Интеграция науки и образования в процессе изучения алгебраических структур школьного курса математики

В статье рассматривается проблема осуществления интеграции науки и образования в процессе изучения алгебраических структур в рамках школьного курса математики. Факультативный курс, нацеленный на изучение алгебраических структур в старших классах, способствует реализации образовательного потенциала школьной математики и содействует формированию мировоззренческих и методологических знаний учащихся.

Важным условием повышения качества математических знаний, навыков и умений учащихся является осуществление фундаментализации математического образования.

Одно из лидирующих направлений фундаментализации образования — ин теграция науки и образования. Интеграция понимается как процесс сближения и установления связей, означающий состояние связанности отдельных частей (математической науки — математического образования). Осуществление фундаментализации на основе интеграции

6 И. В. Арсентьева, 2007

науки и математического образования предполагает приобщение учащихся к творческой, исследовательской деятельности посредством формирования представлений о математических структурах, объекте и предмете современной математики, математическом моделировании и т. д.

Понятие математической структуры — одно из базисных, фундаментальных понятий курса математики. Математические структуры представляют собой результат сложного процесса абстрагирования, характеризующегося многоуровневостью. Обобщение различных подходов к классификации и типологии математических структур позволяет выделить среди них алгебраические, порядковые и топологические. Нас интересуют прежде всего алгебраические структуры.

Объект является моделью процесса изучения алгебраических структур. Базисные характеристики объекта таковы: виды алгебраических структур А., уровни математического мышления М., синтез методов обучения и адекватных им уровней учебной деятельности школьников D_k.

Раскроем компоненты модели процесса изучения алгебраических структур.

• 1.    Виды алгебраических структур A_v г = 1, 2, 3, 4: А_х — числа; А^ — термы как предметные константы и переменные; А — алгебра действительных чисел, математический анализ элементарных функций; А — абстрактные алгебры.

• 2.    Уровни математического мышления, адекватные алгебраическим структурам M.,j = 1, 2, 3, 4, 5.

• 3.    Синтез методов обучения и адекватных им уровней учебной деятельности школьников D_k, k = 1, 2, 3.

М_х — первый уровень математического мышления: число неотделимо от множества конкретных предметов, операции проводятся непосредственно над множествами предметов.

М2 — второй уровень математического мышления; числа (натуральные, целые, рациональные) отделены от кон кретных характеризуемых объектов. На этом уровне оперируют числами, записанными в определенной (десятичной) системе счисления, а свойства операций устанавливаются индуктивно (на основе эмпирической деятельности).

М — третий уровень математического мышления; осуществляются переход от конкретных чисел к абстрактным буквенным выражениям и «локальное» логическое упорядочение алгебраических объектов и их свойств.

М_Д — четвертый уровень математического мышления; имеется возможность дедуктивного построения всей алгебры в заданной конкретной интерпретации (алгебра действительных чисел), операции при этом имеют обычный смысл.

М₅ — пятый уровень математического мышления; происходят отвлечение от конкретной природы объектов исчисления, от конкретного смысла операций и построение алгебры как абстрактной дедуктивной системы вне всякой интерпретации. На данном уровне осуществляется структурная связь алгебры и геометрии (геометрия рассматривается как группа преобразований).

Компонент D_x представляет собой синтез учебной деятельности, для которой характерно применение объяснительно-иллюстративного метода в процессе преподавания и адекватного ему репродуктивного уровня познавательной деятельности учащихся в процессе обучения математике.

Компонент D₂ отражает сочетание учебной деятельности, которая в процессе преподавания математики характеризуется использованием эвристического метода, элементов проблемного подхода к изложению знаний и адекватного им частично-поискового уровня познавательной деятельности учащихся.

Компонент D3 определяет синтез учебной деятельности с применением исследовательского метода в процессе обучения математике, реализации проблемного обучения в процессе школьной учебной деятельности и адекватного им исследовательского уровня познавательной деятельности учащихся.

На основании возможных комбинаций указанных компонентов выделяются 10 разновидностей объекта , характеризующих особенности процесса изучения алгебраических структур.

<А,М ^D> — данный объект, все три компонента которого находятся на самых низких уровнях, моделирует первый этап процесса изучения алгебраических структур, который соответствует периоду обучения в 1-м классе. На этом этапе оперируют непосредственно множествами конкретных предметов.

<А М D >  — объект, моделирующий следующий уровень процесса изучения алгебраических структур. В начальной школе приобретаются навыки оперирования с числами (чтение, запись и сравнение чисел в пределах миллиона, сложение, вычитание, умножение и деление однозначных чисел), умения выполнять устные вычисления в пределах ста и письменные вычисления в пределах миллиона, находить значения числового выражения, содержащего два-три действия. Решаются простейшие линейные уравнения способом подбора на основе использования зависимости между компонентами арифметических действий.

