Исчисление параметров выпуклости суммы Минковского сильно и слабо выпуклых множеств относительно неограниченного квазишара

Впервые понятие слабо выпуклого множества появилось в работах Н.В. Ефимова, и С. Б. Стечкина, где такие множества назывались a-выпуклыми, а в дальнейшем они стали называться множествами, слабо выпуклыми по Ефимову-Стечкину. При некоторых условиях слабо выпуклое множество по Ефимову-Стечкину является слабо выпуклым с такой же константой. Простые примеры показывают, что сумма, (по Минковскому) множества, слабо выпуклого по Ефимову-Стечкину, и сильно выпуклого множества может не быть слабо выпуклым множеством по Ефимову-Стечкину. Поскольку одной из основных целей нашей работы является разработка, исчисления параметров выпуклости в связи с операциями Минковского, для наших задач определение Ефимова-Стечкина, не подходит.

Другой подход к исследованию слабо выпуклых множеств представлен в работе [1], где в гильбертовом пространстве рассматривается условие, эквивалентное слабой выпуклости, -проксимальная гладкость. Множество А является т-проксимально гладким в гильбертовом пространстве Н , если функция ж н- р(ж, А) (расстояние от точки ж до множества А) непрерывно дифференцируема на множестве U^т (А) = {ж Е Н | 0 <  р(ж, А) < т}. В работе [2] результаты для проксимально гладких множеств обобщены на. банаховы пространства.

В работе [3] доказано, что при некотором соотношении параметров выпуклости сумма. сильно выпуклого и слабо выпуклого множеств является замкнутым, слабо выпуклым множеством. В работе [3] вместо термина, слабо выпуклое множество используется термин множество, удовлетворяющее опорному условию слабой выпуклости, а вместо термина сильно выпуклое множество - термин слагаемое шара. В настоящей работе мы развиваем методы, представленные в [3], заменяя шар неограниченным и несимметричным квазишаром. Это позволяет применить полученные результаты к надграфикам функций и доказать существование, единственность и непрерывную зависимость от параметра точки минимума в инфимальной конволюции этих функций.

2.    Определения и обозначения

Пусть Е - вещественное линейное нормировашюе пространство. Через int А. дА и А будем обозначать соответственно внутренность, границу и замыкание множества А С Е. Значение функционала р Е Е* на векторе ж Е Е будем об означать {р, ж). Шаром радиуса d >  0 с нентроэi в точке a называется множество Вд (a) = {ж Е Е : ||ж — a|| <  d}.

Квазишаром М в банаховом пространстве Е называется выпуклое замкнутое множество М С Е. для ксвторого 0 Е int М.

Заметим, что квазишар М является шаром относительно некоторой нормы, эквивалентной исходной норме пространства Е, тогда и только тогда, когда он ограничен относительно исходной нормы Е и симметричен, т.е. —М = М.

Функцией Минковского квазишара М называется функция цм : Е ^ [0; +то) такая, что цм(ж) = inf {t > 0| ж G tM} V ж 6 Е.

Функция ц : Е ^ R называется несимметричной полунормой, если она полоэюительно однородна;

ц(Аж) = Ац(ж)    V ж G Е, V А > 0

и субаддитивна;

ц(ж + у) 6 ц(ж)+ц(у)     V ж,у G Е.

Замечание 2.1. Функция ц : Е ^ [0;+то) является несимметричной полунормой тогда и только тогда, когда она является функцией Минковского некоторого квазишара.

Пусть М С Е - квазишар. М-расстоянием от множества D С Е до множества А С Е называется величина дм (D,A) = inf цм (d — а). dED, аЕА

В частности, М-расстояние от точки ж G Е до множества А С Е определяется формулой дм (ж, А) = inf цм (ж — а).

аЕА

Если М = ВД0), то М-расстояние совпадает с обычным расстоянием

д(ж, А) = inf ||ж — а|.

аЕА

Напомним [4], что суммой и разностью Минковского множеств А С Е и В С Е называются соответственно множества

А + В = {а + b | а G А, b G В} , А — В = {ж G Е | ж + В С А} .

Замечание 2.2. Непосредственно из определений следует, что дм (ж, А) = inf {t > 0| ж G А + tM} = inf |t > 0| А ^(ж — tM) = 0} .

Пусть М С Е - квазишар. М-проекцией тонки ж G Е на множество А С Е называется множество

Рм (ж,А) = А р(ж — дм (ж,А)М).

Также при е >  0 опрелелим е-М-проекщію тонки ж G Е на множество А С Е:

^р1м ^(ж, ^А) = ^А ^(^{ж — (д}м^(ж, ^{А) + е)М} ).

Множеством единичных проксимальных нормалей ко множеству А С Е в точке а G А относительно квазишара М С Е называется

^M(а, А) = {z G Е | цм(г) = 1, 3t > 0 : а G Рм(а + tz, А)}.

