Исследование гармонических колебаний полого цилиндра с винтовой анизотропией на основе трехмерных уравнений теории упругости
Автор: Панфилов Иван Александрович, Устинов Юрий Анатольевич
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 2 т.13, 2011 года.
Бесплатный доступ
На основе трехмерной теории упругости исследуются особенности распространения гармонических волн в полом цилиндре с винтовой анизотропией. Основное внимание уделено изучению осесимметричных колебаний. Проводится сравнительный анализ с результатами, полученными ранее на основе прикладных теорий.
Винтовая анизотропия, гипотезы тимошенко - рейсснера, гипотезы кирхгофа - лява, квазикрутильные и квазипродольные колебания.
Короткий адрес: https://sciup.org/14318346
IDR: 14318346
Текст научной статьи Исследование гармонических колебаний полого цилиндра с винтовой анизотропией на основе трехмерных уравнений теории упругости
Основные соотношения линейной теории упругости для тел с винтовой анизотропией и результаты исследований задачи Сен-Венана для цилиндра с винтовой анизотропией опубликованы в [5–7]. В этих работах, в частности, показано, что при растяжении-сжатии цилиндра с винтовой анизотропией помимо продольных деформаций возникают сдвиговые и, наоборот, при кручении помимо сдвиговых — продольные.
В [8] для математического моделирования распространения пульсовых волн в артериальных сосудах на основе гипотез Кирхгофа — Лява получены уравнения колебаний оболочки с винтовой анизотропией. В [9] в рамках безмоментной теории исследованы некоторые особенности волновых процессов, порождаемых винтовой анизотропией. В [10, 11] анонсированы методы построения решений динамических краевых задач на основе прикладной теории типа Кирхгофа — Лява и результаты исследований некоторых конкретных задач, в [12] дается подробное описание этих результатов. Серия проведенных расчетов показала, что в осесимметричном случае винтовая анизотропия порождает связь между продольными и крутильными колебаниями, которая математически описывается амплитудными коэффициентами однородных волн.
Настоящая работа посвящена исследованию гармонических волн в полом цилиндре с винтовой анизотропией на основе трехмерных уравнений теории упругости. Также на основе полученных результатов анализируется область применения прикладной теории Кирхгофа — Лява (К.-Л.) и теории типа Тимошенко — Рейсснера (Т.-Р.).
-
© 2011 Панфилов И. А., Устинов Ю. А.
-
2. Основные соотношения теории упругости в винтовой системе координат и постановка задачи
Обозначим через r 1 , r 2 — внутренний и внешний радиусы цилиндра срединной поверхности оболочки, a — радиус срединной поверхности оболочки, h — ее толщину. С центром некоторого поперечного сечения цилиндра свяжем декартову систему координат Ox 1 x 2 x 3 , направив Ox 3 по оси цилиндра.
Введем винтовую систему координат r , ϕ, z, связанную c декартовой соотношениями x1 = r cos(y + tz), x2 = r sin(^ + Tz), X3 = z,
где r i 6 r 6 Г 2 ; T = tg(a)/a — геометрический параметр винтовой анизотропии.
Соотношения (1) при r = const, ^ = const являются параметрическими уравнениями винтовой линии. С каждой винтовой линией свяжем репер Френе с ортами главной нормали e 1 , главной нормали e 2 , касательной e 3 .
Переход от базиса Френе к базису винтовой системы координат er , eϕ , ez , первые два орта которой связаны с ортами декартовой системы Ox1x2x3 соотношениями er = i1 cos(^ + tz) + i2 sin(^ + tz), e^ = —i1 sin(y + tz) + i2 cos(^ + tz), осуществляется с помощью ортогональной матрицы
- 10 0
A =
0 — cos a sin a
0 sin a cos a где a = arctg(x), x = тr.
