Исследование возможностей решения в замкнутом виде начальных задач для линейных интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра с функциональным запаздыванием

В работах [5]-[7] исследовался вопрос о возможности преобразования начальных задач для интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра с запаздывающим аргументом различных типов (запаздывающего, нейтрального и опережающего) к разрешающим интегральным уравнениям Вольтерра с обыкновенным аргументом.

Общий вид таких уравнений можно записать в виде:

= f ( x ),

y ⁽ i ) ( u , ( x )) = D ^{- 1}

n

Z У ( ^ ^{- 1}) ( x 0 )

s = 1

d i A _s ( u j ( x ) - x ₀) dxⁱ

jx) di An (uj (x) -1) + f —dxi—• x0

' ⁿ

' ⁿ

-^ ( t ) dt + Y i u j ( x ) ^ ( u j ( x )),

(3 i )

где i = 0, n , Y _n = 1, Y i = 0 V i = 0, n - 1, D=D ( r 1 , r ₂, , r_n ) - определитель Вандермонда, составленный из неопределенных параметров r ₁, r ₂, , r_n .

Параметры определяются в ходе решения задачи исходя из оптимальности ее решения, определитель ∆ _s ( x - t ), s = 1, n получается из определителя D заменой s-й строки строкой exp r ₁( x - t ),exp r ₂( x - t ) , … , exp r_n ( x - t ) и µ ( x ) – новая неизвестная функция.

В результате исследований получены следующие результаты: начальные задачи для всех уравнений запаздывающего типа (если f_nj ( x ) ≡ 0 и K_nj ( x , η ) ≡ 0 ∀ j = 1, l , а f_{n 0}( x ) ≠ 0), для уравнений нейтрального типа (выполняются условия f_{n 0}( x ) ≠ 0 и ∃ j ≠ 0 , для которых f_nj ( x ) ≠ 0 и K_nj ( x , η ) ≠ 0 одновременно или по отдельности, если же f_{n 0} ( x ) ≡ 0 , то ∃ K_nj ( x , η ) ≠ 0 для j ≠ 0 ) и для уравнений опережающего типа (если f_{n 0}( х ) ≡ 0 , K_{n 0}( x , η ) ≡ 0 и ∃ j ≠ 0 , что f_nj ( x ) ≠ 0 ) преобразуются к разрешающим интегральным уравнениям с обыкновенным аргументом одного и того же вида

V j ( z )

Д (z ) + J P j ( z , t ) ^ (t ) dt = R ( z ).                          (4)

x ₀

Постановка задачи и её решение

Исследования возможностей решения начальных задач в замкнутом виде проведем, опираясь на результаты работ [5]-[7] .

• а)    Решение в замкнутом виде получим, если в уравнении (4) параметры r i , i = 1, n можно определить так, что R ( z ) ≡ 0 . Тогда однородного уравнения (4) будет µ ( z ) ≡ 0 (в силу единственности решения при выполнении условий ограниченности функций R ( z ) ≤ F , P_j ( z , t ) ≤ Q в заданном квадрате u_l ( x ₀) ≤ z ≤ u_l ( b ) ) и решение первоначально поставленной задачи найдётся по формуле (3₀) n

У ( z ) = D -¹ £ у ^{( 1 - 1)} ( x о ) А , ( z - x о ).                       (5)

s = 1

• б)    Другой возможный вариант решения в замкнутом виде получим, если параметры r i , i = 1, n можно определить так, что P_j ( z , t ) ≡ 0 ∀ j = 0, l . Тогда решение разрешающего уравнения (4) будет µ ( z ) = R ( z ) и по формуле (3₀ ) найдётся решение поставленной начальной задачи

n ^x

y ( z ) = D ^{- 1}

2 У ^{( $ - 1)} ( x о ) А _$ ( z - x о ) + J А n ( z - t ) R ( t ) dt

s = 1                                     _x

Хорошо известны методы решения (в том числе и точные) обыкновенных интегральных уравнений типа Вольтерра

v ( z )

д (z ) + J P ( z , t ) д ( t ) dt = R ( z ).                                (7)

x ₀

Это методы дифференцирования, применения рядов (степенных, Неймана, Фурье), принципа сжатых отображений, операционные методы и другие, многие из них приведены в справочниках по интегральным уравнениям [3], [4].

