Информативные свойства зонной пластины

ИНФОРМАТИВНЫЕ СВОЙСТВА ЗОННОЙ ПЛАСТИНЫ

Простейшим фокусирующим элементом компьютерной оптики является зонная пластина (ЗП) Френеля или Релея-Вуда, принцип работы которой основан на кодировании фазы волнового фронта в виде определенных фазовых задержек. В настоящее время такие элементы находят самое широкое применение в различных спектральных диапазонах длин волн: от рентгеновского до сантиметрового [1], предполагается использовать их и в качестве специальных телескопов [2].

В настоящее время достаточно подробно изучены фокусирующие и частотные свойства ЗП в осесимметричных пучках для плоского [з] и сферического [4] падающих волновых фронтов. В то же время остается открытым вопрос об информативности формируемого изображения, которая определяется, главным образом, числом разрешаемых элементов изображения в кадре, "качеством" изображения внеосевого источника излучения, предельным частотным диапазоном, в котором сохраняется работоспособность ЗП и т.п»

Основной целью данной работы является изучение информативных возможностей светосильной ЗП, определение ее поля зрения, числа элементов изображения в кадре, связь этих характеристик с частотными свойствами. Приведены результаты исследований, полученных в начале 80-х годов.

Расчетные соотношения .Геометрия задачи поясняется на рис. 1. Центр ЗП совмещен с началом прямоугольной системы координат (х, у, z) , ось 0Z направлена по нормали к пластине и совпадает с оптической осью радиообъектива. ЗП рассчитана для осевых положений излучателя с координатой г_д = -А<0 и точки фокусировки с Z_B = В>0; радиусы зон определяются по формуле [4]:

• -           nA А² - В²

R = [i(A + В + —-- + ------------г—)  - А2] /=,                               (1)

• ^{п 4}      “ А + В + ф

где А_о - длина волны, расчетная для ЗП и отличающаяся в общем случае от длины волны X, дифрагирующей на ЗП. Если D - заданный диаметр ЗП, наибольший номер ⁿmax ^{= N выби}Р^{ается из} Условия ^£0/2.

1. Расчет дифракционного объектива

Дифракционное поле определялось численно посредством интеграла Френеля-

Кирхгофа, представленного в следующем виде

Rn          2 тс

U(P) = с 2  / pdp / fexp(12пф)6ср,                                           (2)

l,n R         0

где f = (z^/r^ - ^z₁/r₁)/r^r₁; ф = (r^ + r^JX,

• p, ср - радиус и угол в полярной системе координат в плоскости Z= 0; г^ - расстояние от точки с координатами (pcoscp, psincp, 0) до точки Р^, Р^ соответственно.

Аналогично вычисляется поле в точке Р^ при замене в (2) координат точки

Р-^ на Р^; С - константа нормировки, n = N, N-2, N-4,...,q, где q равно 1 и 0 при четном и нечетном N соответственно. Использовалась методика расчета, предложенная в [4] .

Сопоставление расчетов по (2) с экспериментами проводилось по интенсивности дифракционного поля W = U • U*.

Экспериментальная техника. ЗП, рассчитанная согласно (1) при D = 200Х_о,

В = А = 2D, изготовлялась из фольгированного гетинакса по методике, изложенной в [4].

В качестве генератора электромагнитных колебаний служила лампа обратной волны, нагруженная на волновод сечением 1,6 х 0,8 мм2, открытый срез которого являлся одиночным точечным истдчником излучения.

Сканирование распределения интенсивности дифракционного поля в свободном пространстве осуществлялось открытым концом волновода сечением 1,6 х о,8 мм2, нагруженным на детектор излучения на барьере Шоттки, сигнал с которого усили- вался и подавался на регистрирующее устройство. Перемещение приемного устройства в различных направлениях производилось микрометрическим механизмом, установленным на оптической стойке. Задавая различные положения приемного конца открытого волновода с детектором относительно ЗП и снимая в этих точках показания регистрирующего устройства, можно было построить экспериментальные зависимости интенсивности дифракционного поля от координат.