Будем считать материал цилиндра локально трансверсально изотропным, у которого направления главных осей тензора упругих свойств совпадают с направлениями ортов e 1 , e 2 , e 3 , где орт e 3 определяет направление оси упругой симметрии. В этом базисе соотношения обобщенного закона Гука имеют вид [13]:
° 11 = c 11 e 11 + c 12 e 22 + c 13 e 33 ,
O 22 = c 12 e 11 + c 11 e 22 + c 13 e 23 ,
O 33 = c 13 ( e 11 + e 12 ) + c 33 e 33 , 0 23 = c 44 e 23 , ^ 13 = c 44 e 13 , ^ 12 = c 66 e 12 •
Здесь e ij , σ ij — компоненты тензоров малых деформаций и напряжений соответственно, 2C 66 = C 11 — C 12 .
При переходе от базиса Френе к базису винтовой системы координат, как показано в [7, 8], для закона Гука получаем следующие выражения:
a 0 = C 0 e 0 , C 0 = (c 0j ), i,j = 1,..., 6, 0 ( o rr , ° фф , o zz ,° ^z ,o rz ,О Гф , ) , e ( e rr , е фф ,e zz , 2e ^z , 2 e rz , 2e r^ ) •
Здесь c11 = c11, c1c = c12 l2 + c13 lS2, c13 = c13l2 + c12l2, c14 = lcls(c13 — c12), c22 = c11 l4 + (2c13 + 4c44) lc ls + c33l4, c23 = c13l4 + (c11 + c33 — 4c44) lCl2 + c13l4, c24 = — c11lcls — c13 (lcl3 — lcls) + c33lcl3 — 2c44 (lcl3 — lcls), 0
c 33 = c 11 l s + 2 c 13 l c l s + c 33 l c + 4c 44 l c l s , c 34 = — l c l s ( c 11 l 2 — c 13 + 2 c 13 l 2 + 2 c 44 l C — 2 c 44 l 2 ) , 0 22 22 22 22
c 44 = c 11 l c l s — 2 c 13 l c l s + c 33 l c l s + c 44 ( 1 — 4 l c l s ) , 0 2 20 0 2 2
c55 = c44lc + c66ls , c56 = lcls(c44 — с66) c66 = c66lc + c44ls , lc = cos a, ls = sin a.
Остальные элементы матрицы C 0 равны нулю.
В базисе винтовой системы координат er , eϕ , ez компоненты тензора деформаций выражаются через координаты вектора смещений u = (Ur ,Uv,Uz )T следующими формулами:
e rr — dr u r , e mm — 2 e rm — d r u m + ( d m u r
(u r + d v uv)/r,
e zz — Du z ,
-
u ^ )/r, 2e rz
dr uz + Dur,(4)
2e z^ — d m u z /r + Du m *
Уравнения движения в данном случае имеют вид:
dr (r^rr) — ст^^ + d^Or^ + rDarz = —prd^Ur, dr (ror^) + OrV + dvovv + rDn.z = —prd^u^,(5)
d r (rCT rz ) + d ^ o ^z + rDCT zz = —prdtu z .
В формулах (5) ρ — плотность материала цилиндра;
d r = тг, д ф = ^-, d z = ^-, d t = ^D = d z — тд ^ .
∂r ∂ϕ ∂z∂t
Будем считать, что боковая поверхность цилиндра свободна от напряжений при r = re (в = 1, 2) : Qrr = CTrm = ^rz = 0*
Для исследования гармонических волновых процессов в цилиндре будем использовать различные операторные формы [15]. Для этого введем следующие векторы:
CT r — ( CT rr ,CT rm ,CT rz ) , CT m — ( CT rm ,CT mm ,CT zm ) , CT z — ( CT rz ,CT zm ,CT zz ) *
Используя соотношения (3), (4) и ограничиваясь осесимметричным случаем, представим σ r , σ ϕ , σ z в виде:
a r — d z A r u |
+ B r u, a ^ |
— d z A v u + B v u, |
a z — d z A z u + B z u. |
(7) |
|
Здесь |
|||||
0 C*14 |
c 0 13 |
c 11 d r + c i2 /r |
00 |
||
A r — c 56 0 |
0 , B r |
— 0 |
c 66 ( d r — 1 /r ) c 56 d r |
, |
|
c 55 0 |
0 |