Исследуем далее возможные варианты постановки начальных задач, которые приводили бы к разрешающим уравнениям вида (7).

• в)    Для уравнений запаздывающего и нейтрального типов с одним функциональным запаздыванием

  n - 1

  
  

  x

  
  

  У ⁽ n ) ( x ) + ^ [ f( x ) У ⁽¹) ( u ( x )) + +^ J K i ( x , п ) У (¹) ( u ( п )) d n ] = f ( x ), « ( x ) ^ x , « ( x ) ^^ x      (8)

  
  

  i = 0

  
  

  a

  
  

найдём ядра P ₀( x , t ) , P ₁( x , t ) и функцию R ( x ) разрешающего уравнения (4) по формулам работ [6]-[7]

n

Po( x, t) = D-1 j i=0

f o ( x )

d ‘ A n ( x - t ) ∂ xⁱ

+

x

A J K . o ( x , П ) t

^^ШТ dn

∂ η ⁱ

+ A K n o ( x , t ) = D ^{- 1}

d n A n ( x - t )

d x n     ^,

так как f , ₀( x ) = 0 V j = 0, n - 1 и f n ₀( x ) = 1, K i ₀( x , n ) = 0 V j = 0, n. Далее найдём

n

P1( x, t) = D-1 j i=0

d ‘ A n ( и ( x ) - t ) +

AxKi (x, n)               dn t i             ∂ηi

R ( x ) = f ( x ) -

n - 1           n

^ J d ^{- 1} j y ⁽ ^ ^{- 1)} ( x 0 ) i = 0 [ s = 1

f ( x )

d ' A _s ( и ( x ) - x ₀) dxⁱ

+

x

+ A J K ( x , n )

c

d ' A ^ ( и ( n ) - x 0 ) d η ⁱ

d n + A^K i l x , n ^>Ф >г ( и ( n )) d n* , _ a i = ⁰

где c = и '( x ₀).

Для уравнений рассматриваемых типов в этом пункте для получения разрешающего уравнения вида

(7) достаточно так определить параметры r i , i = 1, n , чтобы P ₀( x , t ) = 0 или P 1 (x , t ) = 0.

Такие варианты, как показывают рассмотренные далее примеры с их решениями, есть. Например, при n=2, если положить r = r ₂ = 0, то, применив правило Лопиталя вычисления пределов, найдём

Л²Л                    г²^ ^r 2 ⁽x ^- t)-r²pr ^{1 (} x ^- t )

P ₀ ( x , t ) = D-¹---- 2^ ' = lim '-----------¹------- = r 1 (2 + r ( x - t )) e r ⁽ x ^- t ) = 0.

d x        ^r 2 ^ ^r 1         r₂ - r

Как видим, для задачи (8), (2) получим разрешающее уравнение Вольтерра с обыкновенным аргументом вида (7).

• г)    Для уравнений запаздывающего и нейтрального типов с одним функциональным запаздыванием только под знаком интеграла

  n

  
  

j f ( x ) y ⁽¹) ( x ) + A J K i ( x , n ) y ⁽ i ) ( и( n )) d n = f ( x )

i = 0

найдём ядра P ₀( x , t ), P 1 (x , t ) и функцию R ( x ) разрешающего уравнения (4), воспользовавшись формулами работ [5]-[6]

P0 (x, t) = D-1 jn; f (x)dAn (x  t), P1 (x, t) = jn; Ax Ki (x, n)dAn (и1 (n)  t) + AKn (x, и-1 (t))и'n-1 (и-1 (t)), i=0           dxi                  1=0 t                 dn'

nn

R ( x ) = f ( x ) - j ^ D -¹ j y ^{( s - 1)} ( x 0 ) i = 0 [ s = 1

f_i ( x )

d ' A _s ( x - x ₀) dxⁱ

+

x

+ A J K ( x , n )

c

d ' A s ( и ( n ) - x 0 ) d η ⁱ

cc dn + AJK(x,п)Ф(и(n))dn *. _ a

В этом случае также возможны варианты определить параметры r i ,i = 1, n , так, чтобы P ₀( x , t ) = 0или P 1 (x , t ) = 0.Тогда получим для задачи (9), (2) разрешающее уравнение Вольтерра с обыкновенным аргументом вида (7).

