Исследование возможности применения фрактального анализа для улучшения результатов работы сверточной нейронной сети по повышению помехоустойчивости сигналов

Связь между сверточными нейронными сетями (CNN) и фракталами основана на общности свойств самоорганизации и иерархической структуры, присущих обоим понятиям (рис. 1). Фракталы обладают свойством самоподобия, мелкие части структуры повторяют свойства целого. Это свойство характерно также для сверточных нейронных сетей. Например, конволюционные фильтры обнаруживают базовые признаки, а верхние уровни объединяют эти признаки в более сложные формы. Такая иерархия соответствует принципам фракталов, поскольку структура растет постепенно, образуя все более крупные элементы из базовых компонентов.

CNN и фракталы имеют многослойную структуру, фракталы состоят из множества вложенных друг в друга частей разного масштаба, каждая из которых отражает общий паттерн, аналогично, сверточные нейронные сети организованы слоями, где каждый последующий уровень извлекает все более абстрактные признаки. Фрактальная природа помогает объяснить механизм извлече-

ния признаков и обобщения информации в глубоких сетях.

Таким образом, взаимосвязь между сверточными нейронными сетями и фракталами заключается в общих чертах организации, способности выявлять скрытые закономерности и представлять комплексные структуры. Эти принципы позволяют разрабатывать эффективные алгоритмы машинного обучения, способные решать широкий спектр задач, связанных с распознаванием образов и анализом сложных сигналов.

1.    Фрактальный анализ при обучении сверточной нейронной сети

Фрактальный анализ решает ряд специфических задач перед поступлением сигнала на вход сверточной нейронной сети (CNN).

Фрактальный анализ измеряет фрактальную размерность сигнала, которая служит показателем внутренней структуры и характера данных. Высокая фрактальная размерность свидетельствует о сложной, неоднородной природе сигнала, тогда как низкая размерность указывает на гладкость

Е^Н © Мясников Д.Л., 2026

Рис. 1. Структура слоев сверточной нейронной сети

Fig. 1. Structure of convolutional neural network layers

и простоту. Эта оценка полезна для понимания природы данных и подбора оптимальной стратегии дальнейшей обработки.

Шумы и случайные колебания создают «хаотичность» в сигнале, увеличивая его фрактальность. Используя фрактальный анализ, можно локализовать и оценить интенсивность шума, помогая нейронной сети сосредоточиться на полезных участках сигнала и игнорировать помехи.

Некоторые участки сигнала могут содержать больше ценных сведений, чем остальные. Фрактальный анализ выделяет эти регионы, предлагая стратегию концентрации внимания сети на важных сегментах, повышая общую эффективность распознавания и обработки.

Знание фрактальных свойств позволяет строить прогнозы относительно развития сигнала. Это важно, например, в ситуациях временного анализа, когда необходимо предсказать поведение сигнала на ближайшие промежутки времени.

Фрактальный анализ может преобразовывать сигнал в компактное и информативное представление, снижающее количество избыточных данных и уменьшающее нагрузку на CNN. Такие преобразования облегчают обучение и повышают скорость вычислений.

Предварительный фрактальный анализ приносит целый ряд значительных преимуществ при обучении сверточной нейронной сети.

Одним из немаловажных преимуществ фрактального анализа является уменьшение объема входных данных за счет исключения несущественных деталей и снижения количества шумов. Благодаря этому уменьшается потребность в больших массивах данных для эффективного обучения, ускоряя процесс тренировки и экономя вычислительные ресурсы.

Помимо этого, преобразованный сигнал становится менее громоздким и проще интерпретируется нейронной сетью. Отсутствие большого числа незначимых признаков ускоряет обработку каждой итерации, что положительно сказывается на общей производительности и быстродействии сети.

Фрактальный анализ снижает риск переобучения сети, устраняя излишнюю вариабельность и случайные колебания, присутствующие в исходных данных. Чем меньше необработанных данных подается на вход, тем ниже вероятность, что сеть начнет фиксироваться на второстепенных признаках, ухудшая общие результаты.

Более точные и стабильные признаки, извлеченные с помощью фрактального анализа, способствуют повышению точности классификаторов внутри CNN. Они становятся более надежными и эффективными, обеспечивая большую уверенность в принимаемых решениях.

Поскольку фрактальный анализ учитывает свойства самоподобия, он позволяет нейронной сети лучше справляться с изменениями условий среды (шумовым помехам, изменением масштаба и частоты сигнала). Это способствует созданию универсальных моделей, способных успешно функционировать в широком диапазоне ситуаций.

Компактные фрактальные представления занимают гораздо меньше места по сравнению с оригинальными данными. Это облегчает хранение и передачу информации, что особенно актуально в приложениях с ограниченным доступом к ресурсам памяти и пропускной способностью каналов связи.

