Интерполяция функций суммами Уиттекера и их модификациями: условия равномерной сходимости
Автор: Умаханов Айвар Ярахмедович, Шарапудинов Идрис Идрисович
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 4 т.18, 2016 года.
Бесплатный доступ
Найдены достаточные условия равномерной сходимости на отрезке [0,π] sinc-приближений - значений интерполяционнных операторов Уиттекера и некоторых модифицированных операторов.
Sinc-функция, оператор уиттекера, равномерная сходимость, условие дини - липшица, абсолютная непрерывность, ограниченная вариация, сумма лейбница, преобразование абеля
Короткий адрес: https://sciup.org/14318556
IDR: 14318556
Текст научной статьи Интерполяция функций суммами Уиттекера и их модификациями: условия равномерной сходимости
Sine-функция или кардинальный синус определяется формулой sin x x, x = 0, x = 0
1, и является целой функцией. При действительных значениях x = 0, ввиду известного неравенства | sin x| < |x|. справедлива, опенка | sincx| < 1. Зафиксируемi натуральное n ii рассмотрим сумму
n
Ln(f,x)= У,1
k =0
kπ n
sinc n x —
kπ n
которая сопоставляет каждой функции f (x), определенной на [0,п], целую функцию Ln(f, x), совпадатощую с f (x) в узловых точках xk = xk,n = k^, k = 0,1,..., n. Эта сумма называется n-ой интерполяционной суммой или n-ым интерполяционным оператором Уиттекера. Самого Э. Т. Уиттекера, [1] интересовал вопрос о возможности восстановления функции на, всей числовой прямой по ее значениям на, некоторой равномерной сетке {kh}k=-ro, h > 0, для чего он ввел в рассмотрение так называемую кардинальную функцию (или кардинальный ряд), сужение которой на отрезок [0, п] в случае h = n имеет вид (2). Независимо аналогичные ряды по sinc-функциям применяли В. А. Котельников [2] и К. Э. Шеннон [3] для однозначного восстановления сигнала, по его дискретным отсчетам, и соответствующая теорема, в теории информации носит имена, Уиттекера, Котельникова, и Шеннона. Впоследствии кардинальные ряды Уиттекера, нашли широкое применение в численных методах, теории приближения и интерполяции различных классов функций, решении дифференциальных и интегральных уравнений, в теории информации. В частности, этим вопросам посвящены работы [4-13].
Здесь нас интересует вопрос сходимости {Ln (f, x)} на от резке [0,п]. Первые задачи подобного рода для аналитических функций были рассмотрены в [14-18]. В [19] и [20] получен критерий равномерной сходимости сумм (2) внутри интервала (0,п), аналогичный критерию А. А. Привалова равномерной сходимости интерполяционных процессов Лагранжа [21]. В частности, следствие из теоремы 6 в [20] утверждает, что на любом отрезке [a, Ь]. 0 < a < b < п. {Ln(f, x)} равномерно сходятся к f (x). если эта функция удовлетворяет условию Дини — Липщица:
tlim0 ^(f, t)ln t = 0, (3)
где w(f,f)= sup |f(x2) - f(x1)|
|x2 -x1 |6t, 06x1,x26n
-
— модуль непрерывности f (x) на отрезке [0, п]. Но равномерной сходимости на всем отрезке [0, п] нет даже для функции f (x) = 1. В настоящей статье найдены достаточные условия на. функцию f (x). при соблтодешш которых {Ln(f, x)} сходится к f (x) равномерно на [0, п]. Кроме того, сконструированы модификации операторов Уиттекера, обладающие свойством равномерной сходимости на [0, п] при несколько менее ограничительных условиях на. f (x).