• д)    Для уравнений нейтрального и опережающего типов с одним функциональным запаздыванием вне интеграла

  n

  
  

  j f ( x ) y ⁽ ' ) ( и ( x )) + A J K ' ( x , n ) y ⁽ ' ) ( n ) d n = f ( x ),

  
  
  
  

  i = 0

  
  

  a

  
  

воспользовавшись формулами работ [6]-[7] , найдём ядро P(z,t) и функцию R(z) разрешающего уравнения (4)

4 D -¹         u <( ^z )                  d ( n - t )

PXz,t) = 'n. -I, „ I f Ki(u (Z),n) —~—(+1 + 4Kn(u (z),u (t)), u (u (z)) i=o -t                      dn

P i ( z , t ) =

u'ⁿ ( u ^-1( z ))

n

I f ( u ^{- 1} ( z )) D ^{- 1}

i = 0

d i A n ( u ( u *( z )) - 1 ) ( d u "V z )) i

nn

R ( z ) =            l f ( u ( z )) - I ^D I y ⁽ s ^{- 1)} ( x o )

u ( u ( z )) [                  i = 0 L      s = 1

u ^{- 1} ( z )

+ 4 J K i ( u ^{- 1} (z ), n )

c

f ( u"4 z ))

d‘ A s ( u ( u У z )) - x ₀) ( du ^-1( z )) i

+

d i A _$ ( n - x o ) d n i

d n

+ 4 J K i (u "¹( z ), n ) ^ -( n ) d n  - .

a                            J

Случай, аналогичный предыдущему, при P _o( z , t ) = 0или при p ( z , t ) = 0 получим для задачи (10), (2) -разрешающее уравнение Вольтерра с обыкновенным аргументом вида (7).

• е)    Для уравнений с одним функциональным запаздыванием, когда отсутствует функция y ( x ) и её производные вне интеграла и под знаком интеграла

n-1

У(n)(u (x)) +1 f( x) y(i)(u (x)) + 4JI Ki (x, n) y(i)(u (n)) dn = f (x),(11)

i=0

найдём ядро P ( z , t ) и функцию R ( z ) разрешающего уравнения (4) по формулам работы [7]

1 I-,

P ⁽ z * t ) =   -n₍ -V . I l D   f^u ( z ))

u ( u ( z )) i = 0 ( L

d ' ^{A ( u ( u (} z )) ^- t )     / ^{( z} )       -         d i ^{( u (} n ) ^- t )

—n---1---i----+ 4    Ki(u (z),n)----:—

(du (z))             Jd

+ 4 K i ( u "1 ( z ), u "1 ( t )) u ‘ ^{n - 1} ( u ^{- 1} ( t )) } ,

R ( z ) = ,n ¹     { f ( u - ( z )) - ]T { D - ]E y s ^-1) ( x 0 ) f ⁽ u -^{1 (} z ))

d i A , ( u ( u "*( z )) - x 0 ) + ( du ^-1( z )) i

u (u (z)) I                   i=0 I

“ r ^{z 1}                  d* A ( u( n ) - x „)

+ 4 I K ( u -'( z ), n )---- s ⁰  d n

,                      d n

+ 4 J K ( u ^{- 1} ( z ), n ) ^ -( u( n ))dn > > .

Получим для задачи (11), (2) разрешающее уравнение Вольтерра с обыкновенным аргументом вида

Примеры

Пример 1. Найти решение начальной задачи для уравнения запаздывающего типа x x n y (x)- 2 У ( ) + J У фdn = ex - 1,

,                                     0

x^ x x^Xx 1

y ( x ) = x , y ( x ) = 1, y C-^) = ^, y c-^) = -, x 0 = 0.

Решение. Так как x0 = 0 , x0 = 0, то начальное множество состоит из одной точки Exo =[0]. Выпишем данные поставленной задачи f 20 (x) = 1, fu(x) = -2,4 = 1, K11 (x, n) = 1, f (x) = ex -1,

y ( x 0 ) = y (0) = 0, y ( x 0 ) = y (0) = 1, y ( x ° ) = 0, y ( x ° ) = - .

Найдём c ₀ = 0, c 1 = 0, D = r₂ - r 1 и для сокращения объёма выкладок положим r 1 = 0 , тогда по формулам, приведённым в работе [5], главы 1, п.1.2., найдём

D ¹ = r ₂ ¹ , A 1 ( x - t ) = r ₂,

дА 1 ( x - t ) _ д ² A 1 ( x - t )

д x

д x ²

= 0, A ₂( x - t ) = e ' ² * ^x ‘ )

- 1 ,

^дА 2 ^{( x -} t ) ₌     x-t..x - 1 )

-X              r2e         , дx

д2A2(x-t)    2 r(x. .x

----J x         'e x t ) , ^A 1 (^ - t ) = Г 2 ,

"1 A / x X "l2 A / x X дА1(2 - t) д A1(2 - t)

д x

д x ²

= 0,

x

. , x . ^{r (}.^- t )

^A 2 ⁽2 ^- t ) = ^{e 2}

_

x дА2 (t) . x

1 r ^^- t )

1, -----------= — re 2 , д x       2 2

д ² A 2 (| - t ) a x²

x

1 2 r ' - ^- t ) = — re ² .

4 ²

Функции гибкой структуры от аргументов x, x/2 и их производные примут вид

y(x) =-L er2x

r2

-1 + j (er2( x- t)

1) ^(t)dt , y(x) = —

I               2    r2

x x 2 x

e22 -1 + j(e2 )-1)д(t)dt

o

,

x

y'(x) = er2x + JV2(x-t)^(t)dt, y'ф = —

0                    ^{2    r}2

x

Г 'lx²Г '2 (x -1)

уe²+ je²Xt)dt

²      0 ²

y "(x) = r2 er2 x + r2 jer2( x- t) Д( t) dt + Д( x).

Подставив данные задачи и найденные значения функций и их производных в исходное уравнение, найдём свободную функцию R(x) разрешающего интегрального уравнения (4)

R(x) = f (x) - ^^ D-¹    y^(s-1)(0) fj (x)

j=0i=0

s=1

d A_s (u (x))   x d A_$ (u (n))

---—j---+ K,(x, n)---—--- dxi         j j            dri*

dn • =

x

= ex -1 - r- [ f ц(x)A‘2 (U1 (x)) + f 20 (x)A2 (u0 (x)) + j Kn (x, n) A2 (U1 (n))dn] = x           -1

= ^{e -1 -}r2

x

П ¹r² ?   1   2 rx 1    '

-2— re²+ re²+ e

22        2

x

. '2 2

-

1 = e

x r x^{2 x} - 1 + e²

-

rx r2 e 2

-

x

-1 r22       -1

r2 e^{2 +}r2 .

Нетрудно увидеть, что оптимальное значение r₂ при решении этой задачи будет r₂= 1, тогда R(x) = 0 и разрешающее уравнение однородное. В силу единственности решения разрешающего уравнения ^(x) = 0, и по формуле (3₀) найдём решение поставленной задачи n

y(x) = ^ y^(s-1) (0)As (x) = y(0)A1 (x) + y‘(0)A2 (x) = A2(x) = ex -1, y(x) = ex -1.

s=1

Проверка показывает, что условия начальной задачи выполняются.

Пример 2. Найти решение начальной задачи для уравнения нейтрального типа

x y (x) - y (sin x) + j y (sin n)dn = 0, дём    c0 = 0,    c1 = 0,    D = 1: A1(x -t) = er(x-t)| = er(x-t),    dAi(x_t2 = rer(x-t>, A1(sin x -t) = e(sx-t>,

1        1                         dx dAj (sin x -t)      r (sinx -t)

--------------= re • cos x.

dx

Получим разрешающее уравнение непосредственной подстановкой в уравнение функции гибкой структуры и её производных

Д( x) + Dy (xo) dMx) + | dx -

dA, (x -t)

----------^( t) dt dx

- D^-1

Sinx y (x0 )Aj (sin x) + j A; (sin x -t)^(t)dt + -                                   J

+D^-1j {cos^(sin n) + D^-1

dAj (sin n),    sirn dA, (sinn -t)  , _ , n „ y (0)—1----d n + ------------M( t) dt ]}dn = 0, dn00 x                                     sin xx

д(x) + rerx + jrer⁽x^-t)д(t)dt- e^rsinx - j e^r(sinx^-t)д(t)dt + jcosn^(sinn)dn +

0                                    00

x                                xsin

+j rer^sinn cos ndn + + r j dn j er^(sinn-t)cos n^(t)dt.

0                                00

xsin

д(x) + rerx + j rer(x-t)д(t)dt - ersinx - j er(sinx-t)д(t)dt + x                              x                          x     sinn

+ jcosn^(sinn)dn + jre^rsinn cosndn +rjdn j e^r(sinn-t)cosn^(t)dt.

0                              0                           0      0

Легко заметить, что оптимальное значение r = 0 и разрешающее уравнение будет sin x              sin x

^(x) -1 - j ^(t)dt + j ^(t)dt = 0, откуда ^(x) = 1.

По формуле (30) найдем xx

y(x) = D^-1[y(0)A1(x) + j A1(x -1)^(t)dt] = e^rx + je^r(x^-t)dt = 1 + x .

Пример 3. Решим задачу Коши для уравнения опережающего типа

x

4 y "(ут) - j y (n) dn = - x, y (x) = x²+1, y'(x) = 2 x, 2₀

Г \     2        / \

( x I x .A x I x y — = — +1, y — = , x0 = 0.

• 12 J 4 I 2 J 2 ⁰

x1

Решение. Выпишем данные задачи: u0(x) = x, f 21(x) = 4, z = —= u1(x), x = 2z = u11(z), 0 < z < —, u‘(x) = 2, ^ = -1, K00(x, n) = 1, f (x) = -x .

Для данной задачи начальное множество состоит из одной точки E = E0 и E0 = [0].

Ядра и свободную функцию разрешающего уравнения можно найти по формулам для разрешающего уравнения (4), но так как порядок уравнения небольшой и коэффициентов мало, то выгоднее получить разрешающее уравнение непосредственной подстановкой функции гибкой структуры (30)-(32) в данное уравнение

,      2               d²А,(x)) xd²А₂(x-t)

M T) + 4X D "1 y⁽s(0)   , 2 + J---24----M( t) dt

2    t1                dx2     J0    dx x x2

"JD-1 X

n

y^($-1)(0)А_$ (n) + J A₂(n -1)Ц(.t)dt dn =

- x.

Для сокращения объема выкладок положим r₂= r₁= r и, подставив значения выражений

∂ⁱ∆_s(u_j(x) -t)

limD 1             , i = 0,2, j = 0,1, s = 1,2 , которые могут быть вычислены по правилу Лопиталя, r2→r∂ найдем

x

2x                                     xx

r( -t)

µ( ) + 4 e²    (2 + r( - t))µ(t)dt - µ(t)dt (η- t)e^r(η-t)dη=

20       4        2

rx

= -x + e²r

1+r

+ J (1 - rn)e^mdn .

x

Наиболее простое разрешающее уравнение будет при r = 0 и, положив z = , получим

2z

µ(z)- 1 (2z-t)²µ(t)dt=0..

В силу единственности решение однородного разрешающего уравнения будет µ(z) ≡ 0 , и решение поставленной задачи при r₂= r₁= 0 найдем по формуле (3₀ )

y(x) = D^-1

X ys 1(0)A s (x) + J A₂( x -1 )^( t) dt s =1                          ₀

= limD^-1∆₁(x) = (1- r(x-x₀))e^r(x-x0)= 1 .Нетрудно прове-r₂→r        ^{1                         0}

рить, что условия начальной задачи выполняются.

Заключение

Мы рассмотрели наиболее общие случаи интегрируемости в замкнутом виде. Возможны и более частные случаи уравнений, допускающие возможность получения точного решения задачи Коши.