Исследование обобщенного неравенства Харди через системы нелинейных дифференциальных уравнений в весовом пространстве Лебега со смешанной нормой
Автор: Бандалиев Ровшан Алифага Оглы
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 4 т.16, 2014 года.
Бесплатный доступ
Основной целью работы является нахождение критерия для двумерного оператора Харди через системы нелинейных дифференциальных уравнений в весовом пространстве Лебега со смешанной нормой. В частности, доказано, что весовые функции являющиеся коэффициентами системы нелинейных дифференциальных уравнений входят в оценку двумерного оператора Харди в этом пространстве.
Обобщенное неравенство харди, нелинейные дифференциальные уравнения, пространство лебега со смешанной нормой, абсолютно непрерывные функции двух переменных
Короткий адрес: https://sciup.org/14318474
IDR: 14318474
Текст научной статьи Исследование обобщенного неравенства Харди через системы нелинейных дифференциальных уравнений в весовом пространстве Лебега со смешанной нормой
В современной теории уравнений математической физики широко применяются функциональные методы, берущие начало из классических работ Д. Гильберта. При исследовании эллиптических уравнений важную роль играют теоремы вложения, изученные различными математиками [1]. Далее при исследовании теоремы вложения в произвольных открытых множествах появляется многомерный оператор Харди. А это в свою очередь требует оценить оператор в различных весовых функциональных пространствах. Среди этих пространств важное место занимает весовое пространство Лебега. Оценка, многомерного оператора. Харди в весовых пространствах Лебега, берет начало с работ [2] и [3]. С другой стороны, многомерный оператор Харди имеет приложения в спектральной теории операторов, в теории дифференциальных уравнений с частными производными, в теории интегральных уравнений, в теории функциональных пространств и др. (см. [4, 5, 10]). Поэтому получение оценки для многомерного оператора. Харди в пространстве Лебега, является актуальной задачей. В одномерном случае отметим известную монографию [11].
В работе доказывается связь системы нелинейных дифференциальных уравнений с двумерным оператором Харди в весовом пространстве Лебега, со смешанной нормой. Другими словами, доказывается, что весовые функции, участвующие в определении весового пространства. Лебега, со смешанной нормой, связывают эту систему с двумерным оператором Харди в этом пространстве.
Теперь перейдем к изложению некоторых обозначений и вспомогательных фактов. Пусть 1 < P i ,P 2 < то 11 pi(t') — весовые функции. определенные на. (0, то), т. с. изме римые по Лебегу, почти всюду положительные и конечные функции на (0, то), i = 1, 2.
Предположим, что pi = p^-y и qi = qq—i , где i = 1, 2. Всюду в дальнейшем будем считать, что рассмотренные функции являются измеримыми по Лебегу. Пусть f : (0, то)2 Н- R произвольная измеримая функция, где (0, то)2 = (0, то) х (0, то). Определим весовое пространство Лебега со смешанной нормой. Это пространство обозначается через L(P1,P2,P1,P2) [(0, то)2] и состоит из функций, для которых конечна норма [6]
^ ^p2
Р1Р2
Ilf Hl^ ,p2 _р1,р2)[(0,^)2] = I / I If (x1,x2)|P1 Pi (xi) dxil P2(x2) dx2 I .
0^0 ''
Через C i(0, то) обозначается пространство непрерывно дифференцируемых функций на (0, то). Множество всех абсолютно непрерывных функций на каждом компакте интервала (0, то) обозначавтся через AC loc(0, то).
2. Формулировка основного результата
Пусть vi(t). wi(t) — весовые функции. определенные на. (0, то), vi Е C 1(0, то) 1i Ai > 0 — некоторые заданные числа, i = 1, 2. Рассмотрим систему обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений
Ai d ([vi(t)]p1 [У1 (t)]p1) + ^i(t)[yi(t)]p1 =0, A2 ^ ( [V2(t)] q2 [У2 (t)] p2 ) + ^2(t)[y2 (t)] p2 =0,
где yi(t) > 0, yi(t) > 0 (t > 0), yi(t) Е ACloc(0, то), i = 1, 2. (2)
Под решением задачи (1)—(2), будем понимать пару функций (yi (t), У2 (t)), которая почти всюду на (0, то) удовлетворяет системе (1) и условию (2).
