Использование математических методов при решении химических задач

Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice

Образование — одна из приоритетных сфер, обуславливающих развитие Кыргызской Республики. В Национальной стратегии развития Кыргызской Республики на 2018-2040 годы особо отмечается, что «система образования направлена на раскрытие способностей каждого человека, воспитание всесторонней личности, предоставления ей знаний и умений, используемых на практике». В соответствии с этим каждому гражданину должна быть предоставлена возможность получить качественное образование .

В настоящее время особое внимание уделяется естественным наукам. Составной частью естественнонаучного образования является химическое образование, которое невозможно без обучения решению химических задач. Решение задач занимает в химическом образовании важное место. Через него закрепляются теоретические материалы на практике, развивается логическое мышление учащихся, осуществляется межпредметная связь [1, 2].

Актуальность исследования: учащиеся, приступая к изучению химии, будут иметь определенный запас знаний по математике, которые можно включить в процесс решения задач по химии. С помощью математики можно производить как простейшие расчёты по химическим формулам и уравнениям химических реакций, так и сложнейшие математические операции.

Цель исследования: рассмотреть различные по типу расчетные задачи и изучить математические методы при решении задач по химии.

Анализ научной литературы по теме исследования показывает, в настоящее время не существует единого определения понятия «задача». Имеются различные точки зрения на определение задачи. Психолог А. Н. Леонтьев считает, что задача — это цель, данная в определенных условиях [4], по определению Л. М. Фридмана «задача — это знаковая модель проблемной ситуации» [7], по С. И. Ожегову: «задача — это то, что требует исполнения, разрешения, либо упражнение, которое выполняется посредством умозаключения, вычисления» [6]. По мнению М. В. Зуевой, задачи — это задания, при выполнении которых учащиеся осуществляют продуктивную деятельность [5].

Г. И. Штремплер и А. И. Хохлова считают, что химическая учебная задача — это модель проблемной ситуации, решение которой требует от учащихся мыслительных и практических действий на основе знания законов, теорий и методов химии, направленная на закрепление, расширение знаний и развитие химического мышления [8].

Для нас существенным во всех толкованиях анализируемых понятий «задача» являются следующее утверждение: задача — эта ситуация, которая побуждает учащегося к формулированию проблем и их решению. С учетом вышесказанного, можно определить понятие химической задачи так: химическая задача — это учебная задача, требующая от учащегося умений выявлять сущность химических процессов и выражать ее в виде уравнений реакций или формул, одновременно учитывать происходящие физические процессы и описывать количественную часть задачи в виде математических действий.

Понятие «задача» неразрывно связано с понятием «решение задачи».

При решении химических задач реализуются следующие дидактические принципы:1) обеспечение самостоятельности и активности учащихся; 2) достижение прочности знаний и умений; 3)осуществление связи обучения с жизнью; 4)реализация политехнического обучения химии, профессиональной ориентации [3]

В методике обучения химии выделяют следующие способы решения расчетных задач: 1) соотношение масс веществ; 2) сравнение масс веществ; 3)использование величины «количество вещества» и ее единицы «моль»; 4)составление пропорции; 5) использование коэффициента пропорциональ-ности; 6) приведение к единице; 7) алгебраический способ ( решение задач путем составления и решения алгебраических уравнений и неравенств); 8) графический способ; 9) использование закона эквивалентов.

Решение химической задачи основано на применении математических знаний. Без знаний математики невозможно решить ни одну химическую задачу, обязательно требуются математические знания. В решении усложненных и олимпиадных задач используется алгебраические методы. Задачи по химии похожи на задачи по математике, и некоторые количественные задачи по химии, особенно на «смеси» удобнее решать через систему уравнений с двумя неизвестными. Из девяти способов решения химических задач, алгебраический способ используется при решении задач по химии, в которых недостаточно данных. В этом случае одно из неизвестных данных принимается за «x». Затем составляется алгебраическое уравнение с одним неизвестным, при решении которого находится искомая величина. Иногда, для решения задачи необходимо ввести несколько неизвестных. Тогда составляется система алгебраических уравнений, решение которой позволяет найти ответ химической задачи. Примером таких задач могут быть задачи на смешение растворов с заданной массовой долей растворенного вещества, вычисление массовых долей веществ в смесях (металлов и сплавов) и др.

Рассмотрим несколько химических задач решаемым математическим методом.

Задача 1. Смесь сульфата алюминия и сульфата натрия массой 9,8г растворили в воде, затем к полученному раствору добавили нитрат бария, в результате чего выпало 18,64г осадка. Определить массовые доли сульфатов в исходной смеси.

Дано: m(смеси)=9,68г; ^m (осадка) = 18,64г

Найти: m (Al2(SO4)3)‒?; m(Na2SO4) ‒?

