Исследование решения одного нелинейного интегро-дифференциального уравнения четвертого порядка

Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice

УДК 517.928                                       

Исследование решения нелинейных интегро-дифференциальных уравнений высокого порядка представляет теоретический интерес. Например, теоретический интерес представляет определение условий доказательства существования и единственности решения уравнения гиперболического типа четвертого порядка. Рассмотрено нелинейное уравнение четвертого порядка, доказано существование и единственность локального решения, определены условия существования решения. В работе использован метод дополнительного аргумента (МДА) и нелинейное уравнение сведено к системе интегральных уравнений с заданными начальными условиями. Доказательства этим методом существования локального решения уравнений различного порядка приведены работах [1-5].

C ( Q ),   C ⁽ k ) ( Q ),   Lip ( N _UM M\ „,...)

Используем классы функций                       ^{u v} и дифференциальный

∂∂

D[ o ] =--+ &—

∂t    ∂x следующее обозначение:

T ‒ некоторое заданное

оператор                    введенные в работе [1] и

Qn (T) = {(t 1, t 2, t З,", tn , x) 0 ^ t 1 ^ t 2 ^ t 3 ^ ■•• ^ tn ^ T, x e R}, где положительное число.

Материалы и методы исследования

Для начала рассмотрим интегральное уравнение (ИУ) типа Вольтерра вида:

t

p ( t , t , x ) = x - j u (s , p ( s , t , x )) ds ,

τ

Для всякой функции ^{u (} t ’ ^x ) ^e С  ^{( Q1(T})) так как ^u х ⁽ t , ^x ) ограничена справедливо

u ( t , x ) e Lip ( L )• соотношение              ^x

Для ^{p ( t} t ’ ^x ) имеет место равенство:

p T ,t,p ( t, 0 ,x )) = p( т , в ,x ),   T ,t, 0 ,x ) e Q 3 ( T )•

Докажем справедливость соотношения (2), для этого в (1) заменяя x через ^{p (} t^{, 0 , x} ) , имеем:

t p (t, t, p (t, 0, х; u)) = p (t, 0, x) — j u (s, p (s, t, p (t, 0, x))) ds.

τ

θ p (t, 0, х) = x — j u (s, p (s, 0, x)) ds,

Из (1) получаем               ^τ

Используя обозначение q ^{( r} , t, ⁰ ,x ⁾ = I p ^{( t} t ’ p ⁽ t, ⁰ ,x »^— p ^{( t0 x} ^ имеем ^:

θ

|p ( t , t , p ( t, 0 , x )) — p ( t , 0 , x )| <  x — j u ( s , p ( s , 0 , x )) ds —

t

θ

≤

-

t

— j u ( s , p (s , t , p (t , 0 , x))) ds —

τ

θ

θ x + j u (s, p(s, 0, x))ds |<

τ

t

j u ( s,p ( s, 0 ,x )) ds + + J u ( s , p ( s, 0 ,x )) ds — j u ( s , p ( s , t,p ( t, 0 ,x ))) ds <

t

τ

τ

t

t

< j u ( s , p(s , t , p ( t, 0 ,x ))) ds — j u ( s,p ( s, 0 ,x )) ds =

τ

t

= j (u ( s , p ( s , t, p (t , 0 , x ; u)))

τ

-

τ

u ( s , p ( s , 0 , x )) ds <

t

< j Lp ( s , t , p(t , 0 , x)) — p ( s , 0 , x )| ds.

τ

Следовательно, получаем:

t

q ( t , t , 0 , x ) <  j Lq ( s, t, 0 , x ) ds.

τ

Из (3), где t^{, 0 , x} играют роль параметров, вытекает тождество q^{( т ,} t , ⁰ ,^x ) ^{= 0}

Мы доказали выполнения тождества (2).

Вводим следующую функцию с дополнительным аргументом, используемую в МДА: v ( t , t , x) = u ( t , p ( t , t , x)),    v ( t , t , x ) = u ( t , x ).

.

Тогда из (1) получаем:

t p (t, t, x) = x — j v (s, t, x) ds,

τ

Если справедливо равенство

D[ v ( t, t , x )] v ( t , t , x ) = 0,

то из (4) имеем:

D[ v ( t , t, x )] p ( t , t , x ) = 0

Рассматривается производных вида:

Результаты и обсуждения нелинейное интегро–дифференциальное уравнение в частных

Х

D ²[ - u(t , x ] D ²[ u ( t , x)]u ( t , x ) = j u ( t , s ) ds + g ( t ),  ( t , x ) e Q j (T ),    X,T-const.

Уравнение (7) рассматривается с начальными условиями:

d k u ( t , x )

_я      \ t = 0 = ^ k ^{( x} ),    ^k = ⁰,¹,²,³,

k

^ ( x ) e C ^<4)( R ),   k = 0,1,2,3.

где

^ ( x ) e C ⁽⁴’( R ),   k = 0,...,3         _       _

Теорема. Пусть функции ^k                      удовлетворяют условиям:

D[ - u ( t , x )] D ²[ u ( t , x )] u ( t , x )|_{( =0}= 0 D ²[ u ( t , x )] u ( t , x )|_{( =0}= 0

u(t,x) e C<4)(G(T•), Тогда задача (1)-(2) имеет единственное решение                    где T*

Доказательство.

