Исследование полей собственных волн экранированного плоского волновода с двухслойным заполнением полупроводник-диэлектрик

Введение. Классификация собственных волн линии передачи

На рис. 1 изображено поперечное сечение плоского волновода с двухслойным заполнением полупроводник-диэлектрик (ПВДЗ ПД). Области 1 и 2, расположенные между двумя идеально проводящими плоскостями, представляют собой слои полупроводника и диэлектрика, соответственно. На основе данной волноведущей структуры могут быть построены различные СВЧ устройства, в частности, вентили [1-2], СВЧ модуляторы [3-4].

Рис. 1. Поперечное сечение ПВДЗ ПД

При формулировке краевой задачи в качестве исходных уравнений выберем уравнения Максвелла:

rot HH(m) = £(m) ^E-)+j(m), (m = 1;2), a at rot EE(m) = - д am) |H^-, (m = 1; 2 ), ot div EE(m) = p(m) / £aam), (m = 1; 2), div H(m) = 0, (m = 1; 2)

Здесь EE(m) и H(m) - напряженности элект рического и магнитного полей волны, распро- страняющейся в линии передачи, еam) и ^am) – абсолютные диэлектрическая и магнитная проницаемости среды, p(m) и j(m) - объемные плотности заряда и тока в среде, индекс m указывает номер области.

Будем считать, что полупроводник имеет элек-троннуюэлектропроводность;внемприсутствует только донорная примесь, концентрация которой Nд значительно превышает собственную концентрацию дырок pi . В данном случае можно пренебречь наличием дырок в полупроводнике. При этом в области 1 плотность заряда р(1) складывается из плотности заряда подвижных электронов проводимости рП1) и плотности заряда неподвижных донорных ионов рД1): р(1) = рП1) + рД1), а плот-~ ность тока в полупроводнике j() равна плотности тока электронов проводимости

1 ^{( 1 )} = -Ц n p n ^{i ) EE ( 1 )} - D n grad Р ^{( 1 )} ,         ⁽⁵⁾

где μ _n и D _n – подвижность и коэффициент диффузии электронов проводимости, соответственно. Величины μ n и D n связаны соотношением Эйнштейна D = кЛи / е, где k_E - пос-

П Б П ' Б тоянная Больцмана, T – абсолютная температура полупроводника, e – абсолютное значение заряда электрона. Первое слагаемое в (5) задает плотность тока дрейфа, второе – плотность тока диффузии электронов проводимости. В диэлектрике плотности заряда и тока равны нулю р'2' = 0, j12' = 0.

Применим операцию дивергенции к уравнению Максвелла (1), записанному для полупроводника, принимая во внимание равенства (3), (5). В результате имеем:

² _О ( 1 )₊ .En. _о( 1 ) ( 1 ) _{+ о}( ¹ )

^D n ^{V p} n ⁺ (1) ^р n ( ^р и ^+р д ) + ε _a

+ E _п EE ^{( 1 )} grad рП¹ ) —1^ = 0. ∂t

Будем считать, что донорная примесь равномерно распределена в полупроводнике. При этом плотность заряда донорных ионов Рд1) не зависит от координат grad рД1) = 0.                   (7)

Применение операции ротора к уравнениям Максвелла (1), (2) с учетом равенств (3)-(4) дает

-

o 2 ^( m ) ^{( m} ) ( m ) ^{d H}

ε a μ a 2 ∂t

= u sradp^(m )x E ^{( m )}-n^{( m} )     ^(m ) ^dH ( )

-

-

( m = 1; 2 ) .

Л 2 ? ( m ) ( m ) ( m ) ^d E

∂t

(

^*

-

( m ) d'-

∂ t dpnrl ∂ t

-

Представим плотность заряда электронов проводимости в полупроводнике р П 1 ) в виде суммы постоянной р П ) и переменной p^ V составляющих

О ^{( 1 )} = О^{(1 )} + о^{(1 )} r n ^р п 0 ^{+ p} n , v *

Отсутствие дырок в полупроводнике означает, что в нем не происходит генерация электронно-дырочных пар. Как следствие, единственным механизмом возникновения электронов проводимости остается ионизация донорных атомов. В данном случае постоянная составляющая р ^о величины р П 1 ) равна по модулю плотности заряда донорных ионов

рП10 = -рД1). (11)

