Исследование и решение начальных задач для линейных интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра нейтрального типа

Ранее в работе [3] исследовался вопрос о возможности преобразования с помощью одной модификации функции гибкой структуры начальных и краевых задач для интегро-дифференциальных уравнений Фредгольма с запаздывающим аргументом к разрешающим интегральным уравнениям смешанного типа Вольтерра-Фредгольма с обыкновенным аргументом. В работе показано, что такое преобразование возможно для всех линейных интегро-дифференциальных уравнений Фредгольма запаздывающего типа и получены условия, накладываемые на некоторые коэффициенты внешнего и внутреннего дифференциальных операторов для уравнений нейтрального и опережающего типов.

В статье [4] аналогичные исследования проведены по начальной задаче для линейных интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра запаздывающего типа, где доказано, что задача Коши для всех линейных интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра запаздывающего типа с помощью функции гибкой структуры преобразуются к разрешающему интегральному уравнению типа Вольтерра с обыкновенным аргументом, решение которого существует и при том единственное при условии ограниченности ядер и свободной функции в замкнутом квадрате.

В данной работе для линейных интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра с переменными коэффициентами и с функциональными запаздываниями исследуется тот же вопрос о возможности преобразования начальных задач к разрешающим интегральным уравнениям Вольтерра с обыкновенным аргументом.

Рассмотрим два возможных вида уравнений нейтрального типа, приводящихся к разрешающему интегральному уравнению Вольтерра с обыкновенным аргументом.

а ) Пусть в уравнении старшие производные с отклонениями аргумента отсутствуют, а коэффициент при старшей производной y ^{( n )} ( x ) равен единице и существует ядро, не равное нулю под знаком интеграла при старшей производной 3 K _nj ( x, п ) * 0, j = 1, l, т.е. имеем уравнение нейтрального типа при f_{n 0} ( x ) = 1 следующего вида:

y(n)(x)+E Efy(x)y(1)(uj(x))+^JEKy(x,n)y(1)(uj(n))dn = f(x),

l

n - 1

xn

j = 0

i = 0

a ¹ = ⁰

где u ₀( x ) ^ x , u _y ( x ) <  x V y' = 1, l , функции fV ( x ) , u _y ( x ) и f ( x ) - непрерывны, K _iy ( x , n ) - регулярны в квадрате a <  x , n <  b .

ядра

Сформулируем начальные условия

y ^{( 1} ) ( u _y ( x )) = ф ₁ ( u _y ( x )), i = 0, n - 1, x e E _x ,

l при

где E _x 0 = U E x, E xo - множество точек, для которых соответствующие u _y ( x ) <  x ₀

x >  x 0 V y = 1, l , E ⁰ = [ a , x ] .

Предполагая, что решение задачи (1) - (2) существует и единственно, решение на отрезке x e [ x ₀, b ] будем искать, применив для преобразований одну из модификаций функции гибкой структуры [1], [2]

y ^{( 1} ) ( u y ( x )) =

= D ^{- 1}

n

E y ^{( 5 - 1)} ( x 0 )

5 = 1

d i A , ( U y (x ) - x o )

dx ⁱ

U j ( x )

+ j

^x 0

d ¹ A _n ⁽ u y ⁽ x ) ^- t )

d x ¹

' n

^ ( t ) dt + v_tUj ( x ) ^ ( u _y ( x )),

где i = 0, n , v _i = 0, V i = 0, n — 1,

^V n = 1,

D=D ( r_x,r ₂,..., r n ) - определитель Вандермонда,

составленный из неопределенных параметров r 1 , r ₂, , r _n . Определитель A _s ( x — t ), s = 1, n , получается из определителя D заменой s-ой строки строкой exp r 1 (x - 1 ),exp r ₂( x - 1 ) , ^, exp r _n ( x - 1 ) и ц (x ) - новая неизвестная функция.

