Исследование движения слоев жидкости

Введение. Воздействие солнечного излучения на водную поверхность часто приводит к образованию летней устойчивой двухслойной стратификации жидкости в океане. Различные виды поверхностного опреснения жидкости также приводят к разделению одной и той же жидкости на два слоя разной плотности. На границе вод разной плотности существует межфазное натяжение, что подтверждено наблюдениями [1]. В технологиях очистки и переработки ряда жидкостей используют двухслойные пакеты жидкости, изолированные от внешней среды твердым дном и крышкой. Была предложена модель для точного выделения эффектов внутренней волны с помощью приближения твердой крышки. Эти положения использованы для обоснования применяемой теоретической модели. Возникновение неустойчивости Кельвина – Гельмгольца слоев жидкости при их течении под углом друг к другу изучено в [2]. Случай дифракции поверхностной волны на круговой опорной колонне в однослойной жидкости в [3] рассмотрен без учета влияния диссипации энергии и поверхностного натяжения. Таким образом, из полученных результатов теория вытекает в виде частного случая [3].

Постановка задачи. Рассмотрим движение двух слоев идеальной несжимаемой тяжелой жидкости в отсутствии вихрей. Верхний слой жидкости имеет постоянные плотность р 1 и толщину h 1 , он сверху ограничен горизонтальной жесткой пластиной, называемой твердой крышкой. Нижний слой жидкости имеет постоянные плотность р 2 и толщину h ₂, он снизу ограничен жестким горизонтальным дном. Стратификация жидких слоев является устойчивой, что соответствует неравенству р 1 < р ₂. При этом более плотный слой жидкости находится внизу. Учитывается наличие действия малых рассевающих энергию массовых сил, которые пропорциональны скорости движения жидкости согласно теории, предложенной Рэлеем [4].

Считаем, что верхний и нижний слой имеют одинаковый коэффициент диссипации ц >  0 .

При наличии сил диссипации Рэлея соблюдается теорема Лагранжа о сохранении потенциальности движения жидкости [4]. Потенциальное движение слоев жидкости описывается с помощью двух потенциалов скорости: Ф 1 для значений 0 <  z <  h 1 , Ф ₂ при - h ₂ <  z <  0, где z - вертикальная координата. Начало декартовой системы координат 0 xyz выбрано на невозмущенной границе раздела жидкостей. В направлении оси x распространяется внутренняя гармоническая волна, имеющая некоторую круговую частоту колебаний ю и волновое число к ,

П о = exp[ - i ( kx -ro t )],                                        (1)

где t - время, ю >  0, i - мнимая единица, к = к 1 - ik ₂, к 1 >  0, к₂ >  0. Длина волны равна 2 п / к 1 .

Плоская волна, имеющая постоянный амплитудный множитель п0, затухает вдоль направления своего распространения, k2 – коэффициент затухания бегущей волны. На границе раздела жидкостей учитывается влияние межфазного натяжения с помощью коэффициента меж- фазного натяжения а. Внутри жидкости расположен жесткий неподвижный вертикальный круговой цилиндр, который занимает следующую осесимметричную область:

x ² + у ² <  a ²,   - h₂ <  z <  / 1 .

Круговой цилиндр представляет собой препятствие на пути внутренней волны (1). Вся боковая поверхность цилиндра рассеивает внутреннюю волну. Поле рассеянных волн неизвестно и может быть найдено из решения краевой задачи во внешней области по отношению к круговому цилиндру (2). Вводим потенциалы скоростей и форму границы раздела слоев Z ( x , у , t ):

Ф , =Ф 1 ( x , У , z)e i ^и t , Ф 2 =Ф 2 ( х , У , z)e i ™ t , Z = n ( x , у)e i ^и t •                      (3)

Давление в разных слоях жидкости определяем с помощью интегральных соотношений линейной теории:

P ^[( / ю + цИ е '" t + gz]  0 <  z <  h , ;      P 2    р |( / м-^ ) ф е “ t + gz ], - / <  z <  0,    (4)

в которых опущены произвольные постоянные и функции времени [3, 4].

