Итерационная факторизация для численного решения эллиптического уравнения четвёртого порядка в прямоугольной области

Рассматривается эллиптическое уравнение четвёртого порядка в прямоугольнике со сторонами, параллельными осям координат; на правой и верхней сторонах прямоугольника заданы условия шарнирного опирания, а на остальной части границы условия симметрии. Задача, получающаяся при дискретизации уравнения Пуассона по методу конечных разностей, решаемая в [1], дважды возникает на каждом шаге предлагаемого итерационного процесса. Система линейных алгебраических уравнений получается при дискретизации исходной задачи по методу конечных элементов, в отличие от [2], где применялся метод конечных разностей. Исходная задача может быть получена в методах типа фиктивных компонент при решении эллиптических уравнений четвёртого порядка в плоских областях достаточно произвольного вида при однородных, например, главных или естественных краевых условиях.

Непрерывная задача в вариационной и классической постановках

Рассматривается задача u е V: Л(u, v) = l (v) Vv е V, l е V‘                                (1)

где соболевское пространство функций

V = V ( Q ) = | v е W 2 ²( Q ): v | = 0, | u I = o |

I                 11      d n 2 J на области Q = (0;bi)x(0;b2), с границами Fi ={bi}x[0;b2]U[0;bi]x{b2},F2 = f\f1,F = dQ, билинейная форма

Л ( u , v ) = J ( o A u A v + (1 - o )( U xx v xx + 2 u^ + U yy v yy ) + auv ) d Q ,

Q при этом a = ai на области Qi, a = a2 на Q\Qi, области Qi, Q2: Q = Qi U Q2, Qi П Q2 = 0 , dQi ПdQ2 ^0 , заданы константы те (0;i), bY,b2 е(0; +~), ar,a2 е[0; +~), ai < a2.

Можно отметить, что

• ³ c i , c 2 ^{е ( 0}; ^+М) : c i I l v W ₂ 2 (Q) <  ^{Л (} v , v ) <  c 2 I l v W ₂ 2 (Q) ^V v ^{е V} ,

• а, следовательно, решение задачи (1) существует и единственно. Если f – заданная достаточно гладкая функция и

• l (v) = (f, v), где (f, v) = J fvdQ,

Q то из задачи (1) получается неоднородное бигармоническое уравнение со свободным членом при смешанных и однородных краевых условиях

A 2 . r I A I ZA d u I         dA u I

^{A u + au} = ^f , u Г = ^{A u} F, = 0, -А Г₂ = -A Г₂ = 0.                     ⁽²⁾

• ^{1    1           11} d n^{1 2} d n ^{1 2}

Итерационное решение непрерывной задачи в вариационной постановке

Утверждение 1. Для следующей спектральной задачи, имеющей у нас вспомогательное значение

λ: -∆ϕ= λϕ, ϕ Γ1 =0 , ∂∂ϕn Γ2 =0, ϕ≠0

находятся методом разделения переменных собственные числа и функции соответственно:

(2 i - 1) ² π ² (2 j - 1)² π ²

λ i , j =     _{4 b 1} 2      +      _{4 b 2} 2      , ϕ i , j = C i , j cos

(2 i - 1) π x cos (2 j - 1) π y

2 b ₁

2 b 2

, C_{i , j} ∈ ℝ, i , j ∈ ℕ,

ππ при этом 0 < min λ = λ =    +    , sup λ = +∞ .

• _{i ,    j ∈ ℕ} i , j 1,1 4 b ₁ 2 4 b ₂ 2 _{i , j ∈ ℕ} i , j

Введём билинейную форму

Μ ( u , v ) = ∆ u ∆ vd Ω = ( u v + 2 u v + u v ) d Ω , u , v ∈ V . xx xx xy xy yy yy

Ω

Ω

Второе равенство имеется при рассматриваемых краевых условиях на прямоугольной области.

Утверждение 2. Имеют место неравенства

γ ₁ Μ ( v , v ) ≤ Λ ( v , v ) ≤ γ ₂ Μ ( v , v ) ∀ v ∈ V , γ ₁ = 1, γ ₂ = ( λ ₁ ² _,1 + a ₂) λ ₁²_,1 .

Доказательство. Выполняется, что

1 = inf ^λ i , j

Введём нормы

λ i ² , j ^{+ a} 1          Λ ( v , v )

^,      = γ 1 ≤       ≤ γ 2 = sup

λ _i ² _{, j}            Μ ( v , v )          λ _{i , j}

^λ i 2, j ⁺ a 2 ₌ ^λ 12,1 ⁺ a 2

λ ² i , j

^λ 1 ² ,1

∀ v ∈ V

v _Μ= Μ ( v , v ) , v_V = Λ ( v , v ) . Рассматривается итерационный процесс:

u^k ∈ V : Μ ( u^k

-

u^{k - 1}, v ) =- τ k ( Λ ( u^{k - 1}, v ) - l ( v ))

τ k = τ = 2 ( γ 1 + γ 2 ) = 2 λ 1 ² ,1 (2 λ 1 ² ,1 + a 2 ), k ∈ ℕ,

∀ v ∈ V , ∀ u ⁰ ∈ V .

