Интегральные операторы взвешенной свертки

Вводится класс интегральных операторов, ядра которых порождены операторами взвешенного сдвига. Приводятся условия их ограниченности и регулярности (в терминах ядра) в пространствах Лебега, а. также решается вопрос о связи между транспонированным и сопряженным операторами.

Известно, что ядро интегрального оператора, свертки порождено оператором сдвига. [5, 7]. Представляет интерес случай, когда, ядро порождено оператором взвешенного или обобщенного сдвига. Такие операторы возникают в теории вырождающихся эллиптических уравнений, где вырождение происходит по нормали к границе и может носить достаточно общий (нестепенной) характер [4]. Весовая функция Q = а(() в этом случае получается более общего вида, и обладает конечной гладкостью вплоть до многообразия «вырождения». При этом она достаточно быстро обращается в нуль на этом многообразии.

Введем следующие обозначения L^ = L2 (R+ ) и L2 = L2 (R) — лебеговы пространства измеримых функций на. положительной полуоси R+ и вещественной прямой R, суммируемых со степенью два. с нормами || ’ ||^ и || • || соответственно; 2v+(a®) — весовое пространство Лебега, с нормой ll/llP+,g = ll«g/2-/ll + , QGR, р^Т где а = <Д"Г) — весовая функция, удовлетворяющая следующим условиям: О' G (7(0,00), О ^ «(() ^ 1, «(() = 1 при ( 7? d (0 < d — фиксированное число); lim «(t) = 0; d

Hill Г (1^— ^(тДт < ОО. По функции Q построим функцию

^+°t

Ж

d

= ф(() = j

t

а ^хДДт; (0, ос) —> ( — ос, ос).

Обозначим через t = ^(^) функцию, обратную к X = vW^ ^{а че}Р^ез ^(^ ^) функцию, определяемую

тождеством d                 d                 d J^Wt-J^ItW-J^ItW         (1) Д                    t                    8 для всех t G >+ и s G R+.

@ 2002 Бичегкуев М. С.

С помощью функции Q определяются операторы бщд ^и G_a,-2 [4], заданные на. функциях /(*), КУ, и д^, х еХ следующими формулами:

С^^Л = Сау^КЛ = “^WW^^y

С^-Ш = Ga ,-2^^ = “"^W^^ty

Оператор G_a)2 является ограниченным в пространстве L"^ для всех q Е [2, ос), причем при q = 2 — изометрическим [2], т. е. имеют место равенства

ЦСЩ/Н! = 11/Г, l|G„.-2[91ll+ = Ы.

Определение 1 (см. [1, 6]). Оператором взвешенного сдвига называют оператор, представимый в виде В/(ж) = а(ж) -/(^(ж)), где ф : X —> У заданное отображение, а : X —> L^E, F) — некоторая операторозначная функция, действующая из X в пространство ограниченных линейных операторов из банахова пространства Е в банахово пространство F. Оператор В действует из пространства функций на Y со значениями в Е в пространство функций на X со значениями F. В частности, операторы G_a,2 и G_a,-2 являются операторами взвешенного сдвига.

Введем в рассмотрение однопараметрическое семейство операторов {T_s : s Е R⁺}, определенных на функциях /(1), t Е У . следующим образом

Оно образует семейство операторов взвешенного сдвига, причем при s = d оператор T_s = I — тождественный оператор.

Из свойств преобразования G_a,2 и функции у имеем формулу су^ЧтчШ = g^x-i),

• т. е. оператор T_s представляет собой аналог оператора «обычного» сдвига на R, причем справедлива следующая

Лемма 1. Если функции f,g Е L^, то имеет место равенство

ОО

ОО

j TJ^ • g^ds = j /(s) • T.g^ds.

о

Пусть к^ — некоторая фиксированная функция на полуоси У . Оператор

ОО икт = j TskW-f^ds

о будем называть интегральным оператором взвешенной свертки. Отметим, что при d < s < t оператор Uk совпадает с оператором «обычной» свертки. Применяя к обеим частям (3) оператор Ga,2 и делая замену s = V’(y) в правой части, получим

UkJW = Ga,-2VGa,2N*Ga,2mY где * — оператор «обычной» свертки [5].

Условие ограниченности оператора U_k (в терминах ядра) в пространстве L^ дает

Теорема 1. Если функция k Е L^a^-^, то интегральный оператор взвешенной свертки (3) является ограниченным в пространстве L^ , причем

W^ ^L+|| < ||<_i.

