Интерполяция функций суммами Уиттекера и их модификациями: условия равномерной сходимости

Sine-функция или кардинальный синус определяется формулой sin x x, x = 0, x = 0

1, и является целой функцией. При действительных значениях x = 0, ввиду известного неравенства | sin x| < |x|. справедлива, опенка | sincx| < 1. Зафиксируемi натуральное n ii рассмотрим сумму

n

Ln(f,x)= У,1

k =0

kπ n

sinc n x —

kπ n

которая сопоставляет каждой функции f (x), определенной на [0,п], целую функцию Ln(f, x), совпадатощую с f (x) в узловых точках xk = xk,n = k^, k = 0,1,..., n. Эта сумма называется n-ой интерполяционной суммой или n-ым интерполяционным оператором Уиттекера. Самого Э. Т. Уиттекера, [1] интересовал вопрос о возможности восстановления функции на, всей числовой прямой по ее значениям на, некоторой равномерной сетке {kh}k=_-ro, h >  0, для чего он ввел в рассмотрение так называемую кардинальную функцию (или кардинальный ряд), сужение которой на отрезок [0, п] в случае h = n имеет вид (2). Независимо аналогичные ряды по sinc-функциям применяли В. А. Котельников [2] и К. Э. Шеннон [3] для однозначного восстановления сигнала, по его дискретным отсчетам, и соответствующая теорема, в теории информации носит имена, Уиттекера, Котельникова, и Шеннона. Впоследствии кардинальные ряды Уиттекера, нашли широкое применение в численных методах, теории приближения и интерполяции различных классов функций, решении дифференциальных и интегральных уравнений, в теории информации. В частности, этим вопросам посвящены работы [4-13].

Здесь нас интересует вопрос сходимости {Ln (f, x)} на от резке [0,п]. Первые задачи подобного рода для аналитических функций были рассмотрены в [14-18]. В [19] и [20] получен критерий равномерной сходимости сумм (2) внутри интервала (0,п), аналогичный критерию А. А. Привалова равномерной сходимости интерполяционных процессов Лагранжа [21]. В частности, следствие из теоремы 6 в [20] утверждает, что на любом отрезке [a, Ь]. 0 < a < b < п. {Ln(f, x)} равномерно сходятся к f (x). если эта функция удовлетворяет условию Дини — Липщица:

tli^m₀ ^(f, t)ln t = 0,                                       (3)

где w^(f,f)=   sup   ^|f(x2) - ^f(x1)|

|x2 -x1 |6t, 06x1,x26n

• — модуль непрерывности f (x) на отрезке [0, п]. Но равномерной сходимости на всем отрезке [0, п] нет даже для функции f (x) = 1. В настоящей статье найдены достаточные условия на. функцию f (x). при соблтодешш которых {L_n(f, x)} сходится к f (x) равномерно на [0, п]. Кроме того, сконструированы модификации операторов Уиттекера, обладающие свойством равномерной сходимости на [0, п] при несколько менее ограничительных условиях на. f (x).

• 2.    Условия равномерной сходимости sinc-приближений

Впервые задача о равномерной сходимости sinc-приближений для функций, обращающихся в нуль на концах отрезка [0, п], была рассмотрена в [22]. В частности, в [22] доказано, что любая исчезающая на концах отрезка [0, п] функция из класса Дини — Липшица может быть приближена операторами (2) равномерно на всем отрезке [0, п]. Мы приведем здесь доказательство этого утверждения, отличное от предложенного в работе [22], при дополнительном требовании об абсолютной непрерывности функции f па [0, п]. А именно, справедливо

Предложение 1. Пусть функция f (x) абсолютно непрерывна и удовлетворяет условию Дини — Липщица на [0, п] и ну'сть f (0) = f (п) = 0. Тогда последовательность функций {L_n(f, x)}n=₁. определеных формулой (2). равномерш) сходится к f (x) па [0, п].

Для доказательства этого предложения нам понадобятся некоторые вспомогательные утверждения.

