Исследование возможности подавления бокового лепестка диаграммы направленности малыми смещениями элементов антенной решетки

Для управления диаграммой направленности (ДН) антенных решеток (АР) применяются как амплитудно-фазовые методы [1-2], так и геометрические методы, основанные на изменении взаимного расположения излучателей в апертуре [3–11]. Геометрический подход относится к числу классических направлений синтеза антенных решеток. В работах [3-5] показано, что неравномерное размещение элементов существенно влияет на структуру множителя решетки и уровень боковых лепестков (БЛ). В работе [6; 11] задача синтеза дискретных излучающих систем рассматривается с точки зрения обеспечения требуемых энергетических показателей направленности и формирования нулей угло-частотных характеристик. В работах [7; 9; 10] также исследуются различные варианты управления диаграммой направленности за счет изменения геометрии апертуры, в том числе случайным образом.

В работе [8] показано, что для управления диаграммой направленности достаточно перемещать не все элементы, а только их часть, однако не показано, насколько эффективно смещение конечного числа элементов для подавления бокового лепестка и какова требуемая величина этих смещений. При больших смещениях отдельные элементы заметно сближаются с соседними, поэтому диаграмма направленности изменяется не только из-за новой геометрии решетки, но и из-за изменения взаимного влияния [2]. Поэтому интерес представляет случай малых смещений, которые, с одной стороны, изменяют множитель решетки, а с другой – не приводят к значительному росту уровня взаимного влияния.

Рис. 1. Используемая система обозначений и конфигурация рассматриваемой решетки

Fig. 1. The notation used and the configuration of the array under consideration

Таким образом, в настоящей работе рассматривается возможность изменения уровня выбранного бокового локального максимума (лепестка) ДН при малых смещениях конечного числа элементов плоской антенной решетки. Целью работы является получение соотношений, связывающих изменение уровня бокового лепестка с малыми геометрическими вариациями апертуры, и оценка требуемых смещений для его уменьшения.

1.    Определение боковых лепестков антенной решетки

Полную диаграмму направленности антенной решетки без учета взаимного влияния можно представить в виде произведения диаграммы направленности изолированного элемента F₃ ( ₀ ^ и множителя антенной решетки AF ( в , ф ) :

F arr ( в , ф ) = F ( в , ф ) • ^AF ( ^в , Ф ) .

В дальнейшем основной интерес представляет именно множитель решетки, поскольку закономерности изменения боковых лепестков при смещениях элементов определяются прежде всего геометрией апертуры и фазовым распределением.

На рис. 1 показана используемая система обозначений. Координаты n-го элемента решетки в плоскости апертуры обозначены через xn и yn. Направление главного лепестка задается направляющими косинусами и о и v 0, а направление выбранного бокового лепестка – направляющими косинусами Ui и vi. Во всех последующих численных примерах рассматривается квадратная плоская решетка 8 х 8 элементов, размещенная в апертуре 7Хх 7X с межэлементным расстоянием 0,875k

Множитель решетки может быть записан в виде AF ( 9 , ф ) = L N =_t) w_n e ⁽-jk ⁽ x n u ^(M+ y n v ^(в ' ^ф))) ,          (1)

где и ( в , ф ) = sin 9 • cos ф , v ( в , ф ) = sin в • sin ф - направляющие косинусы; w n = e jk ⁽ xⁿu ^{0 +} y n v ⁰ ) , n = 1,2, ..., N -комплексные весовые коэффициенты; k = 2 п / X - волновое число, k - длина волны.

После подстановки весовых коэффициентов, получим

AF ( и,v ) = L N = , e^{4k (} x n ^A u ⁺ y n ^{A v} ) ) ,                    (2)

где А и = и - и о , A v = v - v 0 .

Для исследования боковых лепестков удобно рассматривать функцию

P ( и , v ) = I AF ( и, v ) |2 .                                         (3)

Локальные максимумы функции AF ( и, v ) и функции P ( и , v ) совпадают по положению.

Для компактности записи введем суммы

A ( u , v | =! N = , U j ( x n ^{A и +} y - ^A ' », A y ( и , . M N = , y n J-j^kx ^{A U +} . y n ^A • ».

A xx I u,v ).l N =„ x ^^-* ( x n ^{A U} ' y n ^A ' ”,

A ,, ( U,v M N = , y 2 -ej ^{A U} '⁺ y n ^A ' »,

A x.[ u, v ) =I N = , Wn-^{j A U +} ’ ■ ^A '".

