Исследование разрешимости слабо-нелинейных дифференциально-алгебраических систем

Огромное количество прикладных задач радиофизики, теории управления, математической экономики моделируется системами дифференциальных уравнений с вырожденной матрицей при производной. При исследовании таких систем важную роль играло понятие центральной канонической формы, представленное в [1] ( см. также [2]). Несмотря на то, что теория для систем таких уравнений развивается и исследуется около 40 лет, терминология для них не является устоявшейся. В ходу такие названия, как « алгебро-дифференциальные системы » пли « дифферепщгалыющлгебрсгпческие ». « сингулярные » пли « вырожденные системы », « дескрипторные системы » [3 - 9]. В работе [10] было введено понятие обобщенной канонической формы для дифференциально-алгебраических систем с прямоугольной матрицей при производной не постоянного ранга. В данной статье, с использованием этой формы, исследуются слабо-нелинейные дифференциально-алгебраические системы.

Рассмотрим слабо нелинейную систему вида

L 1 x = A ( t ) x ( t, e ) + B ( t ) x ( t, e ) = f ( t ) + eZ ( x ( t, e ) , t, e ) , t G T = [ a,b ] ,            (1)

с краевым условием

Kx ( -,e ) = a + eJ ( x (> e ) , e ) ,                                    (2)

где A(t), B(t) - (m x n) - матрицы, x(t, e), f (t) - искомая и заданная вектор-функции соответствешю: K - липейный (p x n) вектор-фуикпиопал. a - p-мерный вектор. Z(x(t, e), t, e) ,J(x(t, e), e) - нелинейные вектор-функции, непрерывные по совокупности переменных соответствующего размера. Дальнейшие условия на нелинейности будут уточнены. Предполагается, что входные данные достаточно гладкие, и выполняется условие rank A(t) < min{m, n},t G T.                            (3)

В дальнейшем будем предполагать в соответствии с [10], что существуют квадратные матрицы P ( t ) , Q ( t ) G C l ( T ) ,l >  1 подходящего размера co свойством detP ( t ) detQ ( t ) = 0, которые заменой x ( t ) = Q ( t ) z ( t ) и умножения на матрицу P ( t ) слева приводят систему (1) к виду ■

P ( t ) A ( t ) Q ( t ) z ( t, e ) + [ P ( t ) A ( t ) Q ( t ) + P ( t ) B ( t ) Q ( t )] z ( t, e ) =                  (1)

М.А. Перепелица, А.А. Покутный

	E d 0 0 0 \ 0	0 N ( t ) 0 0 0	0 0 L ( t ) 0 0	0 0 0 L * ( t ) 0	0 0 0 0 0 m з x n з	/	г ( t, e )+
/	J ( t )	0	0	0	0	\
	0	E d 1	0	0	0
+	0	0	M ( t )	0	0		г ( t,e ) =
	0	0	0	M * ( t )	0
V	0	0	0	0	0 m 3 x n 3

= P (t) f (t)+ eP (t) Z (Q (t) ^ (t,e) ,t,e), с краевым условием

KQ ( • ) г ( •,e ) = a + eJ ( Q ( • ) г ( •,e ) ,e ) .

Ищется такое решение задачи (4), (5) порождающей краевой задачи	которое при e = 0 обращается в одно из решений
/ E d   0	0     0       0    \
0    N ( t )	00  0
0     0     L ( t )     0        0        г о( t )+
00	0     L* ( t )      0
00	0      0    0 m 3 x n 3
/ J ( t )    0      0	0       0    \
0    E d i    0	0       0
+  00 M ( t )	0         0         г o( t ) = P ( t ) f ( t ) ,                   (6)
0     0     0	M * ( t )     0
\ 0    0     0	0     0 m 3 x n 3

KQ ( • ) г o ( • ) = a.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

При выполнении условий теоремы 1 [10], система (6) будет иметь v- параметрическое семейство решений вида гo(t,c)= Xv(t)c + г([P(•)f (•)])(t), t E T, где

г ([ P ( • ) f ( • )])( t ) = X 1 ( t ) C^-e + / K 1 ( t,s ) P ( s ) f ( s ) ds + ^ C j ( t )( d/dt ) j ^p ( t ) f ( t )+ a                         j =0

+ C ( t ) w ( t ) +

t j K2(t,s)w(s)ds,

a здесь обозначения в правой части равенства такие же, как и в [10].