0 |
c 0 56 ( d r — 1 /r ) c 55 d r |
||
c 56 0 |
0 |
0 |
c 66 ( d r — 1 /r ) c 56 d r |
||
A v — 0 c ^4 |
c 0 0 23 , B ϕ |
— c 12 d r + c' 22 /r |
00 |
, |
|
0 c 0 44 |
c 0 34 |
C 14 d r + d 24 /r |
00 |
||
c 0 56 0 |
0 |
0 |
c 56 ( d r — 1 /r ) c 56 d r |
||
A z — 0 c 0 44 |
c 0 34 , B z |
— c 0 14 d r + c' 24 /r |
00 |
. |
|
0 c 34 |
c 0 33 |
c 13 d r + c 23 /r |
00 |
В этой работе остановимся на осесимметричных колебаниях. Отыскивая решение в виде гармонической волны u — ei(kz-^t)a, ar — ei(kz-^t)br, ^ — , i(k- -t b^, a. — ei(kz-^t)bz, a — (ar ,ia^ ,iaz) , br — (ibrr ,br^,brz) , b^ — (br^, ib^^Vib^z) , bz — (brz ,ib^z ,ibzz) , на основании (5), (6) получаем двухпараметрическую спектральную задачу
L(k, w)a = — k 2 A 2 a + ikA 1 a + A o + rpw 2 Ia — 0 (8)
при r — r e : (ikA r + B r ) a — 0. (9)
Здесь
A 2 a — rA z a, A 1 a — d r (rA r a) + SA ^ a + rB z a, A o — d r (rB r a) + SB ^ a,
0 — 10 |
100 |
||
S— |
1 0 0 |
, I — |
010 |
000 |
001 |
-
2.1. Основные соотношения прикладной теории, основанной на гипотезах Кирхгофа — Лява. Известно [14], что классическая теория оболочек Кирхгофа — Лява (К.-Л.) основывается на двух основных гипотезах, которые в рассматриваемом случае формулируются следующим образом:
-
1) абсолютные значения напряжений a rr ,a rz ,a r^ ^ aw,a ^z , a zz , в силу чего в соотношениях закона Гука первыми тремя можно пренебречь;
-
2) прямые углы между нормалью к срединной поверхности оболочки до деформации остаются таковыми и после деформации.
В соответствии с этими гипотезами основные соотношения принимают следующий вид:
Ur — u0 (y,z), u^ — u^(^,z) + a6v, Uz — u0 (^,z) + a^z, 6V — —a-1(d^ur — u^), 6z — —Duz, —h/2 6 a 6 h/2, где ur0 , u0ϕ , uz0 — смещения точек срединной поверхности; θϕ , θz — углы поворота нормали. Соответственно, компоненты тензоров деформаций и кривизны имеют вид:
ew = e^ + a K ^^ , e zz — e^ + a K zz , e ^z — e ^ + a K ^z , 0 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0
e rz — er^ — 0, e 22 — a (u r + d ^ u ^ ), e zz — Du z , 2e z^ — Du ^ + a d ^ u z , (11)
K 22 — a ( d 2 U 2 d 2 u r ), K zz — D u r , 2 K z^ — a Du ^ 2 a Dd ^ u r .
В качестве основных характеристик напряженного состояния введем усилия и моменты
T i — hc j e j , M i — h 3 c ij e 1 /12 (i,j — 1, 2, 3).
Здесь и ниже — суммирование по повторяющемся индексам;
T 1 — Tw.
T2 — T, zz ,
T 3 — T ^z ,
M l — M .. , M 2 — M zz , M 3 — M ^z ,
00 00 00
el e^^, e2 ezz, e3 e^z, el — кфф, e2 — Kzz, e3 — k^ .
Используя вариационный принцип Гамильтона и считая независимыми вариациями δu r 0 , δu 0 ϕ , δu z 0 , получаем следующие уравнения движения:
DT 2 + а -1 д ^ Т з - hpd t u z — 0, a -1 d ^ T i + DT 3 + a -1 Q i - hpd t 2 u v — 0, a -1 d ^ Q i + DQ 2 - a -1 T i - hpd 2 u r — 0. Q i — DM 1 + a -1 d ^ M 3 , Q 2 — DM 3 + a -1 d ^ M 2 ,
здесь Q 1 , Q 2 — поперечные силы.
