Интегральные неравенства в анизотропных пространствах Соболева

Получены функционально-геометрические условия на область, обеспечивающие справедливость

некоторых интегральных неравенств и теорем вложения для пространств.

анизотропных функциональных

Пусть R” — евклидово пространство точек X = (жх, . ..,Х_П), Ц > 0.

Рассмотрим однопараметрическую группу преобразований R”

I — Y1, • • • j In ) — мультииндекс,

tli xi,...,tlnxn) YE<+y

где — = — 52 —, и гладкую Нд -однородную метрику, определяемую вектором

Ze№, г : > \{0} ^ >⁺, r(H_t(x)) = tr(xY х G >,

непрерывную на .

Шаром с центром в точке X радиуса р называется множество

Вр^ = {у G R" : Дх,Д < pY

Пусть Q С R" — открытое подмножество, р ^ 1. Будем говорить, что функция / Е 7vp(Q)

принадлежит классу 4(Q)’

если она имеет обобщенные производные

D“feLp^Y \a:l\ = l.

Здесь D /    ^о, g^an , определим полунорму:

а = («1, ..., а_п) и Q : Ц = ^- + ... + у²-. Для таких функций

1Ш1цот = Е ID-JKm.

0 г

Пространством ^^(Q)

назовем замыкание в норме

11/11;,-Ю1 = Е ЮЧКта множества. (^^(Q) — бесконечно дифференцируемых функций с носителями в Q.

(с) 2002 Алборова М. С.

Введем пространство

снабженное нормой

vpT= Q ь>у fc:i|^l

\\n\vr = E \\Dan\Lp№.

a:Z|^l

Введенные выше простраства изучались в работах Водопьянова. С.К. [1-5].

Пусть в Е Ж” — замкнутое множество. Емкостью множества, С назовем величину

Cap (e,Lp(Q)) = inf {iNI^-^ : п G ®^(е,^)| ■ где OT(e,Q) = {u Е (^(Q) : и = 1 в окрестности в} (см. [6]).

Пусть в — компактное подмножество шара Вр. Будем говорить, что 6 — (р, I* ^несущественное подмножество Вр, если

Сар (е, р(Вр)) < 7р р ,

Т1 9 pl*, р > 1 или П > I*, р = 1, где 7 — достаточно малая константа, зависящая только от П, р, I.

Совокупность всех (р, Z* ^несущественных подмножеств шара. В_р обозначим через ДДВ_рУ А через йв_р — среднее значение функции И на. шаре Вр, т. е. йв_р = [ш_п (Вр)] ¹ J udx.

вР

Введем еще полунорму

НрР,вр = Е Р1*№^\\пММВрб

0< |^:Z|^1

где/3= Д1,.„,РД ЕЖ.

Теорема 1. Пусть е — замкнутое подмножество шара В_р. Для всех функций u Е С°°Др^ таких, что dist (suppu,e) > 0 верно неравенство

\и\ьдв_р'₁ ^ с Дрд^Вр,                           (1)

где

1 < р < Q < ОО,

к= ^-^Ег

\р q) тД U

< 1.

При к = 1 (1 < р = q < ос), константа С допускает оценку пр           / О 7      \

С-^р'-сгСар (е,4(В_р)).                   (2)

Доказательство теоремы основывается на следующих результатах.

Предложение 1. Существует оператор продолжения А : L_p(B_p) —> L_p кой, что

^^^^

№Р^

та-

• (1)    Аг = и на В_р;

• (2)    если dist (supp v, е) > 0, е компакт в В_р, то dist (supp (Av), е) > О;

• (3)    ||P^fc(Av)||_Lp(_B2j < c||D^fcu||_Lp(_Bp), где \k : l\ < 1, 1 ^p < ос.

< Доказательство следует из результатов работ [7-11] >

Лемма 1. Пусть е — компакт в В^. Существует такая постоянная с > 1, что с^Сар (е,!^)) ^тЦД-пЦуВ!) :иЕС^В^

dist (suppu, е) > 0} < с Cap (е, L^l_p^B₂^ . (3)

< Пусть и = А(1 — и). Обозначим через г/ функцию из C^^B^Y равную единице в окрестности шара В^. Тогда

Сар (е, В2) < с

[ £ \вЧл<йх = с / £ £ в₂ 1“Т=1                 В₂ 1«Т=1 /3=0

C^DprDa-%

р dx <

(так как г/ Е C^^B^h то эта функция вместе со своими производными ограничена)

<

Р         a

V 52 Е

B2 a:Z| = l /3 = 0

ВРГ

р

< с inf {||1 -„||-/(в )

^^^^

: и Е С^^В^, dist (suppu, е)

> о|,

и левая часть (3) доказана. Докажем правую часть оценки (3). Пусть to Е 0Л(е,В2). Тогда мдд Е ii^'iiB,,B„< = Е iiv“»iil,IBi1- io a:Z|s$l                          a:Z| = l

Минимизируя последнюю норму на множестве 9Л(е,В2) получим

llwllv/(B2) ^ с Сар ^dpW) •

Минимизируя левую часть, заканчиваем доказательство. >

Теперь докажем теорему 1.

• < Достаточно доказать теорему при р = 1. А затем воспользоваться H_t -однородным преобразованием. Пусть N = ||п||в_р(В1). Так как dist (suppи, е) > 0, то по лемме 1

Cap (e,LUB^ < с|| 1 - N"M\Pvr^ = ^^|ф^г.,Bi + С||1 - N"MPLp№V т. е.

№-Сар(е,Ц(В2)) « СК,..В1 + l|JV-«K,|Bll

Без ограничения общности можно предположить, что ub_y ^ 0. Тогда

\N -йвД = |Ы|Вр(В1) - ||йВ1 ||Вр(В1) < II^ - ЙВ1 IlLpts,)-

Следовательно,

• 11^ - ^IIl^b,) < ||^ - и_В1 Цвдвд + ||м - и_В1 Цвдвд < 2||u - и_В1 Цвдвд- (8)

В силу (7), (8) и неравенства Пуанкаре для анизотропных пространств

II^м - й_В1 ||l_p(Bi) < с У^ ||D“n||_Bp(_B1j,

|q:Z| = 1

справедлива оценка

Сар(е,Д(В₂)) \\<_р№^Н^Р_р,1*,_В1.

Из теорем вложения для анизотропных пространств (см. [13]) и последнего неравенства получаем

\И^р_Мвд < с М_Р11.,_В1 + \И^Рыв^ < {1 + ^р^ьив^ГМ,.^.

Утверждение теоремы 1 доказано. >

Отметим, что в изотропном случае теорема 1 доказана в работе Мазьи [12] и при помощи другого метода при р > 1 Хедбергом [13].

Теорема 2. Пусть е — замкнутое подмножество В_р п 5 — число из интервала (0,1). Тогда для всех функций из множества

{u G С^^Вр) : иВр ^ 0, и(т) < 5р р |Ы|Вр(Вр) при всех х G е} справедливо неравенство:

IMImbj <  С \Цр,1.,в_р, где С ^р > сД1 - 5) "f Сар (е,Ц(В_2р)) .

< Повторяя доказательство леммы 1, получаем с тСар (е,Ц(В2)) < inf |||1 - ^||^Г(В1) : ^ G С°°(В1),н < 0 на е|

< сСар (е, Ц(В2)) .

Далее из неравенства 1 — N ^ru > 1 — 5 на е вытекает оценка

(1-5ДСар ^lUb^ < с||1 - N"MPvi№y и остается повторить доказательство теоремы 1. >

Теорема 3. Пусть п = Гр, р > 1. В_р — шар, для которого Сар^фП,^)) > 0.

Тогда для всех функций u Е D(Q)

ЫДЛ,)<С £ ||Щ<,|П|.              №

|a:Z| = l где

С^с^[Сар(5фП,2^7^ \

< Согласно теореме 1 имеем

11<_р(вд <  ^c^li [^СаР ^В^^В,^ . \и\_рд,_Вр.

Поскольку при

/3 : Z < 1

рп

^{И 9/3 =} п-рГ^ - \Р : Ф

справедливы неравенства

^Мъдв^ < cp^r(¹-I^D||PM|_L^_Q<  cpVr-WC . £ \\П“и\\мпр

|q:Z| = 1

TO

1Ы1рД,52,> < с ||P“u||l_p(q).

|q:Z| = 1

Неравенства (10) и (11) дают оценку (9). >