Характеризация и мультипликативное представление однородных полиномов, сохраняющих дизъюнктность

Изучение полиномов в бесконечномерных пространствах в значительной мере стимулировано исследованиями в области бесконечномерной голоморфности. В литературе достаточно хорошо представлены алгебраические свойства, полиномов, а. также взаимосвязи полиномов с геометрическими и линейно-топологическими свойствами банаховых пространств, см., например, [17].

В то же время, полиномы в векторных решетках обладают интересными порядковыми свойствами и вызывают растущий интерес исследователей, см., например, [22, 23]. Классы полиномов в банаховых решетках, определяемые в смешанных терминах нормы и порядка, имеют богатую структуру и заслуживают самостоятельного изучения [14]. Наибольший прогресс достигнут в изучении ортогонально аддитивных полиномов, см. [6-8, 11, 19, 26]. Эти результаты дают новые возможности для получения детальной информации о строении ортогонально аддитивных полиномов, с одной стороны, и дальнейших приложений в теории операторов в банаховых решетках, с другой.

Цель настоящей работы — исследовать класс полиномов в векторных решетках, сохраняющих дизъюнктность. Этот класс можно рассматривать как абстрактное описание наименьшего множества, полиномов, которые можно сконструировать, комбинируя операции взвешенного сдвига, возведения в степень и суммирования.

Структура, работы такова. Во втором параграфе вводятся основные понятия и формулируются необходимые для дальнейшего изложения теорема, о факторизации ортогонально аддитивного оператора, через линейный оператор и канонический полином, теорема, о мультипликативном представлении решеточных полиморфизмов и теорема.

Мейера о строении полилинейных операторов, сохраняющих дизъюнктность. В третьем параграфе даются различные характеризации полинома, сохраняющего дизъюнктность. Основной инструмент здесь — степень Es® векторной решетки E и канонический полином x н- xs® := x © • • • © x G Es® (x 6 E) В частности, показано, что порядково ограниченный полином, сохраняющий дизъюнктность, факторизуется через линейный оператор, сохраняющий дизъюнктность, и канонический полином. В четвертом параграфе показано, что полученное описание полиномов, сохраняющих дизъюнктность, позволит распространить на них теорию А. Е. Гутмана [2, 18] линейных операторов, сохраняющих дизъюнктность, что приводит к результатам о мультипликативном представлении этого класса полиномов.

Общие свойства полиномов см. в [17]; необходимые сведения из теории операторов в векторных решетках см. в [10]. Все рассматриваемые векторные решетки предполагаются вещественными и архимедовыми.

• 2.    Вспомогательные сведения

Введем основные понятия, используемые в дальнейшем. Приведем также необходимые сведения о полилинейных операторах в векторных решетках, большей частью хорошо известных в билинейном случае. Напомним, что полилинейным (или, точнее, s-линейным, s G N — число переменных) называют оператор, линейный по каждой переменной.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.1. Пусть EnF - векторные решетки и 1 6 s ~ целое число. Отображение P : E ^ F называется однородным полиномом степени s (и.ти s-однородным полиномом), если существует s-линейный оператор © : Es ^ F такой, что

P (x) = ©(x,...,x) (x G E ). (2.1)

Равенство (2.1) можно переписать в виде P = © о As, г де As : E ^ Es действует по правилу As : x н- (x,...,x) G Es. Для .ттобог о полинома P : E ^ F существует и притом единственный симметричный s-линейный оператор © : Es ^ F такой, что выполняется P = © о As. Этот оператор © называется nopooicdaiowpiM для полинома P и часто обозначается символом P, см. [17].

Определение 2.2. Однородный полином P : E ^ F называют ортогонально аддитивным, если для любых x,y G E выполняется

|x| Л |y| 0 >  P(x + y) = P (x) + P(y).

Возьмем s G N векторные решетки E1,...,E_s и фнкенровгшный набор (ai,..., as), где ai G Ei (i = 1,..., s). Обознаннм ak := (a1,..., ak-1, ak+1, ..., as). Для отображения © : E1 x • • • x Es ^ F определим оператор ©ak : Ek ^ F формулой

В этих обозшгчепиях k : = 1,...,s. причем возникающие при k = 1 ii k = s символы ao ii as+1 опускаются. Пс)ложптелыюсть s-линейного оператора © : E1 x ••• x Es означает, что линейный оператор ©ak положителен при всех k := 1,..., s и 0 6 ai G Ei, i = k. Как обычно. © 6 Ф означает, что ф — © >  0. Обозначилi символом L~(^sE,F ) упорядоченное векторное пространство симметричных s-линейных операторов из E^s в F.

