Интерполяция положительного и регулярного линейных операторов в пространствах Орлича измеримых вектор-функций



Владикавказский математический журнал

Июль–сентябрь, 2004, Том 6, Выпуск 3

ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ПОЛОЖИТЕЛЬНОГО И РЕГУЛЯРНОГО ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ В ПРОСТРАНСТВАХ ОРЛИЧА ИЗМЕРИМЫХ ВЕКТОР-ФУНКЦИЙ

К семидесятипятилетию

Юрия Григорьевича Решетняка

В. Г. Фетисов, В. Н. Козоброд

В работе рассмотрен вопрос об интерполяции положительного и регулярного операторов в квази-нормированных пространствах Орлича измеримых по Лебегу векторнозначных функций.

В обзоре Ю. А. Брудного, С. Г. Крейна и Е. М. Семенова [1] по теории интерполяции операторов отмечалось, что «цикл работ, посвященных интерполяции линейных операторов в линейных топологических пространствах, весьма разнороден по методам и направленности». Можно добавить, что и идея интерполяции локально невыпуклых топологий еще далека от сколь-нибудь полной реализации. Настоящая статья посвящена задаче интерполяции положительного и регулярного линейных операторов в локально ограниченных пространствах Орлича измеримых вектор-функций. При этом используются некоторые соображения более ранних работ первого из авторов (см. ссылки на статьи [2, 3, 4] на стр. 140, 142 из вышеупомянутого обзора [1]).

Сначала приведем необходимый аппарат обозначений, определений, вспомогательных результатов, являющихся базовыми для дальнейшего изложения. Мы во многом следуем содержанию главы 2 из [5] (см. также монографию [8]).

Пусть (T, X, ^) — пространство с мерой, т. е. T — множество, X — ст-алгебра его подмножеств, ^ — счетно-аддитивная неотрицательная мера на X. Без ограничения общности можно предполагать, что все атомы дискретной части T являются точками. Пусть X(^) (соответственно X " (^)) есть кольцо (соответственно ст-кольцо) множеств из X, имеющих конечную (соответственно σ-конечную) меру. Всюду в дальнейшем будет считать, что:

• (а)    если A С B Е X и ^(B) = 0, то A Е X (полнота меры ^);

• (b)    если для любого B Е X(^) имеем B П A Е X, то A Е X;

• (с)    для любого A Е X имеем ^(A) = sup { ^(B) : B С A, B Е X(^) } ;

• (d)    существуют дизъюнктные множества {T i } такие, что ^(T \ U T i ) = 0 и 0 < ^(T i ) < + го при любом i;

• (e)    Для любого A Е X(^) существуют множество N меры нуль и не более, чем счетное множество J индексов i такие, что A \ N = IJie j (A П T i ).

Как известно [1], условия (a)–(e) выполнены для любой полной σ-конечной меры и для меры, порожденной существенно верхним интегралом меры Радона на любом локально компактном пространстве. Без ущерба для нетривиальности всего дальнейшего

(с) 2004 Фетисов В. Г., Козоброд В. Н.

изложения можно считать, что (T, X, ^) есть отрезок [0,1] с мерой Лебега ^ или же ограниченный компакт в R ⁿ с мерой Лебега µ.

Пусть E — F -квазинормированное идеальное пространство с мерой Лебега µ (см. [4]) (например, L p , 0 < p <  го ), X — банахово идеальное пространство [5]. Символом L ⁰ (X) обозначаем пространство (классов эквивалентности) всех X -значных измеримых по Лебегу вектор-функций на T .

Через E (X ) обозначим F -квазинормированное пространство всех измеримых вектор-функций f : T ^ X таких, что kf ; E(X ) | = kkf ||x ||e < + го .

Проблематика теории пространств вектор-функций E(X ) весьма обширна. Это и вопросы геометрии пространств, ограниченных операторов в них, представления операторов, решение различных классов уравнений и др.

Мы рассматриваем в основном два модельных примера E(X ), а именно:

• (1)    L ^p (X) (или L ^p (T, X)) есть пространство всех измеримых вектор-функций f (t) таких, что F -квазинорма элемента:

If"L p (X ) k = < T H /(t) k X. d^(t^ p < + го ,

0 < p < го;

• (2)    через L*^^ ) (или L * ^P (T, X)) обозначим пространство всех измеримых вектор-функций f (t) таких, что

• kf" L^(X)k = inf P > 0 : ^ ^(k/(t)kx/s) d^(t) 6 j ,

где у — некоторая ^-функция, принадлежащая классу Ф(L), см. [6].

Цель нашей работы, как уже отмечалось, — проинтерполировать линейный положительный и регулярный операторы, действующие в заданной четверке F -квазинорми-рованных пространств Орлича векторнозначных функций.