-
2. Условия равномерной сходимости sinc-приближений
Впервые задача о равномерной сходимости sinc-приближений для функций, обращающихся в нуль на концах отрезка [0, п], была рассмотрена в [22]. В частности, в [22] доказано, что любая исчезающая на концах отрезка [0, п] функция из класса Дини — Липшица может быть приближена операторами (2) равномерно на всем отрезке [0, п]. Мы приведем здесь доказательство этого утверждения, отличное от предложенного в работе [22], при дополнительном требовании об абсолютной непрерывности функции f па [0, п]. А именно, справедливо
Предложение 1. Пусть функция f (x) абсолютно непрерывна и удовлетворяет условию Дини — Липщица на [0, п] и ну'сть f (0) = f (п) = 0. Тогда последовательность функций {Ln(f, x)}n=1. определеных формулой (2). равномерш) сходится к f (x) па [0, п].
Для доказательства этого предложения нам понадобятся некоторые вспомогательные утверждения.
Лемма 1. Пусть {ak}П=1 — монотонная последовавельность неотрицательных (неположительных ) чисел. Тогда
n
X(-1)k ak
6 max{|ao|, |an|}.
k=0
C По аналогии с рядами Лейбница такие суммы будем называть суммами Лейбница. Поскольку
n
X(-1)k(—ak)
k=0
n
- X(-1)kak k=0
n
X(-1)k ak k=0
то можно считать, что ak > 0, к = 0,1,... ,n. Предположим также, что последовательность {ak }П=0 невозрастающая. Если n = 2m, то
2m
-
0 6 (a0 — al) + (a2 — as) + • • • + (a2m-2 — a2m-1) + a2m = ^^( — 1)kak k=0
= ao — (a1 — a2) — (a3 — a4) — • • • — (a2m-1 — a2m) 6 a0-
Если же n = 2m — 1. to
2m-1
0 6 (a0 — al) + (a2 — a3) + • • • + (a2m-2 — a2m-1) = ^^ ( — 1)k ak k=0
= a0 — (a1 — a2) — (a3 — a4) — • • • — (a2m-3 — a2m-2 ) — a2m-1 6 a0-
В случае неубывающей последовательности неотрицательных чисел аналогичные выкладки приводят к неравенству |Pn=0(—1)k ak | 6 an- B
Лемма 2. При n > 1.0 6 m 6 n п x E (—то, +to) верно неравенство
m kπ
< 2.
sinc n x-- n
C Ее .th x совпадает e одним из узлов Xk = kn. k = 0,1,...,m. то левая часть (5) равна 1 и неравенство верно. Пусть sp < x < (s+p^ для некоторого целого s, 0 < s < m. Преобразуем оцениваемую сумму к виду
m sinc n x k=0
m sin(nx — kn)
k=0
nx - kπ
m
= sin nx k=0
(—1)k nx - kπ
и разобьем ее на. две части
S1
s
= sin nx k=0
(—1)k nx - kπ ,
S2
m
= sin nx k=s+1
( —1)k nx - kπ .
Согласно выбору s, {nx — kn}k=0 и {nx — kn}ms+1 — убывающие последовательности соответственно положительных и отрицательных чисел. Следовательно, обе последовательности {(nx — kn)-1}k=0 и {(nx — kn)-1 }ms+1 являются возрастающими последовательностями чисел одного знака. Таким образом, обе суммы являются суммами Лейбница, и из неравенства (4) леммы 1 получаем оценки
|S1|
6 |sin nx|
|nx - sπ|
sin(nx — sn)
nx - sπ
= |sinc(nx — sn)| < 1,
|S2|
|sin nx|
|nx — (s + 1)n|
sin(nx — (s + 1)п) nx — (s + 1)n
= |sinc(nx — (s + 1)n) | < 1.
