Исследование решений линейной однородной системы дифференциальных уравнений

Чтобы просмотреть копию этой лицензии, посетите

Введение                               описании движения механических систем

Для построения математических моделей различных динамических систем следует выделить совокупность объектов исследования и определить условия взаимодействия внутри системы с учетом влияния дополнительных внешних сил. Основные законы динамики со времен Ньютона и развитие аналитических методов в работах Эйлера, Лагранжа и Гамильтона приводят к формированию систем дифференциальных уравнений, которые требуется исследовать, получить возможные решения и определить особые свойства.

Дальнейшее развитие аналитической механики связано с трудами многих выдающихся ученых своего времени при исследовании новых классов задач, в том числе проблем механики управляемого движения, и разработками новых методов [1–11] представления решений систем. Современная наука пытается изучать единый комплекс всего существующего, который проявляется столь многообразно в окружающем нас мире [12–21].

• 1.1.    Сравнение методов решения

Многие проблемы при исследовании динамических процессов приводят к сложным системам дифференциальных уравнений. В задачах классической механики скобки Пуассона или скобки Ли часто используются для решения таких уравнений. Это операторы для векторных полей, которые играют центральную роль в определении эволюции динамической системы во времени.

Для классических непрерывных интегрируемых моделей скобка Пуассона, данная в матричном виде, допускает простую геометрическую интерпретацию в терминах текущей алгебры. При такой интерпретации фазовые пространства модели являются интегральными многообразиями стандартной симплектической структуры. В случае дискретных интегрируемых систем можно построить интегральные многообразия для рациональных матриц, связанных с классическими алгебрами Ли.

Использование уравнений Лагранжа или канонических уравнений Гамильтона при позволяет после преобразований записать их в нормализованном виде. Для их приближенного решения мы можем выделить основную часть, а затем на основе последовательных приближений получить решение в виде отрезков степенных рядов по малому параметру с требуемой точностью.

В этой статье предлагается другой подход к получению решения в виде конечного произведения экспоненциальных матриц, если система удовлетворяет условиям теоремы Перрона о триангуляции системы уравнений.

Рассмотрим систему линейных однородных обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка x = A(t) x,            (1)

где A есть n × n матрица, интегрируемая на [0, ∞). Положим

t

X(t) = J A(ti)dti.

Через [ A, X ]( t ) обозначим скобку Ли матриц A и X , т.е.

[A,X] (t) = A(t)X(t) - X(t)A(t).

Далее положим

[A,X]_k (t) = [[A,X]_k —i ,X](t), продолжая процесс необходимое количество шагов.

• 1.2.    Основные утверждения и выводы

Теорема. Если A – матрица, интегрируемая на [0, ∞), то фундаментальное нормированное в нуле решение системы (1) может быть представлено в виде формального ряда произведений экспоненциальных матриц co            t

QCt) = exp{X(t)} ^exp{ J Ai(ti) dti}, i=i      о

CO

Z k

₊ ^j ^[A i-i , ^X i-i ^] k ^(t) , k=i'

t

Xi-i(t) = J Ai-i(ti) dti,  Ao(t)=A(t),

о

X o (t) = X(t), i = 1,2 .....^.

Если система удовлетворяет условиям теоремы Перрона о триангуляции системы уравнений [1], то решение такой системы можно представить в виде произведения не более m экспоненциальных матриц, где m – целая часть числа (n+3)/2. И, наконец, если

t

H (t) = exp{ J

A(t 1 ) dt i },

то производная такой матрицы определяется соотношениями

H = AH-HB или

H — HA- QH, где

B(t) —S 0=i^ [A,X] k (t) ,

^Q (‘ ⁾ =I(- ¹⁾ ‘ (f^^ _ij_i [ ^A^^] > (' ⁾ .

k=i

Доказательство. Согласно Коши (см, например, [1]) общее нормированное в нуле решение системы (1) можно записать в виде: n(t) — K^K (t),          (2)

где

K(t) — t           ti               ti-i

^{— J A}M^{J A(}_{t 2}}^ ^{J  A} ( ^t _I) ^dt<- d_t2d_tl

00   0

и K₀(t) = E - единичная матрица, которая да-

ет представление общего нормированного решения системы. Если система (1) окажется треугольной, то легко проверить, что на m-м шаге мы получим систему, матрица которой будет коммутировать со своим интегралом, то есть мы приходим к случаю Лаппо-Данилевского [6].

