Инвариантные относительно сдвигов меры на пространствах последовательностей

Инвариантные относительно сдвигов меры являются весьма, эффективным инструментом для исследования решений дифференциальных уравнений при помощи усреднения случайных блужданий в координатном пространстве. Практическое применение вышеописанных мер можно найти в работах [3,6,8]. В данных статьях сильнонепрерывные однопараметрические полугруппы операторов, которые разрешают задачу Коши для уравнения диффузии, уравнения дробной диффузии и уравнения Шредингера, с разнообразными

гамильтонианами, были получены при помощи усреднения случайных однопараметрических семейств операторов сдвига на векторы координатного пространства по мерам на множестве таких операторов. Такой подход к изучению свойств решения дифференциальных уравнений для функций на бесконечномерных пространствах требует решение задачи отыскания и изучения мер на бесконечномерных пространствах, инвариантных относительно сдвигов на векторы этого пространства или относительно других групп преобразований (см. [7]).

Известно (см. [4]), что не существует меры Лебега на бесконечномерном топологическом векторном пространстве, то есть не существует ненулевой счетно-аддитивной и-конечной меры на и-кольце борелевских подмножеств бесконечномерного топологического векторного пространства, инвариантной относительно сдвигов на векторы этого пространства. В связи с этим изучались вопросы о существовании мер на бесконечномерных топологических векторных пространствах, которые удовлетворяют лишь некоторым свойствам меры Лебега (см. [1,5,7,9]).

В данной статье рассматривается задача о существовании сигма-аддитивных мер на бесконечномерных топологических векторных пространствах, инвариантных относительно сдвигов на произвольный вектор этого пространства, построен пример такой меры. Будут исследованы топологическоие векторные пространства числовых последовательностей К^ и 1_Ю. Также будет доказано, что построенный пример удовлетворяет условию инвариантности относительно перестановок координат (в том числе и бесконечных) и условию инвариантности относительно отражений (замен знаков некоторых координат на противоположные).

Схема построения инвариантной меры на пространствах К^го и 1^

Будем рассматривать лишь пространство 1^ (в пространстве R^ все будет точно так же). Процесс построения сигма-аддитивной меры на бесконечномерных топологических векторных пространствах, инвариантной относительно сдвигов на произвольный вектор этого пространства, разобьем на несколько шагов. Сперва определим меру на алгебре подмножеств единичного куба естественным образом. Далее необходимо будет продолжить полученную меру на соответствующую сигма-алгебру. После этого продолжим меру на множества, которые при помощи сдвига могут быть «помещены» в единичный куб так, чтобы выполнялось условие инвариантности относительно сдвигов. Наконец, продолжим по схеме Каратеодори полученную меру на соответствующую сигма-алгебру.

Шаг 1

Рассмотрим единичный куб в Р: К deef [0; 1] х [0; 1] х ... х [0; 1] х ... и набор множеств Аг def {В х [0; 1] х [0; 1] х ... х [0; 1] х ...|В Е B([0; 1]^г)}, где г Е N. Множества из данных набо-def ^ , ров будем называть обобгценннми брусами. Далее введем систему множеств: S = [J А_г.

г =1

Очевидно, что S является алгеброй на К. Определим функцию А на S следующим образом: Vi Е N VВ Е B([0; 1]^г): А(В х [0; 1] х [0; 1] х ... х [0; 1] х ...) d=^f А^г(В), где А^г является мерой Лебега на К¹. Пусть теперь одному множеству из S соответствуют два различных множества: В 1 Е B([0; 1]^п) и В₂ Е B([0; 1]^n+fc). В таком случае В 2 = В 1 х [0; 1] х [0; 1] х ... х [0; 1]. Следовательно А^п(В 1 ) = А^п+к (В₂). значит, функция А определена корректно. Очевидно, что функция А является и-аддитивной (см. теорема 3.5.1 на стр. 223 в [2]). Таким образом мы построили меру А на К.

Шаг 2

Теперь продолжим меру А, используя схему Лебега с алгебры S на и-алгебру, которую обозначим через Si. Далее введем следующие определения: А* является внешней мерой, которая согласована с мерой А (сужение внешней меры А* на сигма -алгебру S i и будет вышеупомянутым продолжением меры А), Рг является операторем поектирования на г-ю координату, h + Н d= { һ + а|а Е Н } (Н С ^, һ Е 1Д).