Тогда условия стационарности функции P ( и, v ) имеют вид

PU = 2k • Im (Ax • AF* )= 0,

Pv = 2k • Im (Ay • AF* )= 0.

Стационарная точка является локальным максимумом и, следовательно, боковым лепестком ДН, если матрица Гессе uuuv

Р Р uvvv

является отрицательно определенной, где

P UU = ^{2 k 2} ( I A x р - Ke ( A xx •^AF *) ) , P vv = ^{2 k 2} [ I A , 12 - ^R e ( A yy •^AF *) ] , P uv = ^{2 k 2} ( ^R e ( A x • ^A, ) - ^R e ( A xy • ^AF * ) ) .

Таким образом, боковые лепестки можно рас- сматривать как стационарные точки функции P (и, v), найденные по выражениям (4)-(5) с отрицательно определенным гессианом (6).

ф, град

Рис. 2. Карта нормированного уровня P ( u , v ) рассматриваемой решетки без смещения антенных элементов

Fig. 2. Map of the normalized quantity P ( u , v ) of the considered array without shift of the array elements

На рис. 2 приведена карта нормированного уровня P ( u , v ) = | AF ( u , v )| , рассчитанного по формулам (1)-(3) для рассматриваемой решетки без смещения антенных элементов при фазировке на угол 0 0 = 30, <ро = 90. Кружками отмечены найденные стационарные точки, удовлетворяющие условиям локального максимума, белой звездой обозначен главный лепесток (ГЛ), а розовой точкой - выбранный боковой лепесток с 0 i = 17, p i = 90, который далее используется при анализе линейной модели чувствительности.

2.    Линейная модель изменения уровня выбранного бокового лепестка

Пусть смещаются только элементы, индексы которых принадлежат подмножеству M = n 1, n 2,..., n_M, где M - число сдвигаемых элементов, при этом M < N . Для каждого n из множества M введем малые приращения координат x n ^ x n + 5 x n , У_п ^ У_п + 5 У_п, а для остальных элементов примем 5 x n = 0, 5 y n = 0.

Далее рассматривается не произвольное направление ( u , v ) , а фиксированный выбранный боковой лепесток с координатами ( u i , v i ) . Поэтому величины A u и A v , входящие в (2), принимают значения A u i = u i - u 0 , A v i = v i - v 0 , и множитель решетки в этом направлении можно записать как AF i = AF ( u i , v i ) .

Линейная часть приращения множителя решетки при изменении координат элементов может быть найдена как dAFi dxn

I 3 AF 1

⁵ x n WJ⁵ y n

Подставив введенные ранее выражения, получим

⁵ AF i = - jk S ( n , M ) a ( n,i ) ( ^A u i ⁵ x n + ^{A v}i ⁵ Уп ) ,             ⁽⁷⁾

где a ₍ n ,.) = e ^(- jk ⁽ x n ^A u i + y n ^A v i ) ) .

За уровень выбранного лепестка обозначим

I = AFi • AFi*. Его дифференциал с учетом

L i = | ^AFi|

• (7)    может быть выражен следующим образом:

• ⁵ L i = ^Z ( n , M ) ^c ( n, i )^{( A u}i ^{5 x}n ^{+ A v}i ⁵ У п ) , ⁽⁸⁾ где коэффициент c ni определяет степень влияния n-го элемента на уровень i -го бокового максимума и выражается как

c    = 2 к • Im a    • AF- .

⁽ n , i )                ^{( (} n, i )       i )

Отметим, что коэффициент c n i имеет размерность 1/м. Это следует из того, что 5 L i является безразмернойвеличиной,тогдакак ( A u i 5 x n +A v i 5 y n ) имеет размерность длины.

Выражение ( A u i 5 x n +A v i 5 y n ) определяет проекцию смещения элемента на направление, соответствующее отклонению рассматриваемого бокового максимума от главного лепестка.

Формула (8) задает линейное изменение уровня выбранного бокового локального максимума при малых смещениях конечного числа элементов.

Для краткости введем вектор смещения n-го элемента 5 rn = [5 xn 5yn J и вектор отклонения выбранного бокового максимума от главного лепест-*              т ка qi =[auiAviJ .

