Интегрирование градиента в R3
Автор: Попов И.П.
Журнал: Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика @vestnik-psu-mmi
Рубрика: Математика
Статья в выпуске: 2 (33), 2016 года.
Бесплатный доступ
Предложен способ восстановления функции по ее градиенту, в основу которого положено суммирование неопределенных интегралов от частных производных функции и исключение лишних слагаемых.
Градиент, функция, частная производная, интеграл, переменная
Короткий адрес: https://sciup.org/14730044
IDR: 14730044 | DOI: 10.17072/1993-0550-2016-2-44-46
Текст научной статьи Интегрирование градиента в R3
Актуальность задачи определения функции по ее градиенту не сводится исключительно к примеру пространственного распределения сил, которое является градиентом энергии соответствующего поля [1–5].
Дальнейшее рассмотрение ограничивается операциями на пространстве векторных полей и гладких функций в R 3.
Существует несколько способов [6–9] отыскания функции по ее градиенту gradf = Vf =
d f f fЛ dx ’ dy ’ d z y
Наиболее простой способ [10] заключается в вычислении криволинейного интеграла
, x yz df , df,dz, f = dx + dy +— dz = dx dy x0 ,y0 ,z0
xx d
(x, y0,z0) dx + (x, y, z0) dy + dx x0
z d f
( x , y , z ) dz .
dz z0
Достоинством этого метода является компактность. Недостатком – необходимость выбора начальной точки интегрирования (x0, y0, z0). Последнее сопряжено с произволом, который может отразиться на виде окончательного решения. Кроме того, в ряде слу- чаев это может быть сопряжено с трудностями, вследствие чего представлять собой дополнительную задачу.
Пример 1. Для двухмерного случая df
— = 2 x arcsin y + ln( y -1), dx df _ x2 x fy i\ 2 +y-1
возникает проблема с выбором y 0 , поскольку должны одновременно выполняться условия: y < 1 и y > 1.
Есть способы, например [11], лишенные этого изъяна. Они заключаются в подборе вспомогательных функций. Однако их существенными недостатками являются трудоемкость и громоздкость.
Предлагаемый ниже подход свободен от недостатков указанных способов. По трудоемкости и компактности он сопоставим с первым способом, и в нем нет необходимости определения исходной точки интегрирования. Предлагаемый способ определяет следующая
Теорема. Функция f может быть восстановлена по ее градиенту (1) в соответствии с формулой df df Of,
f = dx + dy + dz -dx dy dz
2V - V - V - V + C = xyz xy xz yz
P xyz ( x , У , z ) + P xy ( x , У ) + P xz ( x , z ) + P x ( x ) + Q xyz ( x , У , z ) + Q xy ( x , У ) + Q yz ( У , z) + Q y ( У) + R xyz ( x , У , z) + R xz ( x , z) + R yz ( У , z ) + R z ( z) -
2V, ;— Vxy — V — V, + C . xyz xy xz yz |
(2) |
При этом |
|
P = Q = R = V . xyz Q xyz xyz xyz , |
(3) |
p = Q = V , xy xy xy , |
(4) |
Pxz = Rxz = Vxz , xz xz xz |
(5) |
Q yz = R yz = V yz . |
(6) |
Величины (3) – (6) представляют собой функции, содержащие переменные, указанные в индексах.
Доказательство . Очевидны тождества:
^ H xdx = Px yz ( x , у , z) +
P xy ( x, У ) + P xz ( x, z) + P x ( x ),
J fdy = Q xyz ( x, У , z) + J dy
Qxy ( x, y) + Q yz ( y, z) + Qy ( y) , ^ fdz = R xyz ( x , У , z ) +
Rxz (x, z) + Ryz (У, z) + Rz ( z), d 3 ff dx ! = d 3 Pxyz dxdy dz ^ dx dxdy dz dxdy dz ’ d 3 rdf dy = d 3 f = d 3 Qxyz
5x5y 5z ^ 5y 5x5y5z 5x5y 5z ’ d 3 rdL^ d3 f d3 Rxyz dz ==. dxdydz dz dxdydz dxdy dz
Отсюда непосредственно следует (3).
d r5L dx.^Pl.P, dxdy J dx dxdy dxdy
Л [Lt dy ! = d 2 Q xyz I d 2 Q xy .
dxdy ^ dy dxdy dxdy
Отсюда с учетом (3) следует (4).