Таким образом, включение этапа фрактального анализа перед обучением CNN значительно улучшает качество обработки сигналов, уменьшает за-

Рис. 2. Алгоритм анализа изображения сверточной нейронной сетью

Fig. 2. Algorithm for image analysis by a convolutional neural network

траты на обучение и повышает надежность создаваемых моделей [1–3].

2.    Применение фрактальных методов для улучшения качества передачи сигнала

Повышение помехоустойчивости систем, работающих с сигналами радиочастотной идентификации, является важной задачей в современном мире высоких технологий. Один из перспективных путей достижения этой цели лежит в комбинировании методов обработки сигналов, основанных на искусственных нейронных сетях и фрактальном анализе.

Сверточные нейронные сети зарекомендовали себя как мощный инструмент для выделения значимых признаков из изображений и других видов данных. Однако традиционные методы обработки сигналов сталкиваются с трудностями при наличии сильных внешних шумов и помех. Вариантом решения этой проблемы является комбинация с фрактальным методом.

Фракталы характеризуются свойством самоподобия, которое позволяет эффективно обрабатывать сигналы с хаотическими элементами, такими как шумы. Этот подход основывается на выделении фундаментальных особенностей сигналов на разных уровнях пространственно-временной шкалы, используя фрактальное представление данных. При комбинировании CNN и фрактальных методов возникает синергетический эффект, позволяющий повысить качество обработки сигналов даже в сильно зашумленных средах (рис. 2).

Алгоритм комбинирования сверточной нейронной сети и фрактального метода состоит из определенного ряда операций.

Исходные сигналы подвергаются предварительной обработке, включающей нормализацию и фильтрацию низкочастотных составляющих.

На этапе с подключением фрактального анализа происходит оценка степени самоподобия сигнала. Получаются характеристики фрактальной размерности, которые служат индикаторами наличия аномалий и шумов.

На следующем шаге выделяются важные признаки сигнала с помощью анализа самой сетью. Для этого используются специализированные слои, позволяющие эффективно извлекать локальные и глобальные особенности сигнала.

Совместно с результатами фрактального анализа производятся классификация участков сигнала и удаление слабых фрагментов, подвергшихся воздействию шумов.

В завершении выполняются дополнительные процедуры сглаживания и нормализации сигнала для устранения остаточных артефактов.

Фрактальный анализ способствует улучшению работы сверточной нейронной сети (CNN) в условиях шума несколькими ключевыми способами, например:

• •    Фракталы отражают свойства самоподобия и нерегулярности, характерные для многих естественных процессов и явлений.

• •    Шумы часто проявляются как случайные отклонения от регулярного поведения сигнала.

• •    Фрактальный анализ способен выявить эти нерегулярные компоненты, позволяя отде-

• layers.Conv2D32, (3, 3), activation= EE' * layers.MaxPooling2D (2, 2)),

layers.Conv2D 64, (3, 3), activation 53E * layers.MaxPooling2D (2, 2)), layers.Conv2D 128, (3, 3), activation= BE ).

layers.MaxPooling2D 2, 2,, layers.Conv2D 256, (3, 3), activation» ISE .

Рис. 3. Результат реализации функции активации ReLU и операции dropout для регуляризации

Fig. 3. Result of the implementation of the ReLU activation function and the dropout operation for regularization лять полезный сигнал от шума на ранних этапах обработки.

Один из главных недостатков классических методов фильтрации сигналов состоит в их чувствительности к изменению масштаба. Если частота или амплитуда шума значительно отличаются от ожидаемых значений, стандартные фильтры теряют свою эффективность. Фрактальный анализ устраняет этот недостаток, обеспечивая стабильность обработки независимо от изменений масштаба.

Перед подачей сигнала на вход сверточной сети полезно предварительно обработать его с помощью фрактального анализа. Такой подход позволяет выделить участки сигнала, содержащие наибольшую информативность, одновременно удаляя наименее значимые фрагменты, занятые преимущественно шумовыми компонентами. Это повышает производительность CNN за счет уменьшения объема ненужных данных.

Фрактальный анализ позволяет сжимать данные путем выявления внутренних повторяющихся структур. Удалив лишние дублирующиеся компоненты, сеть сможет быстрее и эффективнее обучаться, сокращая временные затраты и вычислительные ресурсы.

Применяя фрактальные представления данных, нейронная сеть способна точнее классифицировать типы сигналов и восстанавливать поврежденные сегменты. Благодаря тому, что фракталы помогают определить закономерности распределения элементов сигнала, сеть получает дополнительную информацию для принятия решений [4–6].

Итоговая схема совместной работы CNN и фрактального анализа выглядит так:

• 1.    Сигнал поступает на этап предварительной обработки с помощью фрактальных методов.

• 2.    Определяются ключевые параметры сигнала, характеризующие его регулярность и наличие шумов.

