Идентификация параметров инклинометрических датчиков

Современные инклинометры, а также магнитометры, компасы и т.п. строятся на основе трёхкомпонентных датчиков координат векторов геомагнитного и гравитационного полей. Такие датчики включают в себя три элементарных однокомпонентных датчика, сигнал каждого из которых U линейно связан с проекцией измеряемого вектора физического поля а на его ось чувствительности р и имеет вид

U = kC - a ^+ U_o , (1)

где k и U 0 - коэффициент преобразования и смещение нулевого уровня сигнала датчика. Соответственно вектор сигналов трёхкомпонентного датчика, объединяющий сигналы трёх элементарных датчиков, представляется в виде уравнения

6 = KCS + U p , (2)

где K - тензор коэффициентов преобразования трёхкомпонентного датчика с диагональной матрицей, C - тензор ориентации осей чувствительности трёхкомпонентного датчика с матрицей направляющих косинусов этих осей в системе координат, связанной с корпусом инклинометра, и U - вектор смещений нулевых уровней сигналов датчика, а измеряемый вектор при работе инклинометра определяется по алгоритму p = C-1K^(U- Up). (3)

Значения коэффициентов преобразования, координат осей чувствительности и смещений нулевых уровней сигналов датчиков обычно берутся из паспортов датчиков или задаются в процессе разработке конструкций инклинометров. Однако при этом вследствие недостаточно точного совпадения реальных и заданных значений параметров датчиков возникают погрешности измерений.

С целью уменьшения этих погрешностей производится калибровка или идентификация параметров датчиков. Суть и разница этих операций состоит в том, что при калибровке определяются погрешности, которые в виде различных коэффициентов закладываются в математических моделях датчиков, т.е. по существу производится идентификация погрешностей датчиков, а при идентификации сразу определяются реальные значения параметров, т.е. фактически производится настройка датчиков.

Используемые при калибровке математические модели датчиков получаются из обобщённого выражения

U = (k + Ak)(p+ Ap) • p+ (Uo + AU0),

где k , ^p , U 0 - известные паспортные или заданные значения параметров датчиков, а A k, A C , A U 0 - погрешности соответствующих параметров датчиков или поправки, приводящие заданные значения параметров к реальным. Здесь

a = (A + AA)(Р +A Р),

где A – известный тензор, описывающий задаваемые с помощью поворотной установки пространственные повороты инклинометра, ΔA – тензор, учиты- вающий инструментальные погрешности поворотной

установки, р0 - исход ный измеряемый вектор с известными координатами, Aр0 - вектор, учиты- вающий погрешности задания координат исходного вектора.

Погрешности параметров датчиков определяются из (4) в зависимо- сти от задаваемых значений вектора a и соответствующих значений сигнала датчика U. При этом для упрощения математических выражений и вычислений часто делается ряд допущений, искажающих реальные характеристики датчиков. В частности, в [1, 2] считается, что коэффициент преобразования датчика имеет точное паспортное значение, т.е. Δk = 0, единичный направляющий вектор оси чувствительности датчика непременно совпадает с одной из осей связанного с цилиндрическим корпусом инклинометра ортогонального базиса, а неточность установки осей чувствительности рассматривается в виде малых приращений направляющих векторов.

Такой подход имеет широкое распространение, как в отечественной, так и в зарубежной практике, и лежит в основе многих инструкций по калибровке инклинометров. Он даёт вполне удовлетворительные результаты, если погрешности датчиков малы и находятся в пределах технологических допусков, но при существенных отклонениях параметров датчиков от заданных значений может привести к погрешностям, которые не компенсируются при калибровке.

Например, если ось чувствительности датчика задана вектором р= (1,0,0), (6) то его малое приращение будет иметь вид

Д ^Р (0, 5 1 ,6?) , (7) где δ 1 и δ 2 – величины, характеризующие погрешности установки оси чувствительности. При этом длина суммы векторов (6,7) составит

I^р +ДР = V 1 2 + 5 ² + 6 ² >1, (8) а коэффициент преобразования изменится на величину

Д k = k (V1 + 6 12 + 6 22 - 1) . (9) Это приращение коэффициента преобразования не будет учтено при калибровке датчика.

Отметим, что рассмотренные в [1, 2] приёмы калибровки нельзя применить к тем датчикам, у которых оси чувствительности принципиально не совпадают с указанным выше ортогональным базисом, как, например, в [5], а и к датчикам с произвольной ориентацией осей чувствительности, т.к. в этом случае требуются другие представления математических моделей.