Так как любую непрерывную n раз дифференцируемую функцию можно представить в виде функции с гибкой структурой [1], [2], то преобразования, выполненные с её помощью, приведут к разрешающему интегральному уравнению, эквивалентному первоначально поставленной задаче Коши. За счет оптимального выбора параметров функции гибкой структуры можно получать решения в замкнутой форме, а если это не удается, то можно ускорять процесс приближенного решения и влиять на объем вычислений.

В монографии [3] было показано, что параметры в определителе D могут быть и равны- ми, так как и в этом случае выражения D

! d ¹ A ( x - 1 )

---⁵—:--- имеют вполне определенные значе- d x¹

ния, вычисляемые по правилу Лопиталя.

' у ^,

Наименьший из корней уравнений u i ( x ) = x ₀ на отрезке x e [ x ₀, b ] обозначим через c если таковых нет, то принимаем c _y = b .

Учитывая начальные условия (2), подставим функции гибкой структуры ( 3₀ ) - ( 3 n )

в

уравнение (1), выделяя при этом известные и неизвестные выражения под знаком интеграла, полагая ф _п ( u _y ( x ) ) = ф_{п — 1} ( u _y ( x ) ) , после введения обозначений для известных выражений получим разрешающее интегральное уравнение типа Вольтерра с обыкновенным аргументом

[ u y ( x )

^ ( x ) + E J Q y ( x , t) ^ (tt ) dt = F ( x ) , ^y = ⁰ x 0

где

n

Q j (x , t ) = D ^- X f j (x )

i = 0

^д i A n ⁽ j x ) - t )

+ZKnj (x, u l n

д x

¹ - ( t Y

n

x

+ Z j K , (.x , n )

t

д i A n ( U j ( n ) - t )

dn i

dn +

F ( x ) = f ( x ) - XX D ^- X y ’ -"( x 0 ) f j ( x )

j' = 0 i = 0

5 = 1

d i ^A ’ ⁽ u j ^{( x} o ) ^{- x} 0 ) ₊ dx ⁱ

x

+ Z j K ij ( x , n )

c j

d i ^A ’ ⁽ u j ⁽ n ) ^- x 0 )

d n i

j dn + Zj К-j (x, nM (Uj (n))dn *.

Методом последовательных приближений для уравнения (1) доказано существование решения этого уравнения при условиях V x и V t   a <  x , t <  b , F ( x )| <  F ,

|Q (x, t)| < Q < Q, где Q = max Q , 1 J 1                                              j=0, i J а методом от противного и единственность решения.

Получены формулы для вычисления погрешности приближенного решения.

б) Пусть fj (x) = 0 Vj' = 0,l-1, fnl (x) = 1, Kn0 (x,n)^ 0, тогда имеем уравнение ней- трального типа следующего вида:

l n - 1                                         ^x n

y(n) (ui (x)) + X X fj (x)y(i) (uj (x)) + ZjXKij (x,n)y(i) (uj (n))dn j=0 _ i=0                                    x0 i=0

= f ( ^x ) .

Разобьем интегралы в уравнении (7) на сумму xcjx

jKij (x,n)y(i) (Uj (n)) dn = j Kij (x,n)y(i) (Uj (n)) dn + j Kj (x,n)^- (Uj (n)) dn.

a                                                 a                                               cj

Подставим в уравнение функцию гибкой структуры (30)- (3n), перенесем известные функции в правую часть равенства и, поделив его на u‘n (x), получим

^(ui (x)) +

u ‘ ⁿ ( x )

ln

uj(x)

XX j f j ( x ) D j = 0 i = 0 x ₀ _

- 1

д i A n ( U j ( x ) - 1 ) д x i

x

+z j K ij ( x , n ) D ^{- 1} t

д i A ’ ( U j ( n ) - 1 ) дn ⁱ

dn +

+ Z K j ( x , u j¹

‘n        ))1//(?)Л uj ujj ‘//J ^Чи   u ‘ n (x), где Kn0 (x,n)* 0, F(x) определяется формулой (6) и uj1 (x) - обратная функция для функции Uj (x). Введя новую переменную z = ul (x), x = ul1 (x), обозначения для извест ных выражений и положив vj (z) = uj (ul1 (z)), получим для задачи (7), (2) разрешающее интегральное уравнение Вольтерра с обыкновенным аргументом i vj(z)

^(z)+X j Hj(z,t)^(t)dt=ф(z).                        (8)

^j = ^{0 x} 0

Для функции Ф ( z ) и ядер H j ( z , t ) так же получены определенные формулы.

