Интервальное представление истинности при информационном и нативном противоречиях

В [1] введены понятие нативного противоречия и основанные на нём третьи формы конъюнкции и дизъюнкции ( нативная конъюнкция и нативная дизъюнкция ) для векторных логик с семантикой, когда вектор истинности содержит два компонента – Истина и Ложь:

|| a || = 〈 a ⁺; a ^- 〉 , (1)

где позитивный компонент a + характеризует степень истинности, а негативный a ^- – ложности суждения; a ⁺, a ^- ∈ [0,1].

Выражение (1) предназначено для случаев, когда имеются взаимоисключающие свидетельства за и против суждения [2, 3]. Если нет оснований считать суждение безусловно истинным либо ложным, то комплекс свидетельств приводит к информационному противоре- чию [1]. Построенный на его основе аппарат находит применение в онтологическом анализе (см., например, [4-7]). В [1] сделано предположение, что может существовать такой вид противоречия, когда представленный выражением (1) объект находится в двух взаимоисключающих состояниях в силу своей природы. Тогда утверждение о его пребывании в соответствующем состоянии истинно и ложно совместно, а противоречие имманентно объекту. Такое противоречие названо нативным и приведены примеры соответствующего объекта [8, 9].

На этой основе в [1] введены связки нативной конъюнкции и нативной дизъюнкции. Нативная конъюнкция:

|| a &  n b || = ( a ⁺^ b ⁺; a + • b ^-® a - • b ⁺® a - • b ) ;                            (2)

нативная дизъюнкция:

|| a v n b || = ( a + • b ⁺® a *• b ~® a - • b ⁺; a - • b ^- ) .                             (3)

Здесь • и ® - триангулированные норма ( t -норма) и ко-норма ( s -норма) в инфиксной записи, дополненные свойством:   1 - x • у =  (1 - x ) ® (1 - у ), или, что аналогично:

1 - x ® у = (1 - x ) ^ (1 - у ), где x , у е [0,1]. Общий смысл обеих связок виден из (2) и (3), если • рассматривать как логическое умножение, а ® как логическое сложение на отрезке [0,1]. В онтологическом анализе используются нормы x^y = xy и x ® у = min(1, x+y) [4, 7].

Цель данной работы состоит в том, чтобы показать возможность и допустимость применения связок (2) и (3) для работы с информационным противоречием, используемым в онтологиях и системах логического вывода на основе продукций [4-7, 10].

1    Логический вывод при информационном противоречии

Векторные логики с семантикой предназначены для случаев, когда приходится принимать решения в условиях противоречия в поступающих данных. Частью процедуры принятия решения в этих условиях может быть логический вывод на основе одного из двух вариантов правила modus ponens (МР): нестрогого (Н-MP) и содержательного (С-MP) [2, 3]. Здесь рассматривается содержательный вариант МР, который позволяет рассчитывать истинность заключения на основе истинности посылок.

Выражения для расчёта истинности соответствующих логических связок при информационном противоречии имеют вид [2, 3]:

|| a & b ||= ( a ⁺^ b ⁺; a ^-® b Э (01-композиция); || a v b ||= ( a ⁺® b ⁺; a - • b ~) (10-композиция) - первые формы конъюнкции и дизъюнкции;

|| a&₂b ||= ( a ⁺* b ⁺; a - • b Э (00-композиция); || a v ₂ b ||= ( a ⁺® b ⁺; a ^- ® b Э (11-композиция) - вторые формы конъюнкции и дизъюнкции;

|| — a ||= ( a ; a ⁺) - первая форма отрицания (отрицание в форме перестановки);

||~ a ||= ( 1 - a ⁺; 1 - a - ) - вторая форма отрицания (отрицание в форме дополнения).

Первые формы формализуют обычные естественно-языковые связки И, ИЛИ и НЕ. Вторые применяются, например, для объединения свидетельств [10] (типовая процедура в правдоподобном выводе [11]).

Представления связок, подобные первым формам, рассматриваются в нейтрософской логике [12, 13] и интуиционистских нечётких множествах [14, 15].