Для доказательства теоремы используем следующие обозначения:

z (t, x; u ) = D² [ u (t, x )]u (t, x),

Zj (t, x; u ) = D[-u (t, x)] z (t, x; u ), z2 (t, x; u) = D[-u (t, x)] z{ (t, x; u ).

0( t, x; u) = D[ u (t, x )]u (t, x).

С помощью введенных выше обозначений, запишем уравнение (7) в виде:

Х

D²[-u (t, x)] z (t, x; u) = j u (t, s ) ds + g (t)

Х

D[-u (t, x)] Zj (t, x; u) = j u (t, s ) ds + g (t).

Для задач (10), (8) используя МДА с учетом (9) сводим к следующему ИУ:

tХ

z₁ (t, x; u

) = j j u (s T) dTds +

0 0

t

В самом деле дифференцируя (12) по t и x, получаем (11). При t =⁰ вытекает равенство ^{z 1(0, x; u}) = ⁰- это условие теоремы.

Далее для (12), (8) используем МДА. Последовательное использование МДА представлено в работах [1]. Получаем ИУ вида:

tХ    t

z(t, x; u) = j (t - s) j u(s,t)d?ds + j (t - s)g(s)ds 0          0                     0

Мы получили (13), применяя последовательно МДА к уравнению (7). Обратно с помощью дифференциального оператора D[^] получаем (7) и условие (9) теоремы выполнено. Воспользуемся МДА еще два раза подряд, чтобы привести данную задачу к системе ИУ. Используя введенные выше обозначения, последнее уравнение (12) можно записать следующим образом:

(15) которой случаях,

tХ    t

D[u (t, x)]^(t, x; u) = j (t - s) j u (s,t)dTds + J (t - s)g(s)ds = I(t; u) 0          0                     0

Из (14) имеем:

t

0( t, x; u) = (p( p (0, t, x)) + j I (p; u) dp

0(t, x; u)| t=0  ^(x), здесь функция p(s, t,x) определяется из ИУ (1) и для выполняются (2), (6). Для (15) справедливо:

D[ u (t, x )]0( t, x; u ) = ^'( p (0, t, x)) D[ u (t, x)] p (0, t, x) +1 (t; u) .

Следовательно, в силу (6) получаем справведливость (14) и ^^{(0, x; u}) = ^ ^x).

Теперь рассмотрим решение задачи (15), (8). Применяем МДА:

t u (t, x) = щ 0 (P (0, t, x)) +1^( p (0, t, x)) + j (t - p) I (p; u ) dp

Применяя дифференциальный оператор ^D[®^] для (16), как и в предыдущих получим (15) и ^{u (0, x}) = ^{щ 0 (x}).

В результате мы свели поставленную задачу к системе ИУ (16), (1). Мы доказали их эквивалентность. Эквивалентность этих задач доказывается четырехкратным применением МДА к исходной задаче (7), (8) с условием (9) и наоборот с использованием дифференциального оператора D[^] для систем ИУ (16), (1). Нам достаточно проверить существование единственного решения задачи (16), (1).

Преобразуя (16) и используя принцип сжимающих отражений (ПСО), докажем существование единственного локального решения (16), (1).

В (16) сделаем замены t на s, x на p(s,t,x), принимая во внимание (2) получаем:

s(17)

u (s, p(s, t, x)) = щ0 (p(0, t, x)) + sp(p(0, t, x)) + I (s - p)I(p; u)dp

Из (17) учитывая (1), имеем:

tts

v(s, t, x) = щ0 (x - j v(t, t, x))dт) + s^(x - j v(t, t, x))dт) + j (s - p)I(p; u)dp, 0                                   00

v(s, t, x) = u(s, p(s, t, x)),   (s, t, x) g Q1 (T).

В результате мы свели задачу к ИУ (18).

Следовательно, мы видели, что достаточно доказать существование и единственность

v( s, t, x)                                   u (t, x) = v( t, t, x)

решения ’ ’ ’ последнего ИУ (18), так как ^v,         ’ ’ ⁷ .

Для (18) используем ПСО. Пусть:

v(t, t, x) = J (т, t ;v),                                                      (19)

Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice Т. 11. №2 2025 tts

J(т, t; v) = фо (x - J^(т, t, x))dт) + И( x - J и(т, t, x))dr) + J(s - p)I(p;u)dp,.

0                                  00

ρХ

I(p; u ) = J (p - s) J v(s, s, т)d тds + J (p - s)g(s)ds.

0           00

Покажем, что уравнение (19) имеет в области Q1^(T) при T*< T единственное,

IИ< М.

непрерывное решение, удовлетворяющее неравенству

При T< T получаем оценки:

s

ρХ

IJ (т, t; v )| = У 0 (p (0, t, x)) + ти( p (0, t, x ))| + J (s - p} J (p - s) J v( s, s, т) dтds +

ρ

J (p - s) g (s) dsdp<

< y 0I+t И+MX ^+

II g||-<0 0( T *),

где

• 3             2

О 0( S) = У 0II + 1И S + МХ Y + 1 |g|ly.

IJ (т, tvj - J (т, t V 2)| < T * Q || Vj - V 2 || q2 (T *), где

Q = У ‘1+Ит+^.

Заключение

Таким образом, мы доказали: уравнение (18) имеет единственное решение и норма не превосходит 2Ω0(T*). Кроме того, для решения уравнения (18), основанного на ПСО, имеются непрерывные частные производные до четвертого порядка по всем аргументом. Теорема доказана.