Определение 2.3. Однородный полином P : E ^ F называют положительным и пишут P >  0, если положительным является порождающий его полилинейный оператор, т. е. P(x1 , ...,xs) >  0 для лтобых xi,...,xs G E₊. При этом P 6 Q означает, что Q - P >  0.

Всюду далее множество s-однородных порядково ограниченных ортогонально аддитивных полиномов из E в F будем обозна^тгать символом P~(^sE, F). Легко видеть, что (Po (sE,F ), 6) — упорядоченное вектщшое пространство. При s = 1 получаем упорядоченное векторное пространство порядково ограниченных линейных операторов из E в F. которое принято обозначать символом L~ (E,F ).

Определение 2.4. Полилинейный оператор y : E₁ х... xEn ^ F называют решеточным полиморфизмом или, точнее, решеточным s-морфизмом, если для любого k := 1,..., s и любых 0 6 ai G Ei, i = k, оператор yak является решеточным гомоморфизмом из E в F. Полилинейный оператор y : E^s ^ F называют ортосимметричным, если y(x₁,..., xn) = 0. как то.тько xi ± Xj для какой-ннбудь пары индексов i = j из {1,..., n}.

Определение 2.5. Пусть 2 6 s G N и E — архимедова векторная решетка. Пара (E ^s®, 0s) называется s-ой степенью E, если выполнены следующие условия:

• (1)    E^s® — архимедова векторная решетка;

• (2)    0_s : E^s ^ E^s® — ортосимметричный решеточный s-морфизм, называемый каноническим полиморфизмом или каноническим s-морфизмомом решетки E;

• (3)    для любой архимедовой векторной решетки F и любого ортосимметричного решеточного s-морфизма y : E^s ^ F существует единственный решеточный гомоморфизм S : E^s® ^ F такой, что y = S о 0s.

Это определение введено в [13, определение 3.1]. Там же установлено, что для любой архимедовой векторной решетки E и любого натурального 2 6 s G N существует единственная с точностью до решеточного изомофизма s-ая степень (E^s®, 0s), см. [13, теорема 3.2]. Для удобства полагают E¹® = Eh 0₁ = Ie. Далее б уд ем писать 0 вместо 0_s 11 x₁ 0 • • • 0 x_s ВМС сто 0_s(x₁,... , xs).

Стоит различать два отображения (•)^s®, i : E ^ E ^s®, определяемые формулами

(2.3)

(•)s® : x Н- xs® := x 0 • • • 0 x , i : x ^ x 0 |x| 0 • • • 0 |x| . '---------------------}                                 |-------------v-------------} s Pa3                           s — 1 pan

Первое из них — специальный ортогонально аддитивный полином, порождаемый каноническим s-морф! гзмом 0 ii называемый каноничсским полип омом решетки E. Он играет роль отсутствующей в векторной решетке степенной функции. Второе является нечетной ортогонально аддитивной функцией и осуществляет порядковый (нелинейный) изоморфизм из E в E ^s®, при чем i будет биекцией, если E равномерно полна. Заметим также, что эти отображения совпадают на конусе положительных элментов E₊.

Лемма 2.6. Для произвольной векторной решетки E справедливы утверждения:

• (1)    для любого u G E^s® существует такой элемент eg G E₊. что для сколь угодно малого Е >  0 можно подобрать xi,1,..., xi,n G E (i := 1,..., s) так, что

• n

u - 52 x1,j 0 • • • 0 xs,j s®.

6 Eeo ;

j=1

• (2)    для любого u G E^s® существует такой элемент e G E₊. ч то |u| 6 es®;

• (3)    для любых x₁,... ,x_s G E выполняется x₁ 0 • • • 0 xs = 0 в том ii тодвко в том случае, когда |x₁1 Л • • • Л |x_s | = 0;

• (4)    для каждого 0 < u G E^s® сущееявует e G E₊ тако!i. что 0 < es® 6 u-

• C Доказательство утверждений (1), (3) и (4) проводится по той же схеме, что и в [15, теорема 2.1], используя определение фремлиновского тензорного произведения Ei 0 ... 0 Es векторных решеток Ei,..., Es при s > 2 и его свойства (а), (Ь) и (с) из [25, §2]. Если Ei = ... = Es, то Es® определяется как фактор-решетка векторной решетки Ei 0 • • • 0 Es по равномерно замкнутому идеалу, порожденному элементами вида xi 0 • • • 0 xs. где для пскоторсш пары индексов 1 6 i, j 6 s выполняется xi ± Xj. Утверждение (2) легко вытекает из (1). В самом деле, если xij, eg и е — те же, что ив (1), и положим e:= sne(eg + 52S=i I2n=i |xi,jI), т0 Ы 6 es®- B

