Инвариантное интегрирование на псевдофинслеровых многообразиях

Среди неримановых модификаций общей теории относительности все чаще встречаются релятивистские модели гравитации, основанные на финслеровой геометрии [1]. Наиболее реалистичные из них используют псевдофинслеровы многообразия в качестве пространственно-временного фона. Однако в финслеровой геометрии с индефинитной метрикой отсутствует общепринятое определение инвариантного элемента объема: стандартное определение [2] в этом случае становится неприменимым. Имеется в виду естественный элемент объема, порождаемый самой метрикой. Без такого элемента объема невозможно определить инвариантный интеграл по псевдофинслеро-ву многообразию, что необходимо для задания функционала действия в теории поля и вычисления вероятностей в квантовой теории.

В этой статье определяется инвариантное интегрирование на n-мерных ориентированных псевдофинслеровых многообразиях с так называемыми “ mth root” метриками

• ¹    E-mail: solovyovav@my.msu.ru

• 1.    Естественные формы объема и инвариантные интегралы

Пусть (M ⁿ ,ds ^m ) — n-мерное ориентированное многообразие M ⁿ , снабженное псевдофинсле-ровой метрикой (1). Поскольку интегралы от дифференциальных форм на M ⁿ автоматически инвариантны относительно преобразований координат, достаточно определить естественную форму объема на (M ⁿ ,ds ^m ), порождаемую метрикой (1). Как известно [3], формой объема на

M ⁿ называется дифференциальная n-форма ® = ^ i2...n dx 1 А dx ² А • • • А dx n ,

® 12 …n = ® 12 …n (x 1 ,

.

..,x n ) > 0. Наша задача — выразить ® i2...n через gi^ …i m

у которой всюду с сохранением их

трансформационных свойств.

Прежде всего заметим, что

“ 12...n = 3 12...П det

dx ^j

∂x ^{′ i}

при координатных преобразованиях x j = x j (x ‘ 1 ,...,x ’ n ), где det[ 疆 ]> 0 (i,j = 1, 2, ...,n). С другой стороны,

∂x ^{j 1} ∂x ^{j 2}

∂x ^{′ i 1} ∂x ^{′ i 2}

·

·

·

∂x ^{j m}

при тех же преобразованиях. Рассмотрим следующую свертку

22 2     mm m

Gi1i2…іП = £ 12…n •…£ 12 …n %iii…im%2i2…im где £ili2…in — n-мерный символ Леви-Чивиты (£12…n = 1), а индексы c двумя номерами пробегают значения 1,2,...,n. Подставляя (3) в (4), получаем

∂x ^j

∂x ^{′ i}

m - 1 _∂x j ₁ 1

_∂x ′ i ¹ ₁

·

·

·

∂x ^{j n 1} _G

_∂x _{′ i} 1 _n j ₁ ...j _n ^{1 ,}

где Gji ji = £j2…jn …£jm…jmgjij2 jm …gjij2…jm (подробности вычислений см. в [4]). Формула (5) является законом преобразования тензорной плотности веса m — 1. Нетрудно видеть, что G’i i i и G尸尸 戸 антисимметричны по любой паре индексов при четном m > 0 и симметричны — i1 i2 ...in       j1 j2 ...jn при нечетном m > 1.

Предположим, что m > 0 — четное число. Примем по определению £ і і і 2 …in 三 £ i ^{i i 2} …in . Тогда

···

g 2 m ^, n _n ... _n

dx j

∂x ^{′ i}

m hdet[gili2，..im ].

| hdet[g i i i 2 ， ..i m ] | ^1/m det[ 爲 ], что совпадает с (2)

если положить ω ₁ ^′ _{2 ...n}

форму объема на (M ⁿ , ds m ) при четном m > 0 и hdet[g i ] i2…^ ] = 0 можно определить формулой

В частном случае m = 2 дифференциальная n-форма (9) превращается в стандартную псевдори-

11"       丨 1/2

манову форму объема ® = 丨 det[g i i i ? ] | dx ¹ A ・・・ A dx n , так как согласно

⑺ hdet[gni 2 ] =det[gni 2 ].

Предположим, что m > 1 — нечетное число. Теперь свертка £ i 1 ^{i 2} …i n

g _i ^′ _{i ...i} и определение (9) теряет всякий смысл. Тем не менее можно повторить предыдущие построения, отталкиваясь не от (3), а сразу от закона преобразования (5). Именно, рассмотрим

свертку

Подставим (5) в (10). Прямые вычисления показывают [4], что

· · · G ^′ 1 2 n . n n ^... n

G'l    = I det i ...i n

∂x ^j

∂x ^{′ i}

mn — 1 cd¹    cd ¹

∂x ^j      ∂x ^{j n}

∂x ^{′ i}       ∂x ^{′ i n}

^G j ₁ ¹ ...j _n ^{1 ,}

и

G _j 1 _j 1 _...j 1 антисиммет-

戶‘                  К’

^G iji 2 ...i 1 = ^s iti 2 … i n G ¹² … n ,    ^{G j} 1 j 1 … j n = ^s j 1 ^j 1 … j n G ¹² …^{n .}

Используем прежние обозначения для гипердетерминантов:

Из (14) немедленно следует ^| hdet[G i_ii 2 ...i _n ] ^{1 1/(} mn ) = ¹ hdet[G i₁i 2 ...i _n ] ^{| 1/(mn)} det[ 爲 ],что совпадает с (2) если положить 必 2… n = |hdet[G i]i2…i _n ] 丨 ^1/( m ⁿ⁾ и ® 12…n = |hdet[Gn i2… ] 丨 ^1/(mn) . Поэтому естественную форму объема на (M ⁿ ,ds ^m ) при нечетном m > 1, четном n > 0 и hdet[G i]i2…^ ] = 0 можно определить формулой

® = | hdet[G i]i 2… 2 _n ] 1 ^1/(mn) dx ¹ 八…八 dx n .

Теперь не составляет никакого труда дать определение инвариантного интеграла от функции по псевдофинслерову многообразию (Mn, dsm). Это делается обычным для теории дифференциальных форм способом. Пусть, например, функция f непрерывна и равна нулю вне карты с локальными координатами x1 , . . . , xn . Тогда по определению fω≡

M ⁿ

/ f (x ¹ ,.

R ⁿ

..,x ⁿ ) ® 12…n dx ¹ dx ² •… dx n ,

где форма объема ® выражается формулой (9) при четном m > 0 и формулой (15) — при нечетном m > 1 и четном n > 0. Более сложные случаи интегрирования требуют очевидных модификаций (16).

Заключение

Таким образом, определен инвариантный интеграл (16) от финитной функции f по n-мерному ориентированному псевдофинслерову многообразию (M ⁿ ,ds ^m ) с “mth root” метрикой (1) относительно естественной формы объема ^. Показано, что ® при четном m > 0 и натуральном n > 1 имеет вид (9), а при нечетном m > 1 и четном n > 0 имеет вид (15). Интересно, что во всех случаях естественная форма объема ® на (M ⁿ ,ds ^m ) выражается через гипердетерминанты Кэли (7) или (13).

Автор посвящает эту статью своему отцу, Василию Ивановичу Соловьеву, по случаю его юбилея.