Решение: 1) Составляем уравнений реакций:

AI₂ ( SO^ )₃ + 3 Ba ( NO₃ )₂ = 3 BaSO₄ ^+ 2 AI ( NO ₃)_{3 (1)}

Na2SO4 + Ba(NO3)2 = BaSO4 Ф +2NaNO

2) Обозначим через хг массу сульфата алюминия в смеси, а массу сульфата натрия — через (9,68 - х) г. Массу осадка, полученного при взаимодействии сульфата алюминия с раствором нитрата бария, обозначаем через у г, а массу осадка, полученного при взаимодействии сульфата натрия с раствором нитрата бария, обозначаем через (18,64 - у) г.

Над уравнениями реакций записываем введенные обозначения, под уравнениями реакций записываем данные, полученные по уравнениям реакций, и составляем систему уравнений с двумя неизвестными:

xг                             уг

AI₂ ( SO ₄ )₃ + 3 Ba ( NO₃ )₂ = 3 BaSO Ф +2 AI ( NO₃ )₃

342 г                            3 - 233 г

9,68 - хг                      ^18,64 ^- У^г

Na2SO4 + Ba (NO3 )2 = BaSO4 1+ 2 NaNO3

142г                        233г х _ у

342   699             [ 699 х = 342 у ( 1 )                     Г х = 0,49 у

’ 9,68 - х _ 18,64 - у ^ [ 142(18,64 - у ) = 233(9,68 - х ) ( 2 ) ^ [ 2646,8 - 142 у = 2255 - 233 х

.   142   =    233

Подставив значение х в уравнении 1 к уравнению 2, мы решаем систему уравнений, т.е.

233 х - 142 у = - 391,8

233(0,49 у ) - 142 у = - 391,8

у = 14(масса осадка в первой реакции),

Масса осадка во второй реакции: 18,64 ‒ у =18,64 ‒14= 4,64г BaSO4

Подставим найденное значение у в первое уравнение, получим:

х = 0,49у; х =0,49 - 14=6,86г. (Al2(SO4)3)

Масса сульфата натрия Na2SO4:

9,68 ‒ х = 9,68г – 6,86г = 2,82г Na2SO4

Итак, состав смеси: m(AI2(SO4)3) = 6,89г; m(Na2SO4) = 2,82г

Массовые доли сульфатов находим по формуле:

т(зат)

бо(вещество) = —;----- -■ 100%

т(смеси)

m[4Z2(S04)3]6,86г

(о^^ з ] =   /   . ^Л100% =     100% = 70,87%[^₂(50 4 ) з ]

т(смеси)9,68г

m(Na2S04)2,82г

u(Na₂S0₄) =     ²—4 • 100% = —— • 100% = 29,13%(Wa₂S0₄)

v 2  47 т(смеси)           9,68г                  v 247

Ответ: массовая доля сульфата алюминия равна 70,87%, массовая доля сульфата натрия равна 29,13%.

Задача 2. При прокаливании 80г безводного сульфата трёхвалентного элемента получается его оксид массой на 24г меньше молярной массы элемента. Определите какой это элемент?

Дано:

m(Me2(SO4)3 = 80г

m(Me₂O₃) = (m - 24)г

Найти: Ar(Me)-?

Решение:  Запишем уравнение реакции термического разложения неизвестного безводного сульфата трёхвалентного металла:

t0

Me₂(SO₄ )₃ ^ Me₂O₃ + 3SO₃ + 1/2O 2

Обозначим через хг массу металла, тогда 80г      t⁰ (х - 24)г

Me₂(SO₄)₃ ^ Me₂O₃ + 3SO₂ + XO₂ 2     43         2  3         2        2

(2х + 288)г    ^{(2х + 48)г}

(2х + 288)r[Me2(SO4)3] _ (2х + 48)r(Me2O3)

80r[Me2(SO4)3]    = (х-24)г(Ме2О3)

(2х + 288) (х - 24) = 80 - (2х + 48)

2х2 - 48х + 288х - 6912 - 160х - 3840 = 0

2х2 +80х- 10752 = 0

х2 +40х- 5376 = 0

Из курса алгебры мы знаем, что формула квадратного уравнения имеет следующий вид: ах2 + Ьх + с = 0, здесь а ^ 0

Дискриминант квадратного уравнения: D = Ь² - 4ас

Если D=0 и корень уравнения всего один, то формула для нахождения данного корня

-ь будет иметь следующий вид: х = —

Если D > 0 и уравнения будет два решения, формул для нахождения корней будет две:

-Ь-V х =---

¹ 2а

Пользуясь формулы из курса алгебры,

'       -ь+То

■; х =-------- 2    2а мы принимаем к курсу химии квадратное

уравнение:

х2 +40х- 5376 = 0

D = 402 - 4^ 1 • 5376

D = 1600 -

-

21504 = 23104 40 ± Т23104

^х 1 =

^Х1,2          2 • 1

-40 + Т23104  -40 + 152

^х 2 =

2 • 1

-40 - Т23104  -40

-

2 • 1

= 56;m.e.D > 0

---= -96;T.e.D < 0

Значит этот элемент — железо, A_r(Fe) = 56; M(Fe) = 56г/моль

Задача 3. Элементы А и В образуют соединения с серой состава АВ4S и А2В12S3 ; в первом из них массовая доля серы составляет 21,05%, а во втором — 24%. Определите, о каких элементах и соединениях идет речь в условии задачи.