< Используя равенство (4) и неравенство Минковского получим

ОО

М/Г

- ||G_ai2[?7fc/]|| - j

^д^фж - у) • Са,2[/](у)с?у

— ОО

ОО

= j G_a^ [А:](у) • G_a,₂ [/] (ж - y^dy

— ОО

ОО

< j |б^₂[Афу)|^уф|6^₂[М

— оо

Отсюда, с учетом определения пространства L^ (а 2) _и изометричности оператора G_a,i вытекает справедливость нашего утверждения. >

Теорема 2. Пусть оператор U_k ограничен в пространстве L^ и функция к неотрицательна. Тогда функция к суммируема с весом а~?, причем справедливо равенство

\\Uk\L+ ^Lt\\ = \\k\\t_v

< Рассмотрим произвольные финитные функции / Е L^ и g Е L^. Согласно лемме 1 имеем

ОО

ОО ОО

j {Ukf)(t)g(t)dt = j j k^-TJ^ds g^dt.

о о

Отсюда в силу теоремы Фубини получаем

У {U_kf)(t)g(t)dt = j k(s) j TJ^-g^dt ds.

ОО

ОО        ОО

Используя неравенство Гёльдера для правой части равенства получим оценку

ОО        ОО

У к^ j TJ^ • g^dt ds о о

Перепишем неравенство (5) с учетом формулы (4) в виде

ОО                ОО j с^цЩ — оо             —оо

СфдЕУКж - А) • G^W^dx

dy

5 ||^|L+^L+||.||G„,2[/]||.||G„,2|g]||.

Зафиксируем число г Е (0,1) и рассмотрим интервал S_T = (—г, г). Положим

( (mes SV)

при х Е S_r, при х ф S_T,

^д^Кж) = Сад[/](ж) = | о где mes ST — мера Лебега интервала ST. Ясно, что Ga 2[/] Е L^ и Ga 2[g] Е L^ , причем ||GV2[/]IM|Ga,2[g]|| = l.

Обозначим через Хт^ функцию, определяемую равенством

ОО

Хг(у) = I — ОО

^[/((ж

- у) • оад[у](ж)с?ж

mes ^S_T П S_Ti^ mes S_T

где S_T,_y = {ж E JR : ж — у < г}. Функция уд (у) обладает следующими свойствами:

0Or(t№ Hmxr(y) = l-г^-оо

Следовательно,

ОО j G^k^ • хЛу¥у < М|£^" -д L*\\.

— оо

Переходя к пределу при г 4 оо и используя теорему Фату, получим

\\k\\t_i^\№ ^L*\\, а с другой стороны, согласно теореме 1, имеем

\\Uk\L+ ^Lt\\^\\k\\t_v

Итак, справедливость требуемого равенства установлена. >  Определение 2 (см. [5]). Ограниченный интегральный оператор

vm-l

Q

k(s, t)f(t)dt

действующий из Lp(Q?} в Lg(Q) называется регулярным, если интегральный оператор l^|/(S) = j

Q

|^(s,t)|/(t)

также действует из L_p^fl) в L_g(Q) и ограничен.

Известно, что не каждый интегральный оператор регулярен [5].

Теорема 3. Для того, чтобы интегральный оператор взвешенной свертки (3) был регулярным, необходимо и достаточно, чтобы k Е L^ (а^-?).

^Необходимость непосредственно следует из теоремы 2.

Достаточность. Для оператора (3) с ядром содержащим функцию \к\, в силу теоремы 1 имеем

ОО

11Еч< =-^)^Ч1/ГЧ1<-ДИ1+ о

Здесь мы воспользовались неотрицательностью функций a = аД. >

Пусть к — фиксированная измеримая функция, принадлежащая пространству L^a^-^y Рассмотрим оператор

ОО

U*f^ = jTMVfWt,                (6)

о который будем называть транспонированным по отношению к оператору (3).

Свойства транспонированного оператора U* характеризует

Теорема 4. Пусть к Е ЬУ^оГ^У Тогда оператор U* действует в пространстве ЬУ, совпадает с сопряженным U^ к оператору (3) и регулярен.

• < Применяя к обеим частям (6) оператор СД^, получим

ОО

с^КЛ = /сууДтМУ дм

О оо

= У ОаДк\Д - уД GayMW-

— оо

Отсюда при помощи неравенства Минковского получим

К< <№li,-tll/ll+

Таким образом, U* : ЬУ —> ЬУ и ||[7|Т2" ~^ ^|| ^ IIM^-i-

Докажем, что U* = ПД Для ограниченных функций / Е Д и g Е Д согласно теореме Фубини получаем равенство

ОО ОО                               оо оо

У j Т₈кД • ДМ дУМ = j

У Т8кД • дУМ ДМ,

0    0                                     0    0

которое перепишем в виде

М,П+ = ^д,и*М, где (•,•) — скалярное произведение в L^. С другой стороны, {Ukg,f) + = (g,^/) + -Следовательно, для любых ограниченных функций / и д справедливо равенство (g, ^U* — ^)/) + = 0. Отсюда, с учетом плотности множества ограниченных функций в L^ заключаем, что U* = U^. Так как U^ — регулярный оператор, а сопряженный к регулярному оператору оператор регулярен (см. [5]), то Щ регулярен. >