-
2.2. Основные соотношения прикладной теории, основанной на гипотезах Тимошенко — Рейсснера. Для повышения точности расчетов в прикладной теории Тимошенка — Рейснера (Т.-Р.) допускаются искажения прямых углов между нормалью и срединной поверхностью, в силу чего углы поворота нормали θ ϕ , θ z становятся новыми дополнительными неизвестными, а в выражениях обобщенного закона Гука (3) следует положить только CT rr — 0. При этом основные соотношения принимают вид:
U r — u 0 (^,z), u v — u ^ (^,z)+ a6 v , U z — U 0 (^,z) + a^ z , (13)
ew — e^ + aK^^, ezz — e0z + aKzz, e^z — e°z + aK^z, erz — erz + aKrz, er^ — er^ + aKr^, ew — a-1(ur + d^u°), ezz — Du0, 2e% — Du° + a-1d^u0, kvv — a-2(d^u° - d2u0), Kzz — -D2uz, (14)
2 K zV — a -1 u 2 - 2Dd v u 0 ,
2e rz — 9 z + Du r , 2 K rz — 0,
2e r2 — ^ 2 + a (d 2 U r U 2 ), 2K r2 — a 9 ф .
Основными характеристиками напряженного состояния по-прежнему остаются усилия и моменты, а соотношения обобщенного закона Гука принимают вид:
T i — hc ij e j , M i — h 3 c ij e i /12 (i — 1, 2, 3; j — 1, 2, 3,4, 5).
T 1 = Tw, T 2 = T zz , T 3 = T ^z , Q 1 = hC 5j e j , Q 2 = hc 4j e j ,
M l = Mw,
00 00
el eW1 e2 ezz, el = kw, e2 = Kzz,
M2 = Mzz, e3 e^z, e3 = K^z,
M 3 = M ^z , 00 00
e4 erz , e5 er^, e4 = Krz, e5 = Кгф.
На основании вариационного принципа Гамильтона, считая независимыми вариациями δu r 0 , δu 0 ϕ , δu z 0 , δθ z , δθ ϕ , получаем следующие динамические уравнения:
DT2 + a 1дфТз — hpo d^Uz = 0, a 1 d^Ti + DT3 + a 1 Qi — hpodt u^ = 0, a 1dmQi + DQ2 — a 1 Ti — hpod2ur = 0,
-
- h 3 (15)
-
3. Построение дисперсионных кривых
DM2 + a ld^M3 — Q2 — — podt9z = 0, h3
DM 3 + a d ( MM— — Q i — — p o d t 9 ^ = 0.
Для проведения исследований перейдем к безразмерным координатам £ = r/r 2 , Z = z/r 2 и введем параметры 7 = r 2 k — безразмерное волновое число, Q = Г 2 ш/с — безразмерная частота, c = (E 0 /p) 1 / 2 — параметр, имеющий размерность скорости. Все модули отнесем к E 0 .
Расчеты проводились для материала со следующими техническими константами (биологическая ткань стенки артериального сосуда [3]):
E 0 = 4.905 • 10 8 , E = 0.833 • E', G = E 0 /6, v 0 = 0.45, v = 0.54.
Замечание. Метод получения и особенности спектров волновых чисел для гипотез Кирхгофа — Лява и Тимошенко — Рейсснера подробно описан в [9, 12].
Как следует из общей теории твердых волноводов [15] корни дисперсионного уравнения расположены симметрично в комплексной плоскости y = а + ie. Расчеты показали, что для осесимметричного случая при низкочастотных колебаниях (Q ^ 1) для теории на основе гипотез Кирхгофа — Лява спектр волновых чисел состоит из двух пар вещественных волновых чисел y ± = ± Y 1 (Y 1 > 0), Y ± = ± Y 2 (7 2 > 0) и четырех комплексных
Y+ = 73 = аз + ie3 , 7+ = 74 = —73 , 7- = "Уз, 7- = —73, где а3 > 0, в3 > 0. Для теории Тимошенко — Рейсснера добавляется еще одна пара комплексных корней: 7+ = 75 = а4 + ie4, 7- = "/5.
Перейдем к описанию метода построения дисперсионных кривых на основе трехмерных уравнений теории упругости.