Постановка краевой задачи для потенциалов скорости принимает вид:

ф d x 2 ^d у 2 + д z 2   0,    0 <  z <  h 1;	(5)
д 2 Ф 2   ф ^ +      +          0 ,         <'~. z <  0 ;	(6)
d x 2     д у 2     d z 2,2
5Ф1   дф2    . —1. = -А = / ЮЧ ( x , у ),    z = 0; d z   d z	(7)
, 2-х,       дф21      Г, 2 . . ,       дф, 1     д3ф2 р 2 ( ю - / цю ) ф 2 - д—— -p i ( ю - / цю ) ф 1 - д—— -а     = 0,        z = 0; _                 d z J    L                 d z J    d z	(8)
n ( x , у ) = П 0 e - ikx +П 2 ( x , у );	(9)
n z ( x , у ) ^ 0, r 2 = x 2 + у 2 >z ;	(10)
— = 0, r = a , 0 <  z <  h ; дф 2 = 0, r = a ,    - / <  z <  0; d r                            1     d r                      2	(11)
дф , _ n                дф 2 --- = 0, z = h ;   --- = 0, z = - h . d z              1      d z               2	(12)

Уравнения Лапласа (5), (6) получены из условий неразрывности для слоев несжимаемой жидкости. Кинематическое условие (7) указывает на непрерывность вертикальной скорости на границе раздела жидкостей. В (8) представлено динамическое условие на границе раздела слоев жидкостей, которое учитывает влияние эффекта межфазного натяжения наличием коэффициента а . Межфазное натяжение вызывает скачок нормального давления на границе раздела. Соотношение (9) отражает структуру рассматриваемого волнового движения слоев жидкости. Первое слагаемое имеет известное значение амплитуды п ₀ и представляет собой бегущую волну, которая называется падающей внутренней волной. Соответственно второе слагаемое называется рассеянной волной n ₂( x , У )• Диссипация энергии и кольцевая расходимость волн вызывают согласно условию (10) затухание волнового движения границы раздела для слоев жидкости на бесконечном расстоянии от начала координат. Граничные условия на боковой поверхности цилиндра в (11) указывают на отсутствие нормальной скорости жидких слоев на ней. Постоянная величина a равна радиусу вертикального цилиндра, рассеивающего на своей поверхности волну (1).

Граничные условия на горизонтальных поверхностях в (12) указывают на отсутствие нормальной скорости жидкости на них. Граничные условия (11) и (12) называются условиями непроницаемости для поверхностей, ограничивающих область течения идеальной жидкости.

Построение решения. Решение для потенциалов скорости краевой задачи (1) – (12) имеет вид функций:

Ф 1 ( x, У, z ) =

-

i re ch [ k ( z - h 1 ) ]

Ф а ( x, У, z ) =

к sh ( kh 1 ) i re ch [ k ( z + h ₂) ] к sh ( kh ₂ )

n ( x , y );

n ( x , У ),

которые удовлетворяют кинематическому условию (7), граничным условиям непроницаемости на горизонтальных плоскостях в виде дна и твердой крышки в (12). Функция n ( x,У), заданная соотношением (9), содержит неизвестное слагаемое в виде внутренней волны n ₂( x , у ), рассеянной на цилиндре. Рассеянная внутренняя волна n ₂( x , у ) удовлетворяет уравнению Гельмгольца

^d+f^+ к ² n₂ = о, d x ²    d у ²

а также двум граничным условиям:

dn 2 d r

—ⁿ o

d e - ^ikx

dr '

r = a;

ⁿ 2⁽ r , ^{9 )} ^ ⁰ , r ^ ^Ю .                                           ⁽¹⁷⁾

Декартовы координаты и полярные координаты в формулах (15) – (17) связаны известными соотношениями: x = r cos 9 , у = r sin 9 , r = 4x ² + У ² •

Волновое число, входящее в соотношения (1), (9), (13), (14), (16) и уравнение (15), удовлетворяет дисперсионному соотношению внутренней волны на границе раздела двух слоев жидкостей

(re2 -ireц)[cth(kh72) + ycth(kh1)] = gk[(1 -у) + pк2].(18)

Определяем параметры у , р , которые входят в дисперсионное уравнение (18),

Р R а

Y = р 2

Параметр у имеет смысл относительной плотности слоев жидкости. В случае

0 < у < 1(20)

движение двухслойной жидкости устойчиво по Кельвину – Гельмгольцу [2]. Действительно, принимая ц = 0, находим из (18), что каждому действительному значению волнового числа к соответствует два действительных значения частоты колебаний re при выполнении двойного неравенства (20). Полагая ц = 0, у = 0 в уравнении (18), выводим в виде частного случая дисперси- онное соотношение для поверхностных волн [3].

