Исследование окрестности нулевого решения обыкновенных аналитических дифференциальных уравнений с помощью первого метода Ляпунова

УДК 517.91

ИССЛЕДОВАНИЕ ОКРЕСТНОСТИ НУЛЕВОГО РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

С ПОМОЩЬЮ ПЕРВОГО МЕТОДА ЛЯПУНОВА

В. Н. Щенников, А. Н. Наумкина, Т. Н. Явкина, Ю. И. Голечков, И. Г. Башмаков

Дано развитие первого метода Ляпунова в части исследования окрестности нулевого решения обыкновенных аналитических дифференциальных уравнений.

Настоящая статья связана с результатами работ А. М. Ляпунова [3], Врио и Буке [5], А. Пуанкаре [7], Э. Пикара [6], а также с работами Н. П. Еругина [1], А. А. Шестакова [4], В. И. Зубова [2] и дает их дальнейшее развитие.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

Ах "

• —= = Ё ^akj X j + F k (x 1 , .... х_к),

^At i = ¹                              (i)

k = 1, ..., и, вкоторой akj — постоянные; Р^Х1, „., хи) — степенные ряды относительно переменных Х1, ..., хи, сходящиеся в заданной окрестности точки Х1 = . = хи = 0 и разложение которых не содержит ни постоянных, ни линейных членов. Система (1) предполагается действительной и будут исследоваться действительные решения xk = Xk(t), k = 1, ..., и,          (2)

которые асимптотически сходятся к началу при t ^ +и, т. е. действительные решения, для которых

• lim (x^f + ... + х ^ ) = 0. (3) t ^+ю

Решения, обладающие свойством (3), называются О+-кривыми. В дальнейшем их будем называть асимптотическими решениями.

При и — 2 известные результаты [3; 5 — 7] могут быть сформулированы в виде теорем 1 и 2.

Теорема 1. Пусть характеристические числа постоянной матрицы А = Ца ^/ ^^ системы (1) являются либо отрицательными и при этом ни одно из них не является целым кратным других, либо сопряженными комплексными числами с отрицательными вещественными частями. Тогда все решения в окрестности нуля есть действительные асимптотические решения уравнения (1) при t ^ +го. Если характеристические числа являются вещественными и противоположных знаков, то решение в достаточно ограниченной окрестности начала координат принад-

лежит асимптотическому вещественному решению системы (1) при t ^ +те тогда и только тогда, когда это решение принадлежит некоторой вещественной аналитической дуге, содержащей решение в достаточно малой окрестности начала координат.

Теорема 2. Пусть т из собственных чисел X k постоянной матрицыА системы (1) отрицательны или имеют отрицательные вещественные части, а остальные п — т положительны или имеют положительные вещественные части. Пусть элементарные делители характеристической матрицы являются линейными, и если ни одно из линейных отношений

Хк = р1Х1 + — + ртХт, к = 1, ..., т; Ph = 0, 1, ... ; р1 +... + рт > 2 не выполняется. Тогда точка в достаточно малой окрестности начала координат принадлежит асимптотически действительному решению системы (1) при t ^ +те тогда и только тогда, когда эта точка принадлежит действительному аналитическому т-мерному многообразию, регулярному в нуле.

Имеет место следующая теорема.

Теорема 3. Пусть задана система дифференциальных уравнений

2 h = Х к 2 к + Р к <2 1 , ..., 2 „ ), к = 1, „., И, где 2 к — вещественные или комплексные переменные и F^2 i , ..., 2_п) — вещественные или комплексные степенные ряды относительно переменных 2 1 , ..., 2_п, сходящиеся в заданной окрестности 2 1 = . = 2_п = 0, и разложения которых начинаются с членов по крайней мере второй степени относительно переменных 2 1 , ..., 2_п. Константы X k могут быть вещественными или комплексными и предполагается, что Xp ..., X_m имеют отрицательные вещественные части, в то время как Х_{т +} 1 , ..., X_п имеют положительные вещественные части. Кроме того константы X k таковы, что ни одно из линейных соотношений

Хк = Р1Х1 + - + РтХт, к = 1, —, т не выполняется, где ^, ..., Рт обозначают целые неотрицательные числа, для которых Р1 + - + Рт > 2.

