Характеризация конечных групп с независимыми абелевыми подгруппами

Подгруппа H группы G называется (нормально) независимой (в G) подгруппой, если Ng ( U ) 6 Ng ( H ) для любой нетривиальной (нормальной) подгруппы U из H .

В [1] доказано, что в конечной группе G все неабелевы подгруппы независимы тогда и только тогда, когда G метагамильтонова, т. е. в ней все неабелевы подгруппы нормальны.

Ранее Л. И. Шидов [2] описал конечные группы, в которых нормально независимы все нильпотентные подгруппы. Обобщая этот результат, А. Х. Журтов и Цирхов А. А. в [3] показали, что конечная группа, в которой независима любая абелева подгруппа, является либо двустепенно нильпотентной группой, либо группой Фробениуса с нильпотентным дополнительным множителем, либо группой, изоморфной одной из следующих групп: S 4 , А б , L 2 (7), L 2 (2m), m > 2.

Следующий результат дает полное описание нильпотентных конечных групп, в которых независимы все абелевы подгруппы.

Теорема 1. В конечной нильпотентной группе G все абелевы подгруппы независимы тогда и только тогда, когда выполнено одно из условий:

• (1)    G — абелева или гамильтонова группа, т. е. группа, в которой все подгруппы нормальны;

• (2)    G — p-группа нечетного порядка, являющаяся центральным произведением экс-траспециальной группы порядка p ³ на циклическую группу;

• (3)    G изоморфна

D^a,b : ap = bpm = 1, a-1ba = b1+pm 1 E для некоторого m > 2. Здесь p — простое число;

• (4)    G — центральное произведение группы диэдра порядка 8 на циклическую 2-группу или группу кватернионов порядка 8.

Следующий результат завершает описание всех конечных групп с независимыми абелевыми подгруппами.

Скажем, что циклическая группа h h i действует скалярно на абелевой группе K , если найдется такое целое число а, что kh = k ^a для любого k Е K .

Теорема 2. Пусть G — конечная группа Фробениуса с ядром K и дополнением H . В G тогда и только тогда все абелевы подгруппы независимы, когда выполнено одно из следующих условий:

(с) 2013 Цирхов А. А.

• (1)    H = h h i , K — экстраспециальная группа периода p, т. е.

K = Da, b : ap = bp = [[a, b] , a] = [[a, b] , b] = ^, где p — нечетное простое число, и существует целое число а такое, что a h = aa, bh = ba;

• (2)    K — абелева группа, а H — циклическая подгруппа, действующая скалярно на K;

• (3)    K = h k 1 i х h k ₂ i — элементарная абелева группа H = h h i , kh = kO¹, kh = ka 2 для некоторых целых α 1 , α 2 ;

• (4)    H — циклическая группа, K — нециклическая элементарная абелева группа, H действует неприводимо на K при сопряжении, а любая собственная подгруппа из H действует на K либо неприводимо, либо скалярно;

• (5)    K — элементарная абелева группа порядка р ² для некоторого нечетного простого числа р, H = Q х Н о , где Q — группа кватернионов порядка 8, Н о — циклическая группа, действующая скалярно на K .

• 1.    Предварительные сведения

На протяжении всей работы рассматриваются только конечные группы. Если G — группа, то Z (G), G 0 , Ф(G) и F (G) обозначают соответственно ее центр, коммутант, подгруппу Фраттини (пересечение всех максимальных подгрупп) и подгруппу Фиттинга (наибольшую нильпотентную нормальную подгруппу). Если x и y — элементы, а H и K — подмножества группы, то h H i — подгруппа, порожденная H ,

[x,y]= x ¹ y 1 xy = x 1 x ^y ,

[H,K ] = ^[h,k] : h G H,k G K^.

Гамильтоновой группой называется неабелева группа, все подгруппы которой нормальны.

Группой Фробениуса называется полупрямое произведение F = K • C , где 1 = K E F , C = 1, Ck (c) 6 C для любого нетривиального элемента c G C ; K называется ядром, а C — дополнением группы Фробениуса F .

Лемма 1.1 [4, теорема 12.5.4] . Если G — гамильтонова группа, то G = Q х V х R, где Q изоморфна группе кватернионов Q 8 , V — элементарная абелева 2-группа и R — абелева группа нечетного порядка.

Лемма 1.2 [5, теоремы V8.7, V8.18] . Пусть F — группа Фробениуса с ядром K и дополнением C. Тогда ( | K | , | С | ) = 1, K — нильпотентная группа, все силовские р-под-группы Н при р >  2 циклические, а при р = 2 циклические или (обобщенные) группы кватернионов. Если t — элемент порядка 2 из C, то kt = k ^-1 для любого k G K.

