит у G ImS. Поэтому У С ImS, а. это влечет R |_у изоморфизм (согласно упоминавшемуся обобщению теории Рисса). Так как R = Q + К , заключаем, что К |_у изоморфизм, что противоречит строгой сингулярности К.

Рассмотрим разложение X = E-VF = E\-VF\-VZ, где Z = ZnE + ZnF.

Положим Ф ¹ (X) = Н + кегФ. Тогда сужение Ф \ц: Н —» Ф(К) изоморфизм и Н и G образуют разложение span{S, G}, так как Ф(К) С Z и Ф(С) С Si + F_y

Подпространство Z можно разложить Я = Ф(Л) + Я1, где Zi конечномерно и Zi = Zi П Е + Zi П F. Таким образом, справедливы разложения

Е Ф F = Ф {Н^ -V Z\ А^- Ei A^- Fi,

Е + F = Н + span{ker Ф, G} + Z2, где Z2 конечномерно и Ф(^) С Ei + Fy Так как Ф я изоморфизм, сужение

Ф spanjker v,g}+z2 • span{ker Ф, G} + Z2 -^ Ei + Fi + Zi есть оператор Фредгольма с нулевым индексом.

Таким образом, Ei + Fi + Zi и span{ker Ф, G} + Z2 изоморфны. Так как G подпространство конечной коразмерности в span{ker Ф, G}, можно построить изоморфизм на

Т : span{ker Ф, G} + Z2 -A Zi + Ei + Е2

такой, что

T(G) = T(G) HF + T(G) HF.

Теперь требуемый изоморфизм T определим по формулам

Т lspan{ker»,G}+Z₂ = Т И Т _я = Ф-

Доказательство леммы 2 закончено. >

Утверждение теоремы с учетом этой леммы прямо вытекает из результатов работ [5-7], где показано, что в счетно-гильбертовых пространствах Кёте из классов (/)о, (/)1 каждое дополняемое подпространство имеет базис и изоморфно подходящему координатному подпространству. >