Для однородных ортогонально аддитивных полиномов справедлива следующая теорема о факторизации:

Теорема 2.7. Пусть E и F — векторные решетки, причем, по меньшей мере, одна из них равномерно полна. Тогда для любого порядково ограниченного ортогонально аддитивного полинома P : E ^ F существует единственный порядково ограниченный линейный оператор T : E^s® ^ F такой, что имеет место представление

P (x) = T (x^s®) = T (x ©•••© x ) (x Е E ).

Z*

(2.4)

s pa©

Более того, соответствие P <—> T является изоморфизмом упорядоченных векторных пространств P~(^sE,F ) ii L~(E^s®,F ).

C Доказательство см. [6. следствие 3]. B

Теорема 2.8. Предположим, что в универсальном пополнении F ^u векторной решетки F (фиксирована структура f-алгебры с елишшей и умноекеппе обозначено символом • . Для произвольного решеточного n-морфизма р : E_i х ... х En ^ F существуют n решеточных гомоморфизмов Si : Ei ^ F^u (i := 1,..., n) таких, что

^(xi, ...,x_n) = Si(xi) • ...• S_n(x_n) (xi Е Ei ,...,x_n Е En).

Если, сверх сказанного, E := E_i = ... = En и полиморфизм ^ симметричен, то в этом представлении можно взять S := S_i = ... = S_n, т. е. имеет место представление

y(x_i,..., xn) = S (x_i) • ... • S(x_n)   (xi,...,xn Е E ).

C Доказательство проводится аналогично билинейному случаю (см. [5, теорема 3.2], а также [21, теорема 3.12.A.3]). B

Следствие 2.9. Пусть E и F — векторные решетки. Для произвольного симметричного решеточного s-морфизма р : E^s ^ F существуют векторная решетка. G и решеточный гомоморфизм S : E ^ G такие, что G^s® С F и имеет место представление

y(xi,..., xn) = S(xi) © ... © S (xn) (xi, ... ,xn Е E).

C Пуотв S : E ^ Fu — решеточный гомоморфизмi из теоремы 2.8 ii положим G := S(E). Toгда G — векторная подрешетка решетки Fu, а отображение ^ : (ui,..., us) ^ ui • ... • us представляет собой ортошшметрннштй решеточпв1й s-морфизм из Gs в F. В силу условия (3) определения 2.5 существует единственный решеточный гомоморфизм h : Gs® ^ F такой, что ^ = h о ©s. Е(?.тп h(u) = 0 ii 0 < |u| Е Gs®. то сутпествуот v Е G+ такой, что 0 < v © ... © v 6 u (см. [15, теорема 2.1(4)]). Следовательно, v • ... • v = h(v © ... © v) 6 h(|u|) = |h(u)| = 0 ii получаем противорение v = 0. Тем самым гомоморфизм h инъективен и, так как степень векторной решетки определяется с точностью до решеточного изоморфизма, можем отождествить Gs® с подрешеткой в F. B

Следствие 2.10. Решеточный полиморфизм ортосимметричен в том и только в том случае, когда он симметричен.

C Из следствия 2.9 видно, что симметричный полиморфизм ортосимметричен. Обратное верно для любого положительного полилинейного оператора, см., например, [12, теорема 2] и [16, следствие 2]. в

Определение 2.11. Полилинейный оператор у : E1 х ••• х Es ^ F называется сохраняющим дизъюнктность, если линейный оператор у_ак : Ek ^ F, k = 1,...,s, сохраняет дизъюнктность, каковы бы ни были фиксированные ai Е Ei, i = k, т. е.

(V x,y Е Ek ) x ± y ^ yak(x) ± yak(y) (k = 1,...,s).

Теорема 2.12 (теорема Мейера для полилинейных операторов). Пусть E₁,...,Es п F — векторные решетки, а у — порялково ограниченный s-лппейпый оператор из E1 х • • • х Es nF. сохраняющий дпзъюпктпоств. Тогда у имеет положительную паств у⁺. отрицательную часть у^- и модуль |у|, являющиеся решеточными полиморфизмами. Более того. у+ (x1, ..., xs) = (у(xi,..., x_s)) ⁺ 11 y^-(x₁ , ... , x_s) = (y(x₁,..., xs))^- лля всех 0 6 xi Е Ei 11 |y(x₁,... , x_s)| = |y|(|x₁|,..., |xs|) лля всех xi Е Ei (i := 1,..., s).