Вывод по правилу С-МР имеет вид:

• a , a ^ b |- b : || b || = || a &  a ^ b ||-|| И ||.                                 (4)

Через двоеточие указана схема расчёта истинности заключения на основе истинности посылок. Здесь И - строгая истина с вектором || И || = ( 1; 0 ) ; || a & a ^ b || = ( a + • i ⁺; a ~® i ^- ) , где i = a ^ b . Запись (4) означает, что истинность b принимает интервальное значение в том смысле, что его «+» (Истина) и « - » (Ложь) - компоненты, принадлежащие интервалам:

|| b || = ( a + • i ⁺; a ® i ^-) ^ ( 1;0 ) = ( [ a + • i ⁺, 1]; [0, a - ® i | ) .                          (5)

Символ «^» разделяет векторы, определяющие интервальные границы || b || (левый верхний и правый нижний углы области || b || соответственно, см. рисунок 1).

Рисунок 1 - Значение истинности заключения согласно (4)

Выражения (4) и (5) отражают тот факт, что b может быть следствием не только a, а потому вектор || a & a ^ b || = (a +* i+;

• a , a ^ b |- b : || b || = || a & i |Н| — a v i ||.                                    (6)

Или, в интервальном представлении:

|| b || = ( a ⁺* i ⁺; a ^-Ф i Э^( a ^-Ф i ⁺; a ⁺* i - ) = ( [ a ⁺* i ⁺, a ® i ⁺]; [ a ⁺* i “, a - G i ~]\               (7)

Вариант С-МР2 целесообразно использовать в системах поддержки принятия решений (СППР) при информационном противоречии.

Содержательный modus tollens (С-МТ) существует также в двух вариантах: С-МТ и С-МТ2, которые характеризуются интервальной истинностью заключения.

Учитывая, что вывод в СППР может быть многошаговым, интервальный характер истинности заключения включает вывод при интервальной истинности посылок. Обращение к интервальному представлению - известный приём при дефиците и/или противоречивости информации [17-19]. При этом для [17] обозначена проблема экспоненциально роста объёма вычислений с увеличением числа гипотез из т.н. «множества окружения», что ограничивает применимость метода. В интервальном вероятностном и интервальном нечётком выводах существует необходимость совместного учёта дефицита и противоречивости информации, что объясняется фундаментальной значимостью уравнения баланса истинности: a+ + a - = 1

(p _a + p _— a = 1 для вероятностей). Это не позволяет полноценно учитывать совместное влияние дефицита и противоречивости данных. Векторное представление истинности не имеет таких ограничений и в этом смысле привносит в формализацию новое качество.

• 2    Логический вывод при интервальных значениях истинности

Использование интервальной истинности включает вычисление соответствующих интервалов для сложных посылок со связками конъюнкции, дизъюнкции и отрицания, а также для заключения.

Пусть имеются два интервала [ x 1 , x ₂], [у 1 , у ₂] с [0, 1]. Тогда произведением • этих интервалов является интервал:

[ X 1 , x 2>[ у 1 , у 2 ] = [ X 1 * у 1 , X 2 * у 2 ];                                   (8)

суммой ® интервалов является интервал:

[ X 1 , X 2 ] ® [ у 1 , у 2 ] = [ X 1 ® у 1 , X 2 ® у 2 ].                                  (9)

Это позволяет определить интервальные значения для первой и второй форм конъюнкции и дизъюнкции. Так, если || a || = || a ||^|| a ||₂ = < [ a i ⁺, a ₂⁺]; [ a ₂ ^- , a ₁ ^- ] ) и

II b || = || b ||H| b || 2 = < [ b ₁⁺, b ₂⁺]; [ b 2 , b ₁ ] ) , то первая и вторая формы связок конъюнкции и дизъюнкции имеют вид [16]:

|| a [ a 2-® b 2-, a 1-® b 1-]);(10)

||avb|| = ([ai+®bi+, a2+®b2+]; [a2-^b2 , ai-^b1-]);(11)

|| a & 2 b || = < [ a /• b i ⁺, a 2 ⁺ * b 2 ⁺]; [ a 2 ^-* b 2 ^- , a i ^-^ b 1 ^- ] ) ;

||aV2b|| = <[ai+®bi+, a2+®b2+]; [a2 ®b2 , ai ®bi ]).(12)

Рисунок 2 - Интервальное представление истинности для векторов || a ||=|| a ||H| a ||₂ и || b ||=|| b ||®| b || 2 .

Здесь a ₁⁺ и a ₂ ^- - левые, а a ₂⁺ и a ₁ ^- - правые границы интервалов истинности позитивного и негативного компонентов для || a ||, задаваемые векторами || a ||₁ и || a ||₂. Аналогично для || b || (рисунок 2).