Основной теоремой работы является
Теорема 1. Пусть 1 < pi 6 qi < то, vi(t), wi(t) — весовые функции определенные на (0, то) 11 vi Е Ci (0, то), где i = 1, 2. Тогда для разрешимости задачи (1)—(2). необходимо и достаточно, существование постоянной Co > 0 такой, что выполняется неравенство
HuHL(q1 ,q2,"1,"2) '"0-Х ^ 6 C02
d2u dxidx2
,
L(P1 ,P2,vi ,v2) [(0’^)2]
где u : (0, то)2 H- R — произвольная абсолютно непрерывная функция двух переменных, удовлетворяющая условию
u(xi, 0) = lim u(xi ,t2) = 0, t2^+0
Тогда, имеет место неравенство llUkL(qi ,q2 ,Ш1,Ш2)[(0,^)2 ] 6 ^l1 ^'22
d 2 u dxidx2
L ( p i ,P 2 ,v i ,V 2) [(G ,^ )2]
где u : (0, to) 2 H- R произвольная абсолютно непрерывная функция двух переменных, которая удовлетворяет условию (4).
C ных имеет место представление (см. [8, с. 246])
x 1 x 2 x 1 x 2
Г du(ai, 0) Г du(0,a2) Г Г d2u(al,a2)
u(xi,x2) = u(0, 0) + — ---- dai + — ---- da2 + —д—д---daida2. (6)
dai J da2 J J da^da2
Очевидно, что из условий (4) следует u(0, 0) = lim u(ti,t2) = 0. Поэтому из равен-ti^+G, t2 > -G ства (6) в силу (4) по.тмчасм u(xi,x2) = Д R ^дааЮ2) daida2. Отметим, что последнее 0 «2
представление определяет двумерный оператор Харди [/]. Предположим, что функция y(x1,x2) = (y1(x1),y2(x2)) является решением задачи (1)-(2). Тогда в силу неравенства Гёльдера, имеем x1 x2
|u(xi,X2)|qi Ш1
(^АП
G
G
д2и dt1dt2
q 1
dt1dt2 ш1
x 1 x 2
(x1) 6 (Л
GG
д2и dt1dt2
q 1
Ш1(Х1)
x 1 x 2
=
GG
x 1 x 2 /(/
G
д 2 и dt1dt2
д 2и dt1dt2
1 - 1
[y0(t1)]Pi [y0(t1)] Pi
q 1
dt1dt2 I w1(x1)
- 10 10 q1
[y 0 (t1)] pi dt2 ) [y1 (t1)]pi dt1 Ш1(х1 )
x 1 q 1 x 1 x 2
6 0 у1№) dt1 )pi CKte.
G G G
- 1 0 p 1 p q 1 1
[У1 (t1)] Pi dt2 dt1 Ш1(Х1 )
6 Ш1(Х1) (У1(Х1))
x 1 x 2
q 1 0
p 1
GG
д2и dt1dt2
x 1 x 2
d q 1 q 1
= -А1 dX1 ([v1(x1)] pi [y0(x1)] Pi Д / GG
d2u dt1dt2
x 1 p 1 x 2
q 1 q1 q
= - A1 [V1(X1)] Pi [У1 (X1)]Pi / dx1
GG
- 1 0 p 1
[y0(t1)] Pi dt2 )

- 1 0 p 1 p q 1 1
[y1 (t1)] p i dt2 dt1
д 2 u dt1 dt2
[У1 (t1)]
Pi dt2
p 1

q 1 p 1
Интегрируя обе части неравенства (7) по переменной х1 и применяя обобщенное нера- венство Минковского, имеем
∞ p 1
q 1
|u(xi, x2)|q 1 wi(xi ) dxi

λ1 d dx1
p 1 x 2
∂2u
∂t1 ∂t2
q1
- 10 p1 p1
[yi (ti)] p1 dt2j dti Idxi
∞∞
0 t 1
∞ x 2
-Л/ 00
-
λ1 d dx1
∂2u
∂t1 ∂t2
∞ x 2
∂2u
∂t1 ∂t2
∞ x 2
= А*/(/
x 2
∞ p1 λ1 d dx1
[yi (ti)]
∂2u
∂t1∂t2
-
t 1
p10 1 dt2
∂2u
∂t1 ∂t2
p 1
- 1 0 q 1 q 1
[yi(ti)] p1 dt2j dxi I dti
p 1
q1 q10 q1
[vi(xi)] p 1 [yi (xi)] p 1 dxi dti
p 1 q 1 q 1 0
Ai[vi (ti)] ~ [yi(ti)] p 1
p 1
q 1
dt1
p 1 - p 1 0 p 1
dt2 I [yi(ti)] p 1 vi(ti)[y,i(ti)] p1 dti
∞ x 2
- >"/(/
Таким образом, получили неравенство
∞ 1 q 1
|u(xi, x2)|q1 wi(xi) dxi I
∂2u
∂t1 ∂t2
p 1
v1 (ti) dti.