<А М D₂> — выделение уровня, моделируемого данным объектом, возможно в процессе углубленного изучения математики. На этом этапе происходит ознакомление с некоторыми системами счисления.

Уровни, моделируемые объектами и , соответствуют среднему звену «традиционного» школьного курса. На данных уровнях осуществляются систематическое развитие понятия числа, выработка умений выполнять арифметические действия с обыкновенными и десятичными дробями, положительными и отрицательными числа ми. Далее вводится определение, решаются линейные уравнения, дается понятие равносильности уравнений, исследуется вопрос о числе корней линейного уравнения. Затем следует пропедевтическая работа по изучению функциональной линии. Позже вводятся понятия: функция, область определения и способы задания функции, возрастание и убывание функции, четные и нечетные функции. Изучаются некоторые элементарные функции, их свойства, графики. Содержание линии тождественных преобразований представлено следующим образом; законы арифметических действий и их применение для рационализации вычислений, раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых (5—6-й классы); сложение, вычитание, умножение многочленов, разложение их на множители; алгебраическая дробь, ее основное свойство, действия с алгебраическими дробями. Также изучаются тождественные преобразования рациональных выражений и выражений, содержащих корни; основные тригонометрические тождества, их применение в вычислениях и тождественных преобразованиях (7—9-й классы).

Индексное возрастание компонента D обусловлено тем, что, если в начале учитель использует преимущественно объяснительно-иллюстративные методы в процессе преподавания, то в дальнейшем (например, на этапах систематизации знаний) весьма важно применение эвристического метода, элементов проблемного подхода к изложению знаний. Соответственно происходит изменение уровней познавательной деятельности учащихся: от репродуктивного до частично-поискового.

Объекты и отражают завершающий этап обучения математике в «традиционной» школе. Содержательная линия представлена следующим образом: систематизация и обобщение знаний учащихся о действительных числах; тригонометрические, показательные и логарифмические урав- нения и неравенства. Изучаются числовые функции и их свойства, экстремумы, наибольшее и наименьшее значения функции, промежутки монотонности и знако-постоянства функций, понятие сложной функции, периодические функции. Рассматриваются тригонометрические функции числового аргумента, показательная, логарифмическая, степенная функции, их свойства и графики. Вводится понятие обратной функции, свойства графиков взаимно обратных функций, преобразование графиков функций. Линия тождественных преобразований представлена тригонометрическими формулами сложения и следствиями из них, преобразованиями тригонометрических выражений и выражений, содержащих степени и корни, логарифмическими тождествами, преобразованиями выражений, содержащих логарифмы.

Уровни, моделируемые объектами 4M₄D₂> и 4M₄D>, соответствуют углубленному обучению математике в старших классах. На данных уровнях целесообразно обобщенное изучение алгебраических операций и их свойств, рассмотрение понятий группы, изоморфизма и гомоморфизма групп.

• <к М D >  — все компоненты модели соответствуют самым высоким уровням характеристик предыдущих объектов. Такой объект отражает уровень обучения на первых курсах математического факультета вуза.

В процессе моделирования переход от «простых» объектов, компоненты которых имеют меньшие индексные значения, к более «сложным» может осуществляться в соответствии с несколькими направлениями.

Направление XM_XD> —> XM₂D> -A 2M₃D> -a 2M₃D₂> -a 3M₃D> -A  отражает «традиционный» курс школьной математики.

Направление -A -A -a -a -A -а <Л4М5Д> представляет ситуацию, когда после окончания школы с «традиционным» обучением мате матике учащиеся поступают в вуз, где высшая алгебра является одним из профилирующих предметов. Очевидно, что в рамках этого направления учащиеся сталкиваются с серьезными трудностями в процессе изучения математических абстракций высокого уровня в вузе.

Направление 1M₁D> -A XM₂D> -А <А MD > -А -а <А₃МВ> -a 3m₃d₂> -a 4d> -a aM₄D> -a <А М D >  отражает углубленное изучение алгебры (например, факультативные курсы), в процессе которого систематически и целенаправленно осуществляется пропедевтическая подготовка к изучению алгебраических структур. В дальнейшем предполагается обучение на математических факультетах вузов.