Интервальное представление отрицаний имеет вид [16]: || - a || = < [ a 2 ,a 1 ^- ]; [ a i ⁺, a 2 ⁺] ) ;                                         (13)

||~ a || = < [(1 - a 2 ⁺), (1 - a i ⁺)]; [(1 - a 1 ^- ), (1 - a 2 ^- )] ) .

Это позволяет рассчитывать интервальные истинности сложных посылок, а также истинность заключения. Для определения истинности заключения сначала рассматривается более простой вариант правила С-МР. Пусть истинность малой посылки равна: || a || = < [ a ₁⁺, a ₂⁺]; [ a ₂ ^- , a ₁ ^- ] ) , а истинность большой: || a ^ b || = < [ i ₁⁺, i ₂⁺]; [ i ₂ ^- , i ₁ ^- ] ) .

Тогда из (4) и (10) следует

₊1| b || = < [ a Л i i ⁺, a 2 ⁺ ^ i 2 ⁺]; [ a 2 ^-® i 2 " , a 1 ^-® i Г]Н[1, 1]; [0, 0] ) .

Или (что то же самое) || b || = < [ a /• i ₁⁺,1]; [0, a ₁ ^-® i ₁ ^- ] ) .

Учитывая (10), (11), (13), можно записать:

|| a &  i || = < [ a ₁ ⁺ » i ₁⁺, a ₂ ⁺ * i ₂⁺]; [ a ₂ ^-® i ₂ ^- , a ₁ ^-® i ₁ ^- ] ) ;

|| — a v i || = < [ a ₂ ^-® i ₁⁺, a ₁ ^-® i ₂⁺]; [ a /• i ₂ ^- , a ₂ ⁺ ^ i ₁ ^- ] ) .

В результате правило (6) примет вид:

• a , a ^ b р b :0 || b || = < [ a /• i ₁⁺, a ₂ ⁺ » i ₂⁺]; [ a ₂ ^-® i ₂ ^- , a ₁ ^-® i ₁ ^- ] )^< [ a ₂ ^-® i ₁⁺, a ₁ ^-® i ₂⁺]; [ a /• i ₂ ^- , a ₂ ⁺ » i ₁ ^- ] ) ;

или:

|| b || = <[ a Л i i+, a 1- ® i 2+]; [ a Л i2-, a 1- ® i 1-]).(14)

Границы интервалов для || b || равны:

[b 1+, b2+] = [min(a/• i 1+, a2-®i 1+), max(a2+*i2+, a 1-®i2+)] = [a/• i 1+, a 1-®i2+];(15)

[ b 2-, b 1-] = [min( a 2-® i 2-, a/• i2-), max( a 1-® i 1-, a 2+^ i 1-)] = [ a/• i 2-, a 1-® i 1-].(16)

Здесь учтено известное обстоятельство:

x•y < x < x®y.(17)

Интервальный вариант правила С-МТ для первой формы отрицания, как наиболее подходящей для моделирования связки НЕ при нативном противоречии, имеет вид:

- b , a ^ b - - a : || - a || = || - b &  a ^ b || - < 1; 0 ) = < [ b • i ⁺, 1]; [0, b ⁺® i П) .

В виде С-МТ2:

• - b , a ^ b - - a : || - a || = || - b &  a ^ b || - 1| b v a ^ b || = < [ b 2 ^-* i i ⁺ , b 2 ⁺ ® i 2 ⁺]; [ b 2 ^-* i 2 ^- , b 2 ⁺ ® i 1 ^- ] ) . (18)

Соответственно, с учётом (12): для С-МТ || a || = < [0, b ⁺® i “]; [ b • i ⁺, 1] ) ; и для С-МТ2

|| a || = < [ b 2 ^-^ i 2 , b 2 ⁺ ® i Г]; [ b 2^ i i ⁺ , b 2 ⁺ ® i 2 ⁺] ) .                             (19)

3    Логический вывод при нативном противоречии

Интервалы истинности для a &  n b и a v n b определяются соответствующими интервалами для а и b . Левая граница интервалов для & n и v n при этом формируется левыми границами интервалов а и b , а правая - правыми. Принимая во внимание (8) и (9), для третьей формы конъюнкции получается:

• || а &  n b || = ( [ а ₁ ⁺ . b i ⁺, а ₂ ⁺ . b ₂⁺]; [ a i ⁺ * b ₂ ^-® а ₂ ^-. b ₁ ⁺ ® а ₂ ^-. b ₂ ^- , а ₂ ⁺ . b i ^-® а ₁ ^-. b ₂ ⁺ ® а ₁ ^-. b 1 ^- ] ) . (20) Для третьей формы дизъюнкции:

• || а v n b || = ( [ а ₁ ⁺ * b ₁ ⁺ ® а /• b ₂ ^-® а ₂ ^-. b ₁⁺, а ₂ ⁺ . b ₂ ⁺ ® а ₂ ⁺ . b ₁ ^-® а ₁ ^-» b ₂⁺]; [ а ₂ ^-. b ₂ ^- , а ₁ ^-» b ₁ ^- ] ) .   (21)

Эти выражения определяют интервальные значения истинности связок & n и v n при нативном противоречии.

Правило С-МР. Интервальная истинность заключения для нативного противоречия при интервальных значениях истинности малой и большой посылок выводится следующим образом. По аналогии с (4) можно записать: а , а — b р b : || b || = || а &  n а — b |Н| И ||.

Полагая || а — b || = ( [ i ₁⁺, i ₂⁺]; [ i ₂ ^- , i ₁ ^- ] ) и принимая во внимание (8) и (9), можно записать:

• а , а — b р b : || b || = ( [ а ₁ ⁺ » i ₁⁺, а ₂ ⁺ * i ₂⁺]; [ а ₁ ⁺ » i ₂ ^-® а ₂ ^-. i ₁ ⁺ ® а ₂ ^-. i ₂ ^- , а ₂ ⁺ * i ₁ ^-® а ₁ ^-» i ₂ ⁺ ® а ₁ ^-» i ₁ ^- ] ) ^ ( 1;0 ) ; или: || b || = ( [ а ₁ ⁺ » i ₁⁺, 1]; [0, а ₂ ⁺ . i ₁ ^-® а ₁ ^-» i ₂ ⁺ ® а ₁ ^-» i ₁ ^- ] ) .

Правило С-МР2 . Истинность заключения для этого случая получается так.

• 1)    заменяются первые формы конъюнкции и дизъюнкции в (6) на третьи:

• а , а — b Р b : || b || = || а &  n i |Н| - а v n i ||.

• 2)    учитывая (13), (20) и (21), истинность b запишется как:

|| b || = ( [ а ₁ ⁺ » i ₁⁺, а ₂ ⁺ . i ₂⁺]; [ а ₁ ⁺ » i ₂ ^-® а ₂ ^-. i ₁ ⁺ ® а ₂ ^-* i ₂ ^- , а ₂ ⁺ . i ₁ ^-® а ₁ ^-» i ₂ ⁺ ® а ₁ ^-» i ₁ ^- ] ) ^

( [ а ₂ ^-. i ₁ ⁺ ® а ₂ ^-. i ₂ ^-® а ₁ ⁺ » i ₁⁺, а ₁ ^-» i ₂ ⁺ ® а ₁ ^-» i ₁ ^-® а ₂ ⁺ . i ₂⁺]; [ а ₁ ⁺ » i ₂ ^- , а ₂ ⁺ . i ₁ ^- ] ) .

• 3)    аналогично (15), (16) и принимая во внимание (17), получается:

• || b || = ( [ а ₁ ⁺ » i ₁⁺, а ₁ ^-» i ₂ ⁺ ® а ₁ ^-» i ₁ ^-® а ₂ ⁺ . i ₂⁺]; [ а ₁ ⁺ » i ₂ ^- , а ₂ ⁺ . i ₁ ^-® а ₁ ^-» i ₂ ⁺ ® а ₁ ^-» i ₁ ^- ] ) .        (22)

Правило С-МТ. В [16] истинность заключения —। а при интервальных значениях истинности посылок представлена выражением: — b , а ^ b |- — а : || — а || = || — b & _n а ^ b || т( 1; 0 ) ;

или (что то же самое): — b , а ^ b - — а : || — а || = ( [ b ₂ ^-. i ₁⁺,1]; [0, b ₂ ⁺ ® i ₁ ^- ] ) .

С учётом (13) это означает, что истинность а , как заключения, в этом случае равна:

|| а || = ( [0, b 2 ⁺ ® i 1 ^- ], [ b 2 - . i 1 ⁺, 1] ) .

Как и в случае С-МР, расчёт интервальной истинности заключения — а следует из интервальных значений истинности малой и большой посылок. Значение || а || после этого получается перестановкой позитивного и негативного компонентов согласно (13).

