Инженерный метод расчета нестационарного процесса перекачивания центробежным насосом

В коммунальном хозяйстве, химической и нефтехимической промышленности часто приходится перекачивать воду (или водные рас- творы) из одной емкости в другую. Для этих целей, как правило, используются центробежные насосы (ЦН) [1-3]. При проектировании таких насосных установок (рис. 1) необходимо выполнить гидравлический расчет.

Рисунок 1 – Схема насосной установки : 1 и 2 – исходная и конечная емкость, 3 – ЦН, 4 и 5 – всасывающий и нагнетательный трубопровод, 6, 7, 8, 9 – вентили

EDN JIEFGW

В исследованиях [4-8] было показано, что при определенных условиях в гидравлических расчетах необходимо учитывать процесс перекачивания.

Так в [9] аналитически решена задача турбулентного истечения жидкости из большого резервуара в атмосферу через трубопровод после мгновенного открытия затвора и задача выравнивания уровня в двух сосудах, соединенных трубопроводом. ЦН в рассмотренных гидравлических системах отсутствует, полученное решение справедливо для развитого турбулентного течения (когда коэффициент гидравлического сопротивления зависит только от относительной шероховатости трубы).

В [10-12] решаются различные задачи перекачивания жидкости центробежным насосом. Принцип работы центробежного насоса основан на принудительном вихревом потоке. Увеличение напора приводит к перемещению воды из одной точки в другую. Жидкость перемещается внутри корпуса под действием центробежной силы. Центробежные насосы предназначены для создания потока или подъема жидкости с более низкого уровня на более высокий. Принцип работы этих насосов основан на простом механизме. Центробежный насос преобразует энергию вращения, поступающую от двигателя, в энергию движущейся жидкости.

Жидкость в центробежном насосе поступает в корпус, попадает на лопасти рабочего колеса в проушине и вращается в радиальном направлении наружу. Центробежный насос является важным продуктом для промышленного применения.

Для жидкостей с более высокой вязкостью объемные насосы лучше центробежных насосов, что позволяет снизить затраты на электроэнергию. Центробежные насосы используются для многих видов перекачки жидкостей. Поэтому они пользуются большим спросом в различных отраслях промышленности. Наиболее распространенные области применения центробежных насосов включают перекачку воды, водоснабжение, поддержку систем пожарной безопасности и регулирование подачи горячей воды. Также центробежные насосы применяются в энергетической и нефтяная промышленности, химической и нефтехимической, пищевой промышленности.

В [13] нестационарное уравнение Бернулли применено для гидравлического расчета системы транспортирования по трубопроводу маловязких пищевых жидкостей (например, молока) из одной емкости в другую с помощью центробежного насоса. Для решения поставленной задачи Коши (система двух дифференциальных уравнений с начальными условиями) пришлось использовать численный метод. Было установлено, что в процессе транспортирования из-за увеличения статического напора расход жидкости Q заметно снижается. Причем уменьшение величины Q по времени близко к линейной зависимости.

Цель данной статьи - разработка инженерного метода гидравлического расчета, позволяющего избежать необходимости находить решение системы дифференциальных уравнений поставленной задачи.

Необходимы рабочие характеристики ЦН. В данной статье воспользуемся данными из технической документации ЛМ 50-8/3 [14]. На рис. 2, 3 они показаны точками. Зависимость напора H p ( Q ) и затраченной мощности N ЦН от подачи можно аппроксимировать многочленами второй степени:

H ^ f . ( Q ) = а о + a i Q + a 2 Q ², N=f< Q ) = b 0 + b 1

+ Q + b 2 Q ², (1) где эмпирические коэффициенты были найдены методом наименьших квадратов: а о = 4,14 м; a i = 0,581 м/л; а з = -0,514 м/л²; b о = 115,5 Вт; b 1 17,13 Вт/л; b 2 ~ 0.

Рисунок 2 - Нагрузочная ( a ) и энергетическая ( b ) характеристики ЦН ЛМ 50-8/3. Точки - экспериментальные данные [14], линии - расчет по формулам (1)

Обратим внимание, что для рассматриваемой марки насоса функция f 2 ( Q ) близка к линейной см. рис. 2 b ), поэтому последний коэффициент во второй формуле можно принять равным нулю.

Коэффициент полезного действия (ГКПД) η и показатель удельных энергетических затрат (ПУЭЗ) E :

η = 100·ρ· g · Q · H/N = 100·ρ· g · f 1 ( Q ) / f 2 ( Q ), E = N/Q = f 2 ( Q ) / f 1 ( Q ),         (2)

где ρ – плотность жидкости, кг/м³; g – ускорение свободного падения м/с².

Рисунок 3 - ГКП ( a ) и ПУЭЗ ( b ) ЦН ЛМ 50-8/3 . Точки - экспериментальные данные [14], линии – расчет по формулам (2)

Помимо дифференциального уравнения для объема перекачиваемой жидкости V , требуется задание начального условия:

dV/dt = Q , V (0) = 0, Q = W·S 0 ,    (3)

где   Q, W – объемный расход и скорость жид кости в трубопроводе, соответственно;

t – время;

S 0 =π d ²/4 – площадь поперечного сечения трубопровода;

d – его внутренний диаметр.

Полагаем, что на всем протяжении по- тока скорость движения жидкости одинакова и плавно изменяется по времени. Тогда нестационарное уравнение Бернулли также представляет собой дифференциальное уравнение первого порядка [12, 13] (с начальным условием Q(0) = 0):

l^ ' dQ=Hp Q)+h (t)—ь' Q 2 ■ gS0 dt b =

ζ 2 gS 0²

где    L –длина трубопровода;

H p – мгновенное значение напора насоса;

H – разность уровней;

Z - коэффициент гидравлического со- противления сети:

0 , 25

z = ^x L + E z Mi. ^ = ⁰Я-Ь + -^l d                 d Re

i v W - d где Re =-----;

ν

A - абсолютная эквивалентная шероховатость (АЭШ) трубопровода;

Z Mi - коэффициенты потерь в местных гидравлических сопротивлениях;

ν – коэффициент кинематической вязкости жидкости;

Re – число Рейнольдса.

Для АЭШ полиэтиленовых труб используем зависимость [15], подобранную по экспериментальным данным:

Δ = (0,1038 – 0,0981 d + 0,0386 d ²)· d , (6)

где величины Δ и d – в мм.

Решение задачи Коши было найдено численным методом в среде Mathcad при следующих значениях параметров: площадь поперечного сечения исходной и конечной емкости S 1 = S 2 = 1 м²; длина трубопровода L = 25 м; начальная глубина слоя воды в исходной емкости H 1 (0) = 2 м, в конечной – H 2 (0) = 0; Σζ М = 4; d = 35, 39 и 45 мм. Результаты решения представлены на рис. 4 и 5.

По рис. 4 можно определить время T , за которое будет перекачан заданный объем воды, в рассматриваемом случае V K = 2 м². Чем больше диаметр трубопровода, тем меньше гидравлическое сопротивление по длине, выше расход воды (рис. 5) и меньше время T. Графики рис. 5, позволяют рассчитать механическую работу, затраченную на перекачивания воды с помощью численного интегрирования

T

A = \ f2 (*(t)) dt •         (7)

где f 2 ( Q ) находится по второй формуле (1).

Рисунок 4 - Изменение объема перекачанной воды по времени при разных диаметрах трубопровода : 1 - 35 мм, 2 - 39 мм, 3 - 45 - мм

Рисунок 5 - Изменение расхода воды по времени при разных диаметрах трубопровод а: 1 - 35 мм, 2 - 39 мм, 3 - 45 - мм

Отметим, что снижение расхода воды со временем (то есть с увеличением статического напора) по рис. 5 происходит, практически линейно. Это позволяет предложить инженерный метод расчета без необходимости решать систему дифференциальных уравнений (3)-(4). Этот метод основан на гипотезе квазистационарности течения и включает следующие этапы.

• 1.    Для заданных параметров находим расход воды в рабочей точке насосной установки в начальный момент Q h и в конечный момент Q k (на рис. 6 в точках А и В, соответственно).

• 2.    Рассчитываем среднее значение расхода воды, как полу сумму начального и конечного значений, Q c = 0,5^( Q h + Q k ) и приближенное значение продолжительности перекачивания T n = V k / Q c .

• 3.    Определяем затраченную мощность в начальный и конечный момент, соответственно, N h = f : ( Q h ), N k = f : ( Q k ).

• 4.    Рассчитываем среднее значение затраченной мощности, N c = 0,5^( Q h + Q k ) и приближенное значение механической работы A n = N c • T n .

  

  Рисунок 6 - Определение РТНУ при d = 35 мм ( a ) и d = 39 мм ( b ): линия 1 - нагрузочная характеристика насоса ЛМ 50-8/3, 2 - характеристика трубопровода в начальный момент, 3 - в конечный момент. Точка А -РТНУ в начальный момент, В - в конечный момент

  
  

Погрешности расчета времени перекачи-       е T = 100^( T n / T - 1), е A = 100^( A n / A - 1). (8)

вания е T и механической работы е A инженерным Результаты расчета погрешностей представлены методом рассчитаем по формулам:               в табл. 1 и 2.

Таблица 1 – Погрешности расчета времени перекачивания инженерным методом

d	T	Q H	Q K	Q C	T n	ε T
мм	мин.	дм3/с	дм3/с	дм3/с	мин.	%
35	18,56	2,228	1,361	1,794	18,58	0,12
39	15,50	2,646	1,647	2,147	15,53	0,20
45	12,96	3,134	1,995	2,565	13,00	0,32

Таблица 2 – Погрешности расчета энергетических затрат инженерным методом

d	A	N H	N K	N C	A n	ε A
мм	кДж	Вт	Вт	Вт	кДж	%
35	162,9	153,7	138,9	146,3	163,1	0,09
39	141,7	160,9	143,8	152,3	141,9	0,15
45	124,1	169,2	149,8	124,4	124,4	0,21

По табл. 1 и 2 погрешности расчета времени перекачивания и механической работы инженерным методом не превышают 0,32%. Следовательно, для определения времени перекачивания и энергетических затрат в рассматриваемой задаче можно обойтись без численного решения системы дифференциальных уравнений. Применение приближенного метода инженерного расчета дает вполне приемлемые результаты. Однако следует заметить, что энергетическая характеристика f 2 ( Q ) рассмотренного насоса ЦН ЛМ 50-8/3 является линейной (см. рис.2 b ). Поэтому в дальнейшем целесообразно выполнить тестирование предложенного инженерного метода на насосах с нелинейной энергетической характеристикой.