В рассматриваемой задаче частота колебаний принимает действительное значение, а волновое число – комплексное число, удовлетворяющее неравенствам, наложенным на его действительную и мнимую части в (1). Экспоненту, входящую в условие (16), следует представить в виде тригонометрического ряда согласно формуле 8.511 4 из [6]

от

e -к cos 9 = Zs т (-i) mJm (kr )cos(m9), m=0

где J_m ( z ) - функция Бесселя первого рода [6], s ₀ = 1, s 1 = 2, s ₂ = 2,....

Решение уравнения Гельмгольца (15) отыскиваем в виде разложения по функциям Бесселя третьего рода (функциям Ханкеля) Hm(2) (z) [6], которые удовлетворяют условию убывания на бесконечности (17) при комплексном значении волнового числа да

V r , 6 ) = £ ^Bn^Hn2 ( ^kr )cos( n 6 ), r >  a.

n = 0

Неизвестные коэффициенты Bn определяются из граничного условия на поверхности ци- линдра (16)

B n

—

sn ^ Jn (^ п,  V- ka, нпт(^)    0

где штрих означает первую производную по безразмерной переменной £ - ka , которая имеет смысл безразмерного волнового числа. Построенное решение уравнения Гельмгольца (15) удовлетворяет всем поставленным условиям, т. е. (16) и (17).

Подставляя (22) и (23) в (9), находим формулу для расчета формы поверхности для границы раздела слоев жидкости n(r, 6) в виде ряда в полярной системе координат да

П ( г , 6 ) -П о £ s n ( — i ) )

n - 0

J n ( kr ) — HJ^ H №)

cos( n 6 ), r >  a .

Формула (24) описывает суперпозицию падающей волны и рассеянной волны. Подставляя формулу (24) в соотношения (13) и (14), определяем формулы расчета потенциалов скоростей, преобразованные формулы (13) и (14) в каждое интегральное соотношение линейной теории (4), находим законы распределения давления в каждом из слоев жидкости.

Полагая, что r - a в (4), выводим законы распределения давления слоев жидкости на по- верхности вертикальной круговой колонны

P 1 (a, 6 , z ) -—P i

_э         ch Г k ( z — h ) !          . .

(® — ip®) L '     ^ n(a, 6)e'®t + gz ksh(kh1)

0 <  z <  h 1 ;

,       ch F k ( z + h ) !

P 2 ( a , 6 , z ) -p ₂

( м 2 — i p® ) ^L '      / n ( a , 6 ) e ' ® t — gz

— h ₂ <  z <  0.

k sh ( kh ₂ )

Давление состоит из динамической и гидростатической составляющих. Функция n(a, 6)e*®t в (25) определяет форму возвышения границы раздела непосредственно на самой по- верхности цилиндрической колонны

пГаА)- ^{2 i} п о      ( nc ^{cos( n 6 )}

^{л ( з} , ^{6 ) -—}ТТ^{1 s n ( —} ' ) H ^-

Формула амплитуды колебаний (26) выводится из (24) с помощью соотношения 8.477 1 из [6].

Сила F , действующая на цилиндрическую опору, находится путем вычисления поверхно- стного интеграла от законов распределения давления слоев жидкости на поверхности колонны (25) и имеет вид

2 n         ( 0

h ₁

Л

F -— a j cos 6 J P ₂( a , 6 , z)dz + j P 1 ( a , 6 , z))dz d 6 i -

V^{- h} 2

⁴⁽ P 2 ^— P 1 ) g П о      a [(1 — y ) + e k ²]     e i ® t i _{£ -} ka

" '⁽²⁾(O    k [cth( kh 2 ) + y cth( kh 1 )]      '

где i – единичный вектор, направленный вдоль оси х . Решение для случая однослойной жидкости, которое описывает только воздействие поверхностных волн на вертикальную колонну [3], вытекает из полученного решения в виде частного случая, соответствующего значениям плотности верхнего слоя p 1 - 0, коэффициента диссипации энергии р- 0, коэффициента межфазного натяжения а - 0 .

Заключение. 1. Давление слоев жидкости на поверхность колонны (25) испытывает скачок первого рода на границе раздела.

• 2.    Увеличение межфазного натяжения при фиксированном значении волнового числа увеличивает величину модуля силовой нагрузки (27).

• 3.    Уменьшение скачка плотности ρ ₂ - ρ ₁ при фиксированном значении волнового числа уменьшает величину модуля силовой нагрузки (27).