Следующая лемма является частным случаем теоремы I.17.4 из [5].

Лемма 1.3. Пусть F = K • C — полупрямое произведение K на C, где ( | K | , | C | ) = 1. Если K = K 1 х K ₂ , где K 1 инвариантна относительно C, то K = K 1 х K o , где K o — также C -инвариантна.

В дальнейшем, для краткости, группу, в которой абелевы подгруппы независимы, будем называть AI-группой, а соответствующее свойство группы — свойством AI. Очевидно, свойство AI наследуется подгруппами. Пару (X, Y ) подгрупп группы G будем называть запрещенной, если Y — абелева, 1 = X 6 Y и Ng ( X ) ^ /Ng ( Y ).

Понятно, что в AI-группе нет запрещенных пар подгрупп.

Лемма 1.4 [3] . Для конечной неабелевой AI-группы G справедливо одно из следующих утверждений:

• (1)    G — двустепенно нильпотентная группа с коммутантом простого порядка;

• (2)    G — группа Фробениуса с нильпотентным дополнением;

• (3)    G изоморфна S 4 , А б , L 2 (7) или L 2 (2m ) для некоторого натурального числа m >  2.

Лемма 1.5. Циклическая группа h h i действует скалярно на абелевой группе K тогда и только тогда, когда любая подгруппа из K является h h i -инвариантной.

C Пусть любая подгруппа из K является h h i -инвариантной.

Так как K коммутативна, то K — прямое произведение циклических подгрупп. Пусть k 1 , . . . , k _m — порождающие этих подгрупп.

Так как циклические подгруппы hk1i, . . . , hkm i, hk1 · . . . · kmi инвариантны относительно hhi, найдутся целые числа α1, . . . , αm, в такие, что kh = k^1,..., km = kmm, (ki •... • km)h = (ki • ... • km)p. Из равенств kp •... • km = (k1 •... • km )p = (k1 •... • km)h = k1h •... • km = ka •... • km вытекает, что ka1 = kв,..., kmm = km.

Пусть k = kn1 • ... • kmm — произвольный элемент из K. Тогда kh = (kn1 )h •... • (kmm )h = (pn1 •... • (kmp = (ke )ni •... • (kmp = ke,

• т. е. h h i действует скалярно на K .

• 2.    Строение нильпотентных AI-групп

Справедливость обратного утверждения очевидна. B

Пусть G — нильпотентная AI-группа. Если в G нормальна любая подгруппа простого порядка, то по условию в G нормальна любая абелева подгруппа и, поскольку любая группа порождается своими абелевыми подгруппами, G — абелева или гамильтонова группа, т. е. выполнен пункт (1) теоремы 1. Наоборот, любая абелева или гамильтонова группа является, очевидно, AI-группой.

В дальнейшем будем предполагать, что в G есть неинвариантная подгруппа простого порядка p.

Лемма 2.1. G — p -группа.

C По условию G нильпотентна, поэтому G = P x N, где P — силовская р-подгруппа группы G, а N — p-дополнение. Предположим, что N = 1. Пусть 1 = z G Z(N). Тогда пара ( h z i , h c, z i ) является запрещенной, поскольку P 6 Ng ( h z i ), но P ^ /Ng ( h c, z i ).

Полученное противоречие доказывает лемму. B

Пусть d G G \ Ng ( h c i ). Тогда z = [c, d] = 1 и по лемме 1.4 G 0 = h z i . Обозначим h c, d i через D.

Лемма 2.2. Подгруппа D изоморфна либо экстраспециальной группе порядка p ³ ( при нечетном p) , либо группе

(c, d : cp = dpm = 1, c-1 dc = d1 +pm 1 , где m > 2.

• < 1 Если d^p = 1 и р — нечетно, то D, очевидно, имеет порядок р ³ и ее период равен р. Если же р = 2 и d ² = 1, то hc, d ) — группа диэдра порядка 8. В этом случае, после замены d на cd, получим, что D удовлетворяет заключению леммы с m = 2.

Если же порядок d равен pm, где m >  2, то c Е NG(d^p) и поэтому c Е NG^hd)), иначе пара ( h d ^p ) , h d ) ) является запрещенной. Поэтому z Е [ c,d] Е h d ) и после замены d на подходящую степень можно считать, что z = dm ^-1 .

Таким образом, c ^-1 dc = d ^{1+ p} m . Это доказывает лемму. B

Лемма 2.3. G = DC, где C = CG(D).