Наличие переменной составляющей p^V обусловлено воздействием на электронную плазму полупроводника со стороны поля волны, распространяющейся в направляющей структуре. В дальнейшем мы будем предполагать, что напряженности электрического и магнитного полей волны E ^{( т} ) и H ^{( т} ) , ( т = 1; 2 ) малы по абсолютному значению. При этом переменная и постоянная составляющие плотности заряда электронов проводимости в полупроводнике удовлетворяют условию (pnil <<|^p$ |-

Будем считать, что величины 6 ^{( т} ) , H ^{( т} ) , и не зависят от поперечной координаты x . Подставляя (10) в (1)-(4) и пренебрегая в (1) слагаемым второго порядка малости (- p n p^ v EE ^{( 1 )} ) , можно заметить, что система из восьми скалярных дифференциальных уравнений, получаемая из урав-

нений Максвелла (1)-(4), распадается на две независимые системы.

Первая из них включает в себя в качестве неизвестных функций величины p^ v , H Xm^ , E У^т ) , E Zm ) , ( m = 1; 2 ) . Она соответствует продольномагнитным волнам или LM -волнам линии передачи. Для волн данного типа характерно отсутствие перпендикулярной к границе раздела полупроводник-диэлектрик составляющей напряженности магнитного поля H У^т ) , ( т = 1; 2 ) . Вторая система дифференциальных уравнений содержит компоненты E^ ^m ) , H ^{( m} ) , H Zm ) , ( m = 1; 2 ) напряженностей и соответствует продольно-электрическим волнам или LE -волнам ПВДЗ ПД. Определением продольно-электрических волн может служить условие E ^{( m} ) = 0 , ( m = 1; 2 ).. Очевидно, что в данном случае LM -волны можно также классифицировать как электрические или E -волны ( h Z ( ^{m )} = 0, E Z ( ^{m )} ^ 0 ) , ( m = 1; 2 ) ; LE -волны од-но-временно являются магнитными волнами или H -волнами ( e Z ( ^m ) = 0, H Zm ) ^^ 0 ) , ( m = 1; 2 ) .

Отсутствие у LE -волн переменной составляющей плотности заряда электронов проводимости p^ V означает, что эти волны не возмущают электронную плазму полупроводника. Данный факт объясняется тем, что в случае LE -волны единственная отличная от нуля компонента плотности тока в полупроводнике j X ) не зависит от координаты x , вдоль оси которой движутся электроны проводимости. Тем самым, в полупроводнике не образуются сгустки и разрежения подвижных носителей заряда. Иными словами, под действием электрического поля LE -волны все электроны проводимости в области 1 смещаются синхронно.

Вывод дисперсионных уравнений

Рассмотрим продольно-магнитные волны. В соответствии с условиями (11) и (7), постоянная составляющая плотности заряда электронов проводимости в полупроводнике р ^ о ) не зависит от координат

Подставим (10) в уравнение (6). Пренеб-

регая слагаемыми второго порядка малости ^p n ⁽ P ⁽ n 1,l ) 2 / е» ) , P n EE ^{( 1 )} grad P ⁽ n ‘, V и учитывая соотношения (11)-(12), имеем

D n

< а2Р (1)

⎜     ρ n,v

∂y ²

∂z ²

, ^ n _n( 1 )_n( 1 )

⁺    ( 1 ) ^p n0 ^p n,v

-

др(1) ρn,v

= 0. (13)

После аналогичных преобразований векторное равенство (8), записанное в проекции на ось x, дает уравнение d2 H xm'   d2 H xm'

dy ²     + dz ²

^^^^^^^е

' ,.' s ^{2 h} ;-1 ^e a ^М a   8t¹

^^^^^^^s

⁽ m '

М am ^ n Р ²,, ( m = 1;2 ) Ot

Принимая во внимание линейность дифференциальных уравнений (13)-(14), будем предполагать, что искомое поле представляет собой гармоническую волну, распространяющуюся в направлении оси z . Воспользовавшись методом комплексных амплитуд, представим неизвестные функции p^ V , EE ^(m) , H ( m ) , ( m = 1; 2 ) как действительные части произведений комплексных функций ~П^ , EE ^(m) , H ^{( m} ) , ( m = 1; 2 ) и фазового множителя exp [ i ( tot - y z ) ] . Здесь i - мнимая единица, ω – круговая частота колебаний, γ – неизвестная постоянная распространения волны.

Подставляя в (13) и (14) вместо величин p^ v и H Xm ) , ( m = 1; 2 ) соответствующие комплексные функции, получаем следующие дифференциальные уравнения

2~(1) d^ w = 0, dy d2 ~(m)

+ (5(m))2 H(m) = 0, (m = 1; 2), dy где введены обозначения:

⎛⎞ e=.o-^ p-10 - ”-y 2 • n ⎝εa

^m⁾ = v ® 2^ am ¹ ^ am ¹ - y 2 + imp am p . p nm ,

( m = 1; 2 ) .