C Доказательство повторяет рассуждения из [4, теорема 3.4], относящиеся к билинейному случаю, в

• 3.    Полиномы, сохраняющие дизъюнктность

Введем теперь основной объект изучения. Пусть E и F — векторные решетки. Напомним, что все векторные решетки предполагаются вещественными и архимедовыми.

Определение 3.1. Однородный полином P : E ^ F степени s называют сохраняющим дизъюнктность (соответственно, решеточным полиморфизмом), если таковым является порождающий его симметричный полилинейный оператор P : Es ^ F, см. определения 2.4 и 2.11.

Предложение 3.2 (теорема Мейера для полиномов). Пусть E н F — векторные решетки. Пусть P : E ^ F — порялково ограниченный ортогопалвпо аддитивный s-однородный полином, сохраняющий дизъюнктность. Тогда P имеет положительную часть P ⁺, отрицательную часть P- и модуль |P|, являющиеся полиморфизмами. Более того. P ⁺ (x) = (Px)⁺. P ^— (x) = (Px)^- 11 |P|(x) = |P(x)| Д^я x Е E₊.

C В силу определений 2.3, 2.4 и 3.1 P ^ P устанавливает изоморфизм упорядоченных векторных пространств P~(^sE, F) и L~(^sE,F ). Поэтому первая часть требуемого вытекает непосредственно из теоремы 2.12. Кроме того, для любого x Е E₊ имеем P ⁺(x) = P ⁺(x,..., xs) = P(x,..., x_s)⁺ = P (x)⁺. Аналог!пню для P - 11 |P|. в

Замечание 3.3. Дж. Лоан в своей диссертации [23] определил полиморфизм соотношением |P(x)| = P(|x|) (x Е E). При этом он привел приме'р полиморфного полинома P. для которого порождающий полилинейный оператор P не является решеточным полиморфизмом в смысле определения 3.1 (см. [23, предложение 4.22, примеры 4.23 и 4.24]). Дж. Лоан [23, предложение 4.27]) нашел также необходимые и достаточные условия на P, при которых P является решеточным полиморфизмом: для любого натурального n 6 s выпо.тияется |dnP(x)(y)| = dnP(x)(|y|) (x Е E+, y Е E). г,те dnP(x)y — n-я однородная производная P в точке x по направлению у определяется формулой dnP (x)(y) = (n)y(xs-n,yn).

Лемма 3.4. Для порядково ограниченного ортогонально аддитивного однородного полинома P : E ^ F равносильны условия:

• (1)    P — решеточный полиморфизм;

• (2)    P(x V у) = P(x) V P (у) для всех x, у £ E₊;

• (3)    P(x Л у) = P(x) Л P (у) для всех x, у Е E+;

• (4)    x Л у = 0 внепет P(x) Л P (у) = 0 для всех x, у Е E₊.

C Пусть P — решеточный полиморфизм, т. е. по определению 3.1 решеточным полиморфизмом является P. Решеточный полиморфизм P будет ортосимметричным, так как он симметричен, см. следствие 2.10. В то же время, порядково ограниченный однородный полином — ортогоналвно аддитивен, если толвко порождающий его полилинейный оператор ортосимметричен, см. [6, лемма 4]. Следовательно, P ортогонально аддитивен. В силу условия (3) определения 2.5 существует единственный решеточный гомоморфизм T : Es® ^ F такой, что P = T о ©s. Отсюда выводим

P(x л у) = T((x Л y)s®) = T(xs® Л ys®) = T(xs®) Л T(ys®) = P(x) Л P(у), я тем самым (1) ^ (2). Заменив в эти.т рассуждениях Л на V. по.щ"ним (1) ^ (3). Кроме того, очевидна импликация (3) ^ (4). Остается доказать, что (2) ^ (1) и (4) ^ (1).