∞ x 2
λ1q11
∂2u
∂t1 ∂t2
dt2)p1 vi(ti) dti ) p1
.
Снова, применяя обобщенное неравенство Минковского, получаем
∞ x 2

∂2u
∂t1 ∂t2
Таким образом,
x∞ p1 p11 2
vi (ti) dti 6
∂2u
∂t1 ∂t2
p 1
1 p 1
vi (ti) dti dt2.
∞ 1
q 1
|u(xi, x2)|q1 ш 1( х 1) dxi I
x 2 ∞
6 λ1q1

∂2u
∂t1∂t2
p 1
1 p 1
vi (ti) dti dt2 .
Далее, из последнего неравенства получим
∞ q 2
q 1
|u(xi, x2)|q1 ш 1( х 1) dxi
x2 ∞ q2
Ш2(Х2) 6 A q 1 Ш2(Х2)
∂2u
∂t1 ∂t2
Р 1
vi (ti ) dti
1 p 1
q 2
dt2
Теперь оценим выражение w2(x2)( J^2 Jj^ I dti8t2 I v1(t1) dt^ p1 dt2^ • Повторяя про цесс доказательства неравенства (7), имеем
x 2
/[ — A2
x 2 ∞
о
о
∂2u
∂t1 ∂t2
p 2
d q 2 q 2 q 2
( [v2(x2)] p2 [У1 (xi)] p2 ) ( dx2
p 1
v1 (t1 ) dt1dt2
∞
О
∂2u
∂t1∂t2
Р1 .......-4, \Р2,
V1(t1 ) [У2(t2)] p 2 dti dt2
Поэтому
∞ q
2q q1 q2
| u(xi, X2) | q1 ^1(xi) dxi ) W2(x2) 6 A q 1
x 2

— A2
d dx2
q 2 q 2 0
[V2(X2)] p 2 [У1 (xi)] p 2
p 2 q 2
∞
X

∂2u
∂t1 ∂t2
p 1 - 1 0
vi(ti)[y2(t2)] p 2 dti
p 2
p 1

q 2 p 2
x2
неравенство Минковского, получим неравенство (5). B Положим
0 t qi
Mi = p i inf sup-------M---------- [ ^i(s)(gi(s)) pi + ds, qi t>0 gi(t) — J(v i (s))1-p i ds 0
где инфимум берется по всем измеримым функциям gi таким, что для всех t > 0 gi(t) > J(vi(s))1-pi ds, i = 1, 2.
„ 0 . _
Следующая лемма устанавливает связь задачи (1)-(2) с числами Mi (i = 1, 2).
Лемма 1. Пусть Ai > 0 — числа, заданные в теореме 1, и Mi — величины, определенные равенством (8), i = 1, 2. Предположим, что vi и л; весовые функции, определенные па (0, то ). II дл!I всех t € (0, то ) существует производная vi(t). Тогда (ледуюпше утверждения эквивалентны:
-
(а) если задача (1)—(2) имеет решение с локально абсолютно непрерывным производным первого порядка, то Ai > Mi;
-
(b) ее. тп Mi < + то , то за дача. (1)—(2) имеет решенае для каждого Ai > Mi, i = 1, 2.
C Докажем пункт (а). Пусть y(t) = (y1(t),y2(t)) является решением задачи (1)-(2). Возьмем Wj = yi v1 pi . Тогда (рлчпспия w ( t ) = ( wi ( t), w2 ( t )) является положительным решением енет^ш
< wi(t) = 51Щ ^1(t) (W1(t)) p 1 +1 + [v1(t)]1 p 1, .w2(t) = qfc ^2(t) (w2(t)) p 2 +1 + [v2(t)]1-p2.
Из (9) вытекает, что t
w i
(t) >/
w i 0 (s) ds
t q
= -pi- [ Wi(s)(wi (s)) pi + ds + q i λ i
t [v i (s)]1-p i ds, 0
i = 1,2.