Утверждение 1. Внешняя мера А* является инвариантной относительно сдвигов, оставляющих сдвигаемые множества в единичном кубе.

Доказательство

Пусть Н С К, һ Е І_га, һ + Н С К. Исходя из определения внешней меры, Ve > 0 З В _3і Е B ([0;1p):

Н С IJ В3, х [0; 1] х [0; 1] х ... х [0; 1] х ...,(1)

г =1 га

£ А3, (B3i) - А*(Н) 6 е.(2)

г=1

Очевидно, что гаЗг

Н С и № ПП[inf Pk(Н);supPk(Н)]) х [0; 1] х [0;1] х ... х [0;1] х ...,(3)

г=1

кроме того выполняется неравенство га

£ А31 (Bit ПП [inf Pk (Н );sup Pk (Н)] - А*(Н) 6 е.(4)

г=1

Легко проверяемым является следующее утверждение:

һ + Н С U((P1(һ); Р2(һ);...; P,,(һ);0;0;...) + №, П П[inf Pk(Н);supPk(Н)]))х г=1

х[0;1] х [0; 1] х ... х [0;1] х ...,(5)

при этом справедливо неравенство

£ А3,((P1(һ); P2(һ);...; P3i(һ);0;0; ...) + (Вз, П П [inf Pk(Н);sup Pk(Н)])) 6 А*(Н)+ e. (6) г=1

Таким образом:

А*(һ + Н) 6 А*(Н).(7)

Аналогично можно сделать вывод, что

А*(һ + Н) > А*(Н).(8)

В результате мы получаем, что VН С К, V һ Е І^га : һ + Н С К ^ А*(һ + Н ) = А*(Н), что и требовалось доказать.

Утверждение 2. VН Е 51, Vһ Е І^га: һ + Н С К ^ һ + Н Е S 1.

Доказательство

Легко убедиться в том, что

3X G S: Х*(Н △ X) 6 е,(9)

где е > 0. Очевидно, что га

X П П и Pk(Н);sup pk(H)] G Si;(10)

k =i га

х*(н △ (X П П ир^(Н);supPk(Н)])) 6 е.(11)

k =i

Согласно утверждению 1 можно сделать вывод, что га

Х*((һ + Н) △ (һ + (X П П [inf Pk(Н);sup Pk(Н)]))) 6 E.(12)

k=i

Легко понять, что га

һ +(Х ПП[inf Pk(Н);supPk(Н)]) G Si.(13)

k=i

Таким образом:

га

ЗХ1 G S: X*(Xi △ (һ + (X П П [inf Pk(Н);sup Pk(Н)]))) 6 E.(14)

k=i

Следовательно:

Х*(Н + һ △ Xi) 6 2е.(15)

В результате получаем, что множество Н + һ является измеримым, что и требовалось доказать.

Под мерой X будем теперь понимать её продолжение на сигма-алгебру Si.

Шаг 3

Определим новый набор множеств следующим образом:

L G S2 О L = һ + X, где X G Si, һ G Іга.

Утверждение 3. Класс множеств S2 замкнут относительно взятия пересечения.

Доказательство

Пусть N,M G S2. Согласно определен!ію класса множеств S2. N = һ1 + N1. M1 = һ2 + M, где һ1, һ2 G Іга; N1, Mi G Si. Очевидно, что достаточно доказать, что Ni П(һ2 — һ1 + Mi) G Si. Несложно проверить, что га

^К П ^(һ 2 - ^һ і ^{+ M} i ) = ^(һ 2 - ^һ і ^{) + (M} i П П ^[- ^Pk ^(һ 2 - ^һ і ^{); 1} - ^Pk ^(һ 2 - ^һ і ^)]) .     ⁽¹⁶⁾

k=i

Таким образом К П(һ2 — һі + Mi) G Si. Исходя из этого можно сделать вывод, что Ni П(һ2 — һі + Mi) G Si, что и требовалось доказать.

Утверждение 4. Класс множеств S2 замкнут относительно взятия разности.

Доказательство

Пусть N,M Е S2. Как и в прошлом утверждении, достаточно доказать, что

N1 \ (^2 - ^1 + M 1 ) Е S1.                              (17)

Легко видеть, что

N1 \ (^2 - ^1 + M1) = N1 \ ((^2 - ^1 + Mi) Q К ).                (18)

Согласно утверждению 2, К П(^2 — ^1 + M1) Е S1. В результате чего получаем, что N1 \ (^2 — ^1 + M1) Е S1, что и требовалось доказать.