Складывая последние неравенства, получаем неравенство (5). Если же x < 0 ил и x > —^^1 то вся сумма P—=0 sinc n(x — kp) является суммой Лейбница и по лемме 1 не превосходит max{|sincnx| , |sinc(nx — sn)|} 6 1. так что иеравеиство (•"/) верно и в атом случае. B
Замечание 1. Оценку (5) можно уточнить. При 0 < s < m и Д < x < согласно неравенствам (6),
(s+1)n n
I S1| + |S2| 6 I sin nx (jnx^ + I nx - (S + 1),| ) ( 1 1 ^
= |sin nx nx—n— - nx — ( s +1) ,)
= sin t
(t+
= sin(nx — sn)

--+
- sπ
π
t
n — (nx — sn)
n sin t def , . Ю—t) = y(t),
где t = nx — sn, 0 < t < п. Так как y(t) = sinc t + sinc(n — t), то эта функция определена на (—то, +то). В частпости. у(0) = у(п) = 1. Прон:;:водная y(t) имеет вид
У0 (t) =
nP(t) t2(n — t)2'
где p(t) = (nt — t2) cos t — (n — 2t) sin t. Легко видеть, что p(0) = p( П ) = p(n) = 0. Далее.
p'(t) = (t2 — nt + 2) sin t = 0 nj)ii t = 0. t = n. t1
= П — VП2 — 2 1112 = 2 + ^П2 — 2. причем
0
Очевидно, что p (t) > 0 при 0 < t < t1 1i p (t) < 0 nj hi t1 < t < П • Это вместе e равенствами p(0) = p( П ) = 0 в.тенет. что p(t) > 0 на (0, П ). Следов;стельно. у'(t) > 0 на (0, П )■ т- °- y(t) возрастает на (0, П)■ Отсюда, и из соотношения y(t) = у(п—t) вытекает, что y(t) убывает на (П ,п). Таким образом. в точке t = П Фупкипя y(t) достигает своего наибольшего значения у(П) = 4 и
2П
m kπ sinc n x-- n k=0 x
6 4 π.
Последняя оценка не улучшаема. Знак равенства достигается при n = m = 1 и x = П-Замечание 2. Неравенства (5) и (7) остаются верными и для сумм m kπ sinc n x--I , k=mi x 7
так как
m kπ sinc n x-- n k=m1
m-m1
sinc n I y — k=0
kπ
n
,
где y = x — m^. 0 6 mi 6 m 6 n. n > 1.
Лемма 3. Пусть 5 > 0 и ^mns (x) = Pmo 0 sinc n x — k^Y гДе штрих у знака суммирования означает суммирование по значениям k, 0 6 k 6 m, для которых |x — k^ | > 5. Тогда
|^mn5(x)| 6 nδ при 0 6 m 6 n, n > 1 11 x G (—то, +то).
C Обогнан!ш через si наибольшее пелое значение к. для которого к 6 n ( xn —. а через: s2 — наименьшее целое значение к. для которого к > n ( x + 5 ) , Предположим сначала, что 0 6 s1< s2 6 m. Тогда фтп5 (x) = о1 + о2. где
(—i)k A(—i)
O1 =srnnx£ x - °2 = sinnx£ n (xkn n x-n x- k=0 n k=s2n
Как и при доказательстве леммы 2 убеждаемся, что обе суммы од и о2 являются суммами Лейбница и согласно оценке (4) леммы 1 удовлетворяют неравенствам
^ 6 ^in ”xl • n |x - snL | 6 Ь' ^ 6 |sin nx| • n |x - snn | 6 n^
откуда и следует (8). Если же s1< 0 ил и s2 > m, то вся сумма фтп§ (x) будет суммой Лейбница и, следовательно, оценивается как одна из сумм о1 и ли о2: \фтп5 (x)\ 6 np B
C Доказательство предложения 1. Поскольку f(x) абсолютно непрерывна на промежутке [0,п]. то для данного е > 0 найдете я такое 5 > 0. что для любой конечной системы попарно непересекающихся интервалов (aj-- bj) С [0,п], j = 0-1-...-1, из условия Pj=1(bj — aj) < 25 будет следовать, что Pj=1 \f (bj) — f(aj)\ < е. Кроме того, абсолютно непрерывная функция имеет ограниченную вариацию. Обозначим полную ва-7Г риапию f(x) на. [0-п] не]зез V (V = V(f)). Пусть 0 6 x < 25. Выберем пелое m = m(5) так. чтобы было m1 < 25 6 (m^1)71" и представ!ш оператор Ln(f,x). определенный формулой (2), в виде суммы
Ln(f, x) = Ln,i(x) + Ln,2(x)- где mn
Ln,i(x) = £ f (xk)sincn(x — xk)- Ln,2(x) = £ f (xk) sincn(x — xk)-k=0
kπ к = 0- 1- . . . - n.