Правило С-МТ2. Чтобы определить интервальную истинность заключения по правилу С-МТ2 для нативных конъюнкции и дизъюнкции при интервальных значениях истинности посылок, можно записать (18) следующим образом:

• —।b , а —^ b |—। а : ||— । а || = ||— । b & _n а —— b || ~ || b v _n а —— b ||.

Принимая во внимание (13), (20) и (21), получается:

|| — а || = ( [ b 2 ^-. i 1 ⁺, b 1 ^-. i 2 ⁺]; [ b 2 ^-. i 2 ^-® b 1 ⁺ . i 1 ⁺ ® b 1 ⁺ . i 2 ^- , b 1 ^-. i 1 ^-® b 2 ⁺ . i 2 ⁺ ® b 2 ⁺ . i 1 ^- ] )

( [ b 1 ⁺ . i 1 ⁺ ® b 1 ⁺ . i 2 ^-® b 2 ^-. i 1 ⁺, b 2 ⁺ . i 2 ⁺ ® b 2 ⁺ . i 1 ^-® b 1 ^-. i 2 ⁺]; [ b 2 - . i 2 - , b 1 ^-. i 1 ^- ] ) ;

или || — а || = ( [ b 2 ^-. i 1 ⁺, b 2 ⁺ * i 2 ⁺ ® b 2 ⁺ * i 1 ^-® b 1 ^-. i 2 ⁺]; [ b 2 - . i 2 - , b 1 ^-. i 1 ^-® b 2 ⁺ . i 2 ⁺ ® b 2 ⁺ . i 1 ^- ] ) .

Отсюда, учитывая (13), окончательно получается:

|| а || = ( [ b 2 ^-. i 2 ^- , b 1 ^-. i 1 ^-® b 2 ⁺ . i 2 ⁺ ® b 2 ⁺ . i 1 ^- ]; [ b 2 - . i 1 ⁺, b 2 ⁺ . i 2 ⁺ ® b 2 ⁺ . i 1 ^-® b 1 ^-. i 2 ⁺] ) .        (23)

4    Примеры расчёта

Результаты расчёта истинности заключения приведены для первой и третьей форм конъюнкции и дизъюнкции. В качестве правил вывода использованы С-МР2 и С-МТ2. Интервальные значения истинности малой и большой посылок определены в характерных областях вблизи точек Л = ( 0; 1 ) (строгая ложь), И = ( 1; 0 ) (строгая истина), Н = ( 0; 0 ) (неопределённость), П = ( 1; 1 ) (полное противоречие): ( [0, 0.5]; [0.5, 1] ) (Л), ( [0.5, 1]; [0, 0.5] ) (И), ( [0, 0.5]; [0, 0.5] ) (Н) и ( [0.5, 1]; [0.5, 1] ) (П). Для С-МР2 получены таблицы 1 и 2.

Таблица 1 - Интервальная истинность заключения по правилу С-МР2 для первой и третьей форм конъюнкции/ дизъюнкции при x « y = min(x, у) и x ® y = max(x, y) (значения над и под чертой, соответственно)

a → b a	( [0,0.5]; [0.5,1] ) Л	( [0.5,1]; [0,0.5] ) И	( [0,0.5]; [0,0.5] ) Н	( [0.5,1]; [0.5,1] ) П
( [0,0.5]; [0.5,1] ) Л	( [0,1]; [0,1] ) ( [0,1]; [0,1] )	( [0,1]; [0,1] ) ( [0,1]; [0,1] )	( [0,1]; [0,1] ) ( [0,0.5]; [0,0.5] )	( [0,1]; [0,1] ) ( [0,1]; [0,1] )
( [0.5,1]; [0,0.5] ) И	( [0,0.5]; [0.5,1] ) ( [0,0.5]; [051] )	( [0.5,1]; [0,0.5] ) ( [0.5,1]; [0,0.5] )	( [0,0.5]; [0,0.5] ) ( [0,0.5]; [0,0.5] )	( [0.5,1]; [0.5,1] ) ( [0.5,1]; [0.5,1] )
( [0,0.5]; [0,0.5] ) Н	( [0,0.5]; [0,1] ) ( [0,0.5]; [0,0.5] )	( [0,1]; [0,0.5] ) ( [0,0.5]; [0,0.5] )	( [0,0.5]; [0,0.5] ) ( [0,0.5]; [0,0.5] )	( [0,1]; [0,1] ) ( [0,0.5]; [0,0.5] )
( [0.5,1]; [0.5,1] ) П	( [0,1]; [0.5,1] ) ( [0,1]; [0.5,1] )	( [0.5,1]; [0,1] ) ( [0.5,1]; [0,1] )	( [0,1]; [0,1] ) ( [0,0.5]; [0,0.5] )	( [0.5,1]; [0.5,1] ) ( [0.5,1]; [0.5,1] )

