Исследование решения одного нелинейного интегро-дифференциального уравнения четвертого порядка

Рассмотрено нелинейное интегро-дифференциальное уравнение в частных производных четвертого порядка, доказано существование и единственность локального решения, определены условия существования локального решения. Доказательство проводилось с помощью метода дополнительного аргумента. В последнее время этот метод применяется для сведения нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных высокого порядка в интегральные уравнения и системы интегральных уравнений. Этот метод был разработан кыргызскими учеными и использован для решения нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. В настоящее время метод дополнительного аргумента развивается для различных новых классов нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных высших порядков и систем нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Рассмотренное в статье нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных четвертого порядка представлено в операторной форме, причем метод дополнительного аргумента использовался несколько раз подряд. В результате было получено интегральное уравнение и для определения существования и единственности решения интегрального уравнения использован принцип сжимающих отражений. Неизвестная функция в интегральном уравнении содержит дополнительный аргумент, и в результате приравнивания дополнительного аргумента времени можно получить локальное решение исходной начальной задачи. Результаты могут быть использованы при исследовании решения других нелинейных дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений высокого порядка.