Подставляя в краевое условие (7), приходим к матричной системе

Bc = g,

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ где

B = KQ ( • ) X_v ( • ) — ( p х v ) — мерная л штрипа. g = а — KQ ( • ) Z ([ P ( • ) f ( • )])( • ) .

Система (8) разрешима [11] тогда и только тогда, когда.

P b * g = о ,                                          (9)

и множество решений имеет вид

С = B ⁺ g + PB r cr ,cr _E R r.

Здесь PBr, Pb* - проекторы на ядро и коядро матрицы B, составленной из линейнонезависимых векторов [12]. Тогда, множество решений порождающей краевой задачи (6), (7) может быть представлено в виде zо(t, cr) = Xr(t)Cr + Xv(t)B+а + (G[P(•) f (•)])(t),                      (10)

где Xr ( t ) = Xv ( t ) PBr.

( G [ P ( • ) f ( • )])( t ) = z ([ P ( • ) f ( • )])( t ) — Xv ( t ) B ⁺ KQ ( • ) z ([ P ( • ) f ( • )])( • )

• -    обобщенный оператор Грина.

Найдем теперь необходимые условия существования решений слабонелинейной краевой задачи (4), (5). Предположим, что существует решение z ( t,e ), которое при e = 0 обращается в одно из решений z о( t, cr ) порождающей краевой задачи (6), (7).Будем предполагать, что нелинейности в (1), (2) непрерывны в окрестности порождающего решения x о( t, cr ) = Q ( t ) z о( t, cr )• Тогда должно выполняться условие разрешимости

P b * ( а + eJ ( Q ( • ) z ( -,e ) ,e ) — KQ ( • ) z ([ P ( • ) f ( • )+ eZ ( Q ( • ) z ( -,e ) ,-,e )])( • )) = 0 ,       (11)

из которого в силу (9) и перехода к пределу при e ^ 0 получаем матричную систему уравнений для порождающих вектор-констант

F ( cr ) = P b * ( J ( Q ( • ) z о ( •, cr ) , 0) — KQ ( • ) z ([ Z ( Q ( • ) z o ( -,cr ) , •, 0)])( • )) = 0 .          (12)

Таким образом мы доказали утверждение.

Теорема 1 (необходимое условие). Пусть краевая задача (4), (5) имеет решение z ( t, e ). которос 'при e = 0 обращается о порекнсдающсс решение z о ( t,c_r ) (10) с вектором c_r = cr. Тогда вектор-констант cr долзюен удовлетворять матричному уравнению (12) для порож-дающих вектор-констант.

Для получения достаточного условия существования решения выполним замену переменных в краевой задаче (4), (5) вида.

z (t,e) = z о( t,cr) + y (t,e), в которой z о( t,c°) - порождатотнее решение крае вой задачи (б). (7) е вектором c° который удовлетворяет матричному уравнению для порождающих вектор-констант (12). Будем дополнительно предполагать, чтобы нелинейности Z и J были дифференцируемы в окрестности порождающего решения xо(t, cr) = Q(t)zо(t,cr). В новых переменных будем искать решение краевой задачи ■

P ( t ) A ( t ) Q ( t ) y(t,e ) + [ P ( t ) A ( t ) Q ( t ) + P ( t ) B ( t ) Q ( t )] y ( t,e ) =

= eP ( t ) Z ( Q ( t )( z о ( t, c 0 ) + y ( t, e )) ,t,e ) ,                             (13)

М.А. Перепелица, А.А. Покутный

KQ ⁽ • ) У ⁽ 4 ^е ) = ^EJ ⁽ Q ⁽ • ^{)( г} о⁽ -^,С Г + У ⁽ в ^е )) ^,е ) ,                         (14)

которое при е = 0 обращается в нулевое решение. Разрешимость краевой задачи (4), (5) эквивалентна разрешимости краевой задачи (13), (14). Используя непрерывную дифференцируемость нелинейностей в окрестности порождающего решения, выделим линейную часть по y II члены нулевого порядка по е:

Z ( Q ( t )( г о ( t, c ° + У ( t, е )) , t, е ) = Z ( Q ( t ) г о ( t, c ° ,t, 0) + A 1 ( t ) Q ( t ) y ( t, e ) + R ( Q ( t ) y ( t, e ) , t, e ) ,