Предположим, что выполнено (2). Без ограничения общности можно считать, что F равномерно полна. (В противном случае в наших рассуждениях заменим F на FГД. Согласно теореме 2.7 имеет место представление P = T о © о As для единственного порядково ограниченного линейного оператора T из Es® в F. Возьмем произвольные u,v Е E+® и докажем, что T(u V v) = Tu V Tv = 0. Пусть Eru — равномерное пополнение E в смысле [24]. Ввиду полноты F существует единственное продолжение P до порядково ограниченного ортогонально аддитивного s-однородного полинома P : Eru ^ F, см. [6, лемма 3]. При этом P(x V у) = P(x) V P(у) для всех x,y Е E+u. Вновь по теореме 2.7 P = T о © о As для единственного порядково огрlaiiimeiinoro линейного оператора T из (Eru)s® в F. В силу единственности степени векторной решетки с точностью до решеточного изоморфизма можем считать Es® подрешеткой (Eru)s®, а канонический s-морфизм решетки E — совпадающим с ограничением на Es канониноского s-морфнзма решетки Eru. Теперь видно, что T (uVv) = P (xVy) = P (x) VP (у) = T (x) VT (у). Итак, установлена импликация (2) ^ (1): (4) ^ (1) обосновывается аналоги иными рассуждениями. B

Лемма 3.5. Полилинейный оператор у : Ei х • • • х Es ^ F сохраняет дизъюнктность в том и только том случае, когда ДД1,..., xs)| = |^(|xi|,..., |x_s |) | (Vxi Е Ei, i = 1,..., s).

C Доказательство аналогично билинейному случаю (см. [4. предложение 3.2]). B

Лемма 3.6. Пусть у — s-линейный порядково ограниченный оператор. Тогда экви- валентны следующие условия:

• (1)    у сохраняет дизъюнктность;

• (2)    y(x1, ..., xs) ± Дуд ..., y_s). если сутпествует j Е [1, s] тако! 1. что xj ± yj.

C Пусть оператор у сохраняет дпзънктность. Возьмем xj ± yj для некоторого j Е [1,s] и положим ui := |xi| + |y_i| (i = j ). Тогда, используя лемму 3.5 и предложение 3.3, выводим:

|^(xi,... ,xs)| Л |^(у1,... ,Уs)| = |^(|xi|,..., |xs|)| Л |©(|у1|,..., |ys|)|

6 |^|(ui,... ,Uj-1, |xj|,Uj+1, ... ,Us) Л |^|(ui,... ,Uj-1, |у,-|,Uj+1, ... ,Us) = 0. Тем самым. (1) ^ (2). а справедливость импликации (2) ^ (1) очев1 ipiia. B

Лемма 3.7. Пусть E и F — векторные решетки. Если T : Es® ^ F — иорядково ограниченный линейный оператор, то для однородного ортогонально аддитивного полинома P = T о ©s о As : E ^ F эквиваленты следующие утверждения:

• (1)    T сохраняет дизъюнктность;

• (2)    P сохраняет дизъюнктность;

• (2)    x T y ^ Px T Py для всех x,y Е E.

C (1) ^ (2) очевидна, а (2) ^ (3) следует из леммы 3.6. Импликация (3) ^ (1) выводится так же, как и в лемме 3.4. B

Лемма 3.8. Однородный полином P : E ^ F степени s между векторными решетками ортогонально аддитивен тогда и только тогда, когда dⁿP (x)(y) = 0 для любых дизъюнктных x,y Е E II в сох 1 6 n < s.

C Напомиим. что dⁿP (x)(y) = (n)^(x^s-n, yn). г,де ^ := P. Пл"сть P ортогонально аддитивен, a x,y Е E дизъюнктны. Тогда, для любого t Е R элемепты x и ty также дизъюнктны, поэтому P (x + ty) = P (x) + t^sP (y). В то же время.

s-1

P (x + ty) = P (x) + t^sP (y) + ^(^sn)_V(x^s-nj vy^F.

n=1

Отсюда видно, что для любого t Е R выполняется равенство

S0(x^s-1, y)t + (2) ^(x^s-2 ,y² )t² + ... + Gs-iXx, ys-1 )t^s-1 = 0.

Разделив на st = 0 и обозначив a := |^(x^s-2, y2)|(2)/s + ... + |^(x, y^s-1)|(_s-1)/s, приходим к опенке |^(x^s-1, y)| 6 ta. справедливой для всех ненулевых t Е [— 1, 1]. В частности. n|^(x^s-1,y)| 6 a для всех n Е N. и ввиду ар.тимсдовости F получаем y(x^s-1, y) = 0. Повторяя эти рассуждения, шаг за шагом выводим y(x^s-2,y²) = 0, ..., ^(x, y^s-1 ) = 0. Обратное утверждение очевидно. B

Теорема 3.9. Пусть E и F - векторные решетки, P : E ^ F — иорядково ограниченный однородный полином степени s. Эквивалентны следующие утверждения:

• (1)    P сохраняет дизъюнктность;

• (2)    x T y влечет dⁿP (x)(y) = 0 i1 Px T Py для всех x,y Е E ii 1 6 n < s:

• (3)    P ортогонально аддитивен их T y влечет Px T Py для всех x,y Е E:

• (4)    существуют век торная решетка. G ii решеточные гомоморфизмы S1,S2 : E ^ G такие, что G^s® C F. S1(E) T S2(E) i1 Px = (S1x)^s® — (S₂x)^s® для всех x Е E;

• (5)    существует сохраняющий дизъюнктность иорядково ограниченный линейный оператор T : Es® ^ F такой, что Px = T (x^s®) для всех x Е E.

C (1) ^ (5). В силу теоремы Мейера для полиномов P имеет положительную P+ и отрицательную часть P ^- и модуль |P|, являющиеся полиморфизмами. В силу условия (3) из определения 2.5 существуют решеточные гомоморфизмы T1,T2 : E^s® ^ F такие, что P ⁺(x) = T1 (xs®) 11 P ^— (x) = T₂(x^s®) для всех x Е E. Определим линейный регулярный оператор T : Es® ^ F равенством T := T1 — T2 и <:амстим. что T сохраняет дизъюнктноть и имеет место представление P (x) = T (xs®) (x Е E ).

• (5)    ^ (4). Положим Ti := T ⁺, T2 := T ^- и To := |T|. Отображение x ^ Tk (xi © • • • © xs) является симметричным решеточным полиморфизмом из Es в F. В силу следствия 2.8 существуют векторная решетка Gk и решеточный гомоморфизм Sk : E ^ G такие, что Gk® C F 11 имеет место представление Tk(x1 © • • • © xs) = Sk (x1) © • • • © S (x_n) для всех x1,..., x_n Е Enk = 0,1, 2. Боле e того. G1 U G2 C G_o 11 G1 T G2. Onejзатор S := S1 — S2

действует из E в G : = Gq. сохраняет дизъюнктность. и для любого x G E выполняется T (xs®) = T₁(xs®) - T2(xs®) = Si(x)s® - S2(x)^s®.

• (4)    ^ (3). Если выполнено (4), то P ортогонально аддитивен, так как ортогонально аддитивен полином x н- xs® из E в Es®. Кроме того, для дизъюнктных x и у элементы x^s® 11 y^s® также дизъюнктыы. следовательно. |x^s® — y^s®| = |x^s® + y^s®|. Отсюда, выводим

IP (x) — P (у) | = |T (xs®) — T (ys®) | = |T (xs® — ys®)| = |T (|xs® — ys®|)| = |T (|xs® + ys®|)| = |T (xs® + ys®)| = |P (x) + P (у) |, что и означает дизъюнктность P(x) и P(у).

• (1)    О (2) О (3). Эти эквивалентности ел сдуют из лемм 3.7 ii 3.8. B

Следствие 3.10. Пусть E и F — векторные решетки, P : E ^ F — однородный полином степени s. Эквивалентны следующие утверждения:

• (1)    P — полиморфизм:

• (2)    P ортогонально аддитивен и P (x V у) = P (x) V P (у) для всех x,y G E^:

• (3)    P ортогонально аддитивен п P (x Л у) = P (x) Л P (у) для всех x,y G E+:

• (4)    P ортогоиадыю аддитивен и x Л у = 0 вдечет P (x) Л P (у) = 0 для всех x,y G E:

• (5)    существует решеточный гомоморфизм T : Es® ^ F такой, что справедливо представление Px = T (xs®) для всех x G E:

• (6)    существуют век торная решетка: G и решеточный гомоморфизм S : E ^ G такие, что G^s® С F я имеет место представление Px = (Sx)^s® для всех x G E.

• 4. Мультипликативное представление

C Следует непосредственно из теоремы 3.9. предложения 3.2 и леммы 3.4 в

Всюду в этом параграфе E и F — фундаменты расширенных К-простанств E и F. В пространствах E н F зафиксируем порядковые единицы Ie ii If- а также мультипликативные структуры, превращающие эти пространства в f-алгебры с единицами Ie и 1 f соответственно. Напомним, что в данной ситуации ортоморфизмы представляют собой операторы умножения и поэтому будут отождествляться с соответствующими мультипликаторами.