Лемма 1. Пусть {ak}П₌₁ — монотонная последовавельность неотрицательных (неположительных ) чисел. Тогда

n

X(-1)k ak

6 max{|ao|, |an|}.

k=0

C По аналогии с рядами Лейбница такие суммы будем называть суммами Лейбница. Поскольку

n

X(-1)k(—ak)

k=0

n

- X(-1)kak k=0

n

X(-1)k ak k=0

то можно считать, что ak >  0, к = 0,1,... ,n. Предположим также, что последовательность {ak }П=0 невозрастающая. Если n = 2m, то

2m

• ^{0 6 (a}0 ^— al) + ^(a2 ^— as) ⁺ • • • ^{+ (a}2m-2 ^{— a}2m-1) + ^a2m = ^^^{( —} 1)kak k=0

= ao ^{— (}a1 ^— a2) ^{— (a}3 ^{— a}4) ^— • • • ^{— (a}2m-1 ^{— a}2m) 6 ^a0-

Если же n = 2m — 1. to

2m-1

^{0 6 (a}0 ^— al) ^{+ (a}2 ^{— a}3) ⁺ • • • ^{+ (a}2m-2 ^{— a}2m-1) = ^^ ^{( —} 1)k ak k=0

= ^a0 ^{— (a}1 ^{— a}2) ^{— (a}3 ^{— a}4) ^— • • • ^{— (a}2m-3 ^{— a}2m-2 ) ^{— a}2m-1 6 ^a0-

В случае неубывающей последовательности неотрицательных чисел аналогичные выкладки приводят к неравенству |Pn=0(—1)k ak | 6 an- B

Лемма 2. При n >  1.0 6 m 6 n п x E (—то, +to) верно неравенство

m kπ

< 2.

sinc n x-- n

C Ее .th x совпадает e одним из узлов Xk = kn. k = 0,1,...,m. то левая часть (5) равна 1 и неравенство верно. Пусть sp < x < (s+p^ для некоторого целого s, 0 < s < m. Преобразуем оцениваемую сумму к виду

m sinc n x k=0

m sin(nx — kn)

k=0

nx - kπ

m

= sin nx k=0

(—1)k nx - kπ

и разобьем ее на. две части

S1

s

= sin nx k=0

(—1)k nx - kπ ,

S2

m

= sin nx k=s+1

( —1)k nx - kπ ^.

Согласно выбору s, {nx — kn}k=0 и {nx — kn}ms+1 — убывающие последовательности соответственно положительных и отрицательных чисел. Следовательно, обе последовательности {(nx — kn)-1}k=0 и {(nx — kn)-1 }ms+1 являются возрастающими последовательностями чисел одного знака. Таким образом, обе суммы являются суммами Лейбница, и из неравенства (4) леммы 1 получаем оценки

|S1|

6 |sin nx|

|nx - sπ|

sin(nx — sn)

nx - sπ

= |sinc(nx — sn)| < 1,

|S2|

|sin nx|

|nx — (s + 1)n|

sin(nx — (s + 1)п) nx — (s + 1)n

= |sinc(nx — (s + 1)n) | < 1.

Складывая последние неравенства, получаем неравенство (5). Если же x < 0 ил и x >  —^^1 то вся сумма P—=0 sinc n(x — kp) является суммой Лейбница и по лемме 1 не превосходит max{|sincnx| , |sinc(nx — sn)|} 6 1. так что иеравеиство (•"/) верно и в атом случае. B

Замечание 1. Оценку (5) можно уточнить. При 0 < s < m и Д < x < согласно неравенствам (6),

(s+1)n n

I ^S1| + |S₂| ⁶ I sin nx (jnx^ ⁺ I nx - (S ₊ 1),| ) (   ^{1             1}      ^

= ^|sin nx nx—n— ^- nx — ( s +1) ,)

= sin t

(t+

= sin(nx — sn)

--+

- sπ

π

t

n — (nx — sn)

n sin t def , . Ю—t) = y(t),

где t = nx — sn, 0 < t < п. Так как y(t) = sinc t + sinc(n — t), то эта функция определена на (—то, +то). В частпости. у(0) = у(п) = 1. Прон:;:водная y(t) имеет вид

У0 (t) =

nP(t) t2(n — t)2'

где p(t) = (nt — t²) cos t — (n — 2t) sin t. Легко видеть, что p(0) = p( П ) = p(n) = 0. Далее.

p'(t) = (t² — nt + 2) sin t = 0 nj)ii t = 0. t = n. t1

= П — VП2 — 2 1112 = 2 + ^П2 — 2. причем

0 < n < t₂<  n.

Очевидно, что p (t) > 0 при 0 < t < t1 1i p (t) < 0 nj hi t1 < t <  П • Это вместе e равенствами p(0) = p( П ) = 0 в.тенет. что p(t) > 0 на (0, П ). Следов;стельно. у'(t) > 0 на (0, П )■ т- °- y(t) возрастает на (0, П)■ Отсюда, и из соотношения y(t) = у(п—t) вытекает, что y(t) убывает на (П ,п). Таким образом. в точке t = П Фупкипя y(t) достигает своего наибольшего значения у(П) = 4 и

2П

m kπ sinc n x-- n k=0       x

6 4 π.

