Инфляция вблизи максимума потенциала для космологической модели с вращением

смотреть копию этой лицензии, посетите

В работе [1] описаны результаты наблюдений телескопа "Планк": "Представлены данные по анизотропии микроволнового фонового излучения в диапазоне ~ 25–1000 ГГц, полученные на космическом телескопе за первые 15,5 месяцев наблюдений. Эти данные являются во многих отношениях самыми точными и полными на сегодняшний день. На их основе удалось уточнить ключевые космологические параметры, причем в некоторых случаях новые значения заметно отличаются от полученных ранее другими телескопами (WМАР и др.). Так, согласно совокупности новых данных телескопа "Планк" и данных других наблюдений, барионное вещество во Вселенной составляет примерно 4,8 % общей плотности, темная материя – 25,8 % (до наблюдений телескопа "Планк" для этой величины принималось значение 22,7 %), темная энергия – 69,2 %, а уточненная постоянная Хаббла равна H = 67,8 км с ^-1 Мпк ^-1 ".

Как отмечалось в работе [4]: "cтатисти-ческая значимость другой аномалии – глобальной анизотропии – остается низкой, и результаты телескопа "Планк" полностью удовлетворяют Стандартной космологической ΛСDМ-модели. На данный момент имеется общепринятая точка зрения, что наша Вселенная однородна и изотропна".

Но, на наш взгляд, за пределом чувствительности телескопа "Планк" возможен особый тип анизотропии в 4–пространстве, обусловленный космологическим вращением. Как ранее рассматривалось в работах [2, 3], "при теоретическом моделировании космологического вращения целесообразно использовать метрики различных типов по Бьянки, которые не противоречат наблюдаемым данным. Отметим, что в современной космологии весьма актуально исследование темной энергии (неизвестной субстанции, которая приводит к ускоренному расширению), а также темной материи".

Большинство современных моделей инфляции полагают, что инфляция (де Ситте-ровское расширение) идет от планковского времени до t ≈ 10 ^{- 35} с (время окончания фазового перехода) [1].

В работе [9] приводится следующая оценка: "Вселенная увеличивает свои размеры от планковского ( t ≈ 10-33 см) до гигантско- го радиуса, существенно превышающего размеры Метагалактики. В некоторых простых моделях размер пузыря, возникающего на де Ситтеровской стадии, достигает 1010 см".

В работе [6] приводится другая возможная оценка размеров Вселенной: 10 800 см.

В наших работах [4, 5] рассматриваются полные сценарии эволюции Вселенной с учетом инфляционной стадии, происходящей в период Великого объединения, причем темная энергия вращается. При этом в [4, 5] потенциал скалярного поля имеет вид типа потенциала Хиггса.

В настоящей работе мы рассматриваем первую инфляционную стадию с метрикой, удовлетворяющей структурным соотношениям типа IX по Бьянки для случая инфляции вблизи максимума потенциала (по старой терминологии, – "новая инфляция" [6, 7]). Исследована эволюция вращения темной энергии, которая моделируется в нашем случае с помощью анизотропной жидкости.

• 1.    Описание первой стадии инфляции

Будем считать, что потенциал инфлато-на вблизи начала координат имеет вид

λ

U ( ϕ ) = U -   ϕ ⁴ , U , λ - const .

Предположим, что начальное значение инфлатона близко к ϕ = 0 , тогда во Вселенной действительно реализуется инфляционный режим. Близкое к нулю начальное значение инфлатонного поля ϕ , необходимое для реализации рассматриваемого сценария, может возникать следующим образом [7].

Предположим, что до инфляции во Вселенной имелась горячая среда, находившаяся в состоянии, близком к состоянию термодинамического равновесия. Эффективный потенциал скалярных полей при высоких температурах отличается от нуль-температурного потенциала U(ϕ) , причем минимум этого эффективного потенциала находится при ϕ= 0 . При этом начальное значение инфла-тонного поля естественным образом оказывается равным нулю. По мере расширения Вселенной и понижения температуры эффективный потенциал постепенно превращается в нуль-температурный и начинается инфляци- онная стадия [7]. Укажем, что в рамках "новой инфляции" интерес представляет случай, когда медленное скатывание заканчивается при сравнительно небольшом значении ин-флатонного поля.

