Как объяснить эффективность треугольных и трапециевидных функций принадлежности в приложениях к проектированию

Хорошо известно, что знания экспертов очень важны для решения задач проектирования. Однако эти знания не так просто описать в чётких терминах, так как эксперты часто используют нечёткие слова, такие как „небольшой“ или „большой“. Чтобы описывать такого типа знание в чётких терминах - терминах понятных компьютеру - Лотфи Задэ придумал специальную методологию, которую он назвал методологией нечётких множеств. Эта методология имеет много приложений, в частности в проектировании. Первая стадия этой методологии состоит в том, чтобы „извлечь“ из экспертов функции принадлежности соответствующие различным нечётким терминам. Такая функция сопоставляет каждому возможному значению соответствующей физической величины число, выражающее - до какой степени это значение удовлетворяет данному свойству (например, до какой степени можно сказать, что это значение небольшое). Если попытаться очень точно отразить мнение эксперта, то часто получают очень сложную функцию принадлежности. Однако на практике гораздо лучшие результаты получаются, когда используются простейшие функции принадлежности: треугольные и трапециевидные. На первый взгляд, это противоречит нашей интуиции: чем точнее описывают мнение эксперта, тем хуже получается результат. Исследователи придумали объяснение этого странного феномена, но это объяснение работает только когда для описания логической „и“-операции используется минимум, в то время как этот феномен наблюдается и когда используются другие „и“-операции. В настоящей статье приводится новое более общее объяснение, которое применимо для всех возможных „и“-операций.