J ( Q ( • )( г о ( •, C O ,e ) + y ( •, e )) = J ( Q ( • ) г о ( •, с о ) , 0) + lQ ( • ) y ( ;E ) + R i ( Q ( • ) y ( ;е ) ,e ) , где

A 1 ⁽ t ) A 1 ⁽ t, c r )     ^Z y ^ ⁽ v,^t,^E ) ( y = Q ( t ) z o ( t,c 0 ) ,e =0 ,l    J ⁽ v, ^E ) k = Q ( t ) z o ( t,c r ) ,e =0

• -    производные Фреше в точке ( v = Q ( t ) г о( t, c O ) , e = 0), а для членов более высокого порядка R ( y,t,E ) , R 1 ( y,E ) выполнены соотношения

R (0 , t, 0) = 0 , R ^(0 , t, 0) = 0 , R i (0 , 0) = 0 , R 11 У (0 , 0) =0 .

Таким образом, учитывая замену, будем рассматривать краевую задачу

P(t)A(t)Q(t)y(t, E) + [P(t)A(t)Q(t) + P(t)B(t)Q(t)]y(t,E) =(1Д

= e { P ( t ) Z ( Q ( t ) г о ( t, c ^ ,t, 0) + P ( t ) A 1 ( t ) Q ( t ) y ( t, е ) + P ( t ) R ( Q ( t ) y ( t, е ) ,t, е ) },

KQ (•) y ( ;е ) = e{ J (Q (•) г о (•, со), 0) + lQ (•) y ( ;е ) + R 1( Q (•) y (•, е ) ,е )},(16)

которая имеет решения в виде

• y(t,E) = Xr(t)cr + y(t,E), Cr E Rr,(17)

y(t,E)= EXv(t)B + {J(Q(•)го(;cor), 0)+ lQ(•)y(;E)+ R 1(Q(•)y(^,e),e)} +(18)

+e(G[P(•)Z(Q(•)го(•, сГ), , 0) + P(•)A 1(•)Q(•)y(,e) + P(•)R(Q(•)y(•, e), , e)])(t), при выполнении условия

P b . {J ( Q ( • ) г о ( ^,с Г ) , 0) + lQ ( • ) y ( ^ ,e ) + R 1 ( Q ( • ) y ( ^ ,e ) ,e ) -

-KQ ( • ) г ([ P ( • ) Z ( Q ( • ) г о ( ^,с Г ) , , 0) + P ( • ) A 1 ( • ) Q ( • ) y ( ^ ,e ) + P ( • ) R ( Q ( • ) y ( ^ ,e ) , ,e )])( • ) } = 0 .

Используя (12) и подставляя в линейную часть последнего выражения представление (17), получим матричное уравнение относительно c_r E R ^r:

B о C r = P b . {KQ ( • )( г [ P ( • ) R ( Q ( • ) y ( ;E ) , ;E^ ) + P ( • ) A 1 ( • ) Q ( • ) y ( ^,E )])( • ) -         (19)

- ( lQ ( • ) y ( ^,E )+ R 1 ( Q ( • ) y ( ^,E ) ,E )) }, где

B о = P b * {lQ ( • ) X r ( • ) - KQ ( • ) г ([ P ( • ) A 1 ( • ) Q ( • ) X r ( • )])( • ) }.

Для разрешимости (19) необходимо и достаточно выполнения условия

P b o P b * {KQ ( • )( г [ P ( • ) R ( Q ( • ) y ( ,e ) , ,e ) + P ( • ) A 1 ( • ) Q ( • ) y ( ,e )])( • ) -

- ( lQ ( • ) y ( ;E )+ R 1 ( Q ( • ) y ( ^,E ) ,E )) } = 0 ,

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ которое будет заведомо выполняться, если Pb*Pb* = 0. Решив (19) относительно cr, приходим к следующей матрично-операторной системе у (t,E) = Xr (t) Cr + у (t,E),

Cr = B 0 ⁺ P b * {KQ ( • )( 2 [ P ( • ) R ( Q ( • ) у ( "E ) , ;E ) + P ( • ) A i ( • ) Q ( • ) у ( ;E )])( • ) -

- ( IQ ( • ) у ( ;E )+ R I ( Q ( • ) у ( ;E ) ,E )) },                              (20)

