Использование случайного квантования при моделировании сетевых систем управления

В отличие от традиционных цифровых систем управления, где сигналы передаются по идеальным каналам, задержки в процессе передачи являются незначительными или же постоянными, потери данных отсутствуют, в сетевых системах управления возникают новые проблемы.

Одним из узких мест при математическом моделировании сетевых систем управления является моделирование канала передачи данных. При моделировании необходимо учесть следующие факторы: потеря пакета данных, случайное время передачи пакета по сетевому каналу, необходимость учета нахождения в канале одновременно нескольких пакетов данных при последовательной передаче.

Попытки учета одновременно всех этих факторов приводят к значительному повышению размерности математической модели и, как следствие, к значительным вычислительным трудностям. Такие модели, как правило, находят широкое применение при научных исследованиях [1]. Однако для инженерных расчетов требуются математические модели обладающие меньшей размерностью, но обладающие при этом достаточной точностью.

При моделировании сетевого канала передачи данных предлагается представлять его с помощью совокупности n последовательно соединенных дискретных элементов. Конструктивные особенности данных дискретных элементов представлены в [2-4]. Предполагается, что квантователи этих дискретных элементов функционируют независимо друг от друга. Таким образом, происходит последовательная передача сигнала от одного дискретного элемента к другому. В этом случае закон распределения времени передачи пакета данных по каналу будет соответствовать закону Эрланга n-го порядка.

Целью данной работы является определение вероятности потери пакета данных в сетевой системе управления.

В данной работе предлагается способ моделирования канала передачи данных, позволяющий варьировать такт квантования в сетевой системе управления и вероятность потери пакета данных в широких пределах независимо друг от друга.

С этой целью предлагается в математической модели сетевой системы управления осуществлять для канала передачи квантование с вероятностью Р_кв .

В работе рассмотрен случай, когда все квантователи подчиняются одному и тому же закону: квантование осуществляется случай ным образом с интенсивностью X и описывается экспоненциальным законом распределения:

f к ⁽ t ) = ^ e ^{- М} ,               (1)

где f к ( t ) - плотность распределения вероятности времени между моментами квантования квантователя; t - время.

Предполагается, что на вход канала поступает пакет данных с периодом T ₀ с вероятностью Р_кв .

В случае если пакет данных успешно прошел все n квантователей, то передача считается успешной и информация поступает на дальнейшую переработку (например, в контроллер). Так как квантователи функционируют независимо друг от друга, то может случиться так, что пакет данных, который был передан позже, «догонит» передаваемый ранее пакет и «сотрет» его содержимое. Таким образом, данные этого пакета будут потеряны.

Вероятность потери пакета данных в сетевой системе управления можно представить следующим образом:

P = q + Р кв- Р п ,                (2)

где Р - вероятность потери пакета данных в сетевой системе управления; р п - вероятность потери пакета данных в процессе передачи данных по каналу; q - вероятность потери пакета данных при квантовании:

q = ^{1 -} Р кв .                     ⁽³⁾

Для вероятности р п можно записать:

Р п = Р кв- L q¹Р д ⁽ j T 0 ) ,          (4)

j = 1

где Р д ( j T ₀ ) - вероятность потери пакета данных в процессе передачи при детерминированном квантовании с периодом ( j T ₀ ) .

Вероятность Р_д для периода квантования ( j T ₀ ) можно представить следующим образом:

,                   ,             n ^{- 1}      ,            ⁿ - k ^{- 1}

Р д ⁽ j T 0 ) = Р 0 ⁽ j T 0 ) + L Р к ⁽ j T 0 ) - L Рц + k , (5) к = 1                  i = 0

где

Р 0 ( j T 0 ) = e ^{- X -} j ^- T ⁰ ,

Р к ( jT 0 ) = ^ ^ jT ^e )- - e "  ^X- j ^{- T 0} , к !

C i ^{+ k}

2 i + к .

= 1 __I к ^

^{P i} . i + ^к = 2 ^{( 2} i + ^к ) "I 2 i + к J

После подстановки (5) в (4) имеем:

Р п = Р кв J L q j ¹ - Р 0 ( j T 0 ) + ,

I j ^{= 1}

rc . _ n-1                   n - k-1\

+ Xq-1 -XPk(jT0)- XPi,i+k I.(6)

j=1        k=1                 i=0

Второе слагаемое в скобках уравнения (6) можно преобразовать следующим образом:

rc . n - 1                  n - k - 1

Xqj-1 -XPk(jT0)- XРц+k = j=1         k=1

n-1 n - k-1

= X XPi,i+k -Xq-- Pk(jT0).(7)

k=1 i=0

Тогда уравнение (6) можно представить сл едующим образом:

P п = P кв J X q^{j 1} - P 0 ( j T 0 ) +

I j = 1

n -1 n - k-1            rc . _\

+ X XPi,i+k -Xqj - Pk(jT0) I.(8)

k=1 i=0          j=1

Рассмотрим бесконечные суммы, стоящие в скобках в выражении (8):

rc

S0 = Xqj -P0(JT0) = j=1

rcrc

= Xqj-1 - e-A-j-T0 = e-A-T0 - X(q-e-A-T0) . (9) j =1

Введем следующее обозначение:

u = q-e -A - T0.(10)

Тогда:

rcrc

X(q-e"A-T 0) - =X( u )J-1 = I — I,(11)

j =r                 J = 1 V 1 - u )

– сумма бесконечно убывающей прогрессии ( u < 1 ) .

