Isometries of real subspaces of self-adjoint operators in Banach symmetric ideals

Изометрии действительных подпространств самосопряженных операторов в банаховых симметричных идеалах

Пусть (CE,∥⋅∥CE) банахов симметричный идеал компактных операторов, действующих в комплексном сепарабельном бесконечномерном гильбертовом H. Пусть ChE={x∈CE:x=x∗} действительное банахово подпространство самосопряженных операторов в (CE,∥⋅∥CE). Доказывается, что в случае, когда (CE,∥⋅∥CE) \ есть сепарабельный или совершенный банахов симметричный идеал (CE≠C2) каждый косоэрмитовый оператор H:ChE→ChE имеет следующий вид H(x)=i(xa-ax) для некоторого a∗=a∈B(H) и для всех x∈ChE. Используя это описание косоэрмитовых операторов мы получаем следующий общий вид сюръективных линейных изометрий V:ChE→ChE: Пусть (CE,∥⋅∥CE) сепарабельный или совершенный банахов симметричный идеал с неравномерной нормой, т. е. ∥p∥CE>1 для всех конечномерных проекторов p∈CE с dimp(H)>1, пусть CE≠C2, и пусть V:ChE→ChE сюръективная линейная изометрия. Тогда существует такой унитарный или антиунитарный оператор u на H, что V(x)=uxu∗ или V(x)=-uxu∗ для всех x∈ChE.