Игровые модели коммерческой деятельности кредитных организаций на финансовом рынке олигополии

Здесь через /^ обозначен постоянный расход /-го банка, связанный с проведением финансовой операции. В силу (1)-(2)

Тогда задача максимизации чистой прибыли /-го банка выглядит как

—--F -> max, 1

i = \v..,N .

В силу теоремы 9 из [10] игра (5) имеет решение в смысле равновесия Нэша при выполнении некоторых естественных условий. Найдем это решение.

Введем следующие обозначения:

N

X = V X, ,

/=1

1 — а

/?(£) = min

Можно считать, что х( еХ6 = q5^-«) г»

Действительно, при

СО-а)

—--— выполнены неравенства

о

-^—> С / xs > р(х) и прибыль /- го банка 1-а отрицательна.

Найдем ситуацию равновесия полу ченной игры при условии, что г > max max—-—~^—

25,<Л-  /_}|_

LJ

Утверждение. Функция наилучшего ответа / -го банка имеет вид

/(x,,Z*Z) = max g^J^i),— -^х,,0 , где g^^o^----2л-

V ^ГО l*i 1*1

Доказательство. Заметим, что для функции наилучшего ответа / выполнено неравенство

Действительно, в противном случае

P^Xi+fXxo^OVr и, имея доход в количестве .ЦхД^О + е, где £>0 мало, /-Й банк увеличивает свою прибыль, что противоречит определению функции /.

Далее, всегда max g,(x„Z*z),--^х,

_<С(1-а)

Определим множество

Из равенства (6) вытекает, что тах( р(х) —— )х# = тах(~ ——)х,. ^Х,       1-» x.eXl X А-а тах(/>(х)-с4)хЛ =тах(—-csX.

Для завершения доказательства достаточно заметить, что функция (С / х - r_D /(1 - сг))Х; строго вогнута по переменной х, и на Е* достигает максимального значения в точке g^XjJ *0.

Для нахождения ситуации равновесия рассмотрим систему уравнений f^X;,! * 0-х5Д-\,....,N .      (8)

Будем искать ситуацию равновесия среди таких сиуаций х, для которых выполнены равенства:

_ГЛ^хо1*0 = 8Л^х1^*¹Х i = A,....,N. (9)

24 Тогда система (8) перепишется в виде или

/С(1 - Г ,

—-----(х-х,) = х, i =1,....^ .

V ^rf>

Отсюда находим ее решение x? = x^-c,x°/C),i = k....,yV.

где х = (^ -1)— ----- .

Чтобы х° были неотрицательны, достаточно, чтобы было выполнено только одно неравенство х^ > 0, или

NrD         (N^)rD l-a“^-l  \-a" N-2  ' V

Из (6) следует неравенство г w и, следовательно, равенство (9). Таким образом, при условии (10) ситуация равновесия найдена.

Пусть вместо (10) выполнены неравенства

(^2>Б       (/V-l)^

-^> L-g ли

\-а   N-3 I-a N-2

Покажем, что в этом случае ситуация равновесия имеет вид:

х° =х°(1--^—х°/С), 1 -а

Банком с номерами ^ = l,...,^ —I, невыгодно отклоняться от своих стратегий х°, образующих ситуацию равновесия игры N-\ лица. Покажем, что У-му банку невыгодно производить товар. Действительно, из условий (6) и (II) вытекают неравенства

(N-3yD        

Ъ / 1-а г» _   i _a

1-а   N-4 ’ Y-a   N-3

ит.д.

• §2 . Роль рекламы в конкурентной борьбе банков на рынке сбережения

В предыдущих частях мы уже отмечали роль рекламы на рынке олигополии. Теперь рассмотрим также математическую модель максимизации чистых прибылей N коммерческих банков, только в отличие от предыдущего случая будем считать, что каждый банк проводит рекламную деятельность, чтобы привлекать к себе вкладчиков. Кроме того, будем считать, что каждый банк в состоянии установить ставку кредита через рекламы. Сделаем естественное предположение о том, что кто делает много реклам, тот привлекает много вкладчиков (т.е много денег) при равных депозитных ставках. Пусть уД0<х<г)-процентная ставка депозита, которую предлагает /-й банк, aj - число, характеризующее объем рекламы, который проводит /*-й банк. Тогда оплату / -го банка по его ставке выразим формулой

_ад£_.„

Jt=l где С - предложение рынка для депозита, <УУ.

-^------- - вероятность привлечения ^кУк + А

А=1

денег / -м банком, А > 0 - фактор, препятствующий привлечению вкладчиков. Через d > 0 обозначим общую для всех цену рекламы. Это означает, если реклама идет через телевизор, то d выражает цену рекламы за единицу времени, а если через газету, то цену печатных листов и т.д. Мы предполагаем, что кредитная ставка г постоянна, а весь депозит D^ /-го банка зависит от предлагаемых ставок следующим образом:

DXyУО—Г^--с. ^^у^Л к-\

Тогда задача максимизации чистой прибыли /-го банка выглядит как плу,,.,у,>г-У£У^1-Х^Ук + А

--Л-^->шах,  (12) Уау* t=i

0<у, , 1 = 1,...,N , где du, - затрата на рекламу, Fs - другие расходы (постоянные), ц - установляемая госбанком доля депозита, которая не подлежит кредитованию. В этой модели неявно предполагается, что каждый банк через рекламу собирает деньги потенциальных вкладчиков в виде сбережения, а потом (]-д)-ю часть из них раздают потенциальным заемщикам в виде кредита с постоянной ставкой г. Согласно нашим предположениям, вероятность неотдачи своих денег этим банкам равна

А

N            ’

Цд^ + А t=l а количество денег, находящееся вне этих банков, соответственно равно

АС

n

При фиксированных k^i функция (12) имеет унимодальный вид, т.е. строго ква-зивогнутый вид с единственным максимумом, и поэтому решения задач (12) в смысле равновесия Нэша находятся из условий:

n^(yP...,yw) = 0, r         (l-^)-^2-

~²У, Х^К + А - У. О - Ж = °,

Решая эту систему из N уравнений с N неизвестными, мы определяем единственную точку равновесия: у" =(у",...,А).