Откуда следует теорема, что возможно построить экспоненциальную матрицу, при- водящую исходную систему к треугольной форме. Положим

t

K i (t) = J A(t i )dt i = X(t), 0

t

к

Y k+i (t) = (Hl)! J [A’ ^X ] ^k (* 1№1 '

к I

Yk+i(t)0Yk+i(t) - (k + 1)!(( + 1)| x t x J [A,X]k (ti) J 00

^[A,X] ( ^(t 2 ) ^dt 2 ^dt i >

к, I - 1,2, ^,«.

Используя введенные обозначения, слагаемое K_i (t) из правой части (2) можно записать в виде:

Xi-1(t)    Xi-2(t)

^{K i (t) -} w ⁺ wY ^{2 (t) +} WY ^{3 (t)}

Sii+i2+-+is=kYii (t)°Yi2(t)°^°Yis(t) + + Eii+i2+^+im=lYii (t)°Yi2(t)° -°Yim(t),(3)

1 < s < -k, 1 < m < -i,

1 < I < m,2 < к < i,i — 1,2,

Легко проверить справедливость этого утверждения, отметив, что общие члены K j (t), введенные в формулу Коши (2), удовлетворяют соотношению

^^) —A(t)K_z _i (t), i —1,2гс . (4)

Следовательно, чтобы убедиться в справедливости выражения (3), достаточно проверить, что для него выполняется соотношение (4). Чтобы объяснить, как получается соотношение (3), покажем, как преобразуются первые члены ряда (2).

Применяя к K2 (t) метод почленного интегрирования, получим:

t t

^K 2 ^{(t) — X} 2 ^(t ) ^{— J J} 00

A(t2)dt2A(ti)dti.

Подставляя в это выражение iX2(t) —i J0t(A(ti)J0t1A(t2)dt2 + + J0t1A(t2)dt2A(ti))dti, получим

K 2 (t)— |X 2 (t)+|

J^t[A,X](t i ) 0

dti —

— ¹ X 2 (t) + ¹ Y₂(t).

Используя это соотношение и повторяя приведенные выше рассуждения, для K3 (t) найдем:

K₃(t) —J₀^tA(t i )K 2 (t i )dt i .        (5)

Остальные члены ряда, стоящего в правой части (2), получаются аналогичным образом.

Заменяя в (2) K ı (t) соответствующим выражением из (3), получим:

')

E + ^  ^  Y j_i °.Y j_s (t)

k=2 i1+—+is=k ii > 2, 1 < s < ik.           (

Полагаем        Z(t) = £ 0=2 ^ i (t).

Тогда (6) можно записать в виде:

Q(_£) = e * ^(t ) £“₀Z_z(t).       (7)

Здесь

Z0=E,    ... Zl = Z^Zl-1,.l>1.

Обозначим через Ω 1 (t) сумму ряда. Тогда общее нормированное в нуле решение системы (1) можно записать в виде:

^(t) = exp^TKcJrit^Q^t).   (8)

Из (2) следует, что Ω 1 ( t ) есть общее

нормированное в нуле решение системы x = A1(t) x.             (9)

Применяя к системе (9) вышеприведенные рассуждения, будем иметь

^1(0 = exp{J Ai(ti)dti}fl2(t), где Ω2(t) – общее нормированное в нуле решение системы уравнений x = A2(t) x,

где A 2 ( t ) определяется по тем же формулам, что и матрица A 1 ( t ).

Из сказанного следует, что общее нормированное в нуле решение системы (1) мож-

но записать в виде:

П( t) = exp

И

t

A(t 1 ) dt 1

• exp

I

}

t

A₁(t₁) dt 1

}

Mt).

Продолжая этот процесс, получим представление общего нормированного в нуле решения системы (1) в виде произведения бесконечного ряда экспоненциальных матриц. Но вопрос о сходимости этого формального ряда к решению системы (1) не является предметом исследования настоящей работы.

Таким образом, первое утверждение теоремы доказано. Сделаем в (1) замену переменных, положив x = Uy, где U – унитарная матрица, удовлетворяющая условиям теоремы Перрона [1] о триангуляции системы линейных дифференциальных уравнений.

Тогда (1) примет вид:

y = By,             (10)

где

В = U * AU - U * U

- верхнетреугольная матрица. Здесь символ * означает операцию транспонирования.