JL JL tLLdzR+dV dxdz^ dz dxdz dxdzdxdz Отсюда с учетом (3) следует (5). Л [L dy! =d 2Qxyz+8 2Qyz dydz ^ dy dy dz dy dz dydz ’ JL tLL dz .HL .^ + ?К dydz J dz dydz dy dz dy dz Отсюда с учетом (3) следует (6). Координаты градиента функции (2) можно вычислить следующим образом: ^f =^S\^fdx + Q + Q + Q + Q + xx dx {Jdx x^ ^yz Rxyz+ Rxz+ Ryz+ Rz - 2Vxyz—Vxy—Vxz—Vyz+C) = L • Слагаемые в скобках, являющиеся функциями от x, кроме первого взаимно уничтожаются. Частные производные по x от остальных равны нулю. Аналогичным образом обстоит дело с частными производными по y и z. Таким образом, градиент правой части (2) равен (1), следовательно, правая часть (2) представляет собой восстановленную функцию f. Следствие f = V^ + Ky + Vxz + V^ + V + V + V + C. (7) xyz xy xz yz x y z Здесь Vx = Px (x), Vy= Qy (y), V = Rz (z). Пример 2 gradf = z . z — + Sin y +---+ {У x 2 x i + J x cos y — xz + 2yz3 + 3y2 j + { У ( x + —+ In x + 3 y2 z2 { У — J ez k. J Искомая функция г Г xz . ■ , 1 f = l--+ x sin y + z In x + x + J y xz2 3 --+ x sin y + y z + y y . 3 + J xz .23 --+ z In x + y z — e yJ — xz 2--x sin y — z In x — yz + C = y --+ xsiny + z Inx + y2z3 + x2 + y3 — ez + C. y Здесь P =Q =R =V = xz xyz = Qxyz = xyz = xyz = , Pxy =Qxy =Vxy =xsiny, Pxz =Rxz = Vxz =zlnx, Qyz =Ryz =Vyz =y2z3, Px =Vx =x2, Qy =Vy =y3, Rz =Vz =ez. Вычисление по формуле (7) является еще более компактным.
Список литературы Интегрирование градиента в R3
- Талипов И.Ф., Репьях Н.А. Исследование движения твердого тела в поле приливных сил гравитации//Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика. 2014. № 3(26). С. 76-81.
- Попов И.П. О мерах механического движения//Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика. 2014. №3(26). С. 13-15.
- Попов И. П. Механические аналоги реактивной мощности//Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика. 2015. № 3(30). С. 37-39.
- Попов И.П. О некоторых аспектах магнитоэлектрического взаимодействия//Вестник Челябинского государственного университета. Физика. 2009. Вып. 5. № 24(162). С.34-39.
- Попов И.П. Построение абстрактной модели силового поля типа электромагнитного. Ч. 1//Наука. Инновации. Технологии. Научный журнал Северо-Кавказского федерального университета. 2015. №2. С. 41-54.
- Попов И.П. О некоторых операциях над векторами//Вестник Волгоградского государственного университета. Сер.1: Математика. Физика. 2014. № 5(24). С. 55-61.
- Попов И.П. Поверхностные градиент, дивергенция и ротор//Вестник Псковского государственного университета. Естественные и физико-математические науки. 2014. Вып. 5. С. 159-172.
- Попов И.П. Разновидности оператора набла//Вестник Амурского государственного университета. Естественные и экономические науки. 2015. Вып. 71. С. 20-32.
- Попов И.П. Элементы поверхностного векторного анализа//Зауральский научный вестник. 2015. № 1(7). С. 77-84.
- Богданов Ю.С. Лекции по математическому анализу. Ч. 2. Минск: изд-во БГУ. 1978.
- Пискунов П. С. Дифференциальное и интегральное исчисления. М.: Наука. 1876. Т. 2.