Таблица 2 - Интервальная истинность заключения по правилу С-МР2 для первой и третьей форм конъюнкции/ дизъюнкции при x « y = xy и x ® y = x+y - xy (значения над и под чертой, соответственно)

a → b a	( [0,0.5]; [0.5,1] ) Л	( [0.5,1]; [0,0.5] ) И	( [0,0.5]; [0,0.5] ) Н	( [0.5,1]; [0.5,1] ) П
( [0,0.5]; [0.5,1] )	( [0,1]; [0,1] )	( [0, 1]; [0,1] )	( [0,1]; [0,1] )	( [0,1]; [0,1] )
Л	( [0, 1]; [0, 1] )	( [0,81]; [0,81] )	( [0,0.5]; [0,0.5] )	( [0,1]; [0,1] )
( [0.5,1]; [0,0.5] )	( [0,0.5]; [0.5,1] )	( [0.5,1]; [0,0.5] )	( [0,0.5]; [0,0.5] )	( [0.5,1]; [0.5,1] )
И	( [0,0.5]; [051] )	( [0.5,1]; [0,0.5] )	( [0,0.5]; [0,0.5] )	( [0.5,1]; [0.5,1] )
( [0,0.5]; [0,0.5] )	( [0,0.5]; [0,1] )	( [0,1]; [0,0.5] )	( [0,0.5]; [0,0.5] )	( [0,1]; [0,1] )
Н	( [0,0.5]; [0,0.5] )	( [0,0.5]; [0,0.5] )	( [0,0.5]; [0,0.5] )	( [0,0.5]; [0,0.5] )
( [0.5,1]; [0.5,1] )	( [0,1]; [0.5,1] )	( [0.5,1]; [0,1] )	( [0,1]; [0,1] )	( [0.5,1]; [0.5,1] )
П	( [0,1]; [0.5,1] )	( [0.5,1]; [0,1] )	( [0,0.5]; [0,0.5] )	( [0.5,1]; [0.5,1] )

Для С-МТ2 сформированы аналогичные таблицы 3 и 4.

Из таблиц видно, что обе формы связок (первая и третья) дают совпадающие или близкие результаты почти во всех случаях, кроме части области неопределённости Н в малой или большой посылках (фрагменты таблиц выделены). Особенностью третьих форм является то, что ослабление свидетельств за и против любой из посылок (приближение их к состоянию неопределённости ( 0; 0 ) ), ведёт к неопределённости заключения. Для практики это предпочтительно, поскольку нет необходимости отклонять слабо определённые (недостаточно аргументированные) посылки, что приходится делать при выводе на основе первых форм.

Изменения границ интервалов показали, что первая и третья формы начинают приводить к существенным различиям в результатах только для посылок, близких к неопределённости. Третьи формы, предложенные для нативного противоречия, можно рекомендовать для работы и с противоречием информационным ! Например, для СППР, основанных на продукционной модели знаний, в условиях дефицита и противоречивости информации.

Таблица 3 - Интервальная истинность заключения по правилу С-МТ2 для первой и третьей форм конъюнкции/ дизъюнкции при x « y = min(x, y) и хФ у = max(x, y) (значения над и под чертой, соответственно)