Как было показано выше, общее нормированное в нуле решение системы (10) можно

представить в вид:

4(t) = e^Q(t)V 1 (t).

Здесь

Q(t) = f0B(ti)dti, а 41 (t) - общее нормированное в нуле решение системы y = Bi(t)y,             (11)

СО

Z k (k+yA ^B ' ^Q] * ^(t) - k=1

Легко проверить, что матрица В 1 также является верхнетреугольной и что все ее элементы, стоящие на главной диагонали, равны нулю.

Повторяя все рассуждения для системы (11), найдем, что

4* 1 (0 = e « i ^(t)^₂(t).

где

Q 1 (t) = ttB 1 (t 1 )dt 1 , а 4 2 (t) - есть общее нормированное в нуле решение системы

У = B 2 (t)y, где, как нетрудно убедиться, B 2 – верхнетреугольная матрица, у которой не только элементы главной диагонали, но и элементы, стоящие на первой наддиагонали, равны нулю. Продолжая этот процесс, не более чем за 71 + 3

m шагов, где m есть целая часть от      , полу чим общее нормированное в нуле решение системы (10) в виде произведения не более чем m экспоненциальных матриц. Чтобы убедиться в справедливости этого утверждения, достаточно заметить, что полученная на m-ом шаге матрица Bm будет коммутировать со своим интегралом.

Из полученных результатов следует, что общее нормированное в нуле решение системы (1) можно представить в виде:

Q(t) = U(t) e ^Q(tl e ^Q1(t^... e^{Q m} ~ ^1(t .

Если U (t) представить в виде U(t) = e^r(t), то общее нормированное в нуле решение системы (1) может быть представлено в виде произведения не более чем m +1 экспоненциальных матриц. Заметим попутно, что если матрица U представима в виде e^r, то матрица Γ в этом случае будет кососимметричной.

Действительно,

U * = e^r,   U ^-1 = e^-r.

Но так как U * = U ^-1 , то из последних двух равенств находим, что

(e^r) * = e^-r.

Откуда следует, что Г * = —Г и значит матрица Γ является кососимметрической.

Вернемся к системе (1) и сделаем в ней замену переменных, положив x = Hy , где

t

H(t) = exp{^ A(ti) dti}.

Тогда y будет удовлетворять системе уравнений

y = (H-1AH — H-1H)y.

Но, как следует из соотношений (8) и (9), y (t) удовлетворяет системе уравнений

У = Ai у,

СО

Z k u+w.^[AA(t) - k=1

Сравнивая эти два равенства, получим:

A1 = H-1AH — H-1H.

Отсюда

H = AH — HA1.

Таким образом, мы получили формулу дифференцирования экспоненциальной матрицы.

Теорема доказана.

1.3. Пример

На основе метода ортогонализации Шмидта задача построения унитарного преобразования может быть сведена к задаче нахождения решения системы дифференциальных уравнений, коэффициенты которых однозначно определяются коэффициентами матрицы A из системы (1). В качестве примера приведенной выше теории мы покажем, как строится унитарное преобразование U , которое сводит систему дифференциальных уравнений. Например, для построения требуемого преобразования, приводящего к треугольной форме системы

x=A(t)x,  A=(a3  a^, просто найдите одно из решений определенного дифференциального уравнения

ф = q + c2 smф — c3cos ф ,

где ci = a2

—

a3, c2 = a4

—

a1,  c3 = a2 + a3.

Тогда матрица может быть выбрана в качестве желаемого унитарного преобразования

U = ep, P = (

—

1/2ф

1/2

)

Произведем в системе (1) замену переменных:

x = Hy, H(t) = exp{j A(t1)dt1'}.

Тогда легко проверить, что y удовлетворяет системе уравнений

y = (H-1AH — H-1H)y,

О

Z k

(k + ^i [A,X]k (t).

k=1^

Сравнение двух представлений решения дает желаемое утверждение.

Заключение

Показано, что фундаментальное решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений может быть представлено в виде формального ряда произведений экспоненциальных матриц. В отличие от формул Коши и Ляпунова [2] было получено другое представление решений системы однородных дифференциальных уравнений.

Кроме того, мы получили формулу дифференцирования экспоненциальной функции и показали, что задачу построения унитарного преобразования, приводящего систему к треугольному виду, можно свести к задаче отыскания решения специальной системы дифференциальных уравнений.