В данной работе, как и в работе [10], в рамках общей теории относительности мы будем искать решение на основе метрики типа IX по Бьянки вида ds2 = (dt + Аш1)2 - (Вт )2 - С2((®2)2 + (®3)2), где A,B,C – функции, зависящие от времени, т1, a)2, Ш есть 1-формы, удовлетворяющие структурным отношениям типа IX по Бьянки.

Будем рассматривать метрику (1) в тетрадном представлении. Лоренцевая тетрада имеет следующие ненулевые компоненты:

e ⁽⁰⁾ = 1, e ( ⁰⁾ =- A sin x ³, e ⁽⁰⁾ = A sin x 'cos x 3 ,

p - плотность энергии анизотропной жидкости, п , ст - компоненты давления анизотропной жидкости, и_а = д£ - вектор 4-скорости, сопутствующей анизотропной жидкости в проекции на тетраду, х = { 0,1,0,0 } -проекция на тетраду вектора анизотропии.

Уравнения Эйнштейна (3), при учете (4), (5), (6) примет вид

( 8 ССk ² + 4 С² k ² - 1 2 С² а ² - 3 k² а ² + а ⁴ - 4 а ² ) 4 С ²а²

= -£

-

а ² + k² 2 а²

? ²

- U ,

k ( 4 сС - 4 С : ²

2 С ² а

-

а ² ) k .2 —¹ = — (p ,

а

( 8 СС а ² + 4 С ² а ² -12 С ² k ² + k ² а ² - 3 а ⁴ + 4 а ² ) 4 С ² а ²

e ⁽¹⁾ =- В sin x 3 , e (1) = В sin x 1 cos x 3 ,       (2)

e ^(:2) = С cos x 3 , e ⁽²⁾ = С sin x ¹ sin x ³,

e ⁽³⁾ = C cos x ¹, e ⁽³⁾ = C .

Источниками гравитации для нашей модели являются сопутствующая анизотропная жидкость и скалярное поле. Рассмотрен случай: A = kC , В = а С ( k , a =const).

Мы ищем космологическое решение уравнений тяготения Эйнштейна для метрики (1), записанных в тетрадной форме:

R - ¹ ПR = ^ Tk .          (3)

ik          ik             ik

Выберем такую систему координат, чтобы K = 1, c = 1.

Формула тензора энергии – импульса скалярного поля имеет следующий вид:

Tjj = p,^,j -{1 p,k^,g -U(^gij, где скалярное поле (p удовлетворяет уравнению:

d i (J-gg*?, k) + dU = °-

4-g' dp

Формула тензора энергии-импульса анизотропной жидкости имеет вид

T ab = ( ^{П + £} ) u a u b ^{+ ( CT} - ^П ) X a X b - ^П П ab , ⁽⁶⁾ где u _a u^a = 1, x _ax^a =- 1, X a U a = 0, P >  0 ,

= - ст -

а ² + k² 2 а²

p ² + U ,

( 8 ССk ² + 4 С ² k ² - 8 СС а ² - 4 С² а ² + k²а ² - а ⁴ ) 4 С ²а ²

= п +

а ² - k ² 2 а²

p2

- U ,

Рассмотрим первый случай:

Решение для системы (7) было рассмотрено в работе [10].

Будем считать, что начальное значение поля p есть р ₀, и оно близко к нулю. Пред-

положим, что для первого случая p (t ) = p ₀ e^H ( ? = const ).

В нашем случае уравнение (5) преобразуется к виду:

3С .    а2 dU p +---Р '   •----7---

С     а ² - k² d p

Причем dU

---= -Ap . dp

= 0.

Тогда уравнение скалярного поля примет вид:

• •

3C .

p+—p

а

—

а ² - k ²

Ap 3 .

Масштабный фактор С = C ( t ) находим из уравнения (10):

С = С _о exp

к

_^О^, 6 H ² (а ² - k ² )

2 Ht

-

Ht .

³ 7

Тогда р = mP0emt,emt = P ,eH P0

H / m f - 1 к - 0 J

Условия медленного скатывания

th ( Ht ) =

• •

р

г С •

3 — р

С

<< 1 ,

^{р 2}

2 H / m

- |   - 1

к - o 7

2 H / m

- 1   + 1

к - o 7

2 U ( р )

<< 1

Уравнение скалярного поля примет вид:

для нашего случая имеют вид:

H2 (а 2 - k2)     , л 2 л 2 2Ht   тт2С 2 ГЛ << а Лр^ e  — H (а — k )

2р₀' H² e^{2 Ht} 4 U ₀ - Лш о4 e⁴ Ht .