• 3.    Полезные признаки выделяются и передаются на вход CNN.

• 4.    Нейронная сеть обрабатывает полученные данные, формируя конечный результат (восстановленный сигнал).

Такой подход существенно увеличивает надежность и точность обработки сигналов в условиях высокого уровня шума, делая возможным успешное функционирование систем распознавания и коммуникации даже в неблагоприятных условиях окружающей среды.

Используя метод вычисления локальной размерности Хаусдорфа DH(x), позволяющей оценить сложность структуры сигнала в окрестности точки x, для каждого пикселя изображения вычисляем оценку DH, определяющую степень детализа- ции в данном месте.

Формула оценки локальной размерности:

DH ( x ) »

d ^log ( P ( r ) )

d log( r )

где P(r) – вероятность попадания точек сигнала внутрь сферы радиуса r; d / dlog(r) - производная по логарифму радиуса; x – координата текущего элемента изображения.

Значение DH(x) позволяет определить зоны повышенного интереса (например, границы объектов). Чем больше значение DH(x), тем сложнее структура и выше значимость области для после- дующего анализа.

Получив карту значений DH ( x ), используем ее для предварительной обработки перед подачей сигнала в CNN, например, применяя маскирование областей с высоким уровнем хаоса, выделенных методом фрактала.

Получаются очевидные преимущества, например автоматическое выделение значимых деталей, поскольку нейросеть фокусируется на областях наибольшего значения DH ( x ), и повышение устойчивости к шуму вследствие предварительной обработки, уменьшающей влияние случайных факторов на обработку сетью.

При выполнении свертки – основного механизма выделения признаков, с различными ядрами для выявления особенностей изображения:

Iconv = W * I + b ; (2) где I – исходное изображение; W – ядро свертки; * – оператор свертки; b – смещение.

Для обработки фрактально обработанных сигналов вводятся дополнительные слои сети, учитывающие особенности выделенной карты фрак-тальности. Например, вводятся специальные ядра, адаптированные под выявление структур с заданной размерностью Хаусдорфа.

В результате можно сформулировать 3 шага в этапе предварительной обработки.

Комбинирование фрактального представления сигнала со сверточными архитектурами нейронных сетей выглядит следующим образом.

Первым шагом является фрактальное преобразование сигнала.

Используем фрактальный спектр мощности ( FSP ), отражающий зависимость спектральной плотности сигнала от частоты и размера выборки: S ( f ) = к ( f ) 2 •                                      (3)

N - 1

x ( f ) = Z к [ ” ] ‘   "'' N •                           (4)

n = 0

Затем применяется фрактальная обработка путем построения мультифрактального спектра:

f ( a ) = D ( q )                                             (5)

Здесь a - показатель сингулярности, q - порядок статистики моментов.

Получаем набор признаков для каждой точки сигнала, устойчивых к случайному зашумлению.

Следующим шагом идет подготовка данных для CNN.

Данные представляются в виде двумерных изображений, построенных из спектральных характеристик:

I ( к , y ) = f ( a x , qy ) , x e { 1,..., W } , y e { 1,..., H }        (6)

где W , H – ширина и высота изображения соответственно.

Это позволяет визуализировать признаки и применять методы компьютерного зрения.

Далее, переходим к многослойной сверточной сети с несколькими слоями свертки и полносвязанными уровнями, основная цель которой клас- сификация шума и выделение полезных компонентов сигнала. Типовая структура CNN включает слои ReLU активации и dropout для регуляризации (рис. 3):

Ур = F ( I ) ^ CNN ( I ) = L ( F ( L ( I ) ) ) + b , (7) где F – активация; L – слой свертки или объединения; b – смещение.

Цель обучения сети заключается в минимизации среднеквадратичной ошибки:

n

^MSE = N E ( yi - y i ) • ⁽⁸⁾ i = 1

Итоговые преимущества подхода:

• 1.    Повышение чувствительности к малозаметным изменениям сигнала благодаря фрактальному анализу.

• 2.    Устойчивость к зашумленности, обеспечиваемая использованием глубоких нейронных архитектур.

• 3.    Возможность выделения слабых информативных компонент среди сильного шума.

Таким образом, сочетание фрактального анализа и нейронных сетей обеспечивает эффективный способ повышения качества обработки сигналов и снижения воздействия помех, даже при значительных их уровнях.

Заключение

Использование комбинированного подхода, сочетающего CNN и фрактальный анализ, открывает новые возможности для повышения качества обработки сигналов в системах, чувствительных к внешним воздействиям. Дальнейшие исследования направлены на оптимизацию архитектур нейронных сетей и разработку специализированных фрактальных фильтров для конкретных приложений.

Этот подход имеет широкие перспективы в областях телекоммуникаций, медицины, дистанционного зондирования Земли и многих других направлениях современной науки и техники.