a → b b	< [0,0.5]; [0.5,1] ) Л	< [0.5,1]; [0,0.5] ) И	< [0,0.5]; [0,0.5] ) Н	< [0.5,1]; [0.5,1] ) П
< [0,0.5]; [0.5,1] )	< [0.5,1]; [0,0.5] )	< [0,0.5]; [0.5,1] )	< [0,0.5]; [0,0.5] )	< [0.5,1]; [0.5,1] )
Л	< [0.5,1]; [0,0.5] )	< [0,0.5]; [0.5,1] )	< [0,0.5]; [0,0.5 )	< [0.5,1]; [0.5,1] )
< [0.5,1]; [0,0.5] )	< [0,1]; [0,1] )	< [0,1]; [0,1] )	< [0,1]; [0,1] )	< [0,1]; [0,1] )
И	< [0,1]; [0,1] )	< [0,1]; [0,1] )	< [0,0.5]; [0,0.5] )	< [0,1]; [0,1] )
< [0,0.5]; [0,0.5] )	< [0,1]; [0,0.5] )	< [0,0.5];[0,1] )	< [0,0.5]; [0,0.5] )	< [0,1]; [0,1] )
Н	< [0,0.5]; [0,0.5] )	< [0,0.5]; [0,0.5] )	< [0,0.5]; [0,0.5] )	< [0,0.5]; [0,0.5] )
< [0.5,1]; [0.5,1] )	< [0.5,1]; [0,1] )	< [0,1]; [0.5,1] )	< [0,1]; [0,1] )	< [0.5,1]; [0.5,1] )
П	< [0.5,1]; [0,1] )	< [0,1]; [0.5,1] )	< [0,0.5]; [0,0.5] )	< [0.5,1]; [0.5,1] )

Таблица 4 - Интервальная истинность заключения по правилу С-МТ2 для первой и третьей форм конъюнкции/ дизъюнкции при x • y = xy и x Ф y = x + y - xy (значения над и под чертой, соответственно)

a → b b	< [0, 0.5]; [0.5, 1] ) Л	< [0.5,1]; [0,0.5] ) И	< [0,0.5]; [0,0.5] ) Н	< [0.5,1]; [0.5,1] ) П
< [0,0.5]; [0.5,1] )	< [0.25,1]; [0,0.75] )	< [0,0.75]; [0.25,1] )	< [0,0.75]; [0,0.75] )	< [0.25,1]; [0.25,1] )
Л	< [0.25,1]; [0,0.81] )	< [0,0.81]; [0.25,1] )	< [0,0.72]; [0,0.72] )	< [0.25,1]; [0.25,1] )
< [0.5,1]; [0,0.5] )	< [0,1]; [0,1] )	< [0,1]; [0,1] )	< [0,1]; [0,1] )	< [0,1]; [0,1] )
И	< [0,1]; [0,1] )	< [0,1]; [0,1] )	< [0,0.81]; [0,0.81] )	< [0,1]; [0,1] )
< [0,0.5]; [0,0.5] )	< [0,1]; [0,0.75] )	< [0,0.75]; [0,1] )	< [0,0.75]; [0,0.75] )	< [0,1];[0,1] )
Н	< [0,0.81]; [0,0.72] )	< [0,0.72]; [0,0.81] )	< [0,0.58]; [0,0.58] )	< [0,0.88]; [0,0.88] )
< [0.5,1]; [0.5,1] )	< [0.25,1]; [0,1] )	< [0,1]; [0.25,1] )	< [0,1]; [0,1] )	< [0.25,1]; [0.25,1] )
П	< [0.25,1]; [0,1] )	< [0,1]; [0.25,1] )	< [0,0.88]; [0,0.88] )	< [0.25,1]; [0.25,1] )

5    Реализация

Особенностью работы с продукционными системами знаний является рост объёма рассуждений в ходе диалога [20]. Для интервального присоединённого вывода это приводит к росту количества интервальных значений истинности, которые приходится обрабатывать. Для преодоления такого роста были предложены алгоритмы [20, 21], архитектура миварных баз знаний (БЗ) [22-24], принцип причинно-следственного упорядочения продукций в БЗ [10]. БЗ может быть представлена как ориентированный двухдольный граф с двумя типами вершин: вершины-факты V F и вершины-правила V R ; двумя типами дуг: дуги C FR , связывающие факты, входящие в антецедент правила, с соответствующим правилом; дуги C RF , связывающие правило с фактами, формирующими его консеквент. Подобная БЗ - это двойка вида O = { V, C }, где V = V F о V R , C = { C FR , C RF }. Для вершин V F входящая дуга всегда имеет тип C RF , выходящая - тип C FR . Для вершин V R , наоборот, входящая дуга всегда относится к типу C FR , выходящая - к типу C RF (см. рисунок 3). Всякая вершина V R всегда имеет входящие и выходящие дуги, а вершины V F делятся на три класса:

• 1)    вершины только с выходящими дугами C FR (на рисунке 3 это S 1 - S 7 );

• 2)    вершины только с входящими дугами C RF (на рисунке 3 это T 1 - T₃);

• 3)    вершины с входящими и выходящими дугами C RF и C FR (на рисунке 3 это 1 1 - 1 5 ).