Последняя оценка не улучшаема. Знак равенства достигается при n = m = 1 и x = П-Замечание 2. Неравенства (5) и (7) остаются верными и для сумм m kπ sinc n x--I , k=mi        x        7

так как

m kπ sinc n x-- n k=m1

m-m1

sinc n I y — k=0

kπ

n

,

где y = x — m^. 0 6 mi 6 m 6 n. n >  1.

Лемма 3. Пусть 5 >  0 и ^_mns (x) = Pmo 0 sinc n x — k^Y ^гД^е штрих у знака суммирования означает суммирование по значениям k, 0 6 k 6 m, для которых |x — k^ | >  5. Тогда

|^mn5(x)| 6 nδ при 0 6 m 6 n, n > 1 11 x G (—то, +то).

C Обогнан!ш через si наибольшее пелое значение к. для которого к 6 n ( x_n —. а через: s₂ — наименьшее целое значение к. для которого к >  ^{n ( x + 5 )} , Предположим сначала, что 0 6 s₁< s₂ 6 m. Тогда ф_тп5 (x) = о₁ + о₂. где

(—i)k                 A(—i)

O1 =srnnx£        x - °2 = sinnx£ n (xkn n x-n x- k=0         n                  k=s2n

Как и при доказательстве леммы 2 убеждаемся, что обе суммы од и о2 являются суммами Лейбница и согласно оценке (4) леммы 1 удовлетворяют неравенствам

^ ⁶ ^ⁱⁿ ”x^l • n |x - snL | ⁶ Ь' ^ ^{6 |sin} n^x| • n |x - snn | ⁶ n^

откуда и следует (8). Если же s₁< 0 ил и s₂ > m, то вся сумма ф_тп§ (x) будет суммой Лейбница и, следовательно, оценивается как одна из сумм о₁ и ли о₂: \ф_тп5 (x)\ 6 np B

C Доказательство предложения 1. Поскольку f(x) абсолютно непрерывна на промежутке [0,п]. то для данного е > 0 найдете я такое 5 > 0. что для любой конечной системы попарно непересекающихся интервалов (aj-- bj) С [0,п], j = 0-1-...-1, из условия Pj=1(bj — aj) < 25 будет следовать, что Pj=1 \f (bj) — f(aj)\ < е. Кроме того, абсолютно непрерывная функция имеет ограниченную вариацию. Обозначим полную ва-7Г риапию f(x) на. [0-п] не]зез V (V = V(f)). Пусть 0 6 x < 25. Выберем пелое m = m(5) так. чтобы было m1 < 25 6 (m^1)71" и представ!ш оператор Ln(f,x). определенный формулой (2), в виде суммы

Ln(f, x) = Ln,i(x) + Ln,2(x)- где mn

Ln,i(x) = £ f (xk)sincn(x — xk)- Ln,2(x) = £ f (xk) sincn(x — xk)-k=0

kπ к = 0- 1- . . . - n.

xk —

n

Применив преобразование Абеля к сумме Ln,1(x), получим m-1                   km

Ln, 1 (x) = y^(f (xk) — f (xk +1 ) y^sinc n(x — xj ) + f (xm) y^sinc n(x — xj ).

k=0                  j=0

Согласно неравенству (5) из леммы 2 получим m-1

k sinc n(x — xj)

j =0

ILn,1(x)| 6 £|f(xk) — f(xk+1)l k=0

⁺ \^{f (x}m)\

m sinc n(x — xj)

j =0

m - 1

6 2£ \f (xk ) — f(xk +1 )\ + 2 \f (xm)\ k =0

m - 1

£ \f (xk) — f (xk +1 )\ + \f (xm) — f (x o )\ k =0

Так как

m 1

X (xk +1 — xk) = mⁿ< 25 ii n

k =0

0 — x o = ^mn< n

25-

то из условия выбора 6 для абсолютно непрерывной функции f (x) следует, что при 0 6 x < 26

|Ln,i(x)| < 2(е + е)=4е.(9)

Теперь применим преобразование Абеля ко второй сумме Ln,2(x):

n—1                          kn

Ln,2(x) = 52 (f (xk) - f (xk+1)) 52 SinC n(x - Xj )+ f (xn) 52 SinC n(x - xj)‘ k=m+1                 j=m+1j=m+1