Множество С С Е называется сильно выпуклым относительно квазишара М С Е. если С выпукло, замкнуто и

С — с СМ — z V с GC, V z бНм (с, С).

Множество А С Е называется слабо выпуклым относительно квазишара М С Е. если а G Рм (а + z, А)    V а G А, V z G Ем (а, А).

Множество М С Е называется параболичным. если для любого вектора, b Е Е множество ( b + 2М) \ М ограничено. Множество М С Е называется параболичным в усиленном смысле, если для любого ограниченного множества В С Е множество (В + 2М) \ М ограничено. Заметим, что в работе [5] под параболичным множеством понималось множество, параболичное в усиленном смысле.

Множество М С Е называется ограниченно равномерно выпуклым, если

§М(е) > 0 V d > 0, V е > 0, где

^М(е) = sup |» Е [б, е]| В₅ (^)

С М

V х,у Е М П B_d(0) :

IIх

— уһ >е}.

Функция ф : Е ^ R коэрритивна, если

ДД

Ифо, ИЖИ +  '

Надграфиком и подграфиком функции ф : Е ^ R называются соответственно множества epi ф = {(х, у) Е Е х R : у > ф(х)}

И hypo ф = {(х, у) Е Е х R : у < ф(х)}.                          (1)

Будем считать, что в пространстве Е х R норма задана следующей формулой: 1(Р,9)! = ІІРІІ + iqb г дер Е Е, q Е R.

Множество А С Е называется замкнутым относительно квазишара М С Е (М-замкнутым), если для любой точки х Е Е \ А справедливо неравенство q m (х, А) > 0.

Для произвольного множества А С Е будем рассматривать условие sup

{

II^{х — о|} рм (х - о)

х Е Е \ А, о Е Р_м (х, А), |о| 6 dj>< +ж

Vd > 0.

(a1)

В частности, если Рм (х, А) = 0 для любого х Е Е \ А, то считаем, что условие (al) выполнено.

Замечание 2.3. Если множество А С Е является замкнутым относительно некоторого квазишара М С Е. то А замкнуто и М — М С А — А.

Доказательство. Так как М - квазишар, то существует число ст > 0 такое, что В_ст (0) С М. Тогда для любого х Е Е справедливо неравенство рм (х) < д^. а. значит. q m (х,А) <  ^^ • ТогдгI если Q(х, А) = 0. то q m (х, А) = 0. а. значнт. х Е А. Следовательно, А замкнуто. Теперь предположим, что М — М С А — А. Тогда существуют о Е А, т Е М — М такие, что о + т Е А. Так как т Е М — М, 0 Е М, то т Е tМ для любого t > 0. Следовательно, q m (о + т, А) = 0. С другой стороны, так как о + т Е А II А является замкнутым отпосителыю квазишара, М. то q m (о + т, А) > 0. Противоречие. □

Замечание 2.4. Замкнутое множество А С Е, удовлетворяющее включению М — М С А — А. мооісст нс быть замкнутым относительно квазишара М.

Доказательство. Возьмем М = {(х, у) Е R² : у > х² — 1, х Е R} - надграфик параболы, а. множество А = {(0, у) Е R² : у Е R} - прямая. Тогда М — М = {(0, А), А > 0} = А — А. Очевидно, что А - замкнутое множество іі М — М С А — А. но для любого г Е R² \ А выполнено равенство q m (г, А) = 0. □

Замечание 2.5. Множество А С Е, замкнутое относительно квазишара М С Е, может не удовлетворять условию (al).

Доказательство. Возьмем М = {(х, у) Е R² : у > х² — 1, х Е R}, А = {(0,у) Е R² : у > 0}. Проекцией . любой тонки г Е Е \ А являете я тонка 0 = (0, 0). Рассмотрим последовательность точек вида г^ = (1, 1), где к Е N, и точку го = (0,1). Тогда lim рм (г/г) = рм (го) = 0, Нг/гII > 1. Смелова'тетыю. J^fe-01 ^ _{ю п} к ^ ю. □ _к^^' ' Нм⁽z_k ^-о)

3.    Вспомогательные результаты

Лемма 3.1. Пусть М С Е - квазишар, А С Е. Тогда

• (г) рм (жі, А) - дм (ж2, А) 6 цм (жі — ж2) V жі, ж2 € Е;

• (и) для любого вектора ж € Е такого, что дм (ж, А) > 0, справедливо соотношение

ж € А + дм (ж, А) int М, если дополнительно для числа а > 0 выполнено включение Ва(0) С М (такое а существует. т.к. 0 € int М). то

(Ш) функция дм (•, А) удовлетворяет условию Липшиц,а на Е с копенгаптой ^ и

(Л) для любых поломсительных чисел £1, в₂ и векторов ж_х,ж₂ € Е таких, что ||жі — ж₂| 6 ав₂. справедливо включение Рм (жі, А) С Рм^'² (ж₂,А).

