Интегральные неравенства в анизотропных пространствах Соболева
Автор: Алборова Мира Сослановна
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 2 т.4, 2002 года.
Бесплатный доступ
Получены функционально-геометрические условия на область, обеспечивающие справедливость некоторых интегральных неравенств и теорем вложения для анизотропных функциональных пространств.
Короткий адрес: https://sciup.org/14318044
IDR: 14318044
Текст научной статьи Интегральные неравенства в анизотропных пространствах Соболева
Получены функционально-геометрические условия на область, обеспечивающие справедливость
некоторых интегральных неравенств и теорем вложения для пространств.
анизотропных функциональных
Пусть R” — евклидово пространство точек X = (жх, . ..,ХП), Ц > 0.
Рассмотрим однопараметрическую группу преобразований R”
I — Y1, • • • j In ) — мультииндекс,
tli xi,...,tlnxn) YE<+y
где — = — 52 —, и гладкую Нд -однородную метрику, определяемую вектором
Ze№, г : > \{0} ^ >+, r(Ht(x)) = tr(xY х G >,
непрерывную на .
Шаром с центром в точке X радиуса р называется множество
Вр^ = {у G R" : Дх,Д < pY
Пусть Q С R" — открытое подмножество, р ^ 1. Будем говорить, что функция / Е 7vp(Q)
принадлежит классу 4(Q)’
если она имеет обобщенные производные
D“feLp^Y \a:l\ = l.
Здесь D / ^о, g^an , определим полунорму:
а = («1, ..., ап) и Q : Ц = ^- + ... + у2-. Для таких функций
1Ш1цот = Е ID-JKm.
0 г
Пространством ^^(Q)
назовем замыкание в норме
11/11;,-Ю1 = Е ЮЧКта множества. (^^(Q) — бесконечно дифференцируемых функций с носителями в Q.
(с) 2002 Алборова М. С.
Введем пространство
снабженное нормой
vpT= Q ь>у fc:i|^l
\\n\vr = E \\Dan\Lp№.
a:Z|^l
Введенные выше простраства изучались в работах Водопьянова. С.К. [1-5].
Пусть в Е Ж” — замкнутое множество. Емкостью множества, С назовем величину
Cap (e,Lp(Q)) = inf {iNI^-^ : п G ®^(е,^)| ■ где OT(e,Q) = {u Е (^(Q) : и = 1 в окрестности в} (см. [6]).
Пусть в — компактное подмножество шара Вр. Будем говорить, что 6 — (р, I* ^несущественное подмножество Вр, если
Сар (е, р(Вр)) < 7р р ,
Т1 9 pl*, р > 1 или П > I*, р = 1, где 7 — достаточно малая константа, зависящая только от П, р, I.
Совокупность всех (р, Z* ^несущественных подмножеств шара. Вр обозначим через ДДВрУ А через йвр — среднее значение функции И на. шаре Вр, т. е. йвр = [шп (Вр)] 1 J udx.
вР
Введем еще полунорму
НрР,вр = Е Р1*№^\\пММВрб
0< |^:Z|^1
где/3= Д1,.„,РД ЕЖ.
Теорема 1. Пусть е — замкнутое подмножество шара Вр. Для всех функций u Е С°°Др^ таких, что dist (suppu,e) > 0 верно неравенство
\и\ьдвр'1 ^ с Дрд^Вр, (1)
где
1 < р < Q < ОО,
к= ^-^Ег
\р q) тД U
< 1.
При к = 1 (1 < р = q < ос), константа С допускает оценку пр / О 7 \
С-^р'-сгСар (е,4(Вр)). (2)
Доказательство теоремы основывается на следующих результатах.
Предложение 1. Существует оператор продолжения А : Lp(Bp) —> Lp кой, что
^^^^
№Р^
та-
-
(1) Аг = и на Вр;
-
(2) если dist (supp v, е) > 0, е компакт в Вр, то dist (supp (Av), е) > О;
-
(3) ||Pfc(Av)||Lp(B2j < c||Dfcu||Lp(Bp), где \k : l\ < 1, 1 ^p < ос.
< Доказательство следует из результатов работ [7-11] >
Лемма 1. Пусть е — компакт в В^. Существует такая постоянная с > 1, что с^Сар (е,!^)) ^тЦД-пЦуВ!) :иЕС^В^
dist (suppu, е) > 0} < с Cap (е, Llp^B2^ . (3)
< Пусть и = А(1 — и). Обозначим через г/ функцию из C^^B^Y равную единице в окрестности шара В^. Тогда
Сар (е, В2) < с
[ £ \вЧл<йх = с / £ £ в2 1“Т=1 В2 1«Т=1 /3=0
C^DprDa-%
р dx <
(так как г/ Е C^^B^h то эта функция вместе со своими производными ограничена)
<
Р a
V 52 Е
B2 a:Z| = l /3 = 0
ВРГ
р
< с inf {||1 -„||-/(в )
^^^^
: и Е С^^В^, dist (suppu, е)
> о|,
и левая часть (3) доказана. Докажем правую часть оценки (3). Пусть to Е 0Л(е,В2). Тогда мдд Е ii^'iiB,,B„< = Е iiv“»iil,IBi1- io a:Z|s$l a:Z| = l
Минимизируя последнюю норму на множестве 9Л(е,В2) получим
llwllv/(B2) ^ с Сар ^dpW) •
Минимизируя левую часть, заканчиваем доказательство. >
Теперь докажем теорему 1.
-
< Достаточно доказать теорему при р = 1. А затем воспользоваться Ht -однородным преобразованием. Пусть N = ||п||вр(В1). Так как dist (suppи, е) > 0, то по лемме 1
Cap (e,LUB^ < с|| 1 - N"M\Pvr^ = ^^|ф^г.,Bi + С||1 - N"MPLp№V т. е.
№-Сар(е,Ц(В2)) « СК,..В1 + l|JV-«K,|Bll
Без ограничения общности можно предположить, что uby ^ 0. Тогда
\N -йвД = |Ы|Вр(В1) - ||йВ1 ||Вр(В1) < II^ - ЙВ1 IlLpts,)-
Следовательно,
-
11^ - ^IIl^b,) < ||^ - иВ1 Цвдвд + ||м - иВ1 Цвдвд < 2||u - иВ1 Цвдвд- (8)
В силу (7), (8) и неравенства Пуанкаре для анизотропных пространств
IIм - йВ1 ||lp(Bi) < с У^ ||D“n||Bp(B1j,
|q:Z| = 1
справедлива оценка
Сар(е,Д(В2)) \\<р№^НРр,1*,В1.
Из теорем вложения для анизотропных пространств (см. [13]) и последнего неравенства получаем
\ИрМвд < с МР11.,В1 + \ИРыв^ < {1 + ^р^ьив^ГМ,.^.
Утверждение теоремы 1 доказано. >
Отметим, что в изотропном случае теорема 1 доказана в работе Мазьи [12] и при помощи другого метода при р > 1 Хедбергом [13].
Теорема 2. Пусть е — замкнутое подмножество Вр п 5 — число из интервала (0,1). Тогда для всех функций из множества
{u G С^^Вр) : иВр ^ 0, и(т) < 5р р |Ы|Вр(Вр) при всех х G е} справедливо неравенство:
IMImbj < С \Цр,1.,вр, где С р > сД1 - 5) "f Сар (е,Ц(В2р)) .
< Повторяя доказательство леммы 1, получаем с тСар (е,Ц(В2)) < inf |||1 - ^||^Г(В1) : ^ G С°°(В1),н < 0 на е|
< сСар (е, Ц(В2)) .
Далее из неравенства 1 — N ru > 1 — 5 на е вытекает оценка
(1-5ДСар ^lUb^ < с||1 - N"MPvi№y и остается повторить доказательство теоремы 1. >
Теорема 3. Пусть п = Гр, р > 1. Вр — шар, для которого Сар^фП,^)) > 0.
Тогда для всех функций u Е D(Q)
ЫДЛ,)<С £ ||Щ<,|П|. №
|a:Z| = l где
С^с^[Сар(5фП,2^7^ \
< Согласно теореме 1 имеем
11<р(вд < c^li [СаР ^В^^В,^ . \и\рд,Вр.
Поскольку при
/3 : Z < 1
рп
И 9/3 = п-рГ^ - \Р : Ф
справедливы неравенства
^Мъдв^ < cpr(1-I^D||PM|L^Q< cpVr-WC . £ \\П“и\\мпр
|q:Z| = 1
TO
1Ы1рД,52,> < с ||P“u||lp(q).
|q:Z| = 1
Неравенства (10) и (11) дают оценку (9). >
Список литературы Интегральные неравенства в анизотропных пространствах Соболева
- Водопьянов С. К. Геометрические свойства областей, удовлетворяющих условию продолжения для пространств дифференцируемых функций//Некоторые приложения функционального анализа к задачам математической физики (Тр. семинара С. Л. Соболева).-Новосибирск.-1984, № 2.-С. 65-95.
- Водопьянов С. К. О принципе максимума в теории потенциала//Тезисы докл. XI Всесоюзной школы по теории операторов в функциональных пространствах. Ч. 1-Челябинск, 1986.-С. 29.
- Водопьянов С. К. Анизотропные пространства дифференцируемых функций и квазиконформные отображения//Тезисы докл. XI Всесоюзной школы по теории операторов в функциональных пространствах. Ч. 2.-Челябинск, 1986.-С. 23.
- Водопьянов С. К. Геометрические свойства отображений и областей. Оценка снизу нормы оператора продолжения//Исследования по геометрии и математическому анализу.-Новосибирск: Наука, 1987.-С. 70-101.
- Водопьянов С. К. Сравнение метрических и емкостных характеристик в теории потенциала//Школа по комплексному анализу и математической физике. Дивногорск, июнь 1987: Тез. докладов.-Красноярск, 1987.-C. 21.
- Алборова М. С., Водопьянов С. К. Устранимые особенности для решения квазилинейных квазиэллиптических уравнений//Сиб. мат. журн.-1992.-Т. 34, № 4, С. 3-14.
- Бесов О. В. Продолжение функций из L^l_p и W^l_p//Тр. МИАН СССР.-1967.-Т. 89.-С. 5-17.
- Бесов О. В., Ильин В. П. Естественное расширение класса областей в теоремах вложения//Мат. сборник.-1968.-Т. 75 (117), вып. 4.-С. 483-495.
- Ильин В. П. Интегральные представления дифференцируемых функций и их применения в вопросах продолжения функций классов W^l_p(g)//Сиб. мат. журн.-1967.-№ 7.-С. 573-583.
- Успенский С. В., Демиденко Г. В., Перепелкин В. Г. Теоремы вложения и приложения к дифференциальным уравнениям.-Новосибирск: Наука, 1984.-С. 224.
- Бесов О. В., Ильин В. П., Никольский C. М. Интегральные представления функций и теоремы вложения.-М.: Наука, 1975.
- Мазья В. Г. Пространства С. Л. Соболева.-Л.: Изд-во ЛГУ, 1985.-416 c.
- Hedberg L. Two appoximation problems in function spaces//Ark. Mat.-1978.-V. 16, № 1.-Р. 51-81.