В дальнейшем важную роль играют Y-выпуклые ^-функции, подчиняющиеся Д 2 -ус-ловию [4], примерами которых могут служить ^ i (x) = | x | ^p (0 < Y < Р <  1), ^ 2 (x) = ---|xJ=— и другие. Для Y-выпуклой ^-функции F -квазинорма вектор-функции f(t) E ln( Vl x l + e )

L*^tp(X ) имеет вид:

M; L * ^P (X) ||| = inf P > 0 : ^^(f^) _d^(t) 6 ^ .

Так же, как для скалярного случая [3], можно показать (см. [5]), что множество всех конечнозначных вектор-функций вида f (t) = ^2П ₌₁ X G i (t)x i , (G i E X, G i П G j = 0 , i,j = 1,...,n, где i = j , X i E X , X G i (t ) — индикатор измеримого множества G i E X) плотно в F -квазинормированном пространстве Орлича L * ^P (X), а его замыкание в F -квазинорме пространства L * ^P (X) обозначим через E ^P (X).

Считаем для определенности, что ^-функция ^ ₀ «слабее», чем ^-функция ^ 1 , т. е. lim ^{Р о} ( ^Кх ) < + го (K > 0, x >  0). По заданным y -выпуклым ^-функциям ^ о и ^ i можно x ^^ ^ ^{1 ( x )}

построить так называемую промежуточную ϕ-функцию следующим образом:

• а) пусть W o (x) = ^ o ( | x | ^{1 /Y} ) и W i (x) = ^ i ( | x | ^{1 /Y} ) — некоторые N -функции [7], W i ^-1 (x) — обратные к W i (x) (i = 0,1) функции;

• в) обозначим через W — ¹ (x) = [Wf -^ x)] ^1- " ^ — 1 (x)] ^a , где 0 6 а 6 1;

• с) промежуточной Y-выпуклой ^-функцией для ^ о и ^ 1 является ^ _a (x) = W _a (x ^Y ),

где W _a (x) — обратная к W ^{— i} (x), 0 6 а 6 1 (подробнее см. [4]). Пространства E ^ ” (X) образуют при 0 6 а 6 1 семейство вложенных друг в друга локально ограниченных пространств Орлича, а так как в каждом из них плотно множество всех конечнозначных функций, то каждое из пространств E ^ ^а2 (X) плотно вложено в E ^ ^а1 (X) при a i < а 2 . Таким образом, F -квазинормированные пространства Орлича E ^Va (X ) (будучи непрерывно вложенными в пространство всех измеримых вектор-функций) образуют интерполяционную шкалу, соединяющую заданные E ^№ (X) и E^ (X ). Если же обе Y-выпуклые ^-функции ^ о , ^ i подчиняются А 2 -условию [4], то получаем шкалу F -квазинормированных пространств Орлича L * ^ ^a (X), соединяющую заданные пространства L * ^ ⁰ (X) и L * ^ ¹ (X). В частности, если ^ о и ^ i — некоторые N -функции [7], то при 0 6 а 6 1 семейство E ^фа (X ) образует шкалу нормированных пространств Орлича вектор-функций. Основные соотношения между F -квазинормами при 0 6 a i < а < а 2 6 1 для каждого элемента из соответствующих пространств Орлича аналогичны скалярному случаю [3] (см. также [4]).

Теорема 1. Пусть A — положительный линейный оператор, действующий непрерыв но из нормированного пространства Орлича Em₀ (X) в F-квазинормированное пространство Орлича E ^{ф 0} (X) и из E M 1 (X) в E ^ ¹ (X), где

||| Af; E■(X)||| 6 со|||f; Em0(X)|, |Af; E^ (X)| 6 ci|f; Em1 (X)|, причем со и ci не зависят от выбора измеримой вектор-функции f(t). Тогда для любого а, 0 < а < 1, справедливо неравенство

γ

| Af; E ■ (X) | 6 aK   'K?( | f; EMa (X) | (^ V | f; EMa (X) |), где a > 0, Ki(ci), i = 0,1.

C Наметим схему доказательства. На первом этапе рассматриваем сужение оператора A на линейное многообразие всех конечнозначных измеримых вектор-функций, и далее, второй этап — продолжение по непрерывности оператора A на E M _a (X). На первом этапе базовым является неравенство вида:

kAfkx 6 (A(M—i(Ma(kfkx)))) • (A(M-i(Ma(kf kx)))) , где X — банахово пространство, 0 < а < 1, Mi 1 — обратная к N-функции Mi, i = 0,1, Ma — N-функция обратная к (M— )i-a • (M— )a. Для его доказательства сначала используем неравенство Гельдера для алгебраических сумм (учитывая, что f(t) — конечнозначная вектор-функция):

n

ω i v i δ i i =1

( n              \ i—a / n         \ a

^2 и 1-^ • м   • ( J2n a м , i=1                      i=1

где 0 < а < 1. Пусть при t = t o все значения Ax G i (t o ) < + ^ . Полагаем

И = (M ^— (M a ( | x i | ))) ^{i— a} • sgnx i , V i = (M — ⁱ (M a ( | x i | ))), й = Ax G i t o -