Анализ содержания школьного математического образования позволяет выделить некоторые существенные недостатки процесса обучения математике: 1) неподготовленность учащихся к пониманию ряда важных вопросов научного мировоззрения и современной картины мироздания, владение которыми необходимо каждому члену общества; 2) повсеместное и систематическое снижение уровня математической подготовки выпускников школ. Результаты единого государственного экзамена, анализ ответов абитуриентов на вступительных экзаменах свидетельствуют о том, что знания большинства учащихся носят формальный характер, наблюдается отсутствие структурности и четкого понимания взаимосвязей как между отдельными понятиями, так и между разделами школьного курса; 3) многие студенты-первокурсники математических факультетов вузов, в том числе выпускники школ и классов с углубленным курсом математики, испытывают серьезные трудности при изучении математических теорий высокого уровня абстракции.

В качестве средства разрешения имеющихся проблем могут выступать факультативные курсы в рамках углубленного изучения математики. Факультативные курсы представляют собой один из наиболее эффективных механизмов интеграции науки и математического образования. Помимо выявления и развития интеллектуальных и математических способностей углубленное изучение математики предполагает выработку ориентации на профессии, связанные в перспективе с математическим циклом дисциплин.

Поскольку содержание обучения не только отражает современный уровень научного прогресса, но и может способствовать более эффективному развитию личности, проанализируем основные особенности психического развития учащихся классов с углубленным изучением математики.

Старший школьный, или юношеский, возраст — период жизни человека от 15 до 17 лет. Данный период соответствует 10—11-му классам общеобразовательных учреждений. Анализ психического развития учащихся данного возраста позволяет указать на достаточное развитие критичности мышления, склонность к обоснованию фактов, способность к выявлению дедуктивных отношений, построению логических конструкций и усвоению достаточно абстрактного материала, относительную сформирован-ность познавательных интересов, способность учащихся к систематизации знаний. Это раскрывает благоприятные условия для реализации факультативного курса, нацеленного на изучение алгебраических структур в старших классах.

Идея алгебраической структуры пронизывает весь курс школьной математики: школьники изучают числовые множества и свойства операций, введенных на них (сложение, умножение, вычитание, деление), учатся работать с многочленами или векторами (операция сложения), в старших классах знакомятся с геометрическими преобразованиями (операция композиции).

В рамках факультативного курса для изучения алгебраических структур рекомендуются следующие темы.

• 1.    Понятие алгебраической операции, ее свойства. Методологическая значи

• 2.    Понятие группы. Примеры групп. Простейшие свойства групп. Мировоззренческие аспекты использования теории групп.

• 3.    Изоморфизм и гомоморфизм групп. Изучение некоторых классов элементарных функций с привлечением понятия гомоморфизма групп. Методологические и мировоззренческие аспекты отражения математикой объектов и процессов реального мира.

мость понятия алгебраической операции и изучения ее свойств.

Раскроем мировоззренческое и методологическое значение выбора данных тем.

Алгебраические операции. Примеры алгебраических операций широко представлены в школьном курсе математики, хотя и без явного определения этого понятия. Уже в 1-м классе изучается операция сложения чисел от 1 до 100, которая ведет в дальнейшем к изучению этой операции на всем множестве натуральных чисел. Расширение понятия операции в школьном курсе математики происходит параллельно с расширением понятия числа (операции над натуральными, целыми, рациональными и действительными числами). Так как курс знакомит учащихся с некоторыми конкретными примерами и контрпримерами алгебраических операций, с их основными свойствами, можно сказать, что в школьной математике эксплицитно осуществляется пропедевтика понятия алгебраической операции и ее свойств. Исторические аспекты развития числовой линии школьного курса математики позволяют раскрыть целый ряд особенностей «борьбы» за современное понимание науки (от Пифагора — «Бог есть число» — до комплексных чисел, которые были в Древней Индии «фантастическими, невероятными, невозможными, чудовищными», но использование которых нашло себя в построении теории аэродинамики крыла самолета И. Е. Жуковским и в настоящее время незаменимо при решении проблем геодезии, гидродинамики, электродинамики, аэродинамики).

Группы. Идеей группы «пронизан» весь школьный курс математики. Знакомство учащихся с понятием группы начинается фактически уже в 1—5-м классах, когда они встречаются с понятием целого числа, сложением целых чисел, выделяют нуль, находят для каждого целого числа ему противоположное, изучают законы действий. В последующих классах школы учащиеся сталкиваются с вопросами, которые способствуют расширению их знаний такого характера.

В программе школьного курса математики эксплицитно содержатся следующие примеры групп, колец и полей:

6-й класс: аддитивная группа целых чисел, аддитивная группа рациональных чисел, мультипликативная группа рациональных чисел без нуля, кольцо целых чисел, поле рациональных чисел)

7-й класс: кольцо многочленов от одной переменной;

8-й класс: мультипликативная группа целых степеней рационального числа, отличного от нуля; аддитивная группа действительных чисел; мультипликативная группа действительных чисел без нуля; поле действительных чисел; группа поворотов плоскости; группа параллельных переносов плоскости;

9-й класс: мультипликативная группа степеней числа, отличного от нуля, с рациональными показателями; группа гомотетий.