Решения уравнений (15) и (16) имеют вид:

~У ( У ) = A p cos ( R y ) + B p sin^y )         (19)

HH xm ) ( y ) = A HH ) cos ( j ^{( m} ) y ) + B Hm ) sin ( j ^{( m} ) y ) ,

( m = 1;2 ) ,                   ⁽²⁰⁾

где Ap, Bp, AHm), BHm), (m = 1; 2) - неопределенные постоянные. Из уравнения Максвелла (1) могут быть получены следующие равенства позволяющие выразить компоненты напряженности электрического поля LM-волны.

Будем предполагать, что переход металл-по-лупроводник в плоскости y = 0 не обладает выпрямляющими свойствами, представляя собой омический контакт. На нем выполняется граничное условие

E? ( 0 ) = 0, (21)

соответствующее отсутствию поверхностного заряда на границе раздела металл-полупровод-ник [5]. Кроме того, на поверхности идеальных проводников обращаются в ноль тангенциальные составляющие напряженности электрического поля волны

E Z^{1 )}( 0 ) = 0, e Z² ) ( У 2 ) = 0. (22)

Граничные условия (21)-(22) позволяют сократить (с шести до трех) количество неопределенных постоянных в равенствах (19), (20) и в выражениях для компонент El ^ ¹ ) , Е^й ) , (m = 1; 2 ) .

Условия непрерывности тангенциальных составляющих напряженностей электрического и магнитного полей волны и перпендикулярной составляющей электрической индукции на границе раздела полупроводник-диэлектрик в плоскости y= y ₁ :

H X11 (У1)- H x2) (yi) = 0, sa1 E?l(y,)-sa2^! (У1) = 0,

E'XУ1)- E?' (У1) = 0

приводят к однородной системе линейных алгебраических уравнений относительно неопределен- ных постоянных, присутствующих в представлениях неизвестных функций (19)-(20). Условие совместности данной системы дает дисперсион- ное уравнение для определения постоянных распространения LM-волн ПВДЗ ПД ^ay 5(2) (z — i) e cos(5(1)У1 )sin(Ry!)+4y X £а'              LY                             8(1)

^x si^{n (} 5 ^{( 1 )} y i ^{) cos ( e}y i ) s^{in [} 8 ^{( 2 ) (} y 2 — y i ^{) ]}

y ( Z + i ) [ cos ( 8 ^{( 1 )} y 1 ) cos ( py 1 ) - 1

~ (m) -

Ey =

E ~ ⁽ m ) =

^(m^-ito£^(m )

μ _n ρ _{n 0} i ωε _a

iYHlm)

⎝r dHH

м n pnm) - itoEam) I d>2 (m = 1;2),

-

D

n

^

dy ⎠

+ iA, i~nm

⎠

-

( v³ B8⁽¹⁾) _⎜ γ _ζ+iβδ _⎟ (PS⁽¹⁾Y J

sin ⁽8⁽¹⁾yi ⁾sin(eyi)

x cos[s⁽²⁾(У2 - yi)] = 0,

⎬×

где введено обозначение Z = ^p_прП1с>/(®^sа))• При этом координатные зависимости искомых величин имеют следующий вид:

~

----YCH Гcos[8(2)(y2 - yt )]х DnW (У1, У1) L             J х< i8(1) cos[e(yi - y)]+z Y-sin(5(1)yi)х х sin(e_y)- 8(i) cos(s(i)yi )cos(e,y) ,

H~x1)(y)=W C y)cos[8(2) (У2 - yi)]х х W(y, yi)- izY2 sin[8(1) (yi - y)]},

HHX²⁾⁽y) = Ch c^os[8^{(2) (}y2^-y)],

~C

Ey(y) w(yi, yi) иnp(io - х cos[s(2)(y2 - yi )]{-в8(i) sin[e(yi - y)] +

+ iZW⁽yi, y) + W⁽y, yi) -

- iY2Z sm[5(i)(yi - y)]},

E²⁾⁽y) = -CH ~^р c^os[8(2)(y2^-y)^] ms a)

~(i)_(i;) =    CH    ^cos[⁸⁽²⁾⁽y^^-yi^)]

x

W⁽yi, yi) И прПс.