Из (10) получим wi ( t ) > j [ v i( s )]1 pi ds и
Xi > pi qi
t
t
Wi (t) - j(v i (s))1 pi ds 0
j w i (s)(w i (s))
pi +1 ds.
Из (11) ii (8) вытекает, что X i > Mi ii доказателг>ство пункта ( a ) завершено.
Теперь докажем пункт (b). Фиксируем числа X i > Mi, i = 1,2. По определению величии Mi еушеетвутот лебеговы измеримые функции gi ( x i) такие, что
t tq gi(t) > /‘(vi(s))1-pi ds + piv [ ^i(s)(wi(s)) pi+ ds, i = 1, 2.
q i λ i
Определим последовательность функций wn,i(t) ii = 1, 2) следующим образом:
t
wo ,i (t) = g i (t),
t
W n +i ,i (t) = / (v i (s))1 pi ds + -p i- /‘^ i (s)(w n,i (s)) pi + ds, n £ N . q i λ i
Из (12) вытекает, что wo,i(t) > wi,i(t). Положим w n
1, i(t) > wni(t). Докажем, что
после-
довательности {wn,i(t)} и {wn,2(x)} являются убывающими. Имеем
t
wn,i(t) - wn+1,i(t) = -pi- Wi(s) (w, qi λi
'n- 1 ,i (s)) p i +1
^^^^^^^^r
(w n,i (s)) pi +
ds > 0.
Так как wn,i(t) > 0, то последовательности (13) сходятся. Обозначим их пределы че рез: w i (t). По теореме Леви о монотонной сходимости отсюда следует, что w i являются неотрицательными решениями уравнений
t
t
w i (t) = /‘(v i (s))1 pi ds + p-д- /"w i (s)(w i (s)) pi + ds, i = 1, 2. q i λ i
Отсюда, получаем, что wi являются абсолютно непрерывными и удовлетворяют дифференциальным уравнениям wi(t) = (vi(t))1 pi + -pi- ^i(t)(wi(t))pi+ , i = 1, 2. qi λi
Поэтому функции
R [wi(s)]-1 (vi(s))1-pi ds yi(t) = eai , i = 1 2, удовлетворяют условиям задачи (l)-(2). B
Теорема 3. Пусть 1 < pi 6 qi < то, Mi < то и vi(t), ^i(t) — весовые функции, определенные на (0, то), где i = 1, 2. Предположим, что C > 0 наименьшая постоянная такая, что имеет место неравенство kukL(qi,q2,^2) |(0, X Л' 6 C q2
d2u dx 1 dx 2
,
L ( P 1 ,Р 2 >v i ,V 2) [(0 ,x )^]
где u : (0, то ) 2 Н- R — произвольная абсолютно непрерывная функция двух переменных, которая удовлетворяет условию (4). Тогда C 6 M1 M2.
C Обозначим дИ2д1л = r(x1,x2)• Далее, при выполнении условий (4) получим u(x1 , x2 ) = Л1 Л2 r ( t1,t2 ) dt1dt2. Очевидно, что
∞ ∞ x1 x2
q1q
C = sup r(t1,t2) dt1dt2 I шДхД dx1 I w2(x2) dx2, где супремум берется по всем измеримым положительным функциям r таким, что
∞ ∞ p1
/ ( / (r(xi,X2))P 1 V1 (xi) dxi ) V2(x2) dx2 = 1.
Предположим обратное. Пусть C > MiM2. Тогда существуют числа p1 > 0 и р2 > 0 такие, что CC > pi > Mi, i = 1, 2. Так как Mi < то, то в силу пункта b) леммы 1 задача. (1)—(2) имеет решение. Поэтому в силу теоремы 2 получим, что неравенство (5) спра-11
ведлнво с постоянной p^ 1 pq 2 для каждой абсолютно непрерывной функции u ( x1,x2). удовлетворяющей условиям (4). Отсюда следует, что C не является наименьшей постоянной в неравенстве (14). Полученное противоречие доказывает теорему 3. B
Следствие 1. Пусть выполняется все условия теоремы 2. Тогда по определению чисел Mi (i = 1, 2)
0 t p 0
C 6 — sup--------1------------- Zwi(s)(gi(s))qi+1 ds, qi t>0 9i(t) - J(vi(s))1-pi ds 0
где gi(t) положительные измерил ше функции такие. что gi(t) > J (v i (s)) 1 pi ds.