xk —
n
Применив преобразование Абеля к сумме Ln,1(x), получим m-1 km
Ln, 1 (x) = y^(f (xk) — f (xk +1 ) y^sinc n(x — xj ) + f (xm) y^sinc n(x — xj ).
k=0 j=0
Согласно неравенству (5) из леммы 2 получим m-1
k sinc n(x — xj)
j =0
ILn,1(x)| 6 £|f(xk) — f(xk+1)l k=0
+ \f (xm)\
m sinc n(x — xj)
j =0
m - 1
6 2£ \f (xk ) — f(xk +1 )\ + 2 \f (xm)\ k =0
m - 1
£ \f (xk) — f (xk +1 )\ + \f (xm) — f (x o )\ k =0
Так как
m 1
X (xk +1 — xk) = mn< 25 ii n
k =0
0
25-
то из условия выбора 6 для абсолютно непрерывной функции f (x) следует, что при 0 6 x < 26
|Ln,i(x)| < 2(е + е)=4е.(9)
Теперь применим преобразование Абеля ко второй сумме Ln,2(x):
n—1 kn
Ln,2(x) = 52 (f (xk) - f (xk+1)) 52 SinC n(x - Xj )+ f (xn) 52 SinC n(x - xj)‘ k=m+1 j=m+1j=m+1
Учитывая, что f (xn) = f (п) = 0, согласно замечанию 2 к лемме 2 получим n—1
k
52 sinc n(x — xj) j = m +1
|Ln, 2 (x)| 6 52 If(xk) - f (xk +1 )| k = m +1
2 П_1 2 V
6 П6 52 |f(xk) — f(xk +1 )| 6 n^<e k = m +1
при n > ng = [2j]_ Из последнего неравенства и неравенства (9) вытекает, что
|Ln(f,x)| 6 |Ln, 1 (x)| + |Ln, 2 (x)| < 4 е + 2V < 4е + е = 5е nδ
II. следовательно, при n > ng i1 0 6 x < 26
|Ln(f,x) — f(x)| 6 |Ln(f,x)| + |f(x) — f(0)| < 5е + е = 6е. (10)
Рассуждения, аналогичные приведенным выше, показывают, что неравенство (10) остается верным и при n > ng и п — 26 < x 6 п. С другой стороны, согласно приведенному во введении следствию теоремы 6 из [20], для данного е > 0 найдете я номер n1 = п1(е, 6) такой, что при n > n1 1i 6 6 x 6 п — 6 бу,тот |Ln(f,x) — f(x)| < е. Отсюда, и из (10) следует, что при n > max{n1,ng} 11 0 6 x 6 п верно nej>авенство |Ln(f,x) — f(x)| < 6е, что означает равномерную сходимость последовательности функций {Ln(f, x)} к f (x) на всем промежутке [0, п]. B
Следствие 1. Если функция f (x) G Lip1[0,п] и f(0) = f(п) = 0, то последовательность функций {Ln(f, x)} равномерно сходится к f (x) на [0, п].