-

/гое aⁱ⁾

х {i'Zy28⁽ⁱ⁾cos[8⁽ⁱ⁾(y_i - y)]-

^-Y2⁸⁽ⁱ⁾c^os[e(yi^-y^)]

+ iζγ²

— sin (8⁽ⁱ⁾y_i )sin(Py) - 8⁽ⁱ⁾х

× cos

;(8(i)yi )cos(e,y) + 8(i) [y2 cos(ey )х х cos(8(i) y)- в8(i) sin^y )sin (8(i) y)]}, Ez(2)(y) = CH -i^sin[8(2)(y2 - y)].

^roSa⁾

Д Ch = A^ /cos(s⁽²⁾У2), W (s1, s₂) = P8⁽¹⁾cos(s ⁽¹⁾s1 )sin(ps₂)+ + у²sin(8⁽¹⁾s1 )cos(ps₂).

В случае продольно-электрических волн можно ограничиться решением одного дифференциального уравнения. Подставляя (10) в уравнение (9), записанное в проекции на ось x, и отбрасывая слагаемые второго порядка малости, имеем d2 E Xm)   d2 E xm)

∂y^{2   +} ∂z²

-

2 (m) ^(m) ⁽m) ^{d E}x

ε_aμ_a

∂t²

-

^{(m)    (m})^dEx      / _ 1

Ha Hn^pn0         ,   ^(m= ¹,²⁾ ■

∂t

Уравнение (28), записанное относительно комплексной функции EX(^m), (m = 1; 2), имеет следующий вид

2 ~(m)

+ (^^(m))2 E~j^m)= 0, (m = 1;2). (29) dy             ^x

Решение уравнения (29)

E~xm)(y) = aE) cos(j^(m)y) + BEm) sin(^^(m)y), (m = 1; 2)

содержит неопределенные постоянные A^), bE), (m = 1; 2). Используя граничные условия на металле

E~X¹⁾(0) = 0, E~X²⁾ (У2) = 0,               (30)

получаем

E^ (y) = BE¹) sin (S⁽¹⁾y),

EX2)(y) = CE sin[8(2)(У2 - У)], где CE = -BE2 / cos(s(2)y2). Соотношения

~ (m)

~^(m) _ ^Y~^(m)   ~^(m) _ ~ i ^dE x

H y          Ex , H z y rnp am)                юр vm) dy

(m = 1; 2), следующие из уравнения Максвелла (2),позволяют найти компоненты напряженности магнитного поля LE-волны.Дисперсионноеуравнение дляопределения постоянных распространения LE-волн ПВДЗ ПД cos(S(1)У1) sin[S(2)(y2 - У1)] + to^®S^

siⁿ⁽8⁽¹⁾yi)co^s[8⁽²⁾⁽У2 ^-yi^)]

+    8(1)           ro^a2)

получается из условий непрерывности компонент Ex , Hz напряженностей на границе раздела полупроводник-диэлектрик

EX11 (yi)- EX2) (.yi)=0, й Z' (У1)- HH X2) (У1)- 0.

При этом координатные зависимости компонент напряженностей LE-волн принимают следующий вид

E^X¹) (y) = CE ^z sin (s⁽¹⁾y),

E~X²⁾⁽y) = CE^sin[8⁽²⁾⁽У2 ^- y^)],

HHУ¹)(y) = Ce         sin(8⁽¹⁾y),

®^pa)

HHУ2)(y) = CE       sin[8(2)(y2 - y)], ro^a)

HHZ1)(y) =-Ce i⁸-^ cos(8⁽¹⁾y), ro^a)

HHZ^{2) (}y ) = CE i⁸"^ COs^{[8(2) (}y2^-y^)], ^ro^a)

Анализ численных результатов

При выполнении расчетов числовые значения параметров краевой задачи были выбраны следующим образом:расстояние между экранирующими металлическими пластинами y₂= 2 -10 4 м; толщина слоя полупроводника у1 = 0,5 • у2; температура полупроводника T = 300 К; концентрация донорной примеси в полупроводнике Nд = 10²¹м^-3; (рП1с>= -eNд); подвижность электронов проводимости в полупроводнике р_n= 0,85 м²/(В -С); относительные диэлектрическая и магнитная проницаемости полупроводника е⁽¹⁾= 13,1, р⁽¹⁾= 1 (материал полупроводника – арсенид галлия); проницаемости диэлектрика е⁽²⁾= 9,05 , р⁽²⁾= 1 (материал диэлектрика – ГБ-7).