Следствие 2. Пусть
Тогда.
и
C
∞
Bi = sup / wi(s) ds xi>0
x i
JvH (s)) 1 - pi ds
p 0 p i
i = 1,2.
2 q i
B1B2 6 с 6 M1 M2 6 П (q i (q i ) pi ) B1B2
i =1
2 q i
M1 M2 6П (q i (q i ) pi) с.
i =1
s(X1,X2) = <
2 ξ i
П J[vi(ti)]1-pi dti i=1 0
i [v i( x i) ] 1 -p i ,
0 ,
(x 1 ,x 2) G Pi ^2 ;
( x1 ,x2) / P^i § 2 ,
где P^2 = { (xi,x2) G (0, то )2 : 0 < xi< ф, 0 < x2 < £2 } 11 (ф ,£2) некоторая фиксированная точка в (0, то )2. Очевидно, что
∞∞ j ( J(s(xi, X2))p1 Vi(xi) dxi
p 2
p 1
V2 (Х2) dX2
00 ξi
ξ 2 ξ 1 2
= /(/ П( /[v . (t . )] i =1
1- p 0 i dt i
i [v i (x i )]1-p i
p p 2
1 p 1
vi(xi) dxi v2(x2 ) dx2 = 1.
Поэтому функция s удовлетворяет равенству (16). Тогда из равенства (15) получим
∞ ∞ x1 x2
q1
C > s(ti,t2) dtidt2 I wi(xi) dxi I w2(x2) dx2
∞ ∞ x1 x2
q1
> \ \ / s(ti’t2) dtidt2 ) Wi(xi) dxi I W2(x2) dx2
ξ 2 ξ 1 0 0
∞ ∞ ξ 1 ξ 2 2 ξi
= / (
J
(/ Z П (/[V
i
q p1i 0 q1 q21
[vi (t i )]1-p i dtidt2 I Wi(xi)dxi ) Ш2(Х2) dx2
ξiq
= П ( / [v i (y i )]i-p i dyi ) Pl / ^ i (x i ) dxi .
i=1 0
Переходя к супремуму в последнем неравенстве (относительно переменных ^i и ^2), по лучаем. что C > BiB2. Неравенство C 6 MiM2 ввгтекает из теоремв! 3.
q i
Теперь докажем, что Mi 6 qi(q,0 ) pi Bi, i = 1, 2. Прежде всего из определения величин
Bi вытекает, что
∞ p 0 i
B i qi
q i
x i
> Кл. )]i-p i dti.
Положив в равенствах (8)
p0 ∞ gi (x.) = qi Biqi ^j w.
p i
(y i ) у.) qi ,
i = 1, 2,
xi
находим, что
Mi = p i inf sup
6 sup
xi> 0
Поэтому
q i
xi
xi> 0
pi ∞ qiBii ( J ^i(ti) dti)
x i
p 0 i
^^^^^^^^г
xi
J [v i (t i )]1 pi dti
∞
х
p i
J ^i(ti) qiBB^i^J
Wi(yi) dyi
p0i
qi +1
p 0 p i
dt i
ti
(q i )
qi +1 p 0 p i
B
1+ p0i
xi
∞
pi ∞ qiBiqi (J wi(ti) dti)
x i
p 0 p i
^^^^^^^^r
xi
J [vi(ti )]1 pi dti 0
j dtiK^ ' ■ y dy i)
ti
p 0 i
qi0 +1 1+pi
6 (qi) pi B qi sup xi>0
Bi
∞
∞
J Wi(ti) dti xi p0i ∞ - p0i xi qiBiq ( J ^i(ti) dti) qi - J[vi(ti)]1-pi dti xi 0
JwM dyi
∞
pi
6 Bqi
xi
.
pi qiBiq ( / Ui(ti) dti
xi
) qi - /[V i (t i )]1-p0 dt i > (q i -
∞ p 0 i
1)B iqi ( J
xi
p 0 i
Wi(ti ) dt i
qi
Таким образом,
0 pqi0i +1 1+qi qi i = 1,2.
Mi 6 —-----i— = qi(qi) pi Bi, pi
(qi - W
А это означает, что неравенство (17) доказано. Неравенство (18) автоматически следует из неравенства. (17). В
Замечание 2. Из следствия 2 вытекает, что для справедливости неравенства. (14), необходимо и достаточно, чтобы Bi < +то, i = 1, 2. В одномерном случае неравенство типа. Харди подробно изучено в монографии [10] (см. также [5]).