C На самоеi деле, из f(x) G Lip 1[0, п] следует, нто функция f (x) абсолютно непрерывна на [0, п] II удовлетворяет там ус.товню Дипп — Липщица. B
ЗАМЕЧАНИЕ 3. Из абсолютной непрерывности функции f (x) не следует, что она удовлетворяет условию Дини — Липщица. Например, функция f (x) = <
^(Д)
0,
x = 0, x = 0
является абсолютно непрерывной на [0, п], поскольку ее производная f0(x) =
существует при 0 < x 6 п. является суешируемой на [0, п] 11 f (x) =
же время модуль непрерывности этой функции w(f, t) =
М2!.) • а
x 1
g t in 2(2tn)
X ln 2 ( 2П ) dt. В то
, _ ln t lim w(f, t)ln t = lim —-----— t—^o+ t—^o+ 1п(2п) — ln t
—1 = 0,
t. e. f (x) не удовлетворяет условию (3) Дини — Липщица.
-
3. Модифицированные операторы
В случае, если f (0) = 0 ил и f (п) = 0, значения операторов (2), как было отмечено выше, не сходятся равномерно к f (x) на всем отрезке [0, п]. Для обеспечения равномерной сходимости приходится несколвко видоизменить операторы Уиттекера.
Теорема 1. Пусть функция f (x) абсолютно непрерывна и удовлетворяет условию Дини — Липщица на [0,п]. Тогда последовательность функций
Ln(f,x) = Ln(F,x)+ Li(f,x), (И)
где L1(f, x) = f (0) sinc x + f (п) sinc(x — п). F (x) = f (x) — L1(f, x). a Ln(^x) задан (формулой (2). равиомерш) сходится к f (x) на [0, п].
C На. самс>м деле. F (0) = f (0) — L1 (f, 0) = f (0) — f (0) = 0.
F (п) = f(п) — L 1 (f,п) = f(п) — f(п) = °.
Так как функция f (x) абсолютно непрерывна и удовлетворяет условию Дини — Липщица на [0, п], то F(x) также абсолютно непрерывна и удовлетворяет условию Дини — Липшица на [0, п]. Тогда по предложеныто последовательность {Ln(F, x)} равномерно на. [0, п] сходи вся к F (x) = f (x) — L1(f, x). Следов;пелыто. Ln(f, x) = Ln(F, x) + L1(f, x) равномерно на. [0, п] сходи вся к F (x) + L1(f, x) = f (x) — L1 (f, x) + L1(f, x) = f (x). B
ЗАМЕЧАНИЕ 4. Оператор (11) В явном виде выглядит так
n kπ n
Ln(f,x) = ^Ak(f) sincn ( x — k =0
где
A o (f) = f (0), An(f) = f (п),
Ak (f) = f
kπ n
— f (0) sinc
— f (п) sinc п —
kπ n
k = 1, 2,..., n — 1.
Пусть теперь f(x) непрерывна на [0, п] и дифференцируема на концах этого промежутка, т. е. существуют односторонние производные f0(0) и f0(п). Тогда функция G(x) = f (^-- Lxfx непрергтвна на (0, п) и при x ^ +0
х f (x) — f (0) sinc x — f (п)sinc(x — п) f(x) — f(0)(1 + o(x)) — f (п) П-x)
G(x) =-------------------------------= ----------------------------- sin xsin x
= f (x)— f (0) x — f (0)o(n x — /Сп). ^ f ,(0) — /(Л). x — 0 sin x sin x п — xп
Аналогично при x ^ п — 0
G(x) ^ —f0(п)~.
π
Значит, после доопределения G(0) = f0(0) — f^n) и G(п) = —f0(п) — f^0) функция
G(x) =
f 0(0) — fn ) f ( x ) -Li ( f,x ) sin x ,
.—f 0(п) — fn0 ! ,
x = 0,
0 < x < п, x = п
[0, п]
Теорема 2. Пусть f (x) непрерывна на [0, п] и дифференцируема на концах этого промежутка, а функция G(x), определенная формулой (12), имеет ограниченную вариацию на [0, п] и удовлетворяет условию Дини — Липщица. Тогда последовательность функций
Ln(f,x) = sin xLn(G,x) + Li (f,x), (13)
где Ln(^,x) — оператор, заданный формулой (2). равыомерш) сходится к f (x) на [0, п].
Докажем сначала следующую лемму.
Лемма 4. Функция sincx, заданная формулой (1), при x = 0 удовлетворяет неравенствам
что при ряд
0 < 1 — sinc x < —. 6
C 11:з приведенного во введении неравенства |sincx| < 1 njш x = 0 следует.
0 < 1 — sincx< 2. Следовательно, правое неравенство (14) достаточно доказать 2 — (- 1) k-2k+1
0 < —- < 2 пли 0 < x2< 12. Из разложения функции sin x = 22 k =o V (2 k +1)!— B
Тейлора получим
- (-1)k-1 x2k
1 — sinc x = > ——;----n—.
k = (2k + 1)!
Модуль общего члена ряда ak (x) = (2x 2 k 1)! ^ 0 ПРи k ^ то для любого x. Кроме того, ak (x) > ak+1(x) равносильно 0 < x2< (2k + 2)(2k + 3). Правая часть последнего неравенства достигает наименьшего значения при k = 1. Следовательно, последовательность {ak (x)}fc=1 является убьшающей при 0 < x2< 20 и, в частности, при 0 < x2< 12. Значит, последний ряд является рядом Лейбница и его сумма меньше модуля первого члена, 2
-
т. е. 1 — sinc x < x-. B
-
C Доказательство теоремы 2. Обозначим
M := sup |G(x)|, V := V(G). 0 6-6n 0
Применив преобразование Абеля и неравенство (5), из леммы 2 получим n-1
|Ln(G,x)| 6 ^|G(xk) — G(xk+ 1 )| k =0
k sinc n(x — xj) j=0
+ |G(xn )|
n sinc n(x — xj-) j=0
6 2 X |G(xk) — G(xk +1 )| + 2 |G(xn)| 6 2(V + M), k =0
где xk = kC k = 0,1,..., n. Поскольку f (x) равномерно непрерывна, на. промежутке [0, п]. то для данного е > 0 найдете я такое 5, 0 < 5 < min{1, v+^m }- что дл>i любых x1,x2 из отого промежутка |f(x2) — f(x1)| < е nj>n |x2 — x11 < 5. Пусть 0 6 x < 5. Тогда из (12)—(15) следует
|Ln(f,x) — f(x)| 6 |Ln(f,x) — f(0)| + |f(x) — f(0)|
6 sin5 |Ln(G,x)| + |f (0)| (1 — sinc)x + |f (п)| -si—5-. + е
52 5
6 5(V + M) + M — + M~—5 + е 6 5(V + 2M) + е 6 е + е = 2е.
Последняя оценка справедлива и при п — 5 < x 6 п. С другой стороны, согласно следствию теоремы 6 из [20], для данного е > 0 найдете я номер no = no(e,5) такой, что при n > no ii 5 6 x 6 п — 5 бу,тот |Ln(G,x) — G(x)| < е и. следовательно.
|Ln(f,x) — f (x) | = |sin xLn(G,x) + Li (f,x) — f (x)| sin x Ln(G, x) —
f(x) — Li(f,x) sin x
= |sin x(Ln (G, x) — G(x))|
-
6 |Ln(G,x) — G(x)| < e.
Наконец, из (16), (17) получаем, что при 0 6 x 6 п и n > no выполнено неравенство |Ln(f,x) — f(x)| < 2е. B
В заключение отметим, что основные результаты настоящей работы были анонсированы в [23].
Список литературы Интерполяция функций суммами Уиттекера и их модификациями: условия равномерной сходимости
- Whittaker E. T. On the functions which are represented by expansions of the interpolation theory//Proc. Roy. Soc. Edinburgh. 1915. Vol. 35. P. 181-194.
- Котельников В. А. О пропускной способности "эфира" и проволоки в электросвязи//Всесоюзный энергетический коммитет. Материалы к I Всесоюзному съезду по вопросам реконструкции дела связи и развития слаботочной промышленности. По радиосекции. М: Управление связи РККА, 1933. С. 1-19.
