Интегральные операторы взвешенной свертки
Автор: Бичегкуев Маирбек Сулейманович
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 2 т.4, 2002 года.
Бесплатный доступ
Вводится класс интегральных операторов, ядра которых порождены операторами взвешенного сдвига. Приводятся условия их ограниченности и регулярности (в терминах ядра) в пространствах Лебега, а также решается вопрос о связи между транспонированным и сопряженным операторами.
Короткий адрес: https://sciup.org/14318045
IDR: 14318045
Текст научной статьи Интегральные операторы взвешенной свертки
Вводится класс интегральных операторов, ядра которых порождены операторами взвешенного сдвига. Приводятся условия их ограниченности и регулярности (в терминах ядра) в пространствах Лебега, а. также решается вопрос о связи между транспонированным и сопряженным операторами.
Известно, что ядро интегрального оператора, свертки порождено оператором сдвига. [5, 7]. Представляет интерес случай, когда, ядро порождено оператором взвешенного или обобщенного сдвига. Такие операторы возникают в теории вырождающихся эллиптических уравнений, где вырождение происходит по нормали к границе и может носить достаточно общий (нестепенной) характер [4]. Весовая функция Q = а(() в этом случае получается более общего вида, и обладает конечной гладкостью вплоть до многообразия «вырождения». При этом она достаточно быстро обращается в нуль на этом многообразии.
Введем следующие обозначения L^ = L2 (R+ ) и L2 = L2 (R) — лебеговы пространства измеримых функций на. положительной полуоси R+ и вещественной прямой R, суммируемых со степенью два. с нормами || ’ ||^ и || • || соответственно; 2v+(a®) — весовое пространство Лебега, с нормой ll/llP+,g = ll«g/2-/ll + , QGR, р^Т где а = <Д"Г) — весовая функция, удовлетворяющая следующим условиям: О' G (7(0,00), О ^ «(() ^ 1, «(() = 1 при ( 7? d (0 < d — фиксированное число); lim «(t) = 0; d
Hill Г (1— ^(тДт < ОО. По функции Q построим функцию
^+°t
Ж
d
= ф(() = j
t
а хДДт; (0, ос) —> ( — ос, ос).
Обозначим через t = ^(^) функцию, обратную к X = vW^ а чеРез ^(^ ^) функцию, определяемую
@ 2002 Бичегкуев М. С.
С помощью функции Q определяются операторы бщд и Ga,-2 [4], заданные на. функциях /(*), КУ, и д^, х еХ следующими формулами:
С^^Л = Сау^КЛ = “^WW^^y
С^-Ш = Ga ,-2^^ = “"^W^^ty
Оператор Ga)2 является ограниченным в пространстве L"^ для всех q Е [2, ос), причем при q = 2 — изометрическим [2], т. е. имеют место равенства
ЦСЩ/Н! = 11/Г, l|G„.-2[91ll+ = Ы.
Определение 1 (см. [1, 6]). Оператором взвешенного сдвига называют оператор, представимый в виде В/(ж) = а(ж) -/(^(ж)), где ф : X —> У заданное отображение, а : X —> L^E, F) — некоторая операторозначная функция, действующая из X в пространство ограниченных линейных операторов из банахова пространства Е в банахово пространство F. Оператор В действует из пространства функций на Y со значениями в Е в пространство функций на X со значениями F. В частности, операторы Ga,2 и Ga,-2 являются операторами взвешенного сдвига.
Введем в рассмотрение однопараметрическое семейство операторов {Ts : s Е R+}, определенных на функциях /(1), t Е У . следующим образом
Оно образует семейство операторов взвешенного сдвига, причем при s = d оператор Ts = I — тождественный оператор.
Из свойств преобразования Ga,2 и функции у имеем формулу су^ЧтчШ = g^x-i),
-
т. е. оператор Ts представляет собой аналог оператора «обычного» сдвига на R, причем справедлива следующая
Лемма 1. Если функции f,g Е L^, то имеет место равенство
ОО
ОО
j TJ^ • g^ds = j /(s) • T.g^ds.
о
Пусть к^ — некоторая фиксированная функция на полуоси У . Оператор
ОО икт = j TskW-f^ds
о будем называть интегральным оператором взвешенной свертки. Отметим, что при d < s < t оператор Uk совпадает с оператором «обычной» свертки. Применяя к обеим частям (3) оператор Ga,2 и делая замену s = V’(y) в правой части, получим
UkJW = Ga,-2VGa,2N*Ga,2mY где * — оператор «обычной» свертки [5].
Условие ограниченности оператора Uk (в терминах ядра) в пространстве L^ дает
Теорема 1. Если функция k Е L^a-^, то интегральный оператор взвешенной свертки (3) является ограниченным в пространстве L^ , причем
W^ ^L+|| < ||<_i.
< Используя равенство (4) и неравенство Минковского получим
ОО
М/Г
- ||Gai2[?7fc/]|| - j
^д^фж - у) • Са,2[/](у)с?у
— ОО
ОО
= j Ga^ [А:](у) • Ga,2 [/] (ж - y^dy
— ОО
ОО
< j |б^2[Афу)|^уф|6^2[М
— оо
Отсюда, с учетом определения пространства L^ (а 2) и изометричности оператора Ga,i вытекает справедливость нашего утверждения. >
Теорема 2. Пусть оператор Uk ограничен в пространстве L^ и функция к неотрицательна. Тогда функция к суммируема с весом а~?, причем справедливо равенство
\\Uk\L+ ^Lt\\ = \\k\\t_v
< Рассмотрим произвольные финитные функции / Е L^ и g Е L^. Согласно лемме 1 имеем
ОО
ОО ОО
j {Ukf)(t)g(t)dt = j j k^-TJ^ds g^dt.