Более интересен второй случай. В приближении медленного скатывания мы опускаем в уравнении скалярного поля р . А в системе уравнений Эйнштейна предполагаем 2

1 2     „ 2             P k << а , и тогда — можно считать кинети ческой энергией скалярного поля и поэтому

6                   ^{P 2}

пренебрегаем членами с .

Из системы уравнений Эйнштейна получим выражение для масштабного фактора C = C (t ):

3 ( 2 .      а² dU „

— += 0.

C     а ² - k² d P

3 Hth ( Ht ) m P +   ^а — = 0.

а ² - k ² d p

2 H / m

,       I ^— I - 1

тт T 1 и а - k Г к р0 7,

U = U - 3 Hm--=— ---™pd р

0               22

а      Iр1+ к -0 7

Возможны различные решения для данного интеграла.

1) Если m/H = 1, то

U = U 0

-

— 2 р о ln

3 H ² ( а ² - k ²)

2 а²

( P ² + P 0 ²

-

P

+ 1

к ^р 0 7

).

C = — ch ( Ht ).

2 H

Решение системы будет иметь вид:

,1 2    ,г\H ²    ( 1 - ( а ² - k ²))

‘ = 3(а - k )а            , а = -З(а2 -k2)H2212^, v        J а2          C2      ’

Исследуем эту функцию:

dU     3 H ² ( а ² - k ²) р ( р ² - P 2 )

d p          а ²        ( р ² + р 2 ² )

Мы получим один минимум при р = 0 и два максимума. Выбираем максимум при р > ^0, р = P 0 :

3 H ² ( а ² - k ²) р 2

U min (0) = U 0\         ,

2 а

п = - з ( а ² - k ²) H y- . а

U _max( P 0 ) = U 0 -

3 H ² ( а ² - k ² ) р 2

а2

(1 - ln2).

У нас параметрами модели являются а , k и H .

Мы предполагаем, что р(t) = рem, m > 0, р0 = const.

При этом U (0) <  U ( ф ).

2) Если m = H .

Тогда можно найти приближенное решение интеграла через разложение в ряд подынте-

гральной функции при условии ф: ф0. Огра- ничимся первым членом ряда. Получим:

2H где l =

U = U _o + 1ф²

- 1т ф 2

ф

V ф о 7

3 H² ( а ² - k ²) а

Как и в предыдущем случае, проведем исследование этой функции:

dU           2-- --1

---= 2 1 ф - 2 1Н ф ^m ф ^m .

d p

Мы получим один минимум при ф = 0 и два максимума. Выбираем максимум при

Ф >  0, ф = ф₀H⁰'^5(H m ^{- 1 )} :

Umn(0) = Uо, итх(ФоH“^H/m-1)) = Uо + фH('-1) -ЬфHm(Hm-1)

Условия медленного скатывания:

• • ф

3 С ф

С

— cth ( Ht ) <<  1, 3 H

ф² 2 U ( ф )

2 2

m ф

U о + 1 ф ² - 1т ф 0 ^ф

2 H / m

<< 1.

V ^ф о 7

На первой стадии инфляции при т = H условия медленного скатывания будут выполняться.

После окончания первой инфляции энергия скалярного поля переходит в энергию рожденных частиц, а анизотропная инфлатон-ная жидкость переходит в темную энергию, которая наблюдается на современной стадии эволюции Вселенной.

Заключение

Следуя рассуждениям из работы [8], мы можем полагать, что этап первой инфляции в развитии Вселенной может начаться в период Великого объединения.

Это значит, что согласно современным представлениям, этот этап начался при t_x = Ю ^{- 3}7 c и закончился при t₂ = Ю ^{- 35} с.

Как известно, в настоящее время Вселенная переживает этап второй инфляции.

В промежутке между первой и второй инфляциями, согласно стандартной ΛСDМ-модели, должны быть пройдены так называемые фридмановские этапы эволюции Вселенной. Ранее подобные исследования были проведены нами в работах [4, 5].

Вращение темной энергии, которая моделируется с помощью анизотропной жидко- k сти, имеет вид ю = -^. Расширение и уско- рение анизотропной жидкости имеют вид

3 C „ кС

=---, a =---. Сдвиг отсутствует.

С    аС