Теорема 1. Для итерационного процесса (3) имеют место оценки:

• 1.    u^k - u_V ≤ ε u ⁰ - u_V ,

• 2.    u^k - u _Μ≤ ε u ⁰ - u _Μ , где относительная ошибка сходимости u^k к решению u следующая ε ≤ q^k = ( ( γ ₂ - γ ₁) ( γ ₂ + γ ₁) ) ^k = ( a ₂ (2 λ ₁ ² _,1 + a ₂) ) ^k , k ∈ ℕ.

Доказательство. Введём оператор R из V в V : Μ ( Ru , v ) = Λ ( u , v ) , ∀ u , v ∈ V .

Так как γ ₁ Μ ( v , v ) ≤ Λ ( v , v ) ≤ γ ₂ Μ ( v , v ) , то γ ₁ Μ ( v , v ) ≤ Μ ( Rv , v ) ≤ γ ₂ Μ ( v , v ) , т.е. γ ₁ I ≤ R ≤ γ ₂ I . R – ограниченный и самосопряжённый оператор. Заметим, что Λ ( R ^{- 1} u , v ) = Μ ( u , v ) . Пусть u^k = u + ψ ^k , k ∈ ℕ ∪ { 0 } , тогда из итерационного процесса имеем

Μ(ψk -ψk-1,v) = -τk Λ(ψk-1,v) и Λ(R-1(ψk -ψk-1),v) = -τkΛ(ψk-1,v), отсюда

R ^{- 1}( ψ ^k - ψ ^{k - 1}) =- τ _k ψ ^{k - 1}, ψ ^k = ( I - τ _kR ) ψ ^{k - 1}.

Пусть T_k = I - τ _kR , тогда можно перейти к доказательству первого неравенства.

Λ(ψk,ψk)=Λ(Tkψk-1,Tkψk-1)≤sup(Λ(Tkψ,Tkψ) Λ(ψ,ψ))Λ(ψk-1,ψk-1)= ψ∈V так как оператор Tk самосопряжённый f г

sup ^ ^ e F <

^{л (т} к У , У ) W My , W ) J_v

Λ ( ψ ^{k - 1}, ψ ^{k - 1}) =

f r

sup ¹ - ^T k \v^eV <

A(R^,^) | л(^,^) Jv

Λ ( ψ ^{k - 1}, ψ ^{k - 1}) =

Математика полагаем v = R1 2ψ

отсюда

= sup f t - T , -^ Vv- 11 Л Уy - 1) = ( sup 1 1 -T, ^ vv ) 11 Л ( у к - l, y k - 1) < ( veV ( Л ( Я 1 v , v ) ))                  ( veV ( M ( V , V ) )) ≤ max { ( 1 - γ 1 τ k ) 2 , ( 1 - γ 2 τ k ) 2 } Λ ( ψ k - 1, ψ k - 1) , Λ ( ψ k , ψ k ) ≤ q 2 Λ ( ψ k - 1, ψ k - 1), uk - u V ≤ q uk - 1 - u V , uk - u V ≤ qk u 0 - u V .

Теперь можно рассмотреть получение второго неравенства.

Μ(ψk,ψk)=Μ(Tkψk-1,Tkψk-1)≤sup(Μ(Tkψ,Tkψ) Μ(ψ,ψ))Μ(ψk-1,ψk-1)= ψ∈V 22 = sup M^-ky,y)| M (yk-1yk-1) = sup 1 - Tk -(y^)-1 M (yk-1yk-1) < (yeV ( (My,y) ))                {yeV (     M(y,y))) ≤ max{(1-γ1τk)2, (1-γ2τk)2}Μ(ψk-1,ψk-1), отсюда

Μ ( ψ ^k , ψ ^k ) ≤ q ² Μ ( ψ ^{k - 1}, ψ ^{k - 1}), u^k - u _Μ ≤ q u^{k - 1} - u _Μ , u^k - u _Μ ≤ q^k u ⁰ - u _Μ .

На каждом шаге итерационного процесса (3) возникает задача вида u∈V : Μ(u, v) = l(v) ∀v∈V, l∈V′.                                  (4)

Заметим, основываясь на утверждении 2, что

∃ c 1 , c 2 ∈ ( 0; +∞ ) : c 1 v_W ² ₂ 2 _{( Ω )} ≤Μ ( v , v ) ≤ c 2 v_W ² ₂ 2 _{( Ω )} ∀ v ∈ V ,

• а, следовательно, решение задачи (4) существует и единственно. Если f – заданная достаточно гладкая функция, как и в задаче(1) l ( v ) = ( f , v ) , то из задачи (4) получается неоднородное бигар-моническое уравнение при смешанных и однородных краевых условиях

∆2u=f , uΓ =∆uΓ=0, ∂u Γ =∂∆u Γ =0.(5)

• 1         1       ∂n 2

Видно, что задача (5) имеет факторизованный оператор и может быть записана как система эллиптических уравнений второго порядка при смешанных и однородных краевых условиях

• -∆w = f , w = 0, w=

w f , w Γ1     , ∂n Γ2,

• -∆u=w, u Γ =0, ∂u Γ =0.(6)

Замечание 1. Для собственных функций краевой задачи (1), когда a1 = a2 , следующего вида ϕ (x,y)=        2       cos(2i-1)πxcos(2j-1)πy, i,j∈ℕ i,j            b1b2(λi2,j +a2)         2b1

устанавливается непосредственной проверкой первое и известно второе

• 1.    ϕ_{i,j V} =1, Λ(ϕ_i,j,ϕ_k,l)=0, (i, j) ≠ (k,l), k,l∈ℕ,

2.    Vyk e V 3c,j e R: yk = £ c,)Ф1,j, k e NU {0}.

∞

• i ,    j =1

При равенстве a ₁ = a ₂ в итерационном процессе (3) будет λ _i ² _{, j} c_i^k _{, j} = λ _i ² _{, j} c_i^k _, ^- _j ¹ - τ ( λ _i ² _{, j} + a ₂) c_i^k _, ^- _j ¹ ,

∞ ctj = pi,jcV, где pi,j = 1 -T(^L■+aiWj. Таким образом yk = E ptjctw,j, т.к. ckj = pkcj.

i , j =1

Учитывая, что max pi, j | = max |1 - t(A,j + a2 )A-j | < a2 (2X21 + a2) , имеет место следующая оцен- ка

k

< ( a 2l^{(2 X} 11 ⁺ a 2 ) ) "

о                    [ос

и1 " u ,/U0 - <= J X Pjj . X (< ( -I P.j)

V i, j=1                / Vi, j=17

Дискретная задача в виде системы линейных алгебраических уравнений

Производится дискретизация задачи (1) по методу конечных элементов на параболических восполнениях:

it е V с V: Л(й, v) = l(v) Vv е V с V.(7)

Рассматриваются система линейных алгебраических уравнений соответствующая задаче (7):

й е ЖN : Лй = Г, Г е ЖN,(8)

где v е Ж N : v = ( v 1 ,..., v_N ) ‘ , N = m • n , m , n е X, а v n ₍ i _ _{1) +} j = v i , j , i = 1,..., m , j = 1,..., n , и v i , j являются значениями функции дискретного аргумента соответствующего узлам сетки ( x i , y j ) = ( ( i - 0,5) h 1 ,( j - 0,5) h ₂ ) , i , j е Z, шаги сетки h 1 = b 1 /( m + 0,5), h ₂ = b ₂/( n + 0,5), состоящей из указанных выше узлов, а матрицы Л размерности N х N определяются следующим образом:

(Л й , v ) =Л ( й,v ) V it, v е V с V ,

N здесь (.,.) - скалярное произведение векторов такого вида Цл,v) = XUkvkh1 h Vй,v е ЖN, к=1

а подпространство V с V определяется так, что

V = ^

v ^: v = X X v , , j ^{ф 1}, j ⁽ x , y ), vi , j ^{е ж} , i =1 j =1

где базисные функции

Ф¹ ’ j ( x , y ) = T _L i ( x ) T 2, j ( y ), T 1, i ( x ) = E (V i ) T ( x/h 1 - i + 3) + T ( x/h - i + 2) -E ( i/m ) T ( x/h - i ),

T 2, ₇ ( y ) = E (V j ) T ( y/h , - j + 3) +T ( y/h 2 - i + 2) -E ( Jin ) T ( y/h 2 - j ), i = 1,..., m , j = 1,..., n ,

0,5 z ²,

z е [ 0;1 ] ,

T ( z ) = ^

- z ² + 3 z - 1,5, z е [ 1;2 ] , 0,5 z ² - 3 z + 4,5, z е [ 2;3 ] ,

T(z) = 0, zё [0;3], E(.) - функция целая часть числа, компоненты вектора l определяются сле- дующим образом ln (i-1)+j = li, j = h\X h2Xl (Ф i, j (x, y)), i = 1,..., m , j = 1,..., n , т.е. p, v^ = l (i?) V v; е V.

Отметим, что решение задачи (8), как и (7) существует, единственно и известны оценки типа

• 1.    II ^{й - ft}l W ₂ k (Q) <  ^СМ ^- ^VUl (Q) ,

• 2.    lim|| u - й\\ ₂ = 0, h = ( h 1 , