Интегрирование градиента в R3

Бесплатный доступ

Предложен способ восстановления функции по ее градиенту, в основу которого положено суммирование неопределенных интегралов от частных производных функции и исключение лишних слагаемых.

Градиент, функция, частная производная, интеграл, переменная

Короткий адрес: https://sciup.org/14730044

IDR: 14730044   |   DOI: 10.17072/1993-0550-2016-2-44-46

Текст научной статьи Интегрирование градиента в R3

Актуальность задачи определения функции по ее градиенту не сводится исключительно к примеру пространственного распределения сил, которое является градиентом энергии соответствующего поля [1–5].

Дальнейшее рассмотрение ограничивается операциями на пространстве векторных полей и гладких функций в R 3.

Существует несколько способов [6–9] отыскания функции по ее градиенту gradf = Vf =

d f f fЛ dx ’ dy ’ d z y

Наиболее простой способ [10] заключается в вычислении криволинейного интеграла

,   x yz df ,   df,dz, f = dx +  dy +— dz = dx    dy x0 ,y0 ,z0

xx d

(x, y0,z0) dx +     (x, y, z0) dy + dx x0

z d f

( x , y , z ) dz .

dz z0

Достоинством этого метода является компактность. Недостатком – необходимость выбора начальной точки интегрирования (x0, y0, z0). Последнее сопряжено с произволом, который может отразиться на виде окончательного решения. Кроме того, в ряде слу- чаев это может быть сопряжено с трудностями, вследствие чего представлять собой дополнительную задачу.

Пример 1. Для двухмерного случая df

— = 2 x arcsin y + ln( y -1), dx df _ x2     x fy i\ 2 +y-1

возникает проблема с выбором y 0 , поскольку должны одновременно выполняться условия: y 1 и y >  1.

Есть способы, например [11], лишенные этого изъяна. Они заключаются в подборе вспомогательных функций. Однако их существенными недостатками являются трудоемкость и громоздкость.

Предлагаемый ниже подход свободен от недостатков указанных способов. По трудоемкости и компактности он сопоставим с первым способом, и в нем нет необходимости определения исходной точки интегрирования. Предлагаемый способ определяет следующая

Теорема. Функция f может быть восстановлена по ее градиенту (1) в соответствии с формулой df      df      Of,

f = dx + dy + dz -dx     dy     dz

2V - V - V - V + C = xyz xy xz yz

P xyz ( x , У , z ) + P xy ( x , У ) + P xz ( x , z ) + P x ( x ) + Q xyz ( x , У , z ) + Q xy ( x , У ) + Q yz ( У , z) + Q y ( У) + R xyz ( x , У , z) + R xz ( x , z) + R yz ( У , z ) + R z ( z) -

2V, ;— Vxy V V, + C . xyz     xy     xz     yz

(2)

При этом

P = Q = R = V . xyz     Q xyz      xyz     xyz ,

(3)

p = Q = V , xy       xy      xy ,

(4)

Pxz = Rxz = Vxz , xz      xz      xz

(5)

Q yz = R yz = V yz .

(6)

Величины (3) – (6) представляют собой функции, содержащие переменные, указанные в индексах.

Доказательство . Очевидны тождества:

^ H xdx = Px yz ( x , у , z) +

P xy ( x, У ) + P xz ( x, z) + P x ( x ),

J fdy = Q xyz ( x, У , z) + J dy

Qxy ( x, y) + Q yz ( y, z) + Qy ( y) , ^ fdz = R xyz ( x , У , z ) +

Rxz (x, z) + Ryz (У, z) + Rz ( z), d 3 ff dx !   = d 3 Pxyz dxdy dz ^ dx     dxdy dz  dxdy dz ’ d 3   rdf dy = d 3 f  = d 3 Qxyz

5x5y 5z ^ 5y     5x5y5z  5x5y 5z ’ d 3   rdL^ d3 f d3 Rxyz dz ==. dxdydz  dz     dxdydz  dxdy dz

Отсюда непосредственно следует (3).

d  r5L dx.^Pl.P, dxdy J dx     dxdy   dxdy

Л [Lt dy      ! = d 2 Q xyz I d 2 Q xy .

dxdy ^ dy     dxdy   dxdy

Отсюда с учетом (3) следует (4).