• <    Если g Е G, то по лемме 1.4 c ^g = cz^a , dg = dz ^e , где z = [c, d] = c ^-1 d ^-1 cd; а, в — целые. Другими словами, c ^-1 dc = dz ^-1 , d ^-1 cd = cz. Поэтому c ^gd “ ^c = c, d^gd,“^c = d, откуда gd ^a c -^e Е C , g Е CD = DC . B

Лемма 2.4. Если x Е C и x^p = 1, то x Е h z ) .

• <    Предположим противное. Тогда пара ( h x ) , h x,c ) ) является запрещенной: d Е NG( h x ) ), но d Е NG( h x, c ) ), поскольку z = [c, d] / h x,cY B

• 3.    Строение групп Фробениуса, являющихся AI-группами

Таким образом, C — циклическая группа или группа кватернионов.

Пусть элемент d выбран так, что его порядок наименьший из возможных. Если порядок d равен p , то справедлив один из пунктов (2) или (4) теоремы 1.

Пусть порядок d есть pm, где m >  2. По лемме 2.2 C П D = Z (D) = h d ^p ) .

Если C содержит элемент x , не лежащий в h d i , то h d, x i — циклическая группа и, следовательно, содержит элемент g порядка p, не лежащий в h z i . Если y перестановочен с c , то y ∈ C вопреки лемме 2.4. Поэтому d можно заменить на y вопреки выбору d . Таким образом, справедлив пункт (3) теоремы 1.

Без труда проверяется, что все группы из пунктов (1)–(4) теоремы 1 являются AI-группами.

Пусть G — группа Фробениуса с ядром K и дополнением H , являющаяся AI-группой. По лемме 1.4 H — нильпотентная группа. Так как по лемме 1.2 в дополнении Фробениуса каждая силовская р-подгруппа циклическая или (при р = 2) группа кватернионов, то H = C х Q, где C — циклическая группа, а Q — либо тривиальная группа, либо группа кватернионов. Так как по лемме 1.2 Q двуступенно нильпотентна, то | Q | = 1 или | Q | = 8.

Лемма 3.1. Если K неабелева, то выполнен пункт 1 теоремы 2.

• < Так как порядок коммутанта K не может равняться двум, то по теореме 1 K — p -группа нечетного порядка и либо K — центральное произведение экстраспециальной группы

E = D a, b : a ^p = bp = [a, [a, b]] = [b, [a, b]] = 1 ^

простого периода и порядка p ³ на циклическую группу C , либо K изоморфна

Da, b : ap = bpm = 1, a-1ba = b1+pm 1 E для некоторого m > 2.

Рассмотрим вначале первую возможность. Так как H действует точно на коммутанте [K, K ] группы K , имеющем простой порядок, то H = h h ) — циклическая группа.

Пусть C = hc). Так как C = Z(K), то C инвариантна относительно H. Поскольку d = [a, b] Е C, то dh = dY, где y — целое число, y = 1(mod р). Пусть y = ha, d). Так как hd'i /G, то Ng (y) = G и, в частности, y инвариантна относительно H. То же самое верно для V = hb,d). Поэтому, ahhdi = aahdi, bhhdi = behd'i, где а и в — целые числа.

Отсюда a ^a = d^h = [a, b] ^h = [ah, b ^h ] = [a ^a , b ^e ] = d ^ae и ав = Y(mod p)- Так как а = 1 = в (mod p), то а = y (mod p) или в = Y (mod p).

Не нарушая общности, можно считать, что а = Y(m°d p). Если | C | > p, то пара ( h d' i , h a, c)) является запрещенной: d Е h a, c i , но h a, c i не является H -инвариантной подгруппой, поскольку, если (ac) ^h = ac ⁵ для некоторого целого числа 5, то a ⁵ c ⁵ = (ac) ⁵ = a ^a c ^Y d i , где d i Е h d' i , откуда а = 5 = Y(m°dp), вопреки а = Y(modp). Итак, | C | = h d) и K = E .

Если теперь а = в(mod p), то пара ( h d), h d, ab i ) является запрещенной, поэтому можно считать, что а = в , т. е. выполнен пункт 3 теоремы 2.

Аналогичные рассуждения показывают, что вторая возможность не реализуется. B

Лемма 3.2. Если K — абелева группа, то выполнен один из пунктов 2-5 теоремы 2.

C Индукция по порядку G . Пусть K 0 — минимальная H -инвариантная подгруппа в K . Тогда K 0 — элементарная абелева p -группа, на которой H действует неприводимо.

Предположим вначале, что K o = K . Если K — циклическая группа, то выполнен пункт 2 теоремы 2. Поэтому K — нециклическая группа.