Доказательство. Утверждение (г) следует из определения М-расстояния и субаддитивности функции Минковского. Если В_ст (0) С М, то цм (ж) 6 ^~ для любого вектора ж € Е.

Докажем утверждение (гг). Предположим противное: существует точка а € (ж — дм (ж, А) int М) П А. Тогда ущ-Ду € int М. Следовательно, существует число t € (0, дм (ж, А)) такое с что ^—Е € М. Поэтому ж € А + іМ и дм (ж, А) 6 t < дм (ж, А). Противоречие.

Применяя утверждение (г), получаем утверждение (ггг).

Докажем утверждение (гг). Так как ±(ж₂ — жі) € £₂В_СТ (0) С Е2М, то справедливо неравенство тах{ц_м(ж₂ — ж_х),ц_м(ж_і — ж₂)} 6 £₂- Отсюда, іі из утверждения (г) следует, что дм(ж_і,А) 6 дм(ж₂,А) + в₂. Поэтому для любого вектора а € Рм(ж_і,А) справедливы неравенства, цм(ж2 — а) 6 £2 + Цм(жі — а) 6 £2 + дм(жі, А) + ех 6 дм(ж2, А) + ех + 2в2. Следовательно, а € Рм^+2Е2 (ж₂, А).

□

Лемма 3.2. Если квазишар М является надграфиком выпуклой коэрцитивной функции f : Е ^ R, то для любой бесконечно малой последовательности полооюительных чисел вк и любой ограниченной последовательности векторов ж^ € Е таких, что ж^ € вк М для любого к € N. справедливо соотношение lim inf |ж^ — у| = 0.

Доказательство. Обозначим М = epi f. Предположим противное: пусть существуют в > 0, бесконечно малая последовательность положительных чисел вк и ограниченная последовательность векторов ж^ € Е х R такие, что ж^ € вкМ и Цж^ — у|| > £ для любого к € N іі для .любого у € М — М. Векторы ж^ предетавіш в виде ж^ = (рк, Цк)• где Рк € Е, Цк € R. Так как последователыюсть {жк} ограничена и |цк| < |жк|- то существует некоторая константа С такая, что Цк 6 С при всех к € N. Так как функция f коэрцитивна, то М — М = {(0, А), А > 0}. Получаем, что ||(рк, цк) — (0, А)| > в для любого к € N и

А € R. в частности для А = Цк- Следов;хте.тыю. |рк|| > £ для любого к € N.

Без ограничения общности считаем последовательность {вк} монотонной.

Так как Ук

Ек lim      f (®к £

A x ll^|k II       ^Ек

< Ek ң_{3 TOrO) 4T0} f коэрцитивна, следует, что

= +то. С другой стороны, при всех к € N имеем

ы f(£) <ы £ = ы < £

Противоречие.

Лемма 3.3. Пусть функция а : Е ^ Rи{+^} полунепрерывна снизу, функция ц : Е ^ R выпукла, непрерывна, коэрцитивна, ц(0) < 0, М = epi ц и сугцествует точка w € Е х R такая, что дм (w, epi а) > 0. Тогда мноенсество epi а является замкнутым относительно квазишара М.

Доказательство. Обозначим А = epi а, Е = qm(у, А). Предположим противное. Тогда существует точка ж € Е \ А такая, что qm(ж, А) = 0. Зафиксируем число Eq € (0,e) и произвольную бесконечно малую последовательность чисел Ек € (0,eq). Тогда для любого к € N множество Хк = (ж — ЕкМ) f'| А не пусто, а значит, содержит некоторую точ ку ж^. Из параболичности множества М и неравенства eq < e следует, что множество Х0 = (ж — eqM ) \ (у — e int М) ограничен о. Так как Ек € (0, Eq), то ж — Ек М С ж — eqM. Поскольку e = qm(у, А) > 0. то А С Е \ (у — e int М). Поэтому жк € Хк С Xq для любого к € N. Следовательно. п<зследователыюсть {жк} ограничена.

Так как ж—жк € ЕкМ. то из леммы 3.2 следмет. что lim inf ||ж—жк—у| = 0. Векторы к^^ уем * м жк я ж представим в виде жк = (рк, qк). ж = (р, q) г,дерк,р € Е и qк, q € R. Так как множество М является надграфнком коэрцитивной функции. то М — М = {(0, А) : 0 € Е, А > 0}.

Тогда

lim inf   ||ж — жк — уЦ к ■' , м - м

= lim к^^

( ||р ^— РЙ + inf |q ^— qк у            ^А>0

— А|^

= 0.

Отсюда получаем, что рк ТО р при к ТО то и limsup q_k 6 q. Из ограниченности последо- к^^

вательности {жк} следует ограниченность последовательности {qк}. По теореме Больцано-Вейерштрасса из последовательности {qк} можно выделить сходящуюся подпоследовательность, а значит, без ограничения общности можно считать, что qк ТО q' при к ТО то. Так как ж_к = (р_к,q_к ) € А, ж = (р, q) € А, то а(р_к ) 6 q_k, а(р) >  q. Используя полунепрерывность снизу функции а и соотношения рк ТО р, q_k ТО q' при к ТО то, получаем неравенство а(р) 6 q' ■ Следов;гтелыю. q' > q. Это неравенство противоренит равенству lim sup q_к 6 q-к^^

□

Замечание 3.1. Условие существования точки у € Е х R такой, что q m ( у, epi а) > 0, существенно в лемме 3.3.

Доказательство. Пусть, например, Е = R, р(ж) = ж² — 1, а(ж) = —ж⁴ для любого ж € R, М = epi р. Тогда для любой тонки у € Е х R = R² выполнено равенство q m ( у, epi а) = 0 II множество epi а не является замкнутым относительно квазншара М.               □

Лемма 3.4. Пусти функция а : Е то R удовлетворяет условию Липшица на любом ограниченном подмноэюестве пространства Е, функция р : Е то R выпукла, непрерывна. коэрцитивна. р(0) < 0. М = epi р и существует точка у € Е х R такая, что q m ( у, epi а) > 0. Тогда мно-жюстло epi а удовлетвориіст условию (al).

Доказательство. Предположим, что множество А не удовлетворяет условию (al). Тогда существуют число d > 0, а также последовательности {жк} С (Е х R) \ А и {Ок} С А такие, что ||Ок| <  d іі Ок € Рм(жк , А) для любого к € N и

|жк — Ок || lim              = +то.                               (2)

^к '^ рм(жк — Ок)

Покажем, что последовательность {жк} можно считать ограниченной. Если это не так. то заменим {жк} последрвателыюстыо {ж'к}• где ж'к = жк njш ||жк — Ок| < 1

іі жк =   Ок + j^-Т_к ||  ^П1^ж Нжк — Ок ||  > 1. Тогда Ок  €   Рм(ж'_к , А).  ||ж'к — Ок || < 1 и

11^жк - ^ак II Пм (^'_к-а-к )

^Й ^{ак 1} х при всех к € N. Используя ограниченность последовательности Пм\^к-к) )

{Ок}• получаем ограппнеппость последователыюстп {ж'к}•

Векторы жк 11 Ок представим в виде жк = (рк, qк )• Ок = (тк, 8к )• г.до рк, Гк € Е п qк, 8к € R.

Для любого к € N обозианим Ек = рм(жк — Ок)■ В силу леммы 3.3 множество А = epi а замкнуто относительно квазишара М, следовательно, Ек > 0 для любого к € N.

Из того, что Ок € Рм(жк , А), следует, что Ок € дА, а. значит. а(тк ) = 8к- По определению множества М для любого и > 0 и для любого 8 € [0,1)

выполнено включение

((Рк — гк )(1 — 5), Ек — ((1 - 5)гк + 5рк,qk -

(дд (1 -д— Р¹-? (1 - Д + -)

G int М . Следовательно,

(щ^-^^ (1 - 5)) + се^ G ЕкМ. Так как (хк - Ек int М ) П А = 0, то

чаем неравенство

Ек — ((1 - ⁵) ДД)

- сЕк^ G А. Переходя к пределу при с ^ 0, полу

а((1 - 5)гк + 5рк ) > Чк - Ек—

((1 - 5)Р).

Из выпуклости функции — следует неравенство — Подставляя это в неравенство (3), получаем

((1 - 5)^) < (1 -5)— (^ + 5—(0).

Чк

^{- а((1 - 5)г}к ^{+ 5р}к) <  ^Ек ^{(1 - 5) —} ^-- Е ---^ ^{+ Е}к ^{5—(0) V к G} N.

Из того, что Жк ак G ЭМ, следует, что — ( Рк Гк ) = Ук а(гк). Из липшицевости функ-^к ^к ^к ции а на любом ограниченом множестве и ограниченности «к следует, что существует некоторая константа L такая, что |а(гк) - а((1 - 5)гк + 5рк)| < L5^pk - гк||. Поэтому -а((1 - 5)гк + 5рк) > -L5|pk - гк|| - а(гк)• Подставляя это в неравенство (4), получаем, НТО Ек(1 - 5)— (^^) + Ек5—(0) > Чк - а(гк) - L5|pk - гк| = Ек — (Рк-ук) - L5|pk - гк|. Следовательно,

—м (^) < — (0) + l

”^Рк - ^{гк 1}  Vk G N.

Ек

Отсюда и из коэрцитивности функции — следует существование числа С G R такого,

что \\Р к т_к || <  с _Пр_{П вссх} к g N. Следов;ттелыю. ^Чк “( ^Гк ) ^к                                                                                                ' '

— (а-м) <  cl + —(0)

при всех к G N. С другой стороны, выпуклая, непрерывная, коэрцитивная функция — ограничена снизу. Поэтому существует число С1 > 0 такое, что — ( ^Рк - ^Гк ) > -С1. Тогда по определению нормы в пространстве Е х R для любого к G N получаем ДЖ-Ь = ⁺ ^^-^ < ^{С + С}1 ^{+ cl +} —⁽⁰⁾ ■ НТО противоренпт (2). □ Лемма 3.5. Пусти в банаховом пространстве Е квазишар М параболичен и ограниченно равномерно выпукл. Пусти множество D С Е выпукло, замкнуто и гМ - (- D) = 0. Пусти множество А С Е замкнуто и А + R int М = Е, г де 0 <  г < R и дм (D, А) < R - г. Пусти даны последователиности {дк} С D и {«к} С А такие, что —м (дк-«к) ^ дм(D, А) при к ^ то. Тогда последовательности {дк } и {«к } ограничены.

Доказательство. Обозначим до = дм (D,А), Ео = 2(R - г - до) и Ек = —м(дк - «к ) - до-Поскольку Ео > 0 11 Ек ^ 0 nj>ii к ^ то. то без ограшіненшi общности считаем Ек < Ео для любого к G N. Так как А + R int М = Е. то существует вектор Ь G Е такой, что А П(-Rint М + Ь) = 0. а. 'значит, -«к G Е \ (R int М - Ь). Так как гМ - (-D) = 0. то существует вектор с G Е такой, что -D С гМ - с, а значит, -дк G гМ - с.

Поскольку —м (дк - «к ) = до + Ек < до + Ео. ТО дк - dk G ^Е \ (Rint М - Ь)^ - (до + Ео)М. а -«к G гМ к G N выполнены включения

-

-

«к G (до + Ео)М. Следовательно, с + (до + Ео)М. Тогда для любого

^-дк ^{G (гМ - с)} \ (^(R

-

^до ^{- Е}о)^{int М -} Ь^,

-

«к G ((г + до + Ео)М - с) \ (Rint М - Ь).

Учитывая, что R > г + до + Ео, из параболичности М получаем, что последовательности {дк} и {«к} ограничены.                                                               □

Лемма 3.6. Для любых мноэюеств А, В, С С Е выполнено неравенство

дм (А, В ) < sup inf —м (« - с) + дм (С, В). сес^аЕА

Доказательство. Из определения М-расстояния между множествами, свойств инфимума и субаддитивности функции Минковского получаем ем (А, В) = inf цм (а - b) < inf цм (а - со) + цм (со - b) < аЕА                  аЕА \                               / ъев                   ъев соЕС

< sup inf ( ц м (а - с) + ц м (со - b) ) = sup inf цм (а - с) + ем (С, В).

сес аЕА                                с£С аЕд соЕС

□

Теорема 3.1. (О чебышевском слое, [6]). Пусть в банаховом пространстве Е квазишар М параболичеп и ограниченно равномерно выпукл. Пусть множество А С Е замкнуто и слабо выпукло относительно квазишара КМ. Пусть задана точка х Е Е такая, что 0 <  ем (х, А) <  R. Тогда множество Рм (х, А) одноэлементно.

Теорема 3.2. (О ближайших точках, [6]). Пусть в банаховом пространстве Е квазишар М параболичеп и ограниченно равномерно выпукл. Пусть .мпоэіссство D С Е сально выпукло относительно квазишара -гМ, а множество А С Е замкнуто и слабо выпукло относительно квазишара КМ, г де 0 < г < R. Пустъ 0 <  ем (D, А) < R - г. Тогда min цм (d - а) достигается в единственной паре точек.

deD, аеА

Лемма 3.7. [6]. Пусть в банаховом пространстве Е заданы ограниченно равномерно выпуклый квазишар М и ограниченные последовательности {хк}, {ук} такие, что lim sup цм (хк) 6 Ц1, кш^

lim sup цм (ук ) 6 Ц2, кш^

liminf цм(хк + Ук ) >  Ц1 + Ц2, кш^

где ц1 > 0 и ц2 > 0. Тогда lim кш^

хк   Ук

— — — ці  №

Лемма 3.8. Пусть в банаховом пространстве Е квазишар М параболичеп и ограниченно равномерно выпукл. Пусть множество D С Е сильно выпукло относительно квазишара -гМ и гМ - (-D) = 0. Пусть множество А С Е является М-замкнутым, удовлетворяет условию (al), слабо выпукло относительно квазишара КМ и А + Rint М = Е, где 0 < г < R. Пусть inf аЕА dED

||а - d\\ >  0. (5)

Тогда ем(D, А) > 0.

Доказательство. Если ем(D, А) > ^-т-, то требуемое неравенство доказано. Пусть ем (D, А) < ^д--. По определению М-расстояния существует последовательность {dn} С D такая, что ем(dn,А) ^ ем(D, А) при п ^ то. Поскольку ем(D, А) < ^--. то без ограничения общности считаем, что ем(dn, А) < ^-- для любого п Е N. Из неравенства (5) и М-замкпутостп А следует, что ем(dn, А) > 0. Тогда по теореме 3.1 для любого п Е N найдется точка ап Е А такая, что цм(dn - ап) = ем(dn, А). Из леммы 3.5 следует ограниченность последовательности {а„}. Поэтому в силу того, что множество А удовлетворяет условию (al), найдется число С > 0 такое, что цм(dn - а„) > Hd”Ca”". Тогда цм(dn - ап) > Су- гДе е = inf \d - а|. В силу иеравеіютва. (о) имеем е > 0. Следовательно, ем(D, А) > 5? > 0. □ dED                                                                                      с аЕА

Лемма 3.9. Пусть в банаховом пространстве Е квазишар М параболичеп и ограниченно равномерно выпукл. Пусть множество D С Е сильно выпукло относительно квазишара -гМ и гМ - (-D) = 0. Пусть множество А С Е является М-замкнутым, удовлетворяет условию (al), слабо выпукло относительно квазишара RМ мА + R int М = Е, где 0 < г < R. Пусть ем (D,А) = 0. А [Д int D = 0 11 int D = 0. Тогда .мпоэіссство А Q D одноэлементно.

Доказательство. Без ограничения общности считаем, что 0 G int D. Поэтому существует е > 0 такое, что В_е(0) С int D. Рассмотрим множества Dk = (1 — 1 )D.

Так как тМ — (—D) = 0, то существует вектор w G Е такой, что —D С тМ — w. Следовательно, цм(—d) < цм(w) + т для любого d GD. Обозначим Со = цм(w) Тогда цм(—d) < Со + т    Vd GD.(6)

Из выпуклости D следует, что Dk + ^D = D. Тогда Dk + kBe(0) С int D. Получаем, что (Dk + 1Вс(0)) Q А = 0. Следовательно, для любых d G Dk, a G А имеем a — d / 1;Be(0). Поэтому inf Ila — dH > E V k G N.(7)

aGA,k dGDk

ІГз М-замкпутостіі А следует, что дм (d,A) > 0 Vd G Dk, Vk G N.(8)

Отсюда дм (d, a) > 0 для любых a GA, d G Dk, k G N. Из леммы 3.6 получаем, что дм(Dk, А) < sup inf цм(d' — d) + дм(D,A)=sup inf цм(d' — d).( 9)

dEDd'EDk                            dEDd'EDk

Для любого d G D выберем dk = (1 — 1 )d. Тогда, учитывая положительную однородность функции Минковского и неравенство (6), получаем, что цм(dk — d) = ІЦм(—d) < 1 (Со + т). Следовательно, для любого d G D выполнено неравенство inf цм(d' — d) < ^0+^. Отсюда 1- цм(d' — d) < то+ ^ 0 nj)ii k ^ то. Обозііачпм ді = дм(Dk, А).

СЛСЛУСТ. что sup inf dED^dEDk

Используя (9), получаем, что lim ді = 0.                                         (10)

k^^

Поэтому без ограничения общности считаем, что ді

С другой стороны, в силу неравенства (7) из леммы 3.8 следует, что дk = дм(Dk, А) > 0 для любого k G N. Поэтому по теореме 3.2 о ближайших топках для любого k G N существуют ak G А. dk G Dk такие, что цм(dk — ak) = дм(Dk, А) = gk- Тогда дk = дм(dk, А). Так как множество А слабо выпукло отпоснтелыю квазишара RM. то А Q (ak + ^dk-^ak R — R int М ) = 0 для лтобого k G N. Следовательно.

Ук

—a_n + ak +—^k---^kR / Rint М V n, k G N.                 (IT)

дk

Так как D сильно выпмкло отікюителыю квазишара —тМ. то Dk С dk — ^ak-dk т — тМ. Qk

Из определения Dk следует, что для любого n 6 k выполнено включение Dn С Dk. Следовательно, dn G Dn С Dk С dk — ak--— т — тМ V n < k.                (12 )

дk

При всех k, n G N обозначим xnk = —dn + dk--(ak — dk )>     Уп1 = dn — an +--(dk — ak )•       (18)

дk                                        дk

Тогда цм(ynk) < цм(dn — a„) + R—т—д^цм(dk — ak) = дп + R — т — дk V k > n. (14) дk

Из соотношений (11) - (13) следует, что

Цм (xnk + ynk) > R, Цм(xnk) < т V к > n.                  (15)

Из леммы 3.5 следует, что существует константа Сд > 0 такая, что ||dkII < Сд для любого к Е N. Так как qm(dk, А) = цм(dk — Ok) ^т0 Ok € Рм(dk, А). Из того, что множество А удовлетворяет условию (al), получаем, что существует константа С > 0 такая, что

I^k — dk\\ N.                             (16)

Тогда

IKk|| < 2Сд + тС, \ynk\\<С^ + С(R — т)< 2(R — т)С V к > n.

Применяя лемму 3.7 и используя неравенства (14), (15), получаем, что lim k,n^^

^xnk ^ynk т R — т

= 0,

то есть согласно (13) имеем

||^R(dk ^{— d}n) ^{+ т(о}п ^{— о}k) \

lim ----------тут----1--------- = 0

Ь >-^         т(R — т)

Из (10) и (16) следует, что lim ^k — dk|| = 0.

k^^

Тогда в силу (17) имеем \dk — d_n\ ^ 0 при к,п ^ то, то есть последовательность {dk} фундаментальна, а значит, сходится к некоторому do € Е. Из (18) следует, что Qk ^ do при к ^ то. Отсюда л из замкнутости множеств А и D следует, что do Е А О D. Докажем, что множество А О D не содержит других чтемептов. Предположим, что d0 Е А О D. Рассмотрим последовательность

, = ( do, к четно, k ( d0, к нечетно.

Так как в силу доказанного последовательность {dk} сходится, то do = d0

□

Лемма ЗЛО. Пусть пространство Е банахово, квазишар М параболичен и ограниченно равномерно выпукл; мномсество А С Е замкнуто и слабо выпукло с константой R > 0 м су и чествует точка xo ЕЕ такая, что qm (xo, А) > 0. Тогда

А + R int М = Е.

Доказательство. Из пункта (iii) леммы 3.1 следует, что функция qm(•, А) непрерывна на Е. Так как qm(xo, А) > 0 1i qm(о, А) = 0. г,те о Е А. то существует тонка x Е Е такая, что 0 < qm(x, А) < R. Следовательно, по теореме 3.1 существует о Е Рм(x, А). Полагая у = о + ^_м(^_-а) (x — о), в силу слабой выпуклости множества А получаем равенство qm(у, А) = R. Отсюда, согласно лемме 3.1(H) имеем у Е А + R int М. □

4.    Основные результаты

Теорема 4.1. Пусть М - квазишар в банаховом пространстве Е, мномсество С С Е сильно выпукло относительно квазишара тМ, мномсество А С Е слабо выпукло относительно квазишара RМ и 0 < т < R. Тогда многлсество А + С слабо выпукло относительно квазишара (R — т)М.

Доказательство. Пусть у Е Рм(ж, А + С). Тогда у = a + с, где а Е А, с Е С. При этом а Е Рм(ж — с, А), с Е Рм(ж — а, С). Используя то, что множество А слабо выпукло относительно квазишара RM, а множество С сильно выпукло относительно квазишара гМ, получаем включения

С

-

ж — у с С гМ — г         ,

Цм (ж — у)

А Q (а + R

ж — у Цм (ж — у)

— R int М^

= 0.

Отсюда следует, что

(А + С) Q (у + (R — г)

ж — у

Цм (ж — у)

— (R — г) int М^ = 0.

Теорема 4.2. Пустъ в банаховом пространстве Е квазишар М параболичен и ограниченно равномерно выпукл. Пустъ множество С С Е сильно выпукло относительно квазишара гМ, гМ — С = 0 и int С = 0. Пусть множество А С Е является, М-замкнутым, удовлетворяет условию (al) и слабо выпукло относительно квазишара НМ, г де 0 < г < R. Тогда множество А + С является М-замкнутым и слабо выпуклым относительно квазишара (R — г)М. Если квазишар М является параболичным в усиленном смысле, то множество А + С удоолстоор,яст условию (al).

Доказательство. В силу теоремы 4.1 множество А + С слабо выпукло относительно квазишара (R — г)М. Покажем, что множество А + С является М-замкпутым. Если А = Е. то утверждение теоремы тривиально. Пусть теперь А = Е. Тогда из М-замкнутости А следует, что для любой точки ж Е Е \ А выполнено дм (ж, А) > 0. Следовательно, по лемме 3.10 имеем А + Rint М = Е. Предположим, что существует точка ж Е Е \ (А + С) такая, что дм (ж, А + С) = 0. Определим D = ж — С. Тогда дм (D,А') = 0 и SQ А = 0. Это противоречит лемме 3.9. Следовательно, множество А + С является М-замкнутым.

Пусть теперь квазишар М является параболичным в усиленном смысле. Предположим, что множество А+С не удовлетворяет условию (al). Тогда существуют последовательность {жп} С Е\(А+С) II ограниченная п<юледовательпость {/п}. где fn Е Рм(жп, А+С) V п Е N такие, что

р    ||^жп — М

lim ---------— = +то.

• ^п '^хЦм (жп — fn)

Так как f_n Е А + С. то существуют п<юледовательпости {а_п} С А, {с_п} С С такие, что f_n = а_п+с_п V п Е N. Из ограниченности последовательности {f_n} следует, что существует константа до > 0 такая, что

• ап + сп Е доВі(0) V п Е N.

  
  

Поскольку {сп} С С п гМ — С = 0. то существ уст вектор с Е Е такой, что сп Е с + гМ для любого п Е N. Отсюда и из включения (20) получаем, что ап Е доВ1(0) — с — гМ V п Е N.

Так как {а_п} С А и А + R int М = Е. то существует вектор а Е Е такой, что а_п Е Е \ (а — R int М) для любого п Е N. Тогда согласно (21) имеем а_п Е (доВ1(0) — с — гМ) \ (а — R int М) для любого п Е N. Так как множество М пара-болично в усиленном смысле, то последовательность {а_п} ограничена.

Поскольку

Цм(жп—ап—сп) = дм(жп,А+С) = inf цм(жп—с—а) = inf цм(жп—сп—а) = дм(жп—сп, А), аЕА,сЕС                 аЕА то а. Е Рм(жп — сп,А). Из того, что множество А удовлетвориет условию (a1), получаем, что существует константа L > 0 такая, что

■    < l_v п Е N,

Им (ж„ - С_п - а_п)

что противоречит соотношению (19).

□

Замечание 4.1. В теореме 4.2 условие М-замкнутости мномсества А существенно.

Доказательство. Пусть функция т : R ^ R определена формулой т(ж) = ж2 — 1, а множество М = epi ттг. Пусть задана функция а : R ^ R такая, что а(ж) =

Ж ,

—ТО,

ж > 0

ж < 0.

Множество А = hypo а (см. (1)), а множество С = {(ж,у) Е R х R : ж Е [—1,1] , у > ж²}. Тогда множество А выпукло, а значит, согласно лемме 3.2 из работы [6], слабо выпукло относительно квазишара 2М. Множество А тривиально удовлетворяет условию (al). Множество С сильно выпукло отпосптелыю квазишара М . М — С = 0 i1 int С = 0. Однако (—1, 0) Е А + С, но (—1, 0) Е А + С . Поэтому множество А + С не замкнуто и тем более не является М-замкпутым. □

Следующая лемма показывает, что если в теореме 4.2 множества А, С, М являются надграфиками функций, заданных в конечномерном пространстве, то для замкнутости суммы А + С уеловне (a1) не является существенным. Является ли это условие существенным в случае, когда множества А, С, М являются надграфиками функций, заданных в бесконечномерном банаховом (или гильбертовом) пространстве - открытый вопрос.

Лемма 4.1. Пусти в пространстве Е = R¹квазишар М является надграфиком коэрцитивной функции т : R^l-1 ^ R. Пусти мномсество С С Е является надграфиком выпуклой полунепрерывной снизу функции 7 : R^l-1 ^ R и силино выпукло относителино квазишара гМ, гМ — С = 0 н int С = 0. Пусти множество А С Е является надграфиком полунепрерывной снизу функции а : R^l-1 ^ R, слабо выпукло относителино квазишара ПМ. г де 0 < г < R и А + R int М = Е. Тогда мноэіссство А + С замкнуто.

Доказательство. Предположим, что множество А + С не замкнуто. Тогда существует точка жо Е А + С такая, что жо Е А + С. Определим D = жо — С. Тогда дм(D, А) = 0 и

А QD = 0. (22)

По определению М-расстояния между множествами существуют последовательности {ак} С А и {dk} С D такие, что цм (dk — ак) ^ 9м (D, А) пр и к ^ то. Из леммы 3.5 следует, что эти последовательности ограничены. Тогда по теореме Больцано-Вейерштрасса из них можно выделить сходящиеся подпоследовательности. Поэтому без ограничения общности считаем, что существуют а = (ж,у),d = (ж‘,у‘) такие, что ж, ж’ Е R^1-1, у,у’ Е R и ак ^ а, d_k ^ d при к ^ то.

Так как А и С - 'замкнуты, то а Е А. d Е D и цм(d — а) = 0. Следовательно, d — а Е М — М. Так как М - надграфик коэрцитивной функции, то М — М = {(0, А)| 0 Е R^1-1, А > 0}. Отсюда, получаем, что ж = ж’ 11 у’ > у. Следовательно. d Е А. что противоречит (22). □

Работа, поддержана, РФФИ, проект 13-01-00295-а.