Вершины первого типа - утверждения о фактах, истинность которых выясняется в диалоге с пользователем (стартовые факты). Вершины второго типа - факты-гипотезы, их истинность вычисляется в ходе вывода. Вершины третьего типа - промежуточные факты, связывающие стартовые факты с фактами-гипотезами при многошаговом выводе. Факты антецедента могут образовывать сложные выражения, включающие связки конъюнкции, дизъюнкции, отрицания и скобки. Консеквент может содержать конъюнкцию и отрицание.

Истинность антецедента и консеквента вычисляется согласно изложенному для каждого правила, в т.ч. с использованием процедуры объединения свидетельств (на рисунке 3 это вершины 1 2 , 1 4 ) Объединение свидетельств при необходимости выполняется и для терминальных фактов-гипотез (на рисунке 3 это факт T 3 ).

Для упорядочение требуется специальная процедура. Алгоритм упорядочения основан на назначении вершинам из V F и V R рангов, начиная с некоторого минимального:

Рисунок 3 - Продукционная база знаний при причинно-следственном упорядочении

• 1)    определяются минимальный (например, 0) и максимальный ранги.

• 2)    вершинам-стартовым фактам назначается минимальный ранг r ( F) = 0, ранги остальных вершин не определены. Считается, что в БЗ стартовые факты всегда имеются.

• 3)    рассматриваются все продукционные правила и, если всем фактам антецедента некоторого правила R назначены ранги, правилу присваивается ранг r ( R ), равный максимальному рангу: r ( R ) = max { r ( F 1 ), „., r ( F n (R) )}, где F 1 , „., F n (R) - факты антецедента R .

• 4)    если правило R имеет ранг r ( R ), то фактам его консеквента присваивается ранг r ( R )+1.

• 5)    процедура выполняется циклически до прекращения переранжирования или до достижения каким-то из правил предельного ранга (в этом случае БЗ перепроектируется).

Правила упорядочиваются на уровни или «слои», согласно причинно-следственным приоритетам. Высшим приоритетом обладают стартовые продукции, имеющие на входе только стартовые факты. Далее следуют продукции, содержащие в антецеденте промежуточные факты, входящие в консеквенты стартовых продукций. Третий слой образуют продукции, содержащие в антецеденте промежуточные факты, выведенные на втором шаге. Число уровней определяется длиной самой протяжённой цепочки вывода, возможной в данной БЗ.

Как и в случае миварных БЗ, причинно-следственное упорядочение обеспечивает линейную сложность вывода O (n), где n — количество правил. Это устраняет экспоненциальный рост объёма вычислений при увеличении числа правил. При прямом выводе расчёт истинности заключения на каждом шаге состоит из следующих этапов.

• 1)    расчёт истинности малой посылки согласно (10) и (11), либо (20) и (21) в зависимости от того, какой формой конъюнкции/дизъюнкции моделируются связки И/ИЛИ. Связка НЕ моделируется первой формой отрицания (13).

• 2)    расчёт истинности заключения на основе истинности малой и большой посылок. Истинность большой посылки задаётся разработчиками БЗ. Истинность малой посылки определяется ответами пользователя и промежуточными шагами вывода.

• 3)    если истинность факта b получена ранее, и на очередном шаге вывода она вычислена повторно из других посылок, то происходит объединение значений истинности (объединение свидетельств). Например, по второй форме дизъюнкции (12).

Для векторного представления истинности могут быть вычислены скалярные меры достоверности, определённости, точности, противоречивости, избыточности и др. [16]. Если из имеющихся фактов выведено несколько гипотез, пользователь информируется о векторе истинности гипотезы и связанных с ним значениях мер. Это позволяет выбрать предпочтительную из гипотез.

Заключение

Рассмотрены вопросы интервального представления истинности при информационном и нативном противоречиях. Представлен расчёт интервальных значений для логических связок при двух видах противоречия, обсуждены правила логического вывода для С-МР и С-МТ.

Формализм, разрабатываемый для нативного противоречия, может использоваться в СППР, в которых степени уверенности в истинности/ложности суждений задаются экспертно. Впервые представлены результаты третьих форм конъюнкции и дизъюнкции для информационного противоречия. Даны интервальные формы этих связок и приведены особенности вывода с использованием правил modus ponens и modus tollens . Показано, что результаты вывода с использованием обеих форм связок взаимно близки, а третьи формы могут использоваться в знаниевых системах, в том числе в интервальном варианте.