Рассмотрим случай, когда H неабелева, т. е. H = Q х H o , где Q — группа кватернионов порядка 8, а H o — циклическая группа нечетного порядка. Если H o = 1, то по индукции, примененной к подгруппе KQ , порядок K равен p ² , где p нечетно и H можно отождествить с подгруппой из GL 2 (p).

Так как централизатор Q в GL 2 (p) состоит из скалярных матриц, то выполнен пункт 5 теоремы 2.

Если H o = 1, то пусть a, b — элементы порядка 4, порождающие Q. Если при этом h a i действует неприводимо на K , то по лемме 1.2 ka = k ^-1 , поскольку a ² — инволюция и поэтому h k, k ^a i инвариантна относительно h a i , т. е. K = h k, ka i — группа порядка p ² , и снова выполнен пункт 5 теоремы 2. Если же h a i действует приводимо на K , то по индукции, примененной к K · h a i , в K найдется a -инвариантная нетривиальная циклическая подгруппа h k i , и h k, kb i инвариантна относительно h a, b i = H , откуда снова следует, что G удовлетворяет пункту 5 теоремы 2.

Итак, можно считать, что H — циклическая группа. Если какая-то подгруппа H o = 1 из H действует приводимо на K , то по индукции, примененной к K · H 0 , подгруппа H 0 действует скалярно на K и выполнен пункт 4 теоремы 2.

Таким образом, K не является минимальной H -инвариантной подгруппой. Покажем, что любая минимальная H -инвариантная подгруппа K 0 6 K является циклической.

Предположим противное. Пусть K 0 — циклическая минимальная H -инвариантная подгруппа из K .

Если K o ^ Ф(K), то K o П Ф(K) = 1 и поэтому K = K o х K 1 , где по лемме 1.3 K 1 можно выбрать H -инвариантной.

Пусть k Е K o . Тогда h k i не является H -инвариантной подгруппой и пара (k i , h k, k i ) является запрещенной.

Если же K o 6 Ф(K), то существует элемент k Е K порядка p ² , где p — некоторое простое число, такой, что 1 = k ² Е K o . Так как в K/K o по условию AI любая подгруппа является H -инвариантной, то h k o ,k), а вместе с ней и h k 2 i = Ф( h K o , k i ) является H -инвариантной, что противоречит нецикличности K 0 .

Пусть V — подгруппа, порожденная всеми элементами простого порядка из K , и V 1 — минимальная H -инвариантная подгруппа из K . Тогда V 1 6 V и, в силу вышесказанного,

V - циклическая группа простого порядка. По лемме 1.3 V = V i X V 0 , где V 0 инвариантна относительно H. Повторное применение леммы 1.3 позволяет представить V в виде V = V 1 х- • • х Vm, где все Vi (i = 1,..., m) — инвариантные относительно H циклические группы простых порядков. Если все подгруппы простых порядков из V инвариантны относительно H , то по условию AI все подгруппы из K инвариантны относительно H и по лемме 1.5 выполнен пункт 2 теоремы 2.

Предположим, что h v i — подгруппа простого порядка p из V , не являющаяся H-инвариантной. Так как h v, v 1 i по условию AI является H-инвариантной подгруппой, то h vh i = h v,v i i - Если m > 2, то найдется vi / h v,v i i , откуда следует, что пара (vi, h v,Vi i ) является запрещенной.

Таким образом, m = 2 и V — группа порядка р ² . В частности, К — прямое произведение двух циклических p-групп.

Если V 6 Ф(К), то существует элемент x из К порядка р ² такой, что x ^p = v и подгруппа h v i = Ф( h v,x i ) является H-инвариантной вопреки выбору v. Поэтому V ^ Ф(К ).

Если V = К , то выполнен пункт 3 теоремы 2. Предположим, V = К . Так как V 6 Ф(К), то v i или v a не содержатся в Ф(К ). Можно считать, что v a / Ф(К ), а v i £ Ф(К ), т. е. K = K i х h v 2 i для некоторой циклической подгруппы K i 6 K, содержащей h v i i . По условию AI любая подгруппа из K/ h v 1 i инвариантна относительно H. По лемме 1.5 H действует скалярно на K/ h v i i , т. е. kh = kaa, vh = va b, где k i — порождающий элемент циклической подгруппы K 1 , а a, b ∈ h v 1 i . Поскольку h v 2 i инвариантна относительно H, то b = 1. Далее, (kp) ^h = (kp ) ^a ap = (kp) ^a , откуда вытекает, что vh = va. Это означает, что vh = v ^a , что противоречит выбору v. B

Нетрудно проверить, что все группы, перечисленные в теореме 2, действительно являются AI-группами. Это доказывает теорему 2.