Дано: ^(S) = 21,05%; w2(S) = 24%;

Найти: А-?; В-?; AB 4 S-?; A₂B₁₂S₃-?

Решение: Зная молярную массу серы M(S) =32г/моль, можно подсчитать молярные массы неизвестных соединений:

32 г/моль (S) ___________21,05%

М1 г/моль AB 4 S 100%

32г/моль • 100%

M₁(AВ₄S)г/моль =-----—----- = 152г/моль

2) 3 - 32г/моль (S)24%

М1 г/моль AB 4 S 100%

96г/моль • 100%

M i (A 4 B i₂ S a ) =--^——----- = 400г/моль

24%

Значение атомной массы элемента А обозначим через х , а атомной массы через у. и составляем систему уравнений с двумя неизвестными:

' х + 4 у + 32 = 152     Гх = 120 - 4 у

^1[2 х +12 у + 96 = 400   [2(120 - 4 у) +12 у + 96 = 400

240 -8у+ 12у + 96 = 0 у = 16 Значит Ar(O) = 16

В периодической таблице находим соответствующие элементы:

А ‒ железо, В ‒ кислород. Значит в данной задачи речь идет о сульфатах железа (II), (III).

Ответ: А — железо; В — кислород; AB 4 S — FeSO 4 ; A₂B₁₂S₃ — Fe₂(SO₄)₃

Очень часто затруднения вызывает решение задач на водородный показатель. Мы знаем, что вода слабый амфотерный электролит:

Н₂О & Н⁺ + ОН^-

Константа диссоциации воды: К_д = ^{[Н ]}[^ ] (1) или [Н⁺] • [ОН^-] = К_д - [Н₂О] (2) д       [W 2 O]                                     ^д

Константа диссоциации воды при 250С равна 1,8 - 10-16

Концентрация недиссоциированных молекул воды в моль/г равна:

1000г

[Н2О] = ——;----= 55,56моль

18г/моль

Подставляя эти значения в уравнение (2) получим:

[Н+] • [ОН-] = 1,8 • 10-16 • 55,56 = 1,0 • 10-14

[Н+] • [ОН-] = 10-14

Произведение концентраций ионов водорода и гидроксид ионов называется ионным произведением воды. Ионное произведение воды обозначается символом К н₂о . Тогда:

К Н 2 0 = [Н⁺] • [ОН^-] = 10^-14(3)

Поэтому, зная концентрацию одного из ионов, легко рассчитать концентрацию второго иона:

10 -14                         10 -14

^[н+] = m ^моль/л; ^[ОН-] = ^+г ^моль/л;

Нейтральная среда: [H+] = 10-7 моль/л

Кислая среда: [H+] > 10-7 моль/л

Шелочная среда: [H+] <10-7 моль/л

Так как [H+] меняется в очень широких пределах, то реакцию среды удобнее выражать в логарифмической шкале, вводя так называемый водородный показатель рН.

Водородный показателем называется десятичный логарифм концентрации ионов водорода , взятый с обратным знаком концентрации ионов водорода.

рН= ‒ lg[H+]. Например, если [H+]=10-3моль/л, то рН=3, среда раствора ‒ кислая; если [H+]=10-3моль/л, то рН=12, среда раствора ‒ щелочная.

Исходя из значения рН, реакция среды характеризуется следующим образом: нейтральная среда рН=7; кислая среда рН<7; щелочная среда рН >7

Задача 4. Вычислите концентрацию ионов [OH‒] в растворе, если концентрация ионов водорода равна 10-8М.

Дано: [H+]= 10-8М; Найти: [OH‒]-?

Решение: Ионное произведение воды:[Н + ] • [ОН^-] = 10^-14

[ОН^-] = ¹⁰   = ¹⁰ _я = 10^-6моль/л; Ответ: 10-6моль/л

[Н + ]     10^-8

Задача 5. Вычислите рН раствора, если концентрация ионов [OH‒] в нём равна 10-11М.

Дано: [OH‒]=10-11М; Найти:рН‒?

Решение: 1) Найдем концентрацию ионов [H+] в растворе:

[Н + ] • [ОН^-] = 10^-14

10-14   10-14

^[н+] = [ОН - ] = 10 -1 = ^{10 (моль/л)}

рН = ‒lg[H+]= ‒lg(10-3) =3 Ответ: 3

Итак, химические задачи можно решать несколькими способами, но этот способ решения задач по химии способствует развитию логического мышления, даёт возможность показать взаимосвязь математики и химии, формирует умение составлять и применять алгоритмы последовательности действий при решении, дисциплинирует и направляет деятельность на правильное использование физических величин и корректное проведение математических расчётов.