Инвариантные меры квазиэндоморфизмов, задаваемых нигде не дифференцируемыми отображениями

Пусть (M, F, ц) — пространство Лебега, то есть пространство, изоморфное отрезку [0, 1) с мерой Лебега. Пусть Т — измеримое сюръективное отображение: Т : M ^ M, несингулярное, то есть VA G F, ^(A) = 0, выполняется ц(Т-1A) = 0, и не сохраняет меру, то есть не выполняется равенство ц(Т-1A) = ^(A) VA G F. Если это отображе- ние не взаимнооднозначное, то T называется квазиэндоморфизмом.

Точным квазиэндоморфизмом пространства (M, F, ц) называется квазиэндоморфизм

∞

Т , для которого Р| Т - n F = R, где R — тривиальная а-алгебра, состоящая из множеств n =0

меры 0 и 1. Эквивалентное определение: квазиэндоморфизм T точный, если для каждого измеримого множества A положительной меры lim ц(Т n A) = 1. n →∞

Эргодическим квазиэндоморфизмом пространства (M, F, ц) называется квазиэндоморфизм Т, для которого равенство Т-1A = A возможно только при ©A) = 0 или ^(A) = 1. Если равенство Т-1A = A возможно при 0 < ©A) < 1, то квазиэндомор- физм T неэргодический. Второе определение эргодического квазиэндоморфизма T : T

(Й ^Т i ^A)

эргодический тогда и только тогда, когда µ

= 1 для любого A положительной

меры.

Пусть M — криволинейная трапеция:

^M = ^{( x,y) :

0 <  x < 1, 0 <  y <  l(x) } , где

I l(x)dx = 1.

Разделим M на m ² , m >  1, криволинейных трапеций прямыми x = m^, i = 1,m — 1, и кривыми y = mj l(x), j = 1,m — 1. При этом считаем отрезки деле-

ния присоединенными к тем трапециям, от которых они расположены слева или снизу.

Эти m 2 множеств назовем трапециями первого порядка и обозначим M i¹ , i = 1, m 2 . Эти трапеции занумеруем так, чтобы каждая трапеция M _i ¹ имела общую сторону или общую вершину с трапециями M _i ¹ _{- 1} и M _i ¹ ₊₁ .

Аналогично разбиваем каждоеМ1 на m2, m > 1, криволинейных трапеций M2, i = 1, m2, получаем m4 трапеций второго порядка М2, i = 1, m4. Нумерацию множеств Mi2 проводим так, чтобы выполнялись условия: 1) Нумерация трапеций второго поряд- ка должна быть согласована с нумерацией трапеций первого порядка, то есть сначала в M21 , M31 , . . . ,

перенумеровываются трапеции, входящие в M ₁ ¹ , затем последовательно

M m¹ 2

2) Каждая трапеция Mi2, i = 1, m4 имеет с трапециями М^-1 и М2+1 общую сторону или общую вершину.

Далее аналогично по индукции строятся криволинейные трапеции n-го порядка с выполнением условий 1) и 2) для n = 3, то .

Определим квазиэндоморфизм T множества M следующим образом. Положим прообразом множества M _i ¹ i-й столбец трапеций второго порядка. Прообразом M _i ^k является i-й столбец множеств к + 1-го порядка. В пределе получаем

T ^-1 (x,y) = T ^-1

∞

А i=1

∞

= k=1

T " M (x,y),

где M ik (x, у) — трапеции k-го порядка, содержащие точку (x, у).

Так как прообразами M ik (x, у) являются столбцы прообразов (к + 1)-го порядка, то в результате прообразом точки (x, у) является вертикальный отрезок трапеции. Этим самым определяется квазиэндоморфизм T отрезка [0, 1), который не сохраняет меру и является непрерывным нигде не дифференцируемым отображением.

Если отобразить трапеции M^ на отрезке [0, 1) так, что все эти отрезки имеют вид [a, b), расположены так, что первый Mk, затем M2 и т. д., причем длина отрезка равна ^M^), то получаем изоморфизм M на [0, 1), и квазиэндоморфизм T пространства M переходит в квазиэндоморфизм отрезка [0, 1), который является непрерывным нигде не дифференцируемым отображением.

отображение (x, у) ^ xxl ^ ), то получим, что криволинейная

Если теперь взять

трапеция становится квадратом, причем все трапеции всех порядков тоже становятся квадратами, мера сохраняется. В результате преобразования получаем эндоморфизм, который является точным (см. [1]).

Если допустить кусочно-непрерывные квазиэндоморфизмы, то можно построить эргодический неточный квазиэндоморфизм и неэргодический квазиэндоморфизм. Для этого надо перенумеровать криволинейные трапеции подходящим образом. Например,

прообразом i-го столбца, i = 1,m — 1, криволинейных трапеций M k будут столбцы, со-

стоящие из криволинейных трапеций второго порядка Mj2 , занумерованных подходящим образом, и входящие в i+1-й столбец трапеций M^, а прообразом m-го столбца трапеций

M _k ¹ является первый столбец трапеций M _k ¹ . Тогда получается эргодический неточный

квазиэндоморфизм, так как ∀ M _i ²

lim ^T ⁿ M 2 ) = ^, а lim д f U T n M²)

n →∞           m  n →∞    _n=0

= 1.

Если, например, первый столбец трапеций M _k ¹ , являющийся прообразом каждой трапеции M _k ¹ из этого столбца, есть столбец трапеций второго порядка, также входящий в тот же столбец трапеций M _k ¹ . В результате получаем, что образами первого столбца

В.Г. Шарапов. Инвариантные меры квазиэндоморфизмов криволинейных трапеций является сам этот столбец. Отсюда следует, что это неэргодический квазиэндоморфизм, а значит, и соответствующий эндоморфизм, полученный приведением к инвариантной мере, является неэргодическим.

Рассмотрим теперь случай, когда к криволинейной трапеции M(1) применяется квазиэндоморфизм, который определяется следующим образом: криволинейные трапеции первого порядка строятся так, что вертикальные стороны определяются формулами x = a i , где 0 = a ₀ < a 1 < ... < a _{m - 1} <  a m = 1, и кривыми у = в _i l(x), где 0 = в о < ... < в т = 1.

Криволинейные трапеции второго порядка строятся так: если трапеция первого порядка расположена между прямыми x = a i -1 и x = a i , а также между кривыми у = в - —1 l(x) и У = в - l(x), то четыре криволинейных трапеции второго порядка получаются делением прямой x = a i - 1 + 2 (a i — a i -1 ) и кривой у = — -1 + 1 (в з - в - -1 )) l(x) •

Криволинейные трапеции третьего и высших порядков строятся подобным образом, то есть делением пополам по вертикали и горизонтали. Если сохранять ту же нумерацию трапеций всех порядков, то получаем квазиэндоморфизмы, которые в зависимости от нумераций трапеций могут быть точными, эргодическими не точными и неэргодическими.

Остается заметить, что инвариантная мера задается преобразованием: если (x,y) £ £ M 1 , где a i - 1 <  x < a i , в з _{- 1} l(x) ^ y(x) < в - l(x), то к инвариантной мере приводит преобразование: x ^ i^-1 +— x-^ i -i , у ^ y(xl . т      m(a i -a i-i ) ’ »      l ( x )

Действительно, при этом преобразовании все криволинейные трапеции всех порядков превращаются в правильные квадраты и мера сохраняется.