Если Ср ..., С_т обозначают т произвольных вещественных или комплексных постоянных, то можно найти степенные ряды относительно аргументов 2 1 , ..., 2_п, которые сходятся для достаточно малых абсолютных значений этих аргументов и удовлетворяют системе дифференциальных уравнений. Эти степенные ряды имеют вид

2 j = и j + P j (u₁, „., и_т), У = 1, „., m, (4а)

2_к = Р_к(и₁, .., и_т ), к = т + 1, . , п, (4б) где разложения степенных рядов Рр ..., Р_п начинаются с членов по крайней мере второй степени относительно переменных Up ..., и_т. При этом

U = С ₁ е^ , — , и_т = С_т^ " ^т , (5)

где С ( г = 1, т) — постоянные.

Доказательство. Так как комплексные собственные числа вещественной матрицы А являются сопряженными, то можно записать

^X 2o1 - 1 = ^Х 2ь>1 ,

X o ₂ = X_D2< о,

^X m + 2оз - 1 = ^X т + 2оз ,

X.4 = X04 > О, о1 = 1 ... Уо, 02 = 2Уо + 1, ", т, оз = Е -, kо,

о₄ = т + 2к о + 1, ..., п,

где Уо, к о — целые числа, такие, что О <  2Уо <  т, О <  2 ^ о <  и - т. Величины « 1 , « 2 , 0 3 , 0 4 всегда будут использоваться в дальнейшем в том же смысле. Таким образом, для обозначения действительной и мнимой частей комплексных характеристических чисел, будем иметь

^X 2o ₁ - 1 = « о ₁ ⁺ Фор    ^X 2o ₁ = « о ₁ ^- Фор

^Х т + 2^з - 1 ^а т + оз ⁺ Фт + гз ,

^Х т + 2^з = ^ т + Уз ^— Фт + гу

Из линейной алгебры известно, что существует вещественное линейное преобразование с отличным от нуля определителем преобразования переменных .Гр ..., хп в переменные ур ..., уп, а также системы (1) в систему у2о1-1 = ао1у2о1-1 + Ро1^2о1 +

+ Ф2о1-1^уь ". Уп), у2о1 = РО1^2о1-1 + ао1у2о1 +

+ Ф2о1(У1, ", Уп), уо2 = Xo2У02 + Фо2 ^у1, ", уп), (у) ут+2оз-1 = ат+оз ут+2оз-1 — Рт+оз ут+2оз +

+ Фт+2оз-1^уЬ ", уп), ут+2оз = Рт+оз ут+2оз-1 + ^т+оз ут+2оз +

+ Фт+2оз^у1, ", уп), уо1 = X04уо4 + Фо4^у1, ", уп^, где Ф1, ._, Фп — вещественные степенные ряды относительно переменных У1, ..., уп, разложение которых начинается с членов по крайней мере второй степени этих переменных.

Если комплексные переменные z^, ..., ..., zп определены с помощью соотношений z2n1-l - у2пН + г'упр z2o! - у2пН - г'у2пр z^2    у2^2 ’ zm+2oз-1 — ут+2пз-1 + гут+2п3> zm+2^3   Ут+2^3-1   г'ут+2^3, z^4   ущ, то систему (7) можно записать в виде г, = Xkzk + X   А^  zf1   zf,

Р1 ⁺ -.-⁺ Рп ^z2

к = 1, .... п, А^   = а(у\ , р1"рп     Ч1"Чп

если X , = X у и q ^ , .., q_п являются переста-новкойчисел Р 1 , .., р_п, полученнойприза-мене каждой пары р_к, р ] , для которых к, I таковы, что Х _к — X / .

Из (8) следует, что решение системы (7) будет действительным только и только тогда, когда соответствующее решение (9) удовлетворяет условию

_ z_k = Z y , (10) когда X , = X у . Построим решение системы (9), удовлетворяющее названным условиям.