Следствие 3. Пусть выполняются все условия теоремы 1. Предположим, что р1 = Р2 = Р и q1 = q2 = q. Тогда теорема 1 справедлива в обычном весовом пространстве Лебега, с весами v(x1 ,x2 ) = v1 (x1)v2(x2) ii w(x1,x2 ) = w1(x1 )w2(x2).
C Достаточность непосредственно следует из теоремы 2. Докажем необходимость. Пусть выполняется неравенство (3) для каждой абсолютно непрерывной функции u(x1 ,x2 )• удовлетворяютней условию (4). Тогда, C 6 Co < то, где C — постоянная в ра венстве (15). Из неравенства (17) следует, что Mi < то, i = 1, 2. Тогда в силу пункта b) леммы 1 задача (1)-(2) имеет решение для каждого Ai > Mi, i = 1, 2. В
-
а. , х pqi (pi -1- ai) — 1
ПРИМЕР. Пусть 1 < pi 6 qi < то, vi(x i ) = x^, wi(xi ) = x i i , i = 1, 2. Тогда для справедливости неравенства (14), необходимо и достаточно, чтобы ai < pi — 1, i = 1, 2.
Аналогичным путем можно показать, что теорема 1 имеет место для пространства Лебега со смешанной нормой и с переменным показателем суммируемости. А именно, имеет место следующая
Теорема 4. Пусть 1 < р1 6 q1(x) 6 q1 < то и 1 < р2 6 q2(x2) 6 q2< то. Предположим. что vi 11 wi — весовые фупкпшв определенные па (0, то), п дл^ i всех t £ (0, то) существует производная w'(t). Тогда следующие утверждения эквивалентны:
-
а) существует положительное решение следующей системы с локально абсолютно непрерывным производным первого порядка, уравнения
/|У У /p II l , 1(„„ )( . i >t) — Aiwi(i)(y'1(t))1/pl = 0, )»V2 y2 /p 2 «L„,x3,( x 3 >t ) - A2 W2(t)(y2 (t))V p 2 =0,
yi(t) > 0, y i (t) > 0, yi £ AC (0, то), A i > 0;
-
b) имеет место весовая оценка
d2u dx1 dx2
Р 1 ,Ш 1 Р2,Ш2
llullq i ,v i ,x i II 6 C0
q2,V2 X2
где u £ AC (R++),
I u(0, X2) = lim x i ^+o u(x1, X2) = 0,
[u(x1,0) = lim ^ 2^+o u(x1,x2) = 0.
Co > 0 — постоянная, не зависящая от u, и R++ = (0, то) х (0, то).
Список литературы Исследование обобщенного неравенства Харди через системы нелинейных дифференциальных уравнений в весовом пространстве Лебега со смешанной нормой
- Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физики.-Л.: Изд. ЛГУ, 1950.-255 c.
- Седов В. Н. Весовые пространства. Теорема вложения//Диф. уравнения.-1972.-Т. 8, № 8.-C. 1452-1462.
- Сысоева Ф. А. Обобщение некоторого неравенства Харди//Изв. вузов. Сер. мат.-1965.-Т. 49.-№ 6.-С. 140-143.
- Никольский Ю. С. К задаче Дирихле для уравнения с вырождением на бесконечности//Диф. уравнения.-1967.-Т. 3, № 7.-C. 1166-1179.
- Мазья В. Г. Пространства С. Л. Соболева.-Л.: Изд. ЛГУ, 1985.-415 c.
- Benedek A., Panzone R. The spaces $L_p,$ with mixed norm//Duke Math. J.-1961.-Vol. 28, № 3.-P. 302-324.
- Шарапудинов И. И. О топологии пространства ${\cal L^{p(t)()$//Мат. заметки.-1979.-Т. 26, № 4.-С. 613-637.
- Бандалиев Р. А. Об одном неравенстве в пространстве Лебега со смешанной нормой и с переменным показателем суммируемости//Мат. заметки.-2008.-Т. 84, № 3.-С. 323-333.
- Смирнов В. И. Курс высшей математики. Т. 5.-М.: Физматгиз, 1959.-655 c.
- Kufner A., Persson L.-E. Weighted inequalities of Hardy type.-New Jersey-London: World Scientific Publishing Co, 2003.
- Харди Г. Г., Литтльвуд Д. Е., Полиа Г. П. Неравенства.-М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1948.