Исследование устойчивости положения равновесия системы динамики биоценоза в условиях межвидового взаимодействия

Введение. В статье рассмотрена задача об устойчивости по части переменных нулевого положения равновесия математической модели, описывающая динамику биоценоза в условиях межвидового взаимодействия типа «хищник-жертва», представляющую собой нелинейную систему обыкновенных дифференциальных уравнений с возмущениями в виде векторных полиномов. Исследуемая система рассмотрена при условии, что рождаемость биологических видов не превышает смертности. Материалы и методы. Получены достаточные условия устойчивости и асимптотической устойчивости по части переменных нулевого положения равновесия системы. Доказательство основано на построении операторного уравнения в банаховом пространстве, связывающего решение исследуемой системы и ee линейного приближения. На основе принципа Шаудера о неподвижной точке доказано существование решения операторного уравнения. Для завершения доказательства показано, что между решениями исследуемой системы и ее линейного приближения существует локальная асимптотическая эквивалентность по Брауеру, причем разности между компонентами решений исследуемой системы и ee линейного приближения стремятся к нулю равномерно по начальным значениям. Результаты исследования. В качестве примера рассмотрена модель типа «хищник-жертва» в случае, когда два вида питаются третьим. Приведены условия устойчивости и асимптотической устойчивости по части переменных тривиального положения равновесия системы динамики численности двух популяций «хищников» и одной популяции «жертв» при различных коэффициентах рождаемости биологических видов. Построены графики численности популяций при различных значениях разности между рождаемостью и смертностью соответствующих видов. Обсуждение и заключения. В зависимости от разности между рождаемостью и смертностью биологических видов проведен анализ динамики численности двух популяций «хищников» и одной популяции «жертв» с течением времени.