о о
Отсюда в силу теоремы Фубини получаем
У {Ukf)(t)g(t)dt = j k(s) j TJ^-g^dt ds.
ОО
ОО ОО
Используя неравенство Гёльдера для правой части равенства получим оценку
ОО ОО
У к^ j TJ^ • g^dt ds о о
Перепишем неравенство (5) с учетом формулы (4) в виде ОО ОО j с^цЩ — оо —оо
СфдЕУКж - А) •
G^W^dx
dy 5 ||^|L+^L+||.||G„,2[/]||.||G„,2|g]||.
Зафиксируем число
г
Е
(0,1) и рассмотрим интервал
ST
= (—г, г). Положим
( (mes SV)
при
х
Е
Sr,
при
х ф ST,
^д^Кж) = Сад[/](ж) = | о где mes ST — мера Лебега интервала ST. Ясно, что Ga 2[/] Е L^ и Ga 2[g] Е L^ , причем ||GV2[/]IM|Ga,2[g]|| = l.
Обозначим через
Хт^
функцию, определяемую равенством
ОО
Хг(у) =
I
— ОО
^[/((ж - у) • оад[у](ж)с?ж
mes
^ST
П
STi^
mes
ST
где
ST,y
= {ж E JR : ж — у < г}. Функция уд (у) обладает следующими свойствами:
0Or(t№ Hmxr(y) = l-г^-оо Следовательно, ОО j G^k^ • хЛу¥у < М|£^" -д L*\\. — оо Переходя к пределу при г 4 оо и используя теорему Фату, получим \\k\\t_i^\№ ^L*\\, а с другой стороны, согласно теореме 1, имеем \\Uk\L+ ^Lt\\^\\k\\t_v
Итак, справедливость требуемого равенства установлена. >
Определение
2 (см. [5]). Ограниченный интегральный оператор
vm-l Q k(s, t)f(t)dt действующий из Lp(Q?} в Lg(Q) называется регулярным, если интегральный оператор l^|/(S) = j Q |^(s,t)|/(t) также действует из Lp^fl) в Lg(Q) и ограничен. Известно, что не каждый интегральный оператор регулярен [5]. Теорема 3. Для того, чтобы интегральный оператор взвешенной свертки (3) был регулярным, необходимо и достаточно, чтобы k Е L^ (а-?). ^Необходимость непосредственно следует из теоремы 2. Достаточность. Для оператора (3) с ядром содержащим функцию \к\, в силу теоремы 1 имеем ОО 11Еч< =-^)^Ч1/ГЧ1<-ДИ1+ о Здесь мы воспользовались неотрицательностью функций a = аД. > Пусть к — фиксированная измеримая функция, принадлежащая пространству L^a-^y Рассмотрим оператор ОО U*f^ = jTMVfWt, (6) о который будем называть транспонированным по отношению к оператору (3). Свойства транспонированного оператора U* характеризует Теорема 4. Пусть к Е ЬУ^оГ^У Тогда оператор U* действует в пространстве ЬУ, совпадает с сопряженным U^ к оператору (3) и регулярен. < Применяя к обеим частям (6) оператор СД^, получим ОО с^КЛ = /сууДтМУ дм О оо = У ОаДк\Д - уД GayMW- — оо Отсюда при помощи неравенства Минковского получим К< <№li,-tll/ll+ Таким образом, U* : ЬУ —> ЬУ и ||[7|Т2" ~^ ^|| ^ IIM^-i- Докажем, что U* = ПД Для ограниченных функций / Е Д и g Е Д согласно теореме Фубини получаем равенство ОО ОО оо оо У j Т8кД • ДМ дУМ = j У Т8кД • дУМ ДМ, 0 0 0 0 которое перепишем в виде М,П+ = ^д,и*М, где (•,•) — скалярное произведение в L^. С другой стороны, {Ukg,f) + = (g,^/) + -Следовательно, для любых ограниченных функций / и д справедливо равенство (g, ^U* — ^)/) + = 0. Отсюда, с учетом плотности множества ограниченных функций в L^ заключаем, что U* = U^. Так как U^ — регулярный оператор, а сопряженный к регулярному оператору оператор регулярен (см. [5]), то Щ регулярен. >
Список литературы Интегральные операторы взвешенной свертки
- Антоневич А. Б. Условие ограниченности и норма оператора внутренней суперпозиции в пространстве вектор-функций//Мат. заметки.-1985.-Т. 45, № 1.-С. 3-9.
- Бичегкуев М. С. Об одном классе операторов обобщенного и взвешенного сдвига на полуоси//Деп. в ВИНИТИ, 1994.-1411-В-94.-27 с.
- Бичегкуев М. С. Интегральные операторы, порожденные оператором взвешенного сдвига//Мат. заметки.-1996.-Т. 59, № 3.-С. 452-454.
- Глушко В. П., Савченко Ю. Б. Вырождающиеся эллиптические уравнения высокого порядка: пространства, операторы, граничные задачи//Итоги науки и техники. Математический анализ.-1985.-Т. 23.-С. 125-218.
- Коротков В. Б. Интегральные операторы.-Новосибирск: Наука, 1983.-222 с.
- Латушкин Ю. Д., Степин А. М. Операторы взвешенного сдвига и линейные расширения динамических систем//УМН.-1991.-Т. 47, № 2 (278).-С. 85-143.
- Степанов В. Д. Об операторах в пространствах L_p(\Bbb R_n) перестановочных со сдвигом//Сиб. мат. журн.-1974.-Т. 15, № 3.-С. 693-699.