Из определения Ур У2, у3, у4 в(6)ииз условия (9) следует, что если z2»i-1- z2vi- ZD2 - zm+2e3-1- zm+2o3- ZD^ (11) обозначает множество из и вещественных или комплексных функций от t, которые являются решением системы (9), то множество

^Z 2^1 - 1, ^z 2 t p ^z ^2 ’ ² т + 2^з - 1 ’ ^z m + 2 ^ 3 ’ ^z ^^   (12)

полученное из (11) заменой z^t) на Z y (^), если X , = X у (1 <  к <  у <  и ) также представляет решение системы (9). Поэтому решение системы (7), полученное из (8), будет действительным только тогда, когда два решения (11) и (12) системы (9) совпадают.

Записывая решения (4а) и (4б) в виде zk —    X   С<», и^   z^ , (13)

к\ ^ . ^ кт > 2

где для ^ 1 + . + к т = 1, получим

СА ,   = 1 ,к = о, ..., к:=

61... кт - 1        ’       ’ ]- кт = 0; j = 1, ., т,

, .„ причем остальные постоянные С ^ кт , для которых к1 + ... + кп = 1, к = 1, ..., и, равны нулю. Выберем произвольные постоянные Ср ..., Ст в (5) так, что

С р = C_q            (15)

при X р = X _q(p <  q <  т ), и, следовательно, « р « q ’               (16)

если X„ = X„(р <  q <  т). ^{р q}

Подставляя (13) в (9) и приравнивая коэффициентыпри м^, ..., икт, проверяем, что ск^ кт при к + . + кп = г(г > 2) и при фиксированном к можно записать в виде многочлена C^ кт с к + ... + кп < г, к = 1, 2, ..., и. Эти рекуррентные уравнения опре-

( ^к )

деляют ск^ кт однозначно как коэффициен- тылинейныхчленовотносительно «1, _., ип из (13). Принимая коэффициенты линейных членов в «1, _., ип из (11), получаем из (16), что они совпадают с коэффициентами в линейных членах U1, ., ит из (12), и, следовательно, два решения совпадают.

Таким образом, если постоянные С у в (4) выбирать с учетом (15) и комплексное решение (13) из (9) подставить в (8), то можно получить вещественные решения системы (7), когда уравнения (8) решаются относительно У 1 .„, у_п.

Если записать м2о1-1 = 92O1-i + z92tJ1, m2di =

= ^ 201 - 1    *9 2^1 - ^ 2^1 = ^ 2^2 -

то вышеупомянутые вещественные решения (7) принимают вид

У у = Э у + QyO t , ., ^ т ), у = 1, ., т, у_к = о_к(9_ь .., Э_т),к = т + 1, „., и,

где Q1, .., От обозначаютвещественныесте-пенные ряды, начинающиеся с членов по крайней мере второй степени относительно вещественных переменных Э^, ., Эт, сходя щиеся при достаточно малых 9J, ..., Эт . Если положить

^ 2^1 - 1 ^at, ⁺ ^t, , ^ 2^1 ^a&1 ^t, , ^ ^2 ^a^2 ’ то нетрудно показать, что

^t , - ! = e™ * ¹ <.а_У1 cos ^t ^- b^ sin ^t),

9_2t)1 = ^e “ ^D1t ^a_y1 cosP^ + b_D1 sinP_D1^), (19)

^ 2^1 = ^ ^2 ^{6 2} "

Константы a^, Ь^, a^ являются вещественными и произвольными. Поэтому из (18) и (19) следует, что существует действительное, аналитическое, m-мерное многообразие решений системы (7) в достаточно малой окрестности нуля у , = . . = у _и = 0. Это m-мерное многообразие регулярно в нуле, а так как a ,, ф₂ отрицательны, то любые из его точек лежат на асимптотическом действительном решении системы (1) при t ^ +го.

Далее покажем, что достаточно малая окрестность у , = .. = у_и = 0 нуля не содержит точек на асимптотическом действительном решении системы (7) при t ^ +го, кроме точек из указанного выше многообразия.

Решая первых m уравнений (18) относительно 9,, ..., 9 _т и подставляя эти выражения в остальные и - т уравнений, получим уравнения из m-мерного многообразия в непараметрической форме

С_к = Q k * ^1 •-, У_т), к = т + 1, _ , и. (20)

где Q k обозначают степенные ряды, разложение которых начинается с членов второй степени по крайней мере для у , ..., у_т и сходящиеся при достаточно малых |^ , |, . , |# _т |. Введем новые координаты ц , , ..., ц _т с помощью соотношений

П у = У / , j = 1, „.. т,

П к = У к - Q * к (У 1 , -, У т ), к = т + 1, ., и.

Дифференциальные уравнения (7) сохраняют свой вид после преобразования с у, замененными на ц. Коэффициенты линейных членов остаются неизменными, и степенные ряды Ф , ..., Ф _т становятся степенными рядами относительно ц , ..., ц_и , которые будем обозначать через Ф * , ..., Ф ^ соответственно.

Последние п - т преобразованных уравнений должны удовлетворяться, если положить Ц _{т +} 1 = . = ц _и = 0, и, стало быть,

ф * к = S Ф кШ1 . ^к = ^т +1 - > ^п , (21) / = т + 1

где Фк/ обозначают степенные ряды относительно переменных ц,, ..., ци> не имеющие свободных членов. Умножая последние п - т преобразованных уравнений в Пт+1, ..., Пи, соответственно, и складывая, получим п               п        „      п       п

X 9кцк = S «кцк + S   S фкШкШ, к-rn 11            к-т 11            к-т 11  I=т+1

где использовано равенство (21) для замены Ф к Положив

Р2 = Чт+1 + . + Пи Рк = Пк/Р, к = т + 1, .., и в предыдущем уравнении и разделив на р2, находим

Р / Р = S « к Р к + XX S Ф к/ Р к Р / - (22) к = т + 1          к = т + 1 / = т + 1

Пусть а * = тт{ а _{т + 1}, . , а _и } и Ф * = = шах{| ^ф _к1 |^}, где Ф* = Ф * (ц_ь . , ц „ ) стремится к нулю, когда точка (ц , ..., ц_и) стремится к точке ц = ... = ц _и = 0. Далее ^ т ₊ 1 + . + ^ п = 1, так что получим

и

X к = т + 1

и

X ^Ф к/ Р к Р /

/ = т + 1

< (и - т)Ф *

Следовательно, из (22) выводим, что р / р > « * - (и - т)Ф*, «* > 0. (23)

Пусть у к = У k (t) — действительное решение системы (7), асимптотически стремящееся к началу у , = . = у_и = 0 при t ^ +те, для которого не существует t такое, что решение лежит в m-мерном многообразии (20) для t > t .

Используя и , , .., ц _и в качестве координат, будем иметь действительное решение П к = П k (t) преобразованной системы с тем свойством, что для любого положительного числа s существует t _E > 0 такое, что выполняется

_{П 1} ² + . + ц _п ² < g (24) для всех t >  t _g . Кроме того, должно существовать t 0 >  t _g такое, что для ц ⁰ к = Ц k ( t 0 ),

Р0 =Пт2+1 + ... + пи2’ (^ = 1’ •••’ ”)’ выпол- няется р0 > 0. Так как ф * сколь угодно мала в окрестности нуля qj = ... = ри = 0, то возможно выбрать s вначале столь малым, что ф* = ф * (p1(t), „., pn(t)) < а * / 2(и - т) для t > tE.

Тогда неравенство (23) принимает вид р / р > а * / 2 для t > ts. Интегрируя от to до t > to, находим р^»*/2^, что, учитывая а* > 0, приводит к противоречию с неравенством (24).

Так как преобразование системы (1) к системе (7) было действительным линейным преобразованием с отличным от нуля определителем, то теорема 3 доказана.