Таким образом, задача Коши с начальными условиями (2) для интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра с отклоняющимся аргументом нейтрального типа (1) и (7) с помощью функций гибкой структуры преобразуются в разрешающие интегральные уравнения типа Вольтерра (4) и (8), соответственно, с обыкновенным аргументом. Решение которых существует и при том единственное при выполнении следующих условий:

функции F ( x ) , Q j ( x , t ) , Ф ( z ) , H j ( z , t ) в разрешающих уравнениях (4) и (8) ограниченны в любом заданном квадрате.

Пример 1. Найти решение начальной задачи для уравнения нейтрального типа у ‘(x) - у (sin x) + Jy '(sinn) dn = 0,

'                                     ⁰

у ( x ) = e, у (sin x ) = e   , x ₀ = 0.

Решение . Так как x ₀ = 0, sin x ₀ = 0 , то начальное множество состоит из одной точки

E x 0 = [0] . Найдём c ₀ = 0 , с 1 = 0 , D = 1 : А 1 ( x - t ) = | e ^{r ( x -} t ) | = e^{r ( x -} t ) , ^M x -H = _re ^{( x -} t ) ,

A 1 (sin x - t ) = e ^{r (sin x -} t ) , ^{dA 1(sin} x ^- t ) = re ^{(sin x -} t ) ■ cos x .

d x

Получим разрешающее уравнение непосредственной подстановкой в уравнение функции гибкой структуры и её производных

д ( x ) + J re ^{r ( x -} t ) д ( t ) dt - J e ^{r (sin x -} t ) ^ ( t ) dt + J cos n^ ( sin n ) d n =

0                            00

= e ^{r sin x} _ re r - J re ^{n n} cos n d n - J d n J re ^{(sin n -} t ) cos n dt .

0                            00

Легко заметить, что оптимальное значение r = 0 и разрешающее уравнение будет sin xx

^(x) - J ^(t)dt + J cosn^(sinn)dn = 1, откуда ц(x) = 1. По формуле (3) найдем у (x) = D-1 [ у (0) A1 (x) + J A1( x -1 )^( t) dt ] = erx + J er(x- t) dt = 1 + x.

Пример 2. Решим задачу Коши для уравнения нейтрального типа

<

у ^{,( x} ) ^{+ e}У ^{( x} ) ^- J у ^,( n ^- i) d n

= e ^x + e ,

у ( x ) = x + 1, у ( x - 1) = x , x ₀ = 0.

Решение . Найдём c ₀ и c 1 : x ₀ = 0 , то c ₀ = 0 , x - 1 = 0 , то c 1 = 1 , начальное множество

E x . = [ - 1.0 ] .

Выпишем данные задачи f10(x) = 1, f )0(x) = e, X = -1, K11(x,n) = 1, f (x) = ex + e +1, x0 = 0, у(0) = 1 и определители функции гибкой структуры D(r) = 1, A1(x -1) = er(x t),

A1(x-1 -1) = er(x-1-t) и найдем их производные .^'(x—t) = rer(x-t), J^l(x—1—t) = rer(x-1-t). dxd

По формуле (6) найдём F ( x )

F ( x ) = - e^^x

-

г w \ г \ dAi (x) x dA, (n -1) , f ю (x)A1 (x) + f 0 (x) —1--I —1----dn - I dn dx     •'     dnо

= - e

-

x rx , rx f    r (n-1) 7--    1

ee + re - I re ^{( l} ) d n - 1 1

- x 1+ rx nt . „r ( x - 1)

x _- e + rx _- re rx ₊ e r ( x ) .

При r = -1 имеем F(x) = 0 и, следовательно, ^(x) = 0. По формуле (3) найдём реше- ние y (x) = y (0W x) = e - x.

Нетрудно проверить, что полученное решение удовлетворяет первоначально поставленной задаче.