Задание координат исходного вектора р при использовании известных способов калибровки инклинометров осуществляется за счёт предварительной ориентации поворотных установок относительно сторон света и местной вертикали. При этом используются специальные приборы, например, оптические квадранты и магнитные буссоли, собственные погрешности которых и погрешности, связанные с креплением этих приборов в поворотных установках, обуславливают погрешность определения координат исходного вектора A O^ , которая также снижает точность калибровки датчиков.

Таким образом, существенными недостатками известных способов калибровки датчиков являются применение несовершенных математических моделей, которые не соответствуют реальным характеристикам датчиков, и необходимость точной пространственной ориентации поворотных установок, связанная с использованием дополнительных приборов и затратами времени. В результате этих недостатков снижаются эффективность калибровки датчиков и точность инклинометров.

Исключить указанные недостатки позволяет рассматриваемый ниже способ идентификации параметров датчиков, частный случай которого был изложен в [5]. В основе способа лежит более общая и в то же время простая по сравнению с известными математическая модель элементарного датчика, а также ряд математических приёмов, позволяющих получить результаты, не зависящие от координат исходного вектора геофизического поля р0.

Эта модель представляется в виде

U = П г- ^р + U _o, (10) где П г= кС - обобщённый параметрический вектор, характеризующий одновременно коэффициент преобразования датчика, расположение осей чувствительности датчика и длину измеряемого вектора, т.е. напряжённость измеряемого физического поля. Введение такого вектора оправдано тем, что целью идентификации параметров инклинометрических датчиков, в конечном счёте, являются не значения коэффициентов преобразования и координат осей чувствительности датчиков, а значения абстрактных коэффициентов, устанавливающих зависимость между сигналами датчиков и направлением измеряемого вектора.

В соответствии с (10) вектор сигналов трёхкомпонентного датчика будет иметь вид

Uj = nS+ Up, (11) где N – параметрический тензор, а единичный направляющий вектор измеряемого поля будет определяться как p = N ^(U-Up). (12)

Для идентификации элементарного датчика нужно найти координаты соответствующего параметрического вектора n и смещение нулевого уровня сигнала датчика, а для решения уравнения (12) идентифицировать все три элементарных датчика, образующих трёхкомпонентный датчик.

Поскольку все элементарные датчики описываются одной математической моделью (10), рассмотрим решение задачи идентификации параметров датчиков на примере одного такого датчика, используя следующие обозначения

Пг = ( п_х, n ₂, n з ) , (13)

^р = Л , Л ₉ Л _а О ’ , (14)

a о = ⁽ a 01 , a 02 ’ a 03 ) , ⁽¹⁵⁾ где n i , n 2 , n ₃ -координаты параметрического вектора, Л _ф , Л_е , Л_а - тензоры, описывающие пространственные повороты датчика с инклинометром, φ , θ , α – углы, задаваемые с помощью стандартной поворотной установки, a ₀₁, a ₀₂, a ₀₃ – координаты исходного вектора.

Если ввести неподвижный ортогональный базис R0(0X0Y0Z0), направив его ось 0Z0 по гравитационной вертикали места вниз, а ось 0Y0 – по касательной к магнитному меридиану на Север, и при этом совместить эти оси соответственно с осью вращения рамки α поворотной установки и нулевой отметкой шкалы отсчёта угла α (Рис.1), а также ввести подвижный ортогональный базис R1(0X1Y1Z1), совместив его ось 0Z1 с осью вращения рамки

Рис.1

φ и одновременно с продольной осью корпуса инклинометра, а 0X1 – с нуле- вой отметкой шкалы φ, то указанные углы будут представлять собой ные в инклинометрии визирный угол φ (Tool Face), зенитный угол θ извест-

и маг-

нитный азимут α.

иметь вид [3]

При этом матрицы

соответствующих тензоров

будут

	cos ϕ	sin ϕ 0			cos θ	0	sin θ
A ϕ =	- sin ϕ	cos ϕ 0	, A	θ =	0	1	0
	0	01			- sin θ	0	cos θ
	- cos α	- sin α	0
A α =	sin α	- cos α	0	,
	0	0	1

,

В дальнейшем мы будем использовать поворотную установку с про- извольной пространственной ориентацией относительно поверхности Земли и в связи с этим рассматривать углы φ, θ, α только в качестве углов относи- тельных поворотов рамок установки.

Заметим, что оси вращения рамок в базисе R₀ в любом случае задаются направляющими векторами Г ф = (cos a sin 9, sin a sin 9, cos 0), т^ = (sin a, cos a, 0) и = (0,0,1) (Рис.2).