Для произвольного f G E существует едшкмвеппый элемент g G E. для которого fg = [f] ^E ¹¹ [f]^±g = 0. где [f] — проектщ"> на полосу {f}^±± . Этот элемент g будем обозначить символом 1/f := Ie /f. Произведение e(1/f) короче обозначается символом e/f. Илеал в К-простраистве E. порожлеиивш элементом 1 := Ie. обозначается через E

Будем обозначать через P(E) булеву алгебру порядковых проекторов в векторной решетке E. Пусть h : P(E) ^ P(F) — булев гомоморфизм и обозначим символом E (1,h) h-замыкание идеала Ex, порожденного в E единицей 1, т. е. множество всех элементов x G E, представимых в виде x = о- 51^1 nnxn, г де (xn) — произвольная последовательность в Ex и nn — счетное разе!гешге единицы в P(E) такое, что (h(nn)) — разбиение единицы в P(F). ем. предложения 5.6.3 и •5.6.4 в [18]. Очевидно, что E (1, h) — идеал в E.

Определение 4.1. Тенью оператора P : E ^ F называем отображение sh(P) : P(E) ^ P(F). определенное (формулой sh(n) = [P(n(E))]. Тем самым. sh(n) — порядковый проектор на полосу (Pn(E))^±±.

Лемма 4.2. Пусть E и F — векторные решетки с проекциями. Ортогонально аддитивный полином P : E ^ F сохраняет дизъюнктность в том и только том случае, когда sh(P) — булев гомоморфизм.

C Остаются в силе те же рассуждения, что и в [18, п. 5.4.2] (или [3, п. 5.2.2 (1)]) для случая линейного оператора. При этом вместо линейности работает ортогоналвная аддитивность. B

Лемма 4.3. Для произвольного кольцевого гомоморфизма h : P(E ) ^ P(F) существует единственный регулярный оператор Sh : E (1, h) ^ F такой, ч ito тень Sh совпадает с h п Sh( Ie ) = h(l) If- Болеe того. E (1,h) явл>тется f-подалгеброй E. а оп<ритор Sh мультипликативен, т. е. S_h(xy) = S_h(x')S_h(y') для всех x,y Е E (1, h).

C См. [18. предложения 5.6.4 и 5.6.7. теорема 5.6.10]. B

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.4. Оператор S, существование которого утверждается в лемме 4.3, называют сдвигом посредством h и обозначают символом Sh. Пусть E — фундамент E и F — фундамент F. Oneратор S : E ^ F назовем оператором сдвига, если существует кольцевой гомоморфизм h : P(E ) ^ P(F) такой, что E С E (1, h) и S = Sh нa E. Если h — тень полинома P. то оператор сдвига S будем называть сдвигом полип,ома P. Заметим, что понятие сдвига посредством гомоморфизма и оператора сдвига зависят от выбора, единиц 1 e ii If в K-простр;шетвах E и F. ем. [18. п. 5.6.8].

Теорема 4.5 (А. Е. Гутман [2]). Пусть E — векторная решетка, F — K-пространство, T : E ^ F — норядково ограниченный линейный оператор, сохраняющий дизъюнктность. Тогда существует разбиение единицы (р^ )^_е= в булевой алгебре P(F) и семейство положительных элементов (е^)^_е= в E такие, что имеет место представление

Tx = o-£ W о р^S о (x/e^) (x Е E), (4.1) ξ∈Ξ где оператор S — сдвиг оператора T. а ортоморфизм W : F ^ F представляет собой оператор умножения па о-52^е= р^T(е^)•

C См. [18. теорема 5.7.5] и [3. теорема 5.3.7]. B

Лемма 4.6. Если полином P сохраняет дизъюнктность, то P и |P| имеют один и тот же сдвиг. Если Px = (Tx)^s® (x Е E) для некоторого решеточного гомоморфизма T : E ^ G С F. то с;твпгп P п T совпадают.

C Доказательство следует непосредственно из определения 4.1 и конструкции сдвига (см. [18, предложение 5.6.7]), учитывая предложение 3.2 и тот факт, что множества. B С G 11 {g^s® : g Е G} порождают одну и ту же полосу в F. в

Теперь все готово для доказательства, основной теоремы данного параграфа.

Теорема 4.7 (о представлении ортогонально аддитивных полиномов, сохраняющих дизъюнктность). Пусть E — векторная решетка. F — K-пространство. P : E ^ F — s-однородный норядково ограниченный полином, сохраняющий дизъюнктность. Тогда существуют разбиение единицы (р^ )^_е5 в булевой алгебре P(F) и семейство положительных элементов (е^)^_е= в E такие, что имеет место представление

P(x) = о-^X W о р^S(x/e^)s® (x Е E), (4.2) ξ∈Ξ где оператор S — сдвиг полинома P. а ортомор<}>изм W : F ^ F представляет собой оператор умножения па о-^К^е= р^P(е^)•

<1 Предположим сна чала, что полином P положителен. В силу следствия 3.10(6) существуют векторная решетка G и решеточный гомоморфизм T : E ^ G такие, что Gs® С F и имеет место представление

P (x) = (Tx)s® (x G E ).