Тогда выражение (8) можно записать в виде

• —- T —*

⁵ L i =^S n , M c n , i q i ⁵ r n .                                    ⁽¹⁰⁾

Если разложить 5 r_n на составляющую, коллинеарную к вектору q_i , и составляющую, ортогональную q_i , то вторая дает нулевой вклад в (10), поскольку ее скалярное произведение с q_i равно нулю. Поэтому в первом приближении изменение уровня выбранного бокового лепестка зависит только от коэффициента c n i и проекции смеще- ,           *

ния элемента на направление q_i .

Пусть для каждого подвижного элемента задано ограничение

||5 r_n ||

, n e M,                                          (11)

где p - допустимый модуль смещения.

Максимальное по модулю значение скалярно-

• * т

го произведения qi 5rn, входящего в (10), достигается при коллинеарности векторов 5r_n и q_i . При этом знак смещения должен выбираться так, чтобы вклад n-го элемента в 5Li был отрицатель-

Рис. 3. Значения коэффициентов чувствительности |c_nq в рассматриваемом примере

Fig. 3. Sensitivity coefficients |^c_n,; | in the considered example

—*  —* —*     --* T в вектор 8r = I 8r1 8r2 ... 8rM I , а коэффициенты при нем – в вектор чувствительности:

c 1 , iqi c 2,iqi cm , iqi

--*_T --*

Тогда 8L- = g -8r и задача сводится к мини-i i                                   * т*

мизации функционала J = 8r 8r при условии * _T ——*

gi 8r =-Лц_п. Решение этой задачи, получаемое методом множителей Лагранжа, имеет вид

———*

_ *

^{8 r} =^-Лlin

——*

gi

.

II ^112

ным. Поэтому закон смещения можно записать следующим образом:

—*

8rn =-Psgn(Cn,i)й- ,n e M.

qi

В этом случае

• 8 Li =P|flfne M^n, i|,

откуда следует, что наибольшее уменьшение уровня выбранного бокового максимума обеспечивают элементы с максимальными значениями |cn , что позволяет из всей антенной решетки выбирать для множества M только те элементы, что вносят больший вклад в формирование выбранного БЛ при фиксированном ГЛ.

На рис. 3 приведены нормированные на длину волны значения коэффициентов чувствительности для рассматриваемой конфигурации антенной решетки. На рисунке красным (см. онлайн-версию статьи на сайте журнала в цвете) отмечены 16 элементов с наибольшими значениями |c_ni|.

Однако закон (12), соответствующий одинаковому модулю смещения для всех выбранных элементов, не является единственно возможным. Рассмотрим случай, когда смещения элементов из множества M могут различаться по величине. В качестве параметра линейной модели введем величину Лц_п >0, характеризующую уменьшение уровня выбранного бокового максимума в первом приближении. Тогда задача состоит в выборе распределения смещений, минимизирующего их суммарную квадратичную норму при условии, что линейное изменение уровня равно 8 Li =-Лц_п. Для записи этой задачи в векторной форме смещения элементов из множества M объединим

Таким образом, в линейной модели возникают два возможных варианта уменьшения уровня бо- кового лепестка: одинаковое по модулю смещение по закону (12) и смещение по закону (14).

При малом числе смещаемых элементов преимущество второго способа оказывается незначительным. Это связано с тем, что во множество M в первую очередь попадают элементы с наибольшими значениями |c_ni|, которые в рассматриваемой конфигурации имеют близкие, а в большинстве случаев одинаковые значения чувствительности. ——*

Поэтому компоненты вектора g_i , соответствующие различным элементам почти равны, и оп-———*

тимальное решение 8r распределяет смещения по элементам почти равномерно. Если дополнительно ввести ограничение на максимальный модуль смещения, то есть потребовать, чтобы ни для одного элемента величина ||8r_n|| не превышала допустимого значения р, то при равных | c_ni| оптимальное распределение смещений вырождается в закон, описываемый выражением (12). По мере увеличения числа смещаемых элементов в него начинают входить элементы с отличающимися значениями |c_ni|, вследствие чего неодинаковое распределение смещений становится более выгодным, и преимущество второго способа заметно лучше.

Указанная закономерность иллюстрируется на рис. 4, где приведена зависимость нормированного уровня выбранного бокового лепестка от числа смещаемых элементов при ограничении на максимальный модуль смещения 0,01Х. Видно, что при малых M кривые, соответствующие двум способам, практически совпадают, тогда как при увеличении числа смещаемых элементов

Рис. 4. Зависимость нормированного уровня выбранного бокового лепестка от числа смещаемых элементов при ограничении на максимальный модуль смещения. Красным линиям соответствуют смещения по закону (12), черным – по закону (14). Сплошные линии соответствуют результатам полного пересчета, пунктирные – линейному прогнозу

Fig. 4. Dependence of the normalized level of the selected sidelobe on the number of shifted elements for the maximum shift constraint. The red lines correspond to shifts according to (12), the black lines to shifts according to (14). The solid lines correspond to the results of a full recalculation, the dashed lines to the linear prediction

различие между ними возрастает. При этом пунктирные кривые, соответствующие линейному прогнозу, остаются близкими к результатам полного пересчета, что подтверждает применимость линейной модели в рассматриваемом диапазоне смещений.

Для более наглядного сопоставления двух законов смещения рассмотрим случай, в котором в множество M включены 40 элементов с наибольшими значениями |c_ni|. В первом случае модуль смещения каждого выбранного элемента принят равным 0,15Х. Такое значение смещения, как будет показано далее, хотя и выходит за рамки линейной асимптотики, однако позволяет наглядно показать отличие предлагаемых методов. Во втором случае используется решение (14), при этом параметр линейной модели выбран равным исходному уровню рассматриваемого бокового ле-

a

в

г

Рис. 5. Смещения элементов при M = 40 и ограничении 0,15 λ: а) положения элементов при одинаковом модуле смещения; б) положения элементов при оптимальном распределении смещений; в) модули смещений для случая одинакового смещения; г) модули смещений для оптимального случая

Fig. 5. Shifts of elements for M = 40 and a constraint of 0,15 λ: a) positions of elements for the same shift modulus; b) positions of elements for the optimal shift distribution; c) shift modulus for the case of the same shift; d) shift modulus for the optimal case

Рис. 7. Зависимость уровня выбранного бокового лепестка от характерного смещения для 40 подвижных элементов. Красным линиям соответствуют смещения по закону (12), черным - по закону (14). Сплошные линии соответствуют результатам полного пересчета, пунктирные – линейному прогнозу Fig. 7. Dependence of the selected sidelobe level on the characteristic shift for 40 movable elements. The red lines correspond to shifts according to (12), the black lines to shifts according to law (14). The solid lines correspond to the results of a full recalculation, the dashed lines to the linear prediction

Рис. 6. Изменение нормированного уровня P в области выбранного бокового лепестка при M = 40. Черная кривая соответствует исходной конфигурации, синяя - случаю одинакового модуля смещения, красная – оптимальному распределению смещений

Fig. 6. Change in the normalized level P in the region of the selected sidelobe at M = 40. The black curve corresponds to the initial configuration, the blue curve to the case of the same shift magnitude, and the red curve to the optimal distribution of shifts пестка, A^n = Li. Соответствующие распределения смещений показаны на рис. 5.

Из рис. 5 видно, что в первом случае все выбранные элементы смещаются на одинаковую величину, тогда как во втором случае модули смещений перераспределяются в соответствии со значениями |cni|. Это позволяет более эффективно использовать допустимую геометрическую коррекцию.

Результаты расчета в области выбранного бокового лепестка приведены на рис. 6. Для АР в исходной конфигурации уровень выбранного лепестка составляет –12,87 дБ. После применения одинаковых по модулю смещений он уменьшается до -17,18 дБ. При использовании оптимального распределения смещений уровень снижается до -18,2 дБ. Таким образом, второй способ обеспечивает дополнительное ослабление выбранного бокового локального максимума примерно на 1 дБ по сравнению с первым. При этом, как видно из рис. 6, одновременно изменяется и зеркально расположенный боковой лепесток.

Для той же группы из 40 смещаемых элементов на рис. 7 показана зависимость уровня выбранного бокового лепестка от характерного сдвига. В первом случае по оси абсцисс отложен общий модуль смещения, во втором – максимальный модуль смещения среди выбранных элементов. В обоих случаях с ростом смещения уровень бокового лепестка уменьшается, причем второй способ дает более низкий уровень.

При малых смещениях результаты полного пересчета хорошо согласуются с линейным про гнозом, но начиная примерно с о 05Х отклонение от линейной модели становится заметным. Тем не менее в этой области сохраняется устойчивое снижение уровня выбранного бокового лепестка. Это показывает, что линейная модель правильно передает общий характер зависимости, а возникающее расхождение может быть уточнено учетом членов второго порядка по смещениям.

3.    Ограничение модели для дифракционных лепестков

Ранее предполагалось, что выбранный боковой лепесток является невырожденным, то есть чувствительность первого порядка отлична от нуля. Однако при анализе некоторых боковых максимумов, например, дифракционных лепестков, возникает случай, когда cni = 0, n = 1, 2,..., N. Такое возможно, когда в направлении выбранного максимума все слагаемые множителя решетки синфазны, то есть a 1 i = a2 i =...= a_N i = ai, и, следовательно, an iAFi = N. Тогда линейный член исчезает, и формула (10) уже не описывает изменение уровня лепестка, то есть 5 Li = 0.

Для анализа этого случая воспользуемся ранее введенной величиной, а именно проекцией смещения n-го элемента на направление отклонения выбранного максимума от главного лепестка. Обозначим этувеличину через sn = A Ui 5 xn + A v_i 5yn = qT 5 rn.

Тогда после малых смещений элементов множитель решетки в направлении выбранного лепестка можно записать в виде

^AFi 'a a^SN=1 e jk^sn.

Разложение экспонент по малым смещениям до второго порядка дает приближенное выражение для AFi'. Подставляя его в соотношение Li' = AFi'| и вычисляя приращение ALi = Li' - Li, получим

AL_i «-k²NSNs2 - ANs_n f n n n nJ

Эквивалентно это выражение можно записать в виде

^ALi ®^-k 2m<n (sm -sn ) .

Отсюда следует, что в вырожденном случае уменьшение уровня лепестка определяется не общим сдвигом апертуры, а различием эффективных смещений у элементов.

Если смещаются только M элементов, то для подвижных элементов sn ^ 0, а для остальных sn — 0, так что разности sm - sn уже отличны от нуля. Именно этим и определяется ненулевое изменение уровня вырожденного лепестка во втором порядке по смещениям.

Если выбирается знакопеременное распределение эффективных смещений, удовлетворяющее условию SN—isn — 0, то формула (15) принимает вид AL; ®-к2NSN s2. Примем для смещаемых i             n 1 n элементов ограничение |sn| ® I Qi р, тогда можно получить оценку возможного относительного изменения уровня БЛ:

| ALi| к2 | A|2 Р2 M (N - M) .

Li

При м она упрощается до оценки порядка:

IA Li| к 2 M 1 И 2 р2 .

LiN

Таким образом, невырожденные и вырожденные боковые максимумы различаются порядком чувствительности к малым смещениям элементов. Для невырожденного БЛ изменение уровня линейно зависит от смещения, тогда как для вырожденного - квадратично по р. Этим обусловлено ограничение эффективности геометрической коррекции в случае дифракционных лепестков.

Заключение

В работе получены аналитические соотношения, описывающие изменение уровня выбранного бокового локального максимума (бокового лепестка) при малых смещениях конечного числа элементов плоской решетки излучателей. Боковые лепестки представлены как стационарные точки функции P (u, v), а их поиск предлагается выполнять по условиям стационарности и отрицательной определенности матрицы Гессе. Для невырожденного случая выведена линейная модель чувствительности и получены два закона смещения: при одинаковом ограничении на модуль перемещения и при минимизации суммарной квадратичной нормы смещений.

Численные примеры показали, что локальная геометрическая коррекция действительно позволяет уменьшать уровень выбранного бокового лепестка, а перераспределение смещений по элементам в соответствии с их чувствительностью дает дополнительное ослабление по сравнению с равномерным законом.

Показано, что линейная модель хорошо описывает поведение выбранного лепестка при малых смещениях, однако начиная примерно с 0,05 X становится заметным количественное расхождение между прогнозом и полным пересчетом. Это означает, что для уточнения модели в области больших смещений требуется учет членов второго порядка.

Для вырожденных (дифракционных) лепестков установлено, что уменьшение его уровня пропорционально квадрату смещений. Поэтому малые смещения конечного числа элементов не могут обеспечить сильное подавление лепестка, формируемого когерентным сложением поля практически всей апертуры.

Таким образом, в работе показано, что подавление заданного бокового лепестка малыми смещениями конечного числа элементов может быть аналитически описано и различается по порядку чувствительности для невырожденного и вырожденного случаев.

Финансирование

Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 24-19-00891,

Для выполнения измерений в работе использовалось оборудование учебно-научного дизайн-центра проектирования радиоэлектронных систем СВЧ, терагерцового и оптического диапазонов на отечественной электронной компонентной базе ФГБОУ ВО ВГУ в рамках реализации федерального проекта «Подготовка кадров и научного фундамента для электронной промышленности».