Спектральную задачу (8) преобразуем к безразмерному виду
L(7, ^)a = ( — 7 2 A 2 + i7Ai + A o + ^G 2 I)a = 0 при ^ = ^ a : (i7A r + B 'r )a = 0.
Здесь матрицы A j получаются путем деления элементов матриц A j на E', заменами r a = Г 2 ^ а , d r = ^д ^ (а = 1, 2), д^ — обыкновенная производная по £.
Дисперсионные кривые для трехмерного случая были получены на основе численного интегрирования спектральной задачи (16) «методом пристрелки». Для реализации метода эта задача была преобразована в краевую задачу для системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка следующего вида:
— = G il a + G 12 b, =— G 21 a + G 22 b, b ( € 1 ) = 0, b ( ^ 2 ) = 0,
dξ dξ где b = ^br. Выражения для матриц Gj здесь не приводятся ввиду очевидности способа их построения на основе вышеприведенных формул.


На рис. 1 и 2 приведены графики первых двух дисперсионных кривых для £ i = 0.9, ^ 2 = 1 (оболочка средней толщины) и ^ i =0.1, ^ 2 = 1 (толстая оболочка) соответственно; а = 45 ° .
Здесь кривые 1, 4 отвечают трехмерной теории, кривые 2, 5 — теории К.-Л., кривые 3, 6 — теории Т.-Р. Кривые 1-3 отвечают при x = 0 квазипродольным волнам, т. е. тем волнам, которые при x = 0 (когда винтовая анизотропия отсутствует), являются продольными. Кривые 4–6 отвечают квазикрутильными волнам, т. е. тем волнам, которые при x = 0 оказываются крутильными. На рис. 1 для данного диапазона частот первые три дисперсионные кривые сливаются.
Как и следовало ожидать, результаты, полученные на основе теории Т.-Р., более близки к трехмерной теории, чем результаты, полученные на основе теории К.-Л. Также видно, что увеличение толщины ведет к большему расхождению результатов. Эти графики позволяют получить некоторое представление об области применимости прикладной теории Кирхгофа — Лява и теории Тимошенко — Рейсснера. Так, например, прямолинейный участок рис. 1 первой дисперсионной кривой принадлежит области 0 6 y 6 Y * = 0.7, 0 6 Q 6 Q * = 0.9, второй дисперсионной кривой — 0 6 y 6 Y * = 0.9, 0 6 Q 6 Q 1 = 1.5. Из этих неравенств можно сделать вывод о том, что для цилиндра, с выбранными параметрами, прикладная теория К.-Л. и теория Т.-Р. будет давать удовлетворительные результаты, если круговая частота ш < C 1 Q * /а.
Поскольку множество собственных частот Q n (n = 1, 2,...) неограничено и принадлежит дисперсионным кривым, то данная прикладная теория может претендовать на достаточно точное определение только тех частот, значения которых принадлежат диапазонам 0 6 Q n 6 Q * , 0 6 Q n 6 Q * .
-
4. Критические частоты и высокочастотные колебания
Волновые процессы с круговой частотой Q > Q * условно будем называть высокочастотными.
Под «критическими частотами» в данном случае понимается множество СЗ ш i (l = 1, 2,...) самосопряженной спектральной задачи
L(0, ш)а = A o + грш 2 1а = 0 при r = r e : B r а = 0, (19)
которая является частным случаем задачи (8), если в последней положить к = 0.
Теории, основанные на гипотезах Кирхгофа — Лява и гипотезах Тимошенко — Рейсснера, позволяют получить только первую критическую частоту и первые три критических частоты соответственно.
В таблице 1 в столбцах приводятся значения первых трех критических частот при a = 45 ° для различных толщин (€ 2 = 1, € 1 — варьируется).