(4.3)

Так же, как и в теореме 2.8 и следствии 2.9, умножение в F обозначим символом •. Тогда Gs® можно отождеств!гть с подрешеткой E(s) := {ui • ... • us : u1,..., us G T (E)} f-алгеоры F. а также считать us® = us* = u • ... • u для u G E(s)- cm. [13. теорема 4.1].

Для решеточного гомоморфизма по теорема Гутмана 4.5 имеет место представле-iiiio (4.1). в котором S — сдвиг T. Пусть v := о- 52g_G= pgT(eg ) и 1g обозначает осколок 1 f, соответствуютций проектору pg. Подставив (4.1) в (4.3), получим

P (x) = ( о- ^^ v • 1g • S(x/eg )^ = о- ^^ vs* • 1g • S(x/eg )s*. ge= ge=

Обозначив буквой W оператор умноження в F на э.темент vs*, получим требуемое представление. Если полином P произволен, то в силу доказанного имеем представление

|Pl(x) = o-^Wc(pgS(x/eg)se) (x G E), ges где S — цдвиг |P| 11 Wc > 0. Так как P = n|P| — n^P| для нскоторого проектора п. то остается положить W := nWc — n^Wc ii сослаться iга лемму 4.6. B

Пусть теперь К и Q — экстремально несвязные компакты, a E в F — (фундаменты в расширенных К-простр;шетвах E : = C^(K ) 11 F := C^(Q) соответственно. Пуств Cc(Q,K) обозначает множество веч?х непрерывных (функций ст : Qc ^ К. определенных на открыто-замкнутых подмножествах 1сш(ст):= Qc С Q.

Определение 4.8. Для произвольного ст G Cc(Q,K) и x G C^(K ) определим функ-пито x • ст : Q ^ R (формулой

(x • ст)(q):= {x^q»’

если q G 1сш(ст), если q G Q \ doш(ст).

ЗАМЕЧАНИЕ 4.9. Функция x • ст, как очевидно, непрерывна, но не принадлежит, вообще говоря, пространству C^(Q), поскольку она может принимать бесконечные значения на некотором подмножестве U G Q с непустой внутренностью. Однако, если x • ст G C^(Q) для всех x G E, то нетрудно видеть, что отображение x ^ x • ст (x G E ) является оператором сдвига. Несмотря на это, произведение W (x• ст) корректно определяет (фуикпито 1тз C^(QY если W обратпается в поль па виутреиности U. Иначе говоря, рассматривая произведение fg двух функций f,g G C^(Q, R), считаем (fg)(q) = 0, если либо f. либо g равняется нулю тождествешю в окрестпости q G Q. подробности см. [18. 5.8.5]. Именно в этом смысле понимается произведение Wg((wgx)^s • ст) в следующей теореме.

Теорема 4.9 (о мультипликативном представлении ортогонально аддитивных полиномов, сохраняющих дизъюнктность). Пусть E и F — фундаменты в пространствах C^(K) и C^(Q~) соответственно, a P : E ^ F — порядково ограниченный ортогонально аддитивный s-однородный полином, сохраняющий дизъюнктность. Тогда существуют отображение ст Е Co(Q,K). семейство (w^)^G= положитслыптх функций в C^(K) и семейство (W^)^G= попарно лизъюиктпых функций из C^(Q) такие, что 1/w^ Е E для всех ^ Е Е, и справедливо представление:

P (x) = o- X W^ ((w^x) • ct)^s (x Е E ).                       (4.4)

ξ ∈ Ξ

C Этот факт следует непосредственно из теоремы 4.6. Нужно лишь заметить, что если S : E ^ F — оператор сдвига, то существует фупктщя ст Е Co(Q,K) такая, что Sx = x • ст для всех x Е E. см. [18. предложение 5.8.7]. B

ЗАМЕЧАНИЕ 4.10. Внутренний вес, фигурирующий в представлениях (4.2) и (4.4), впервые ввел А. Е. Гутман, см. [2, 18]. Без привлечения внутренних весов указанные представления возможны лишь на части области определения, ср., например, [1, 9].