- Shannon C. E. A mathematical theory of communication//Bell System Tech. J. 1948. Vol. 27. P. 379-423, 623-656.
- Schoenberg I. J. Cardinal interpolation and spline functions//J. Approx. Theory. 1969. Vol. 2. P. 167-206.
- McNamee J., Stenger F., Whitney E. L. Whittaker's cardinal function in retrospect//Mathematics of Computation. 1971. Vol. 25. № 113. P. 141-154.
- Stenger F. An analytic function which is an approximate characteristic function//SIAM J. Appl. Math. 1975. Vol. 12. P. 239-254.
- Stenger F. Approximations via the Whittaker cardinal function//J. Approx. Theory. 1976. Vol. 17. P. 222-240.
- Higgins J. R. Five short stories about the cardinal series//Bull. Amer. Math. Soc. 1985. Vol. 12. P. 45-89.
- Lund J., Kenneth L. B. Sinc Methods for Quadrature and Differential Equations. Philadelphia: J. Soc. Ind. Appl. Math., 1992. 304 p.
- Stenger F. Numerical Metods Based on Sinc and Analytic Functions. N.Y.: Springer-Verlag, 1993. 565 p.
- Young R. M. An Introduction to Nonharmonic Fourier Series. Revised first edition. San Diego: Academic Press. A Harcourt Science and Technology Company, 2001. 235 p.
- Жук А. С., Жук В. В. Некоторые ортогональности в теории приближения//Зап. научн. семин. ПОМИ. 2004. Т. 314. С. 83-123.
- Antuna A., Guirao L. G., Lopez M. A. Shannon-Whittaker-Kotel'nikov's theorem generalized//MATCH Commun. Math. Comput. Chem. 2015. Vol. 73. P. 385-396.
- Трынин А. Ю. Об аппроксимации аналитических функций операторами Лагранжа Штурма Лиувилля//Тез. докл. 10 Саратовской зимней шк. "Современные проблемы теории функций и их приложения" (27 января-2 февраля 2000 г.). Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2000. С. 140-141.
- Трынин А. Ю. Об оценке аппроксимации аналитических функций интерполяционным оператором по синкам//Математика. Механика. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2005. Т. 7. С. 124-127.
- Скляров В. П. О наилучшей равномерной sinc аппроксимации на конечном отрезке//Тез. докл. 13 Саратовской зимней шк. "Современные проблемы теории функций и их приложения" (27 января-3 февраля 2006 г.). Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2006. С. 161.
- Trynin A. Yu., Sklyarov V. P. Error of sinc approximation of analytic functions on an interval//Sampling Theory in Signal and Image Processing. 2008. Vol. 7, № 3. P. 263-270.
- Sklyarov V. P. On the best uniform sinc-approximation on a finite interval//East J. Approx. 2008. Vol. 14, № 2. P. 183-192.
- Трынин А. Ю. Оценки функций Лебега и формула Неваи для sinc-приближений непрерывных функций на отрезке//Сиб. мат. журн. 2007. Т. 48, № 5. C. 1155-1166.
- Трынин А. Ю. Критерий равномерной сходимости sinc-приближений на отрезке//Изв. вузов. Математика. 2008. № 6. С. 66-78.
- Привалов А. А. О равномерной сходимости интерполяционных процессов Лагранжа//Мат. заметки. 1986. Т. 39, № 6. С. 228-243.
- Трынин А. Ю. Обобщение теоремы отсчетов Уиттекера Котельникова Шеннона для непрерывных функций на отрезке//Мат. сб. 2009. Т. 200, № 11. С. 61-108.
- Шарапудинов И. И., Умаханов А. Я. Интерполяция функций суммами Уиттекера и их модификациями: условия равномерной сходимости//Материалы 18-й междунар. Саратовской зимней шк. "Современные проблемы теории функций и их приложения". Саратов, 2016. С. 332-334.