Одиночный точечный источник излучения

Для оценки поля зрения и числа элементов изображения в кадре для объектива на основе ЗП была проведена серия вычислительных и физических экспериментов по исследованию качества изображения точечного источника излучения. Из геометрии задачи ясно, что при удалении точечного источника излучения от оптической оси его изображение будет перемещаться не в плоскости, а вдоль некоторой поверхности - назовем ее поверхностью наилучшей фокусировки (ПНФ) FF" (см. рис. 1) В первом приближении профиль образующей ПНФ можно определить из условия равенства оптических путей лучей, проходящих от источника излучения до его изображения через центр ЗП и границу n-й зоны Френеля. Учитывая также геометрию задачи, можно записать;

( У(х,-хп) a+z3 + У^-х,,) a+za = v/Tza-zi)2 + (x=-x1)a + n2'              (3^

|*1Z2= X2Z1'

где (х1 , z^, (x^, zj - координаты источника излучения и его изображения соответственно, х - расстояние от центра ЗП до некоторой точки на границе n-й зоны п

Френеля. При записи системы (3) было предположено, что у1 = у2 = 0, что не снижает общности задачи. Приведенная система уравнений (3) решалась численно, причем для лучшего совпадения с точными расчетами по (2) проводилось усреднение величин (х2, z3) для крайних значений n:n = 1 и n=N. Найденные таким образом величины (х2, z2) являлись начальным приближением для определения их точного значения по (2) .

Результаты исследований. Для D>200X, А = В = 2D были выполнены эксперименты по определению разрезов дифракционной картины от одиночного источника (L = 1) при различных отношениях h = (0, 16, 20, 24) к R^ на поверхности наилучшей фокусировки в виде разрезов W(x") при у=0 и W(y") при х”=х^. Эти результаты приведены на рисунках 2 и 3. Каждая точка на графике есть результат усреднения 15 - 20 измерений. На рисунках 2 и 3 нанесены также расчеты по (2) в виде различных линий. Аргументы функций W(x" ) или W(y’*) отсчитываются относительно положения центра изображения в точке Р’ (х^, 0, z"), где х^, z^ - координаты пересечения прямой Р*Р с дугой FF" при заданном h* = B/A*h.

Как видно из приведенных рисунков, эксперименты совпадают с расчетами вполне удовлетворительно: среднеквадратичное отклонение всей серии измерений от расчетов составляет “3%.

Приведенные результаты исследований показывают, что ЗП с относительным отверстием D/B~l/2 и апертурой D/X~200 обеспечивает разрешение в кадре на ПНФ порядка 50 х 50 дифракционных элементов. В случае плоского кадра изображения, как показали исследования, число элементов изображения уменьшается до -30 х 30 и.

Проводились также численные и экспериментальные исследования, аналогичные вышеизложенным, но при других длинах волн, отличающихся от расчетной Хп на ±10%.

W(XN), отн.ед.

Рис. 2. Распределение интенсивности поля для внеосевого источника излучения на поверхности наилучшей фокусировки:

Теория

Эксперимент

(хи-х*1/1^

О

Рис. 3. Распределение интенсивности поля для внеосевого источника излучения на поверхности наилучшей фокусировки:

Теория

Эксперимент

У"/Пэ о

Получено при этом, что в соответствии с результатами работы [4] положение фокальной плоскости (и поверхности наилучшей фокусировки) смещается в зависимо сти от X; в остальном - при соответствующем представлении данных - описанные свойства ЗП сохраняются. Форма ПНФ в указанном спектральном диапазоне не изменяется .

Система точечных когерентных излучателей

Для изучения вопроса о влиянии интерференции между системой точечных когерентных синфазных излучателей на форму ПНФ и число элементов разрешения в кадре были проведены соответствующие вычислительные эксперименты. Расчет по (2) проводился одновременно для L=9 источников, высота которых выбиралась с равномерным шагом h1 = В/А • 8$^ • (1-1); 1=1,,..,9,                                          (4)

где R^ = 1,2197Х B/D - радиус Эйри.

Расчеты интенсивности поля W=|U|2 были выполнены в различных точках плоскости XOY и выводились на экран полутонового дисплея. В результате получалась визуализированная область сходящихся волн, которая представлена на рис. 4 (на рисунке пучок от осевого источника с номером 1=1 показан только для полупространства х>0) .

В этих исследованиях было также подтверждено предположение о возможности расширения поля зрения радиообъектива на основе ЗП при увеличении D и сохранении на постоянном уровне относительного отверстия D/B=l/2.

Из рис. 4 следует, что при DS300X изображение источника с номером 1=5 еще удовлетворительно на некоторой дуге наилучшей фокусировки. Следовательно, максимальное число разрешаемых по критерию Рэлея элементов изображения на криволинейной строке составит *64.

При увеличении D вдвое число разрешаемых элементов в строке возрастает до 80-90, однако размеры антенны при этом весьма велики.

Расчеты, выполненные для условий эксперимента D=200X, дают **50 элементов изображения в строке.

Далее из рис. 4 следует, что поверхность наилучшей фокусировки обладает значительной кривизной и вогнута в сторону ЗП. Профиль дуги FF” (см. рис. 1) приближенно описывается дробностепенной зависимостью

△ В = H'h³/a,                                                                 (4)

где Дв - стрелка прогиба дуги ri’" относительно плоскости Z=Z в мм; h - высота в мм. Оценки константы Н для D/X=300, 450 и 600, полученные из рис. 4 с учетом (4), для 1=5, 6 и 7 дают значения, близкие к 1,9-10 2; 1,7-10 2; 1,6-10 2 мм 1'а соответственно.