Таблица 1
трехмерная теория |
теория Т.-Р. |
теория К.-Л. |
|||
€ 1 = 0.9 € 2 |
€ 1 = 0.7 € 2 |
€ 1 = 0.9 € 2 |
€ 1 = 0.7 € 2 |
€ 1 = 0.9 € 2 |
€ 1 = 0.7 € 2 |
1.44 |
1.39 |
1.45 |
1.20 |
1.45 |
1.22 |
17.23 |
5.81 |
13.12 |
4.48 |
- |
- |
19.51 |
6.59 |
15.19 |
5.07 |
- |
- |
Для трехмерной теории критические частоты были полученны путем численного интегрирования уравнений (18). Для контроля точности результатов, полученных численным методом, поставленная задача (4)-(6) при к = 0, a = 0 (трансверсально-изотропный материал) была решена аналитически. Сравнительный анализ показал полное совпадение результатов, а также позволил идентифицировать типы колебаний, отвечающих каждой из приведенных частот. При изменении параметра α первая частота порождает ветвь квазипродольных колебаний, вторая — квазирадиальных, третья — квазикрутиль-ных.
Список литературы Исследование гармонических колебаний полого цилиндра с винтовой анизотропией на основе трехмерных уравнений теории упругости
- Кристенсен Р. М. Введение в механику композитов.-М.: Мир, 1982.-334 с.
- Победря Б. Е. Механика композиционных материалов.-М.: Изд-во МГУ, 1984.-335 с.
- Педли Т. Гидродинамика крупных кровеносных сосудов.-М.: Мир, 1983.-400 с.
- Пуриня Б. А., Касьянов В. А. Биомеханика крупных кровеносных сосудов.-Рига: Знание, 1980.-260 с.
- Устинов Ю. А. Решение задачи Сен-Венана для цилиндра с винтовой анизотропией//Прикладная мат-ка и механика.-2003.-Т. 67, вып. 1.-С. 89-98.
- Устинов Ю. А. Некоторые задачи для упругих цилиндрических тел с винтовой анизотропией//Успехи механики.-2003.-№ 4.-С. 37-62.
- Устинов Ю. А. Задачи Сен-Венана для псевдоцилиндров.-М.: Наука, 2003.-128 c.
- Устинов Ю. А. Модель винтового пульсового движения крови в артериальных сосудах//Докл. РАН.-2004.-Т. 398, № 3.-С. 344-348.
- Богаченко С. Е., Устинов Ю. А. Некоторые особенности волновых процессов в цилиндрической оболочке с винтовой анизотропией//Экологический вестн. науч. центров ЧЭС.-2006.-\№ 1.-С. 18-21.
- Панфилов И. А., Устинов Ю. А. Собственные частоты и формы цилиндрической оболочки с винтовой анизотропией//Тр. XI междунар. конф. "Современные проблемы механики сплошной среды".-Ростов-на-Дону: Изд-во ООО "ЦВВР", 2007.-T. 2.-С. 166-171.
- Панфилов И. А., Устинов Ю. А. Отражение однородных волн от торца полубесконечной цилиндрической оболочки с винтовой анизотропией//Тр. XII междунар. конф. "Современные проблемы механики сплошной среды".-Ростов-на-Дону: Изд-во ООО "ЦВВР", 2008.-T. 2.-С. 152-156.
- Панфилов И. А., Устинов Ю. А. Некоторые динамические задачи для цилиндрической оболочки с винтовой анизотропией//Изв. вузов. Северо-Кавк. регион. Естеств. науки. Спецвыпуск. Актуальные проблемы механики.-2009.-С. 97-105.
- Лехницкий С. Г. Теория упругости анизотропного тела.-М.: Наука, 1977.-415 с.
- Гольденвейзер А. Н. Теория упругих тонких оболочек.-М.: Наука, 1976.-512 с.
- Гетман И. П., Устинов Ю. А. Математическая теория нерегулярных твердых волноводов.-Ростов-на-Дону: Изд-во РГУ, 1993.-144 с.
- Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Общая теория.-М.: Мир, 1962.-96 с.
- Гетман И. П., Устинов Ю. А. О методах расчета канатов. Задача растяжения-кручения//Прикладная мат-ка и механика.-2008.-Т. 72, вып. 1.-С. 81-90.
- Гринченко В. Т., Мелешко В. В. Гармонические колебания и волны в упругих телах.-Киев: Наукова думка, 1981.-283 с.
- Мандельштам Л. И. Лекции по оптике, теории относительности и квантовой механике.-М.: Наука, 1972.-437 c.
- Ворович И. И., Бабешко В. А. Динамические смешанные задачи теории упругости для неклассических областей.-М.: Наука, 1973.-320 c.