На рис.2-3 изображены дисперсионные характеристики LM- и LE-волн ПВДЗ ПД. Здесь к = го / c – волновое число свободного пространства, c – скорость света в вакууме.Как следует из графиков,при k > 0 все собственные волны линиипередачиявляют-ся комплексными,действительные и мнимые части их постоянных распространения отличны от нуля.Пара-метры Re(Y) и Im(y) любой волны различаются по знаку.Этотфакт свидетельствует о том,что амплитуды компонент напряженностей убывают в направлении распространения волн.Условия дляусиления в данной направляющей структуре отсутствуют.

Назовем волну квазираспространяющейся, если в ее постоянной распространения γ действительная часть преобладает над мнимой

Под квазизатухающей будем понимать волну, постоянная распространения которой удовлетворяет условию

Частоту ω_кр, на которой действительная и мнимая части параметра γ равны по модулю, назовем критической частотой волны.

Рис.2.Дисперсионные характеристики LM-волн ПВДЗ ПД

Рис. 3. Дисперсионные характеристики LE-волн ПВДЗ ПД

Очевидно, что определения (35)-(36) квази-распространяющихся и квазизатухающих волн можно также записать в виде

- — < arg(y) < 0 и

ππ

- 2 < aw) <^--•

Индексацию LM- и LE-волн ПВДЗ ПД будем производить в порядке увеличения их критических частот. Нормированные значения критических волновых чисел к_кр= го_кр/ c некоторых волн приведены в таблице 1.

Таблица 1.

Тип волны	LM1	LM2	LM3		LE1	LE2
kкр y2	0	0,92	1,89		0,97	1,88

На основании рис. 2-3 можно сделать следующие выводы. Волна LM является квазирас-пространяющейся на любой частоте го > 0. Остальные LM- и LE-волны ПВДЗ ПД в частотных диапазонах (0 < го < гокр) и (го > гокр) следует квалифицировать, соответственно, как квазизатухающие и квазираспространяющиеся.

Действительные части постоянных распространения всех волн возрастают с увеличением частоты. Мнимые части постоянных распространения всех волн, за исключением волны LM , возрастают с увеличением числа k от нуля. На некоторых частотах, превышающих критические, параметры Im(y) достигают максимальных (минимальных по модулю) значений, вновь убывая при дальнейшем увеличении k. Например, максимальные значения мнимых частей постоянных распространения волн LE₁ и LM₂ достигаются, соответственно, при ky₂ = 1,66 и ky₂ = 2,49.

Определим предельные значения постоянных распространения волн при неограниченном уменьшении частоты. Умножая уравнение (32) на го и полагая го = 0, получаем:

Н ^ Y

= 0.

y          н a2)

В случае равенства магнитных проницаемос-тей полупроводника и диэлектрика

Н ^ = Н⁽²⁾ = На                  ⁽³⁹⁾

это уравнение принимает вид sh(Y.y₂)/(^рaY) = 0-Отсюда

Рис. 4. Распределения амплитуд (а) и фаз (б) компонент напряженностей поля волны LM : ky2 = 2 ; верхней точке оси ординат на рис. а соответствуют ∨∨          ∨ значения: H~x = 11, E~y = 2,5, E~z =2,5

Знаки «–» и «+» в равенстве (40) соответс-твуютпредельным значениям постоянныхрас-пространения LE-волн, распространяющихся, соответственно,в направлении оси z и в противоположном направлении. Корни уравнения (32) будут также определяться равенством (40) в случае, если условие тождественности магнитных проницаемостей полупроводника и диэлектрика (39) заменить требованием идентичности размеров частичных областей 1 и 2 на рис. 1 y1 = y2 - у1 или у_г = 2y1. Рис. 3 позволяет убедиться в справедливости соотношения (40).

Что касается LM-волн, то для них предельное соотношение, аналогичное (40), не выполняется,хотя на основании рис.2и может возникнуть такая иллюзия. Уравнение (26) позволяет лишь доказать аналитически, что при ω → 0 постоянная распространения γ волны LM неограниченно уменьшается по модулю.

На рис. 4-10 изображены распределения амплитуд и фаз нормированных компонент напряженностей электрических и магнитных полей семи волн ПВДЗ ПД. В случае LM-волн безраз-V V мерные функции H , E и ρ~ n введены следующим образом: ∨∨ — —       — —

H = H / CH , E = E д/80 / ^0 / CH , ^рn = ^pnc^y2 I CH .

