Интеграция математических методов при обучении решению задач в курсе алгебры средней школы

Гуманизация образования на современном этапе вызвала ряд новых проблем в методике преподавания школьной математики. Одной из них является проблема интеграции курсов алгебры и геометрии, которая в психофизиологическом плане выступает как проблема оптимального сочетания образного и логического мышления при обучении математике. Наиболее актуальна данная проблема для курса алгебры.

Особенность алгебры такова, что она перенасыщена формальными компонентами деятельности. Это создает определенные сложности в усвоении ее содержания, а также в приложении ее к другим предметам школьной программы и к практике.

Как показал анализ, большинство алгебраических задач ориентировано на использование стандартных методов решения, представляющих собой алгоритмы. Применение только алгоритмических методов снижает уровень самостоятельности учащихся при поиске путей решения предложенной задачи, они часто действуют по шаблону, не замечая иногда другого, оригинального, решения этой же задачи, идущего от наглядных представлений. Графический же компонент (в широком смысле слова — рисунки, чертежи, графики, схемы) в современной школьной алгебре представлен недостаточно, что отмечают многие метод исты-математики: А. Я. Блох, В. А. Далингер, И. А. Павленкова, Е. К. Попова, П. М. Эрдниев и др.

Алгоритмичность алгебры является ее спецификой, исключить которую полностью невозможно, но можно нейтрализовать отрицательные стороны этого явления путем обучения геометрическому методу решения алгебраических задач, предполагающему систематическое и последовательное использование геометрических представлений в курсе алгебры и установление конкретных связей между двумя математическими дисциплинами.

В процессе исторического развития связь между алгеброй и геометрией выступала в двух видах:

• 1)    в виде геометрической алгебры древних, изложенной во второй книге „Начал" Евклида;

• 2)    в виде аналитической геометрии Р. Декарта.

В известном смысле почти всю математику можно рассматривать как развивающуюся из взаимодействия алгебры (первоначально арифметики) и геометрии, а если говорить о методе — из со-

четания выкладок и геометрических представлений.

Интеграция наук находит отражение в содержании школьного образования. Главная идея реформирования системы образования в настоящее время заключается в том, чтобы интегрировать учебный материал, уплотнить его, установить зависимости и межпредметные связи, которые позволят эффективно дифференцировать усвоение материала учащимися на обязательном и углубленном уровнях.

В области математики межпредметные связи можно устанавливать не только в процессе усвоения теоретического материала, но и при знакомстве с методами решения задач. Например, разработаны методика реализации связей между алгеброй и геометрией путем решения геометрических задач аналитическими методами (Т. А. Иванова), обобщенный способ решения задач, основанный на теории множеств и применимый как к алгебраическим, так и к геометрическим задачам (Е. Н. Перевощикова). Наш подход заключается в использовании геометрического метода при решении алгебраических задач.

Традиционно под геометрическим методом решения задач в курсе алгебры понимается конструктивный прием, когда решение выполняется с помощью точных построений и ответ задачи получается прямо с чертежа. Это ограничивает возможности использования геометрических представлений, в частности при решении текстовых задач. Мы понимаем этот метод более широко: как метод решения, заключающийся в использовании геометрических представлений (изображений), законов геометрии и элементов аналитических методов (уравнений, систем уравнений, арифметических выражений и др.). При этом мы исходим из того, что геометрические представления возникают на основе геометрических знаний и геометрической интуиции, а геометрическое представление условия алгебраической задачи является ее геометрической моделью.

В контексте вышесказанного геометрический метод решения алгебраических задач составляют два приема: конструктивный и конструктивно-аналитический. Первый предполагает построение решающей геометрической модели задачи, от вет в данном случае находится, например, путем измерений длин отрезков или других элементов чертежа. В таком понимании геометрический метод включает в себя графический метод в узком смысле (т. е. когда в качестве вида графического изображения выступает график). Второй прием заключается в построении вспомогательной геометрической модели задачи, решение которой осуществляется либо арифметическим путем с использованием чертежа, либо путем составления уравнения (системы уравнений), основывающегося на точных геометрических соотношениях (равенства, подобия, равновеликости и др.).

В курсе алгебры средней школы можно использовать три вида геометрических моделей:

• 1)    линейные диаграммы;

• 2)    двумерные диаграммы в виде площади прямоугольника, треугольника, трапеции и т. д.;

• 3)    графические модели, построенные с помощью графиков элементарных функций.

Геометрическая модель каждого вида предполагает использование соответствующих геометрических знаний и умений. Если моделью является линейная диаграмма, то основными понятиями служат длина отрезка, свойства длины отрезка, действия с отрезками и др. В случае двумерной диаграммы — площадь, свойства площади, площадь прямоугольника, треугольника, способы построения равновеликих прямоугольников и т. д. Когда применяется графическая модель, то используются свойства вертикальных углов, свойства и признаки параллельных прямых, теорема Пифагора, признаки подобия треугольников и др.

Таким образом, для решения алгебраической задачи геометрическим методом необходимо:

• 1)    построить геометрическую модель задачи (решающую или вспомогательную);

• 2)    найти ответ задачи. Если модель решающая, то ответ (возможно, приближенный) получается из чертежа. В случае вспомогательной геометрической модели нужно:

• а)    составить числовое выражение или уравнение (систему уравнений), используя свойства геометрических фигур или величин;

• б)    найти значение числового выражения или решения уравнения (системы уравнений);

• в)    исследовать полученные решения.

Обучение решению алгебраических задач геометрическим методом целесообразно вести параллельно с их решением алгебраическим методом, показывая преимущества и недостатки каждого метода. В поелсдствин необходимо предоставлять учащимся право выбора метода решения задачи в соответствии с их стилем мышления.

Использование геометрического метода при решении алгебраических задач приведет к установлению конкретных связей между алгеброй и геометрией, укрупнению дидактических единиц в обучении алгебре и предупреждению формализма в знаниях учащихся.

НЕКОТОРЫЕ АСПЕКТЫ ВЛИЯНИЯ ИНТЕГРАЦИИ

МАТЕМАТИЧЕСКИХ, ФИЛОСОФСКИХ И ПЕДАГОГИЧЕСКИХ ЗНАНИЙ НА ОБОСНОВАНИЕ ПРОЦЕССА ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ

Образование как социальный институт существует всегда в конкретной социальной среде со свойственной ей культурой, т. е. в определенном социокультурном пространстве, которое через различные структуры прямо или косвенно детерминирует функционирование образовательных систем. Невозможно опровергнуть закон социальной обусловленности воспитания и образования, действию которого подчиняется развитие целей образования, его содержательной и процессуальной составляющих.

Одним из факторов, обусловливающих функционирование образовательных систем, являются философские теории и положения, которых придерживаются педагоги-ученые, занимающиеся выявлением закономерностей, свойственных тече нию образовательного процесса, проектированием содержания и процесса обучения. Именно руководствуясь философско-методологическими воззрениями, господствующими в данный исторический период, осмысливают в педагогическом научном сообществе предназначение образования, его характерные особенности, его настоящее и будущее. Однако в мире науки существует множество философских школ и направлений, придерживающихся различных взглядов на основополагающие отношения окружающего нас мира и его познание. К работам каких философов обращаются педагоги?

Теория и методика обучения математике традиционно строили научные обоснования методических положений, главным образом исходя, с одной стороны,