Обозначим:

Q 1 ⁽ u ) = 4" ^{[ u - Q} 0 ^{( u )]} . du

Тогда выражение (14) с учетом (15) примет вид:

n - 2

S 1 = X P i , i + 1 i = 0

(a - T 0)   n (д q u Q1(u).

Аналогично имеем для произвольного члена второго слагаемого выражения (8):

n - m - 1

S m = X P i,i + m - i = 0

rc

X q^j - P m ⁽ j T 0 ) =

n - m - 1

= X P i , i +.

i = 0

Где:

m

j = 1

^{( a -} T 0 )' m ! - q

^Qm ⁽ u ) =

m

- ^- u ^{- Q}m ⁽ u ) .

— [ u - Q .( u ) ] . du^{V Q m} -^1V

Таким образом, выражение (7) представить следующим образом:

P n =

I PTu I

V ^q )

X

можно

n - 1 n - k - 1

Q 0 ( u ) + X X P i , i + k - k = 1 i = 0

( A - T0) о („) Q^{k (} u )

Рассмотрим некоторые частные случаи.

1. n = 1 .

^P = q ⁺⁽ p кв ^{) 2 -}

2. n = 2 .

_e ~^{A - T} 0

^{( 1} - q ^- e ~^{A - T 0} )

Q 0 (u )=T^.

1 - u

Тогда выражение (9) примет вид:

S0 =1 - u - Qo (u).(13)

q

Рассмотрим следующий член выражения (8):

S1 = X Pi,i+1 -X q" ' - P1 (jT 0) = i=0

n-2

X Рц+х -X qj-1 "A"j - T 0)-e-AjT 0 = i=0

= nX2 Pi,i+1 -(A- T 0)- e -A-T 0 x i =0

^P = q ^{+ (} Р кв ^{) 2 -}

X

1 . ^{( A} - t 0 ) ' . 2 - ( 1 - q - e - - ^{A T 0} )

3. n = 3 .

^P = q ^{+ (} Р кв ^{) 2 -}

- ^{A - T} 0

-----------V X q - e ~A - T 0)

X

5 -^{( A} - T 0 )

1 +--7-------------;----v +

8 - ( 1 - q - e T ⁰)

x X q - -j-e ^{- A} '^{( j - 1 > T} 0 ) = j = 1

+ ( ^A T 0)2i ( ¹ + q i e_ ^{A T} 0)

^{8 -} ( 1 - q - e "  ^{A - T 0} ) 2    .

4. n = 4 .

n - 2

= X Pi,i+1 - i=0

^{( a -} T 0 ) „ d

---- u —

rc

^P = q ⁺⁽ Р кв ^{) 2 -}

n - 2

= X P.M - i = 0

q

( A - T 0 )

q

du L j = 1

d

- u-- du

Введем обозначение:

1 u -

1 - u

X

_e ~^{A - T} 0

(■- q x e^ ^ T ⁰)

1 +     11 - ( A - T 0 )     +

16 - ( 1 - q - e" ^{A - T} 0 )

+ ^{3 - ( a -} T 0 ^{) 2 -( 1} + ^{q -} e ^{A - T 0} ) +

^{16 -} ( 1 - q - e "  ^{A - T 0} ) 2

+ ( XT о ) 3 • ( 1 + 4 • q • e- ^x ‘ T ⁰ + ( q • e" ^x 48 - ( 1 - q • e ^{— x} T0 )

^р = q ⁺⁽ Р кв У •

I1

—

^X T 0

q • e " ^{x т 0} )

Приведем численный пример.

Допустим, что реальный режим передачи данных в канале может быть аппроксимирован законом Эрланга 2-го порядка со следующими параметрами: n = 2 ; X = 300 1/с. Ве-

X

1 +

, X T с) "

2 ' ( 1 — q • e ~ ^x T 0 )

Введем обозначения:

z = X^T ₀; a = _e ^{x T} 0 ; x = 1 — a • q .

роятность потери пакета данных в реальном канале: P = 0,2. Пусть, исходя из режима функционирования сетевой системы управления, такт квантования составляет т ₀ = 0,01 с. Необходимо определить значение вероятности квантования в математической модели канала

Тогда уравнение (24) можно представить следующим образом:

( 1 — x ) ( x — 1 + a ) ² " ( 2 • x + z ) I                                                                                                   .

a 2 • a • x

Откуда:

( z + 2 • a ^ ( 2 — P ) — 2 ) ‘ _x ² +

передачи для адекватного описания режима передачи в реальном канале.

Вероятность потери пакета данных в модели канала передачи при детерминированном квантовании:

P min = e " ' ^{т 0} • 1 + ^^{X T} ) = 2,5 • e = 0,124.

Так как P)Pmin, то возможна корректи- ровка вероятности потери данных в канале передачи, путем имитации вероятностного квантования.

Произведем расчет этой вероятности.

Для n = 2 :