Понятие группы обладает богатым мировоззренческим потенциалом. Например, произвольная природа геометрии (любая геометрия представляет собой группу преобразований на некотором множестве) позволяет рассматривать такие «группы преобразований», как геометрии Евклида и Лобачевского. Теория относительности А. Эйнштейна — картина современного мироздания — фактически представляет собой группу специальных преобразований четырехмерного пространства-времени (открытую нидерландским физиком X. А. Лоренцом и осмысленную французским математи ком Ж. А. Пуанкаре). Это раскрывает фундаментальность и «богатство» математики, универсальность ее методов. В кристаллографии важнейшую роль играет изучение групп самосовмещений кристаллических решеток, перечисленных русским ученым Е. С. Федоровым. Плоские федоровские группы — это группы симметрий плоских орнаментов. Алгебраические структуры применяются в теории информации. Свойство информации быть дискретной послужило фундаментом для возникновения конструктивной математики, в основе которой лежат теории алгебраических структур, групп, полей. В квантовой механике теория групп используется при отыскании связей, существующих между элементарными частицами. Отметим, что теория групп в целом является методом, средством познания истины в ряде других наук, изучающих инвариантные соотношения.

Изоморфизм и гомоморфизм групп. Изоморфизм в школьной математике присутствует как тождество структур: математические модели изоморфно отображают реальные явления (например, дом — прямоугольный параллелепипед).

Все вышесказанное позволяет сделать вывод о том, что содержание факультативного курса, нацеленного на изучение алгебраических структур, способствует более полной реализации образовательного потенциала школьного курса математики (формирование современной картины мироздания, раскрытие универсальности алгебраических структур и использования математических методов в различных сферах деятельности человека и т. д.); осуществлению интеграции науки и математического образования (в качестве одного из аспектов фундамен-тализации образования); формированию у учащихся научного мировоззрения и методологических знаний, приобщению к исследовательской деятельности и овладению умениями наблюдать, выдвигать гипотезы, планировать и осущест- влять план исследования, анализировать полученные результаты. Кроме того, содержание курса содействует преемственности математики между школой и вузом; развитию мыслительных структур и математического мышления учащих ся; их приобщению к творческой деятельности; формированию и развитию мотивационно-потребностного, эмоционально-волевого и операционно-деятельностного компонентов личности школьника.

Поступила 26.10.06.

МОДЕРНИЗАЦИЯ ЗАНЯТИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ

В КОНТЕКСТЕ РЕАЛИЗАЦИИ ИННОВАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

В статье изложены результаты разработанной и неоднократно апробированной авторами системы многоаспектного использования компьютерных технологий. Продемонстрированы примеры применения компьютеров в качестве эффективного средства их реализации на занятиях по математике в школе и при подготовке учителя в университете.

Изменения, происходящие в обществе, порождают в образовании ситуацию, когда актуализируются новые, более жесткие требования к современному уроку математики. С середины 1970-х гг. в отечественной школе обнаружилась опасная тенденция снижения интереса школьников к занятиям. Отчуждение учащихся от познавательного труда педагоги пытались остановить различными способами. На обострение проблемы массовая практика отреагировала так называемыми нестандартными уроками, имеющими целью возбуждение и удержание интереса учащихся к учебному труду.

Проникновение вычислительной техники практически во все сферы человеческой деятельности привело к тому, что главной задачей системы образования сегодня становится подготовка новых поколений к условиям жизни и профессиональной деятельности в компьютеризированной среде общества. В течение длительного периода практика применения компьютера на уроке оценивалась скептически. Это было справедливо, так как сначала нужно было доказать ее эф фективность, подготовить в учебных заведениях соответствующую материальную базу. Процесс внедрения компьютерных и интернет-технологий до сих пор идет с большим трудом. Проведенное нами анкетирование показало, что практически все учителя признают необходимость компьютеризации процесса обучения, но абсолютное большинство из них не имеют возможности использовать компьютер на уроках. Даже в больших школах с численностью около 2 тыс. учащихся, как правило, не более двух компьютерных классов. В основном они предназначены для занятий по информатике. Лишь малая доля учителей прибегает к помощи компьютера для подготовки к занятиям (13 %), еще меньшая (6 %) — обращается к Интернету в поисках интересующей их информации. Опрос учеников выявил их огромное желание систематически работать с компьютером (100 %). Компьютер интересен для них не только как предмет изучения (79 %), но и как средство обучения на уроках (88 %), способствующее повышению качества образования. Дети изъявляют также желание изучать от-

Ф А. Т. Лялькина, Н. К. Нонишнева, 2007