Рабочий спектральный диапазон ЗП. В работе [4] подробно исследованы частотные свойства ЗП при осевом точечном источнике излучения. Показано, что ее частотные свойства удовлетворительно описываются аналитической зависимостью, полученной в [4] из выражения для радиусов зон Френеля:

А²+ (А+пт) ^a~2VA³+R² • (А+п^)

В (А) - ------Ц=--2------±- .                               (5)

2VA2+R3-2A-nA п

Из приведенного выражения легко оценить рабочий спектральный диапазон ЗП, рассчитанной на преобразование расходящегося сферического волнового фронта в

D/X-619,

476,

Рис. 4. Визуализированная область сходящихся пучков для апертуры D/X=619, 476, 333

сходящийся сферический. Минимально допустимая длина волны ^m^n определяется из условия В*°°; приравнивая в (5) знаменатель к нулю, имеем:

X .  = £(VA2+R2 - А).                                                               ( min n n

Аналогично при максимально допустимой длине волны ^maxf В-*0 , отсюда с учетом (6) из (5) имеем

X = X . + Л2. + 2А(A+VA3+R2)— .

max min min             n n2

Учитывая, что обычно X . «X , имеем min max

Xmax= <[2A(A+„^^)] Va.

Полученные соотношения (6), (7) определяют рабочий спектральный диапазон ЗП.

В случае ЗП, преобразующей плоский падающий волновой фронт в сходящийся сфери-

^аский, аналогичным образом легко получить, что

X . =0, X = - R . min ' max n n Это указывает на большую широкополосность данного типа ЗП.

Оценим добротность дифракционного объектива. Для этого рассмотрим ход лучей от точечного осевого источника излучения до его изображения через крайнюю зону ЗП. На пути m=m1-nn2» Va2+D^/4 + Vb^+D2 /4

уложится п0 длин волн: nQ= (m1+ша)/Хо. При расстройке длины волны XQ на малую величину АХ, значение п0 изменится на Ап. Пусть Дп=1, тогда

Х=Х0+АХ, п=по”Дп,

* no-l«(m1+ma)/(Xo+AX), по=(т1+та)/Хо.

Отсюда следует, что ДХ/Х0=Х0/(m1+ma-X0). Учитывая, что X=c/f, dX= -cdf/f3, имеем

Af _   _____с_____ f0 - fo(m1+ma)-c "

Таким образом, для разности хода, равной XQ, расстройка по частоте составляет Af“—с/(m1+ma). Пусть fQ-150 ГГц, m1=ma=50 см, тогда Af“300 МГц. Отсюда эффек тивная добротность ЗП составляет fo   f0

* 500.

Q = Те *       "  -12 -—— v Af        c           Xo

Следствием полученного выражения является очевидный факт, заключающийся в том, что добротность дифракционного объектива пропорциональна его относительной апертуре Q**(D/X), т.к. m1ra-D. Кроме того, с этой точки зрения предпочтительнее длиннофокусные систеьед, поскольку Q“A, В.

Рассматривая аналогичным образом значение добротности для внеосевого положения источника излучения и его изображения, легко получить, что, например, при

А“В~2 D и смещении точечного источника излучения от оптической оси на границу поля зрения (Ax**D/4), отношение добротностей для внеосевого и осевого положений источников излучения составляет величину, близкую к единице. Отсюда следует важный вывод о том, что добротность дифракционного объектива при фокусировке электромагнитной волны от точечного источника излучения слабо зависит от его положения в фокальной плоскости.

Заключение

Приведенные результаты исследований осесимметричной зонной пластины показали следующее:

• -    она сохраняет свои фокусирующие свойства для внеосевых положений источников излучения и может быть использована в качестве дифракционного объектива в широком спектральном диапазоне;

• -    ЗП с относительным отверстием “1/2 и апертурой **20ОХ обеспечивает до *50 х 50 элементов разрешения по критерию Рэлея на поверхности наилучшей фокусировки, образующая которой может быть описана кривой вращения вида у“х³/²;

• -    в плоском кадре число элементов изображения уменьшается примерно в два раза;

• -    при увеличении апертуры ЗП D/Х вдвое (при постоянном относительном отверстии) число элементов изображения в кадре увеличивается в “1,6 раза.

Получены соотношения, описывающие рабочий спектральный диапазон ЗП, оценена ее добротность для осевого и внеосевого положения точечного источника излучения.