Исследование задачи граничного управления и финального наблюдения для математической модели нелинейной фильтрации

Целью работы является исследование задачи граничного управления и финального наблюдения

J(x (T), u) ^ inf(1)

для математической модели нелинейной фильтрации, которая базируется на уравнении Осколкова

∂

— (Л-A) x - aAx +1 x | p2 x = y, (s, t) eQx R , Qc R ,(2)

∂t c начальным условием Шоуолтера–Сидорова

(Л - A)(x(s,0) - x0 (s)) = 0, s eQ,(3)

и неоднородным условием Неймана

-dx = u, (s,t) eSQxR +.

∂ n

Уравнение (2) впервые описано в работе [1]. Под физическим смыслом уравнения (1) понимается зависимость давления вязкоупругой несжимаемой жидкости от внешней нагрузки. Предпологается, что жидкость фильтруется в пористом пласте. Искомая функция x = x(s,t) в уравнении (2) описывает изменение давления фильтрующейся жидкости под внешним воздействием y = y(s,t). Параметры модели a eR+, ЛеR описывают вязкие и упругие свойства жидкости. Основываясь на экспериментальных данных показано, что λ может принимать и отрицательные значения [1]. Исследование невырожденного и вырожденного уравнения нелиненой фильтрации (2) было проведено ранее [2, 3], в качестве начально-краевых условий рассматривались начальные условия Коши или Шоуолтера–Сидорова и однородное условие Дирихле, были найдены условия однозначной разрешимости изучаемых задач в классическом и слабом обобщенном случае. При моделировании различных процессов на основе неклассических вырожденных уравнений в частных производных рассматриваются различные краевые условия: Дирихле [3] или Неймана [4] и начальные условия: Коши [3], Шоуолтера–Сидорова или многоточечное начально-конечное условие [4]. В данной работе будет рассмотрено неоднородное условие Неймана, что соответствует случаю, когда каждая точка границы пористого пласта постоянно поддерживается при определенном градиенте давления фильтрующейся жидкости (может быть разным в разных концах границы), с течением времени в каждой точке пласта установится свое давление, которое и является решением задачи Неймана при заданных граничных значениях. Модель нелинейной фильтрации (2), (4) принадлежит классу моделей, основанных на полулинейных уравнениях соболевского типа с p-коэрцитивным и s-

Перевозчикова К.В., Манакова Н.А.

монотонным оператором [3]. Результаты исследования данного класса моделей и задач управления для них с однородным условием Дирихле, начальным условием Коши или Шоуолтера–Сидорова представлены в обзорной статье [5].

При математическом моделировании различных физических процессов возникает необходимость в управлении компонентами системы, в которой и протекает данный процесс. Предполагается, что динамические системы (системы, которые подвергаются постоянной эволюции во времени) могут находиться в одном из определенного (конечного или бесконечного) числа возможных состояний в каждый момент времени. Управление в данном случае относится к воздействию на изменение текущего состояния и последующее развитие системы. Воздействие, способное изменить состояние и последующее развитие системы, в данной ситуации называется управлением. Что приводит к задаче нахождении «наилучшего» управления процессом.

Целью данной статьи является исследование задачи граничного управления и финального наблюдения для вырожденной математической модели нелинейной фильтрации с условием Шоуолтера–Сидорова. Под граничным управлением понимается поиск функции, заданной на границе, которая переводит систему из заданного начального состояния в требуемое состояние, заданное в конечный момент времени T . Граничное управление чаще всего применяется для задач колебания стержня и тепломассопереноса. Результаты исследования граничного управления для параболических и гиперболических систем представлены в [6].

1.    Математическая модель нелинейной фильтрации

Пусть N = W ^Q ), B = L p ( Q ) , H = L ₂( Q ), где О - ограниченная область с границей класса С “ ,

определим операторы:

( Ax , y ) = j ( A xy + V x ■ V y ) ds V x , y e N ; q

( Сх, y ) = j a V x ■ V y ds V x, y e N ;

Q

( D ( x ), y ) = j | x | ^{p - 2} xy ds V x , y e B .