Учитывая, что f (xn) = f (п) = 0, согласно замечанию 2 к лемме 2 получим n—1

k

52 sinc n(x — xj) j = m +1

|Ln, 2 (x)| 6 52 If(xk) - f (xk +1 )| k = m +1

2 П_1                      2 V

⁶ П6 52 ^|f(xk) ^{— f(x}k +1 )| ⁶ n^<^e k = m +1

при n > ng = [2j]_ Из последнего неравенства и неравенства (9) вытекает, что

|Ln(f,x)| 6 |Ln, 1 (x)| + |Ln, 2 (x)| <  4 е + 2V <  4е + е = 5е nδ

II. следовательно, при n > ng i1 0 6 x < 26

|Ln(f,x) — f(x)| 6 |Ln(f,x)| + |f(x) — f(0)| <  5е + е = 6е.             (10)

Рассуждения, аналогичные приведенным выше, показывают, что неравенство (10) остается верным и при n > ng и п — 26 < x 6 п. С другой стороны, согласно приведенному во введении следствию теоремы 6 из [20], для данного е > 0 найдете я номер n₁ = п₁(е, 6) такой, что при n > n₁ 1i 6 6 x 6 п — 6 бу,тот |L_n(f,x) — f(x)| <  е. Отсюда, и из (10) следует, что при n > max{n₁,ng} 11 0 6 x 6 п верно nej>авенство |L_n(f,x) — f(x)| <  6е, что означает равномерную сходимость последовательности функций {L_n(f, x)} к f (x) на всем промежутке [0, п]. B

Следствие 1. Если функция f (x) G Lip₁[0,п] и f(0) = f(п) = 0, то последовательность функций {L_n(f, x)} равномерно сходится к f (x) на [0, п].

C На самоеi деле, из f(x) G Lip 1[0, п] следует, нто функция f (x) абсолютно непрерывна на [0, п] II удовлетворяет там ус.товню Дипп — Липщица. B

ЗАМЕЧАНИЕ 3. Из абсолютной непрерывности функции f (x) не следует, что она удовлетворяет условию Дини — Липщица. Например, функция f (x) = <

^(Д)

0,

x = 0, x = 0

является абсолютно непрерывной на [0, п], поскольку ее производная f0(x) =

существует при 0 < x 6 п. является суешируемой на [0, п] 11 f (x) =

же время модуль непрерывности этой функции w(f, t) =

М2!.) • а

x 1

g t in ²(2tn)

X ln ² ( 2П ) dt. В то

,                  _              ln t lim w(f, t)ln t = lim —-----— t—^o+              t—^o+ 1п(2п) — ln t

—1 = 0,

t. e. f (x) не удовлетворяет условию (3) Дини — Липщица.

• 3.    Модифицированные операторы

В случае, если f (0) = 0 ил и f (п) = 0, значения операторов (2), как было отмечено выше, не сходятся равномерно к f (x) на всем отрезке [0, п]. Для обеспечения равномерной сходимости приходится несколвко видоизменить операторы Уиттекера.

Теорема 1. Пусть функция f (x) абсолютно непрерывна и удовлетворяет условию Дини — Липщица на [0,п]. Тогда последовательность функций

Ln(f,x) = Ln(F,x)+ Li(f,x),                         (И)

где L₁(f, x) = f (0) sinc x + f (п) sinc(x — п). F (x) = f (x) — L₁(f, x). a L_n(^x) задан (формулой (2). равиомерш) сходится к f (x) на [0, п].

C На. самс>м деле. F (0) = f (0) — L1 (f, 0) = f (0) — f (0) = 0.

^{F (п)} = ^{f(п) — L} 1 ^(f,п) = ^{f(п) — f(п)} = °.

Так как функция f (x) абсолютно непрерывна и удовлетворяет условию Дини — Липщица на [0, п], то F(x) также абсолютно непрерывна и удовлетворяет условию Дини — Липшица на [0, п]. Тогда по предложеныто последовательность {L_n(F, x)} равномерно на. [0, п] сходи вся к F (x) = f (x) — L₁(f, x). Следов;пелыто. L_n(f, x) = L_n(F, x) + L₁(f, x) равномерно на. [0, п] сходи вся к F (x) + L₁(f, x) = f (x) — L₁ (f, x) + L₁(f, x) = f (x). B

ЗАМЕЧАНИЕ 4. Оператор (11) В явном виде выглядит так

n kπ n

Ln(f,x) = ^Ak(f) sincn ( x — k =0

где

A o (f) = f (0),   An(f) = f (п),

Ak (f) = f

kπ n

— f (0) sinc

— f (п) sinc п —

kπ n

k = 1, 2,..., n — 1.

Пусть теперь f(x) непрерывна на [0, п] и дифференцируема на концах этого промежутка, т. е. существуют односторонние производные f0(0) и f0(п). Тогда функция G(x) = ^f (^-- Lxfx непрергтвна на (0, п) и при x ^ +0

х f (x) — f (0) sinc x — f (п)sinc(x — п)    f(x) — f(0)(1 + o(x)) — f (п) П-x)

G(x) =-------------------------------= ----------------------------- sin xsin x

= f (x)— f (0) x — f (0)o(n x — /Сп). ^ f ,(0) — /(Л). x — 0 sin x          sin x п — xп

Аналогично при x ^ п — 0

G(x) ^ —f0(п)~.

π

Значит, после доопределения G(0) = f0(0) — f^n) и G(п) = —f0(п) — f^0) функция

G(x) =

f 0(0) — fn ) ^f ( x ) -Li ( ^f,x ) sin x ,

.—f 0(п) — fn⁰ ! ,

x = 0,

0 < x < п, x = п

[0, п]

Теорема 2. Пусть f (x) непрерывна на [0, п] и дифференцируема на концах этого промежутка, а функция G(x), определенная формулой (12), имеет ограниченную вариацию на [0, п] и удовлетворяет условию Дини — Липщица. Тогда последовательность функций

Ln(f,x) = sin xLn(G,x) + Li (f,x), (13)

где L_n(^,x) — оператор, заданный формулой (2). равыомерш) сходится к f (x) на [0, п].

Докажем сначала следующую лемму.

Лемма 4. Функция sincx, заданная формулой (1), при x = 0 удовлетворяет неравенствам

что при ряд

0 < 1 — sinc x < —. 6

C 11:з приведенного во введении неравенства |sincx| < 1 njш x = 0 следует.

0 < 1 — sincx< 2. Следовательно, правое неравенство (14) достаточно доказать 2                                                                                 —   (- 1) k-2k+1

0 < —- < 2 пли 0 < x²< 12. Из разложения функции sin x = 22 k =o ^V (2 k +1)!— ^B

Тейлора получим

- (-1)k-1 x2k

1 — sinc x = > ——;----n—.

_k = (²k + 1)!

Модуль общего члена ряда ak (x) = (2^x 2 k ₁)! ^ 0 ^ПР^и k ^ то для любого x. Кроме того, ak (x) > ak+₁(x) равносильно 0 < x²< (2k + 2)(2k + 3). Правая часть последнего неравенства достигает наименьшего значения при k = 1. Следовательно, последовательность {ak (x)}fc=₁ является убьшающей при 0 < x²< 20 и, в частности, при 0 < x²< 12. Значит, последний ряд является рядом Лейбница и его сумма меньше модуля первого члена, 2

• т. е. 1 — sinc x < x-. B

• C Доказательство теоремы 2. Обозначим

M := sup |G(x)|, V := V(G). 0 6-6n                 ⁰

Применив преобразование Абеля и неравенство (5), из леммы 2 получим n-1

|Ln(G,x)| 6 ^|G(xk) — G(xk₊ 1 )| k =0

k sinc n(x — xj) j=0

+ |G(xn )|

n sinc n(x — xj-) j=0

6 2 X |G(xk) — G(xk +1 )| + 2 |G(xn)| 6 2(V + M), k =0

где xk = kC k = 0,1,..., n. Поскольку f (x) равномерно непрерывна, на. промежутке [0, п]. то для данного е > 0 найдете я такое 5, 0 <  5 < min{1, v+^m }- что дл>i любых x₁,x₂ из отого промежутка |f(x₂) — f(x₁)| <  е nj>n |x₂ — x₁1 < 5. Пусть 0 6 x < 5. Тогда из (12)—(15) следует

|Ln(f,x) — f(x)| 6 |Ln(f,x) — f(0)| + |f(x) — f(0)|

6 sin5 |Ln(G,x)| + |f (0)| (1 — sinc)x + |f (п)| -si—⁵-. + е

52         5

6 5(V + M) + M — + M~—5 + е 6 5(V + 2M) + е 6 е + е = 2е.

Последняя оценка справедлива и при п — 5 < x 6 п. С другой стороны, согласно следствию теоремы 6 из [20], для данного е >  0 найдете я номер no = no(e,5) такой, что при n > no ii 5 6 x 6 п — 5 бу,тот |Ln(G,x) — G(x)| < е и. следовательно.

|Ln(f,x) — f (x) | = |sin xLn(G,x) + Li (f,x) — f (x)| sin x Ln(G, x) —

f(x) — Li(f,x) sin x

= |sin x(Ln (G, x) — G(x))|

• 6 |Ln(G,x) — G(x)| < e.

Наконец, из (16), (17) получаем, что при 0 6 x 6 п и n > no выполнено неравенство |Ln(f,x) — f(x)| < 2е. B

В заключение отметим, что основные результаты настоящей работы были анонсированы в [23].