Нормировочные соотношения для LE-волн имеют вид: ∨∨^*       ^*                  ^*        ^*

Рис. 5. Распределения амплитуд (а) и фаз (б) компонент напряженностей поля волны LM₂: ky₂= 2 ; верхней точке оси ординат на рис. а соответствуют значения: H^~_x=1, E^~_y= 0,38, E^~_z= 0,38

Рис. 6. Распределения амплитуд (а) и фаз (б) компонент напряженностей поля волны LM3: ky2 = 2 ; верхней точке оси ординат на рис. а соответствуют ∨∨           ∨ значения: Hx = 1,1, Ey = 0,35, Ez = 0,35

Рис. 7. Распределения амплитуд (а) и фаз (б) компонент напряженностей поля волны LM4: ky2 = 2 ; верхней точке оси ординат на рис. а соответствуют ∨∨∨ значения: Hx = 1,5, Ey = 0,6, Ez =0,6

Рис. 8. Распределения амплитуд (а) и фаз (б) компонент напряженностей поля волны LE₁: ky₂= 2 ; верхней точке оси ординат на рис. а соответствуют

∨          ∨∨ значения: E~x = 2,5, H~y =7, H~z =7

Рис. 10. Распределения амплитуд (а) и фаз (б) компонент напряженностей поля волны LE3: ky2 = 2 ; верхней точке оси ординат на рис. а соответствуют ∨∨∨ значения: Ex = 1,1, Hy = 5,2, Hz = 5,2

Рис. 9. Распределения амплитуд (а) и фаз (б) компонент напряженностей поля волны LE2: ky2 = 2 ; верхней точке оси ординат на рис. а соответствуют ∨          ∨∨ значения: E~x = 1,1, H~y = 3, H~z =3

Рис. 11. Распределения амплитуд (а) и фаз (б) компонент напряженностей поля волны LM₁ вблизи границ слоя полупроводника: ky₂= 2 ; s = 0,01 ; верхней точке оси ординат на рис. а соответствуют значения: _~∨        _~∨        ∨        _∨

IHx| = 11, |ey| = 2,5, |E~z| = 2,5, |~n| = 8.104.

Компоненты напряженностей должны удовлетворять граничным условиям (22), (30) на поверхности идеальных проводников, условиям (23)-(25), (33)-(34) на границе раздела полупроводник-диэлектрик, включая условие непрерывности перпендикулярной составляющей магнитной индукции

н № !"CУ1)-t^H. !2|CУ1)=0, а также граничному условию на омическом контакте (21). Выполнение всех перечисленных условий, за исключением (21) и (24), с очевидностью следует из рис. 4-10. Чтобы снять все сомнения относительно компоненты Ey , следует построить аналогичные распределения компонент напряженностей вблизи границ полупро- водникового слоя (см. рис. 11). Приведенные на рис. 1 1а графики, позволяют убедиться в том, что компонента Ey волны LM1 удовлетворяет условию (21). Кроме того, из рис. 4б и 11б следует непрерывность фазы компоненты Ey на границе раздела полупроводник-диэлектрик благодаря чему обеспечивается выполнение граничного условия (24).

Можно заметить, что, в большинстве случаев, фазы компонент напряженностей полей LM- и LE-волн возрастают в направлении оси y . Однако есть и исключения из данного правила. Прежде всего, это компоненты Ey LM-волн, аргументы которых немонотонны в слое полупроводника вблизи границы его раздела с диэлектриком. Наиболее наглядно подобную немонотонность иллюстрирует рис. 11б. Кроме того, например, при числовых значениях параметров краевой задачи, соответствующих рис. 7, функция arg[E~z(1)(y)] волны LM4 достигает минимума в точке у / у2 = 0,026.

Обращает на себя внимание тот факт, что в окрестностях точек, в которых амплитуды компонент напряженностей достигают минимальных значений, фазы соответствующих компонент быстро изменяются с увеличением координаты y. Например, фазы компонент Hx и Ey напряженностей поля волны LM3 (рис. 6) проявляют значительную координатную зависимость в точках y / y2 = 0,22 и y / y2 = 0,73, соответствую- щих минимальным значениям амплитуд этих компонент. Максимальное значение функции d / dy{arg[ez (y)]} и минимальное значение функ- ции

|Ez (у) достигаются в точке у / у 2 = 0,44. Данную закономерность легко обосновать. Если бы область 1 на рис. 1, вместо полупроводника, была заполнена идеальным диэлектриком, то в некоторых продольных сечениях линии передачи y = y0 амплитуды компонент напряженностей тех или иных волн не просто достигали бы минимальных значений, а обращались бы в ноль. По обе стороны от указанных сечений (в точках y = y0 - Ay и У = У0 + Ay) соответствующие компоненты напряженностей совершали бы колебания в противофазе. Иными словами, фазы данных компонент испытывали бы разрывы в точках y = y0 . Причем левый и правый односторонние пределы фаз в этих точках различались бы на 180о. В нашем случае направляющая структура частично заполнена средой с потерями. Поэтому, вместо нулей амплитуд компонент напряженностей, мы имеем их минимумы; вместо точек разрыва фаз, имеем точки, в которых фазы существенно зависят от координаты y .

Напряженность магнитного поля любой LM-волны имеет единственную компоненту H_x. Тем самым, магнитные поля LM-волн ПВДЗ ПД линейно поляризованы. Аналогичным свойством обладают электрические поля LE-волн, векторы E которых ориентированы параллельно оси x. Очевидно, что электрическое поле LM-волны будет линейно поляризовано в тех точках, в которых фазы компонент E_yи E_zего напряженности будут удовлетворять условию

arg [E y (y )]-arg \tz (y )] = ±nn, (n = 0;l_).

Иначе поляризация электрического поля волны будет эллиптической. В последнем случае вектор E будет вращаться по часовой стрелке, если смотреть в направлении оси x, при условии:

• 0 < ^{arg^[E~y(У)^]" arg^[E~z(У^)]}< n

и против часовой стрелки при условии:

• - n < {arg^[E~y (y)^]- arg^[E~z(y)^]}< 0.

Как следует из рис. 4б и 11б, при выбранных числовых значениях параметров краевой задачи электрическое поле волны LM эллиптически поляризовано в любой точке. В соответствии с рис. 5, электрическое поле волны LM₂ линейно поляризовано в точке y / y₂= 0,29, в которой

В этой точке угол наклона напряженности E относительно оси z имеет два возможных значения: arctg|E~_y(y)/ E~_z(y) = 29,64° и

На интервалах (y < 0,29) и (y > 0,29) за период колебаний конец вектора E описывает эллипс в плоскости (y, z), вращаясь,соответственно,против часовой стрелки и по часовой стрелке, если смотреть в направлении оси x. Электрическое поле волны LM3 (см. рис. 6б) линейно поляризовано в трех точках: y / y2 = 0,24 , y I y2 = 0,42 , y I y2 = 0,746 . В этих плоскостях положительные углы наклона вектора E относительно оси z составляют, соответственно, 5,848о, 44,65о, 6,25о. Сведения о поляризации магнитных полей LE-волн ПВДЗ ПД со- держатся в таблице 2. При этом числовые значения параметров линии передачи и частота колебаний соответствуют рис. 8-10.

Таблица 2.

Тип волны	Точки линейной поляризации маг нитного поля y/y2	Положительный угол наклона напряженно сти H относительно оси z
LE1	0,36	80,10о
LE2	0,22	62,71о
	0,48	11,27о
	0,70	67,23о
LE3	0,12	58,98о

На основании рис. 8-10 можно сделать вывод о том, что сдвиг фаз между компонентами Ex и H y напряженностей поля любой LE-волны не зависит от координаты y и удовлетворяет условию 0 < {arg[E~x(У)]-arglHHy (y)]}<2 Действительно, исходя из второго уравнения Максвелла, можно получить следующее соотношение, свя- зывающее комплексные амплитуды этих компонент (m = 1; 2). Тем самым, в обеих частичных областях (рис. 1) аргументы комплексных чисел

H_yи E_xудовлетворяют условию

В соответствии с определением (37), формула (41) дает условие

0 < {arg[E~x(У)]" arg[HHу(У)]}< 4

выполняющееся для квазираспространяющихся продольно-электрических волн. При ky₂= 2 таковыми являются волны LE₁ и LE₂ (см. рис. 8-9). Используя определения (38), для квази-затухающих LE-волн получаем

П < {arg[E~x (у )]" arg\.Hу (у )]}< 2-

Последние неравенства справедливы для волны LE₃ (см. рис. 10).

Первое уравнение Максвелла, записанное для слоя диэлектрика, дает - yHX²⁾= tos^EE^V Тем самым, в частичной области 2 (см. рис. 1) сдвиг фаз между компонентами E_yи H_xнапряженностей LM-волн не зависит от координаты y и определяется соотношением

Отсюда, аргументы комплексных функций ~ (2) ~ (2)

Eу ) и Hу квазираспространяющихся и квазизатухающих LM-волн должны удовлетворять условиям

3П < {arg[^2)(у)]- arg[HHХ2)(у)]}< К (42) и П < (argЙ2)(у)1- arglHHХ2)(у)]}< 3П, (43)

соответственно. При ky₂= 2 неравенствам (42) удовлетворяют волны LM , LM₂, LM₃ (см. рис. 4б, 5б, 6б), неравенствам (43) удовлетворяет волна LM₄ (рис. 7б). В частичной области 1 (рис. 1) сдвиг фаз между компонентами E_yи H_xнапряженностей LM-волн зависит от координаты y. Это обусловлено тем, что в слое полупроводника протекает ток.