О

Пусть N * и B * являются сопряженными пространствами k N и B относительно скалярного

.    4

произведения < ■,■ > в H. Отметим, что в случае n > 3 и 2 < p < 2 +--вложения n - 2

N с B с H с B * с N *                                  (5)

плотны и непрерывны, а вложение N с H кoмпактнo.

Рассмотрим однородную задачу Неймана для оператора ( -А ) в области Q . Через { p i } и { A i } обозначим последовательности собственных функций и значений оператора ( -А ) . При этом будем считать, что последовательность собственных значений зaнумеровaнa пo неубыванию с учетом крaтности. Операторы, введенные выше, обладают следующими свойствами: оператор A :N ^ N* линейный и непрерывный, причем при A >  -A оператор A является неотрицательно определеннным; оператор С :N ^ N* также линеен и непрерывен, а оператор D :B ^ B* обладает свойством гладкости. Рассмотрим проектор

_{0 =} ( I ,       A >  - A ;

[I- < ■, pi >, A = -Ai, построим множество

.   [           N ,              ^A >  ^{- A} ₁ ^;

coim A = < ц x eN:< x, p1>=0}, A = -A1, пространство X = {x | x e L„ (0, T; coim A) n Lp (0, T; Lp (Q)), x1 e L2 (0, T; coim A)},    здесь   x1 = Qx, множество

M = ^

N , при A >  - A 1 ;

{ x e N : j ( aA 1 + 1 x | ^{p - 2} x - y) p 1 ds - a j u p 1 dS = 0}}, при A = - A 1 . q                         an

Математика

Опираясь на абстрактную схему, представленую в [7], получим, что множество M является банаховым C ^многообразием, которое диффеоморфно подпространству { x e N : j x ^ ds = 0} .

Q

В качестве слабого обобщенного решения уравнения (2) будем рассматривать такую вектор-функцию x e X , которая удовлетворяет следующему равенству:

T j j(-Axat-Vx-Vat + aVx-Va+ | x |

I p - 2

^

x a - y a )ds - a j u a dS dt = dQ      _

= j ( A x ( s ,0) a ( s ,0) + V x ( s ,0) • V a ( s ,0)) ds - j u ( s ,0) a ( s ,0) dS ,

Q

dQ

а e W^ ( Qх (0, T )), а ( s , T ) = 0, s e Q; — ( s , t ) = 0,( s , t ) edQx (0, T ).

d n

В дальнейшем будем рассматривать приближенное решение задачи (2)–(4) и, согласно проекционному методу, данное решение представим в виде

m

x m ( s , t ) = ^ a i ( t ) p i ( s ),   m > dim ker A ,

i =1

где коэффициенты ai = ai (t), i = 1,...,m, определяются как решения системы уравнений j (AxmtPi + Aixmt^i + aAixmpi +1 x |p 2 xmpi)ds = jypids + a jupidS, i = 1,...,m Q                                       Q        dQ с начальными условиями j (A + Ai)(xm (s, 0) - x 0 (s ))pi (s) ds = 0, i = 1,.., m.

Q

Теорема 1.1. Пусть значения параметров уравнения (2) удовлетворяют условиям A >- A 1 ,

4         .    _   _ _ ae R +, n > 3, 2 < p < 2 +----, тогда для любых x 0 e N, u e L 2(0, T; L 2(dQ), y e Lq (0, T; B*), таких что n - 2

выражение j y p 1 ds + a j u p 1 dS не зависит от t в случае A = - A 1 , T e R ₊ существует единственное

Q

dQ слабое обобщенное решение x e X задачи (2)-(4), причем

| ^{x |2 +} l ^{| x | |} L ₂(0, T ; N) ⁺ |l ^x |l ^p_p(0,T ; B) < ^{C ( |1} y ¹ L (0, T ; B*) ⁺ | ^x 0 | 2 ⁺ | | u | L₂(0,T ; L ₂( dQ ) ) ),                      ⁽⁷⁾

здесь | • | - норма, определенная в cоim A .

Заметим, что доказательство теоремы 1.1 основано на построении априорных оценок, методе фазового пространства, методе монотонности, теореме Банаха–Алаоглу, переходу к слабому пределу и существенно не отличается от схемы доказательства в случае однородной задачи Дирихле [5].

2.    Задача граничного управления и финального наблюдения

Далее перейдем к исследованию задачи граничного управления и финального наблюдения (1) решениями математической модели нелинейной фильтрации (2), (4) с начальным условием (3). Для рассмотрения вопроса существования решения задачи (1)–(4) необходимо построить пространство управления

U = {u e L₂(0,T ; L₂ ( dQ ):    j y q \ ds + a j u p 1 dS не зависит от t в случае A = - A 1 },

Q        dQ а также выбрать в нем замкнутое и выпуклое подмножество Uad о U. Для рассматриваемой модели задача граничного управления и финального наблюдения (1) примет вид:

J ( x (T ), u ) = 3 1| x (T ) - x d || p _{( Q )} + (1 - 3 ) || u - u d || L (0, T ; L ( dQ ) ) ^ inf, $ e (0,1),              (8)

где xd = xd (s) - заданное состояние системы в конечный момент времени t = T, ud = ud (s, t) - заданное значение производной по направлению вектора нормали, заданное на dQ. Также заметим, что решение задачи (2)-(4), (8) заключается в поиске пары функций (~(T), ~), которая удовлетворяет следующему условию:

Перевозчикова К.В.,      Исследование задачи граничного управления и финального наблюдения

Манакова Н.А.                         для математической модели нелинейной фильтрации

J(x (T ), ~)=  inf J ( x(T ), u ),

( x ( T ), u )

где пара (~, и) e X x U ad удовлетворяет задаче (2)-(4) в слабом обобщенном смысле.

Замечание 2.1. Под множеством допустимых пар W задачи (2)–(4), (8) будем понимать совокупность таких пар ( x(T ), и ) , которые удовлетворяют задаче (2)-(4) и J(x(T ), и ) <  +» . Если U ad = ^, то для всех и e U ad с U множество допустимых пар ( x(T ), и ) не пусто.

После введения всех необходимых определений и пространств сформулируем и докажем теорему существования решения задачи граничного управления и финального наблюдения распределения давления фильтрующейся жидкости.

Теорема 2.1. Пусть значения параметров уравнения (2) удовлетворяют условиям Л >-Л, a e R +, n > 3, 2 < p < 2 +----, тогда для любых x0 e N, y e Lq (0, T; B*), T e R + существует решение

• n - 2                                  ⁴

(~ (T ), ~) задачи (2)-(4), (8).

Доказательство. Доказательство теоремы основано на методе монотонности, методе компактности, теореме Мазура, переходу к слабому пределу и существенно не отличается от схемы доказательства в случае задачи оптимального управления [5]. Приведем краткое изложение докозательства.

• 1.    Поскольку множество допустимых пар W не пусто, то существует такая последовательность {( x m (T ), n m )} e N x U_ad , что

• lim J(xm(T), ит )=  inf J(x(T),и),

m ^^                     ( x ( T ), и )

тогда из (8) следует oграниченность { u_m } в U :

II um ||U < COnSt, Vm-

В силу оценки (9) выберем слабо сходящуюся подпоследовательность последовательности {^m}: um ^ и. Согласно теореме Мазура точка ~ e Uad. Пусть xm = x(nm) слабое обобщенное решение задачи

Adxm + Cxm + D(xm ) = У, A( xm (0) - x o) = 0, dt

-m = Hm,(s,t) edQx(0,T).

∂ n

В силу выполнения априорной оценки (7) и свойства p -коэрцитивности оператора D получим

• ¹¹ xm ¹¹ _{Lp (0},_{T ;} B ) <  const ^V m

• 2.    Переходя к пределу в уравнении состояния и используя методы компактности и монотонности, получим, что слабый предел последовательности   {( x_m , u_m )} удовлетворяет

• 3.    Доказательство равенства D (~) = ^ основано на методе монотонности вследствие s -монотонности оператора D [5, 7].

• 4.    Тогда ~ = ~(~) и lim inf J(n_m ) >  J (~). Следовательно, граничное управление решениями задачи (2)–(4) существует.

уравнению состояния, начальному и граничному условиям:

A— + C~ + D (~) = у , A (~(0) - ~₀) = 0, — = ~ на dQ .

dt                             ^u       dn

Работа проводилась при поддержке гранта Минобрнауки РФ № FENU-2020-0022

(2020072GZ).