Рис.2

При вращении датчика вокруг некоторой оси его сигнал в зависимости от угла поворота ψ может быть представлен в виде

U ( y ) = A cosy + B sin y + C,

где A , B , C – постоянные коэффициенты, зависящие от направления оси вращения датчика. Разбиение диапазона изменения угла ψ (0⁰…360⁰) на p равных частей позволяет вычислить эти коэффициенты с помощью известных формул, применяемых для анализа гармоник рядов Фурье, -

2 ^p                     2 ^p                    1 ^p

A = -Е U i -cos y , ^B = -Е U i sin y , C = E U i ,

p i = 1

P i = 1

p i = 1

где yt = — (i -1) и Ui - значения угла и сигнала датчика, соответствующие p текущему номеру их отсчёта i,

Используя (10, 13, 14, 15, 16), представим сигнал датчика аналогичным образом в виде функции угла φ ( ψ=φ )

U = A _ф ( 0 , a) cos ф + В ф ( 0 , a )sin ф + С ф ( 0 , a) ,             (19)

где

А _ф = ao i[ n ( - sin 0 cos a ) + n ₂ (sin a ) ]

+ a ₀₂[ n ( - sin 0 sin a ) + n ₂ ( - cos a )] + a ₀₃[ n sin 0 ] ]

B = a ₀ J n_x (sin a ) + n₂ (cos 0 cos a ) ]

+ a ₀₂[ n ( - cos a ) + n ₂ (cos 0 sin a )] + a ₀₃[ n ₂ ( - sin 0 )] ,

C = n [ ao i(sin 0 cos a ) + a ₀₂(sin 0 sin a ) + a ₀₃(cos 0 ) ] + U_o

Теперь эти коэффициенты определим в виде функций угла α , как

A„ = A. cosa + B, sin a + C. ф     A            AA

B„ = AR cosa + BR sin a + CR(21)

ф    B          BB

C = Ar cosa + Br sin a + Cr, (ф           v^                          v^v^

где A_a = — a_oxn_x sin 0 — a₀₂n₂ , B_A = a₀₁n ₂ — a^n sin 0 , C_A = a₀₃n_x sin 0 ,

A = a0Xn2 cos0 — a02nx, BB = aoxnx + a02n2 cos0, CB =— a03n2 sin0,(22)

Ac = aovⁿ3 sin 0 ,         B_c = a₀₂n ₃ sin 0 ,         C_c = a₀₃n ₃ cos 0 + U _o.

Полученные коэффициенты (22) запишем для двух значений θ , равных 0⁰ и 90⁰, в результате чего для θ =0⁰ будем иметь

A a (0) = — a 02 n 2 ,      B_A (0) = a 01 n 2 ,         C_A (0) = 0,

A b (0) = a 01 n 2 — a 02 n , B b (0) = a 01 П 1 + a 02 n 2 , C b (0) = 0,              (23)

Ac(0)=0, а для θ =900 –

B e (0) = 0,

^C C ^{(0)   a} 03 ⁿ 3 ^{+ U} 0 ,

^A A ⁽⁹⁰⁾ =   ^a 01 ⁿ i    ^a 02 ⁿ 2 , ^B A ^{(90)   a} 01 ⁿ 2    a 02 n 1 , ^C A ⁽⁹⁰⁾   a 03 n 1 ,

A b (90) = - a ₀₂ n ,         B , (90) = a ₀₁ n ,         C , (90) = - a 0 ₃ n ₂,   (24)

A (90) = a₀₁n ₃,          B_c (90) = a₀₂n ₃,         C_c (90) = U_o ,

Отсюда следует, что

П1 = 7A,(90) + B, (90) + CA (90), n 2 = 7 [ Ab (90) - Ba (90) ]2 + [ A A (90) + B, (90) ]2 + CB2 (90),            (25)

n з = 7 A C (90) + B C (90) + [ C c (0) - C c (90) ] ² ,

U 0 = C c (90).

Очевидно, что вычисленные по формулам (25) абсолютные значения координат параметрического вектора и значение смещения нулевого сигнала датчика не зависят от абсолютных значений координат исходного вектора 0^ . Однако знаки координат параметрического вектора всё-таки определяются знаками координат исходного вектора, Например, если a >0, a >0, a >0 (Рис.1), то n1 > 0 при BB(90) > 0, n1 < 0 при BB(90) < 0, n2 > 0 при CB(90) < 0, n2 < 0 при CB(90) > 0,              (26)

n 3 > 0 при A C (90) > 0, n 3 < 0 при A C (90) < 0.

Поэтому для полной идентификации параметров датчика следует знать, в каком из квадрантов базиса R₀ изначально находится вектор 0 ^ . Это условие является единственным для исходной ориентации поворотной установки.

Таким образом, для идентификации параметров датчика измеряются значения сигнала датчика при вращении инклинометра вокруг оси 0Z0 (θ=00) и нескольких осей в плоскости X00Y0 (θ=900), направления которых в этой плоскости задаются рядом значений угла α. При этом количество значений α выбирается достаточным для определения необходимых коэффициентов (23, 24).

Интересно отметить, что, в случае использования прецизионных датчиков и достаточно точной идентификации их параметров инклинометры в дальнейшем могут служить в качестве эталонных приборов для задания пространственной ориентации поворотных установок.

Для идентификации параметров современных датчиков инклинометров, обладающих высокой линейностью характеристик, нет необходимости в большом количестве измерений сигнала датчика. В частности, для определения коэффициентов A , B , C в уравнении (17) достаточно измерить всего три значения сигнала, соответствующие трём равноотстоящим друг от друга значениям угла ψ , например, 0⁰, 120⁰ и 240⁰, и вычислить коэффициенты с помощью простых формул

A = U (0⁰) - c , B = -L[ u (120⁰) - U (240⁰) ] ,

C = 1 [ и (0⁰) + U (120⁰) + U (240⁰) ] .

Применяя эти формулы для идентификации параметров датчика, достаточно будет измерить значения сигнала датчика в двенадцати указанных в таблице 1 положениях инклинометра и с помощью полученных

Таблица 1

θ 00 900 α 00 00 1200 2400 φ 00 U1 U4 U7 U10 1200 U2 U5 U8 U11 2400 U3 U6 U9 U12 значений U1…U12 вычислить коэффициенты (23,24) по формулам

C c (0) = 1( U 1 + U 2 + U 3 ) ,

A A (90) = - (U 7 + U 10 ) + 1 ( U 7 + U 8 + U 9 + U 10 + U 11 + U 12 ),

b a (9°) =i

(U 7 - U 10 ) - g( U 7 + U 8 + U 9 - U 10 - U 11 - U 12 )

C a (90) = (U 4 + U 7 + U 1₀ ) - 1( U 4 + U 5 + U 6 + U 7 + U 8 + U 9 + U „ + U 11 + U 12 )

A b (90) = ^( U 5 - U 6 )

;^| ^{[( U} 5 ^{+ U} 8 ^{+ U} 11 ) ^{- ( U} 6 ^{+ U} 9 ^{+ U} 12 ^{) ]} ,

B b (90) = 1 [ ( U 8 - U 9 ) - ( U 11 - U 12 ) ] ,

C b (90) = ^ [ ( U 5 + U 8 + U 11 ) - (U 6 + U 9 + U 12 ) ] ,

A c (90) = 1 ( U 4 + U 5 + U 6 ) - 1 ( U 4 + U 5 + U 6 + U 7 + U 8 + U 9 + U 10 + U 11 + U 12 )

B e (90) =

(U 7 + U 8 + U 9

- ^U 10 - ^U 11 - ^U 12 ),

Cc (90) = 1(U + U + U, + U7 + U + U9 + U10 + Uu + U 2).

C 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Использование этих значений в (25) позволяет полностью идентифицировать все параметры датчика. Очевидно, что для одновременной идентификации параметров всех датчиков инклинометра достаточно будет также задать ему только двенадцать пространственных положений.

Рассмотренный способ идентификации параметров инклинометрических датчиков свободен от недостатков, связанных с применением некорректных математических моделей датчиков и необходимостью точного определения координат исходного вектора, т.е. точной пространственной ориентации поворотных установок. Погрешности данного способа в основном зависят от уровня квантования сигналов датчиков при аналогоцифровом преобразовании, степени нелинейности статических характеристик датчиков и точности используемых поворотных установок. В частности, использование 12-разрядных АЦП и средней по точности поворотной установки для идентификации трёхкомпонентных гравиметрических датчиков на основе акселерометров позволяет получить погрешность измерения зенитного угла в среднем А 9 =(0,1.0,15) ° , а визирного угла - А ф =(0,15.0,2) ° при 9 =1,° ° . Идентификация магнитометрических датчиков для тех же условий обеспечивает погрешность измерения азимута Δ α =(1,5.2,0) ° при использовании феррозондов и А а =(0,2.0,5) ° при использовании магниторезистивных преобразователей.

Таким образом, рассмотренный способ идентификации параметров датчиков допускает произвольное размещение датчиков в корпусе инклинометра и использование поворотных установок без строгой пространственной ориентации. Это позволяет более гибко решать задачи построения конструкций инклинометров и осуществлять оперативные настройки инклинометров в полевых условиях, что имеет немаловажное значение для развития отечественного геофизического приборостроения.