у ( t, e ) = EXv ( t ) B ⁺ {J ( Q ( • ) 2 o ( •, c 0 ) , 0) + IQ ( • ) у ( ;E ) + R 1 ( Q ( • ) у ( •, e ) , e ) } +

+E(G[P(•)Z(Q(•)2o(>Cr), •, 0) + P(•)A 1(•)Q(•)у(;E)+ P(•)R(Q(•)у(,E), ,E)])(t). Введем вспомогательный вектор u = (у, cr, у)t E C 1(T) x Rr x C 1(T) (t - обозначает операцию транспонирования). Тогда систему (20) запишем в виде u=

0 X r ( t ) I

0    0     L i

u +

I g i g 2

где

Licr = Bo+ Pb*{KQ(•)(2[P(•)Ai(•)Q(•)у(^,e)])(•) - IQ(•)у(•),e)}, gi = Bo+ Pb*{KQ(•)(2[P(•)R(Q(•)у(^,e), ^,e)])(•) + Ri(Q(•)у(^,e),e)}, g 2 = EXv (t) B+{J ( Q (•)( 2 o( •, c0 ) + у (•, E )), E ) + E ( G [ P (•) Z ( Q (•)( 2 o( •, Cr) + у (• , E )), • , E )])(t)}.

В свою очередь, матричная система (20) эквивалентна следующей

Lu = g,

где

L =

I -X r ( t ) -I

0 I -L i

00 I

g =

g 1 g 2

Оператор L имеет ограниченный обратный L i. Действнтелг>ио. оператор L i может быть явно выписан в виде

_L - 1

I -X r ( t ) -X r ( t ) L i + I

0 I     L i

00 I

To, что так определенный оператор удовлетворяет равенству LL-1 = L-1L = I, проверяется непосредственной подстановкой. Ограниченность доказывается, как и в [13]. Система (21) тогда может быть записана в виде u = L-1S ( e ) и.

Для достаточно малого E оператор S ( E ) будет сжимающим. Тогда из принципа сжимающих отображений будет следовать, что матричная система (21) имеет единственную неподвижную точку, которая и дает решение краевой задачи (15), (16). Таким образом, нами установлено следующее утверждение.

Теорема 2 (достаточное условие). Пусть для оператора B о выполняется следующее условие:

( V P b * P b * = 0 .

М.А. Перепелица, А.А. Покутный

Тогда для произвольного вектора с = c 0 G R r, удовлетворяющего матричному уравнению для пороэюдающих констант (12), существует по крайней мере одно решение краевой задачи (1), (2). Это решение момсет быть найдено с помощью итерационного процесса (типа Ньютона-Канторовича) с квадратичной скоростью сходимости

Ук ₊i( t, e ) = eXv ( t ) B ⁺ {J ( Q ( • ) ^ o( •, c O) , 0) + lQ ( • ) yk ( •, e ) + R i( Q ( • ) yk ( •, e ) ,e ) } +

+ e ( G [ P ( • ) Z ( Q ( • ) ^ o( •C ) , •, 0) + P ( • ) A i( • ) Q ( • ) yk ( -^ ) + P ( • ) R ( Q ( • ) yk ( ,e ) , ,e )])( t ) , ck = B+ P b * {KQ ( • )( z [ P ( • ) R ( Q ( • ) yk (> e ) , ,e ) + P ( • ) A i( • ) Q ( • ) Ук (. e )])( • ) -

-(lQ (•) yk (V)+ Ri (Q (•) yk (>e) ,e))}, yk +1(t, e) = Xr(t)ck + yk(t, e), xk(t, e) = Q(t)zo(t, сГ) + Q(t)yk(t, e), k = 0,1,2,...; yo(t, e) = yo(t, e) = 0, сГ = 0;

x ( t, e ) = lim Xk ( t, e ) .

k→∞

Замечание. Отметим, что условие (i) выполняется, например, в том случае, когда rankB o = d.

Приведем простейшие примеры того, каким может быть вектор-функционал K , задающий краевые условия (2). При Kx (> e ) = x ( b ) — x ( a ) = 0, он задает периодическое условие. Если Kx ( ■, e ) = Mx ( a ) + Nx ( b ) = a, c p x n матрицами M и N, то получаем двухточечную краевую задачу.