Использование гомотопического метода для непрерывных конечномерных векторных полей в пространствах любой размерности

В предыдущих статьях, например в статье [3], был описан метод гомотопических преобразований (метод гомотопий). Суть этого подхода состоит в том, что если векторные поля гомотопны на сферах достаточно малых радиусов с центром в их общей изолированной особой точке, то для этих полей индекс Пуанкаре этой точки равен одному и тому же целому числу.

Одним из существенных преимуществ использования метода гомотопий является то, что гомотопическая теория излагается одинаково в пространствах любой размерности.

Далее мы сформулируем и докажем теорему, с помощью которой можно сводить вычисление индекса изолированной особой точки a векторного поля Ф к вычислению индекса этой точки для векторных полей более простого вида. Эта теорема получена на основе материала, данного в пособиях [1] и [2].

Общая теорема

Теорема. Пусть выполнены следующие условия.

• 1.    Для конечномерного непрерывного векторного поля Ф в некоторой окрестности точки а справедливо представление

  © В. Ю. Митин, 2011

• 2.    a – изолированная особая точка векторных полей Ф и Ф _n.

• 3.    На границе достаточно малых шаров с центром в точке a выполняется неравенство

Ф (z)= Ф n (z)+ W _n(z),rge| | W „ ( z )|| = o (|| z [).  (1)

||Ф_п ( z )|| >  Crⁿ                   (2)

для некоторого С > 0.

Тогда индексы точки a для векторных полей Ф и Ф n равны:

ind( 0 , Ф ) = ind( 0 , Ф_п ).

Доказательство. Поскольку a ^ изолированная особая точка векторных полей Ф и Ф n , то существует r 1 >0, при котором оба векторных поля Ф и Ф _n не имеют ненулевых особых точек во всех окрестностях B (a,r), где 0 < r < r 1 . Пусть неравенство (2) выполняется для всех шаров B ( a ,r), где 0 < r < r 2 , а в окрестности B (a,r 1 ) справедлива формула (1), из которой следует, что || Ф ( z ) - Ф_п (z )|| = o(rⁿ ). Поэтому при достаточно малых r (0 < r < r 4 ) выполняется неравенство

II Ф( z ) - Ф п ( z )|| <  C||z| n .

Пусть теперь R = min(r 1 ,r 2 ,r 3 ,r 4 ). Тогда на границе любого шара B ( a ,r) выполнены все условия 1–3, следовательно, справедлива оценка:

||Ф ( z) - Ф п ( z )|| < C||z| Г < CRⁿ <| Ф п ( z )||.

По теореме Руше (см. [1]) векторные поля Ф и Ф n на границе любого шара радиуса 0 < r <  R гомотопны, поэтому их вращения равны:

^(Ф , B ( a , R )) = у (Ф п , B ( a , R )).

Поскольку в рассматриваемых шарах нет особых точек векторных полей Ф и Фn,то ind(a,Ф)=

= у (Ф, B ( a , R )) = у ф , B ( a , R )) =ind( a , Ф n ). Теорема доказана.

Замечание 1. Условие 1 теоремы выполнено, если векторное поле Ф с изолированной особой точкой θ имеет производную Фреше порядка n . Тогда поле Ф представимо по формуле Тейлора:

( n )         n

Ф (z) = Ф (О) + Ф '(0) z +... +----(°)— + Wn (z), n!

где W( ( z )|| = o (| z|| n ), znQ - оператор n -ой степени, Ф ^{( n )} – обозначение производной Фреше порядка n.

Замечание 2. При выполнении условия 1 векторное поле ( n )         n

Фn(z) = Ф (0~) + Ф '(О) z +... +----(°— n!

является полиномиальным, что заметно упрощает вычисление индекса точки 0 .

Замечание 3. Для проверки условия 3 нужно установить порядок вырождения n полиномиального векторного поля Ф _n.

В регулярном случае n = 1 и индекс определяется линейной частью по известной формуле ind ( 0 , Ф ) = sign det( Ф '( 0 )) .

В критическом случае для этого можно использовать, например, алгебраический метод (см. [2], [3]).

Для плоских векторных полей можно доказать, опираясь на идеи функционального анализа, утверждение: если векторное поле Ф n с изолированной особой точкой θ имеет ненулевую вырожденную производную Фреше в точке θ и имеет место "неколлинеарный случай" (cм. [4]), то порядок вырождения n = 2.