Легко видеть, что S2 является полукольцом. Далее продолжим меру А на полукольцо S 2 следующим образом:

А1(Д + Н ) d= А(Н ),                                 (19)

где Н Е S 1, һ Е I”.

Утверждения 1 и 2 гарантируют корректность данного определения.

Утверждение 5. Функция А1 является ст-аддитивной.

Доказательство

Пусть

∞

һ + Т = J һі + Ті,(20)

і =1

где Т, Тг Е S1; һ, һг Е I”, и

Vi,j Е N : һг + Тг Q һ, + Т, = 0.(21)

Легко видеть, что

∞

Т = J(һг — һ) + Тг,;(22)

і =1

∞

^А((һг — һ)+Тг) = А(Т).(23)

і =1

Следовательно:

∞

^А1(һг + Тг)=А1(һ + Т).(24)

і =1

Таким образом, функция А1 является ст-аддитивной, что и требовалось доказать.

В результате мы получили ст- аддитивную меру А1 на полукольце S2.

Шаг 4 (финальный)

Теперь продолжим меру А1 на соответствующую ст-алгебру при помощи теоремы Каратеодори о продолжении меры. В результате мы получаем инвариантную относительно сдвигов меру А2 (доказывается это так же, как и в шаге 2). Очевидно, что полученная мера является полной, но не является сигма-конечной. Сформулируем теперь совокупный результат предыдущих шагов.

Теорема 1. Функция А2 является сигма-аддитивной, полной, инвариантной относительно сдвигов мерой, заданной на сигма-алгебре, которая содерэюит все стационарные бесконечномерные прямоугольники.

Инварианты построенной меры

Справедлива следующая теорема.

Теорема 2. Мера А2 инвариантна относительно перестановок координат (в том числе и бесконечных).

Доказательство

Пусть задано отображение f, которое является перестановкой координат. Тогда легко видеть, что данное отображение переводит элементы из класса S в элементы из этого же класса с сохранением меры (так как аналогичное утверждение, очевидно, верно для меры Лебега в конечномерном случае). Рассмотрим теперь продолжение меры на класс Si (см. шаг 2). Очевидно, что отображение f сохраняет внешнюю меру. Кроме того, отображение f сохраняет измеримость. Это легко показать, используя критерий измеримости, который был использован при доказательстве утверждения 2. Также очевидно, что инвариантность имеет место и для множеств из класса S^, так как отображение f переводит множества из данного класса во множества, которые также принадлежат данному классу, и мера сохраняется, поскольку это верно для множеств из класса Si. Аналогичным образом доказывается инвариантность на «финальной» сигма-алгебре. Значит мера А2 инвариантна относительно перестановок, что и требовалось доказать.

к =1                            к =1

очевидно, является условно сходящимся, то теорема Римана обуславливает изменение меры данного множества при некоторой перестановке. Следовательно, мера, приведённая в статье [1], не является инвариантной относительно перестановок.

Назовём преобразование рассмотренных пространств отражением, если оно меняет знак некоторых координат (их может быть и бесконечное количество) на противоположный. Справедлива следующая теорема.

Теорема 3. Мера А₂ инвариантна относительно отражений.

Доказательство этой теоремы проводится по той же схеме, что и доказательство теоремы 2. Единственным существенным отличием является дополнительный вспомогательный прием: в результате применения отражения к обобщенным брусам, они перестают быть подмножествами куба, но это можно «исправить» прибавлением подходящего вектора (очевидно, мера при этом не меняется).

Также следует отметить, что построенная мера будет, очевидно, инвариантна относительно композиций перестановок координат и отражений.

Заключение

В статье изучаются меры на банаховых пространствах R^ и 1^, инвариантные относительно сдвигов на произвольные векторы из рассматриваемого банахова пространства. Построен аналог меры Лебега - неотрицательная счетно-аддитивная мера, определенная на минимальном кольце подмножеств бесконечномерного банахова пространства, содержащего все стационарные бесконечномерные прямоугольники (длина сторон которых равна 1 с некоторого момента), и являющаяся инвариантной относительно сдвигов на произвольный вектор банахова пространства. Было показано, что построенная на пространствах Д и R^ мера является инвариантной относительно перестановок координат (в том числе и бесконечных) и отражений.

Автор благодарит В. Ж. Сакбаева за плодотворные обсуждения затронутых в работе проблем.