В силу линейности и положительности оператора A базовое неравенство выполняется при t = to, а так как почти при всех значениях t G T функции AxGi(t) конечны, то базовое неравенство справедливо почти при всех t G T. Возводя обе его части в степень y > 0, умножая на k~(t)kx, где g(t) G Eva(X) (Va — двойственная в смысле Юнга N-функция к Wa (см. [6])), а Г(~, Va) = JT Va(k~(t)kx)d^(t) 6 1, проинтегрировав обе части базового неравенства и применяя интегральное неравенство Гельдера с показателями p = i—a, p0 = a, 0 < a < 1, получим оценку вида:

j | Af(t) l X • l ~(t) l x Mt) 6 ( j №' Wllfll x )))) ^Y (V „-¹ (V _> ( n ~ || x ))) Mt)) ^{1 a}

X

И (AWWtilfTx )))) ^Y (V^{- 1}

(V a ( | g | x ))) d^(t>)

α

Функция V0 1(Va(|g|x)), очевидно, принадлежит пространству Ev0 (аналогично, функция Vi-1(Va(|g|x)) £ Ev1. Итак, приходим к неравенству jT [A(M-1 (M„(|f|x )))]Y • (V0-1(V„(|g|x))) W) 6 |[AY]Y; Ewo ||, где YQ := Mg 1(Ma(|~|x)). Имеем аналогичную оценку для Mi ^Madflx)) = Yi. Значит,

T

lW (t) l X • l ~(t) l x d^(t) 6 II [AYq] ^y ;E w o ll ^{1- a}

II [AY 1 ] ^Y ; E w i ll ^a ,

0 6 a 6 1.

На втором шаге отдельно рассматриваем случаи:

• а) || Af ; E (X) | 6 1,

• в) || Af ; E ■ (X) || >  1,

с использованием γ -выпуклой промежуточной ϕ -функции ϕ _α . Приведем окончательные оценки для каждого из случаев (опуская детали для краткости изложения).

а):

11Af; E■(X)|| 6 4k1-akaIf; Em„(X)|, где ki = max{cY/(1+Y\ Ci}, i = 0,1, не зависит от выбора конечнозначной вектор-функции f(t) из EMa (X);

в):                                                    ₁

||Af; E■ (X) || 6 21+ 1 kQ         || f; EMa (X)Ill, где ki = max{c1+1/Y, ci}, i = 0,1. Обозначая через a = max{4, 21+1/y}, Ki = max{ki,ki}, i = 0,1, получим требуемое для множества всех конечнозначных вектор-функций. Далее, используя продолжение по непрерывности исходного оператора A с множества конечнозначных вектор-функций, всюду плотного в нормированном пространстве Орлича EMa (X) векторнозначных функций, и повторяя рассуждения, аналогичные скалярному случаю (см. [3]), имеем результат теоремы 1. При этом исходный оператор A и продолженный, совпадая друг с другом на всюду плотном в EMa (X) множестве конечнозначных функций f (t), в силу единственности предела по мере совпадут и на всем нормированном пространстве EMa (X). B

Замечание. Линейный оператор A называется регулярным, если он представим в виде разности двух положительных линейных операторов. Как известно, для регулярности исходного оператора A необходимо и достаточно, чтобы существовал положительный линейный оператор S (так называемая мажоранта оператора A), подчиняющийся условию \Af\ 6 S( | f | ). В этой ситуации операторное уравнение Af = V тесно связано с операторным уравнением Su = г~, так как поведение оператора A в некотором смысле «контролируется» мажорантой S в силу вышеприведенной нормативной оценки (см.

монографию [8]). Из теоремы 1, определения регулярного линейного оператора и последнего условия непосредственно вытекает следующая

Теорема 2. Пусть линейный оператор A имеет положительную мажоранту S . Пусть известно, что линейный положительный оператор S является непрерывным опе ратором, действующим из нормированного пространства Орлича E m ₀ (X) в F-квази-нормированное пространство Орлича E ^№ (X) и из Е м 1 (X ) в E ^Ф 1 (X ). Тогда при каждом а, 0 < а < 1, линейный оператор A из нормированного пространства Орлича Е м _а (X ) в F-квазинормированное пространство Орлича E ^фа (X ) является непрерывным.

В заключение отметим, что если определяющие N -функции M 0 и M 1 , равно как и Y-выпуклые ^-функции ^ о и ^ 1 подчиняются А 2 -условию [6], то Е м _а (X ) можно заменить на L M _a (X ), а E ^Va (X ) на L * ^ ^a (X) при каждом 0 6 а 6 1.