При выбранных числовых значениях параметров линии передачи и нормированном волновом числе ky₂= 2 мнимая часть параметра β , определяемого равенством (17), удовлетворяет условию Im(Py₂) << —1, поскольку

(^ )2+(г^2 )2 = kDyl (с-0=

= -(2,13727 + 5,45716 i)-106 == 5,86076 -106 exp(- 0,61882 п i).

В данном случае, уже при небольших значениях координаты y справедливы следующие приближенные представления:

Аналогичным образом можно записать:

cos[p(yi - y)]« 2 exp{i Re[p(yi - y)]}x

Подстановка выражений (44)-(45) в (27) дает x exp{- Im[e(У1 - у)]}-

-

Z i—sin(8(1)У] )+8(1) cos(s(

×

Слагаемое в правой части (46), содержащее множитель exp[- Im(Py)], быстро возрастает с увеличением координаты y; слагаемое, содержащее множитель exp{- Im[p(у1 - у)]}, так же быстро убывает. В результате, при удалении точки наблюдения вглубь слоя полупроводника, комплексная амплитуда ρ~n быстро убывает по абсолютному значению, что иллюстрирует рис. 11 а. Вблизи этих границ функция ~n (у) описывается приближенными выражениями i — sin (s(1) уг )+8(1) β1

/s(i)

cos(o^v)У1

×

которые следуют из (46). Тем самым любая LM-волна возмущает электронную плазму полупроводника только в очень тонких приповерхностных слоях.

В таблицах 3-4 приведены нормированные значения координат y_p1и у_р2точек, в которых амплитуда переменной составляющей плотности заряда электронов проводимости I~n (У) на порядок меньше, чем на границах раздела полупроводник-металл и полупроводник-диэлектрик:

Таблица 3.

Нормированное волновое число ky 2= 2
Тип волны	LM1	LM2
-ypy У2	0,00115143099194	0,00115143132163
Урл~ У2	0,00115143099215	0,00115143132188
Ур2 У2	0,49884856900806	0,49884856867837
у^ У2	0,4988485690078	0,49884856867812

Как следует из рис. 1 1б, на границе раздела металл-полупроводник совпадают фазы переменной составляющей плотности заряда электронов проводимости в полупроводнике p^V и перпендикулярной составляющей напряженности электрического поля E^1) волны LM1

агд[рП1) (°)]=:'rg[E~y" (0)]-            (49)

Таблица 4.

Тип волны – LM1
ky2	0,1	1
^р,1 У2	0,00157183437282	0,00137565645622
Ур1~ У2	0,00157183437312	0,00137565645594
Ур2 У2	0,49842816562718	0,49862434354378
Уд^ У2	0,49842816562688	0,49862434354406

Рп (0)

Рп (Ур,1

Рп ⁽У1) Рп (Ур,2.

= 10.

Значения величин ур1 и ур,2 вычислены с использованием формулы (27) для ~n (у). Кроме того, в таблицах 3 и 4 приведены приближенные значения УрД~ и УрЛ~ величин Урд и Ур,2 , определяемые равенствами полученными из (47)-(48). Как можно убедиться, значения величин УрД, УрД ~ и Ур^, УрЛ~ совпадают с точностью до 10-12 значащих цифр, соответственно.

Результаты расчетов показывают, что данная закономерность справедлива и для других LM-волн линии передачи. Для обоснования указанного свойства запишем третье уравнение Максвелла для функций ET^¹)(у), ЕТ⁹⁾ (у) и ~П¹⁾(у):

^Ef dy

~ (1)

Представим входящие сюда комплексные величины следующим образом:

В результате уравнение (50) принимает вид

~⁽¹⁾                 ~^{(1)         1} |~⁽¹⁾                ~⁽¹⁾

Полагая y = 0 и используя условия (21)-(22) на границе раздела металл-полупроводник, получаем

I ^E¹¹(y) ⎝ dy ⎠

expi argE¹) (0)]}=

y=0

Приравнивая аргументы комплексных чисел, стоящих в левой и правой частях равенства, приходим к доказуемому фазовому соотношению (49).