JL

JL tLLdzR+dV dxdz^ dz     dxdz   dxdzdxdz

Отсюда с учетом (3) следует (5).

Л [L dy! =d 2Qxyz+8 2Qyz dydz ^ dy     dy dz   dy dz   dydz ’

JL tLL dz .HL .^ + ?К dydz J dz dydz dy dz dy dz

Отсюда с учетом (3) следует (6).

Координаты градиента функции (2) можно вычислить следующим образом:

^f =^S\^fdx + Q + Q + Q + Q + xx  dx {Jdx    x^       ^yz

Rxyz+ Rxz+ Ryz+ Rz -

2VxyzVxyVxzVyz+C) = L •

Слагаемые в скобках, являющиеся функциями от x, кроме первого взаимно уничтожаются. Частные производные по x от остальных равны нулю.

Аналогичным образом обстоит дело с частными производными по y и z.

Таким образом, градиент правой части (2) равен (1), следовательно, правая часть (2) представляет собой восстановленную функцию f.

Следствие f = V^ + Ky + Vxz + V^ + V + V + V + C. (7)

xyz xy xz yz x y z

Здесь

Vx = Px (x), Vy= Qy (y), V = Rz (z).

Пример 2

gradf =

z . z

— + Sin y +---+

{У        x

2 x i + J

x cos yxz + 2yz3 + 3y2 j +

{ У

( x

+ —+ In x + 3 y2 z2

{ У

J ez k.

J

Искомая функция г Г xz .      ■       , 1

f = l--+ x sin y + z In x + x

+ J

y

xz2 3

--+ x sin y + y z + y

y

. 3

+

J

xz .23

--+ z In x + y ze yJ

xz

2--x sin yz In xyz + C =

y

--+ xsiny + z Inx + y2z3 + x2 + y3ez + C. y

Здесь

P =Q =R =V = xz xyz = Qxyz = xyz = xyz =    ,

Pxy =Qxy =Vxy =xsiny, Pxz =Rxz = Vxz =zlnx, Qyz =Ryz =Vyz =y2z3, Px =Vx =x2, Qy =Vy =y3, Rz =Vz =ez.

Вычисление по формуле (7) является еще более компактным.

Список литературы Интегрирование градиента в R3

  • Талипов И.Ф., Репьях Н.А. Исследование движения твердого тела в поле приливных сил гравитации//Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика. 2014. № 3(26). С. 76-81.
  • Попов И.П. О мерах механического движения//Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика. 2014. №3(26). С. 13-15.
  • Попов И. П. Механические аналоги реактивной мощности//Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика. 2015. № 3(30). С. 37-39.
  • Попов И.П. О некоторых аспектах магнитоэлектрического взаимодействия//Вестник Челябинского государственного университета. Физика. 2009. Вып. 5. № 24(162). С.34-39.
  • Попов И.П. Построение абстрактной модели силового поля типа электромагнитного. Ч. 1//Наука. Инновации. Технологии. Научный журнал Северо-Кавказского федерального университета. 2015. №2. С. 41-54.
  • Попов И.П. О некоторых операциях над векторами//Вестник Волгоградского государственного университета. Сер.1: Математика. Физика. 2014. № 5(24). С. 55-61.
  • Попов И.П. Поверхностные градиент, дивергенция и ротор//Вестник Псковского государственного университета. Естественные и физико-математические науки. 2014. Вып. 5. С. 159-172.
  • Попов И.П. Разновидности оператора набла//Вестник Амурского государственного университета. Естественные и экономические науки. 2015. Вып. 71. С. 20-32.
  • Попов И.П. Элементы поверхностного векторного анализа//Зауральский научный вестник. 2015. № 1(7). С. 77-84.
  • Богданов Ю.С. Лекции по математическому анализу. Ч. 2. Минск: изд-во БГУ. 1978.
  • Пискунов П. С. Дифференциальное и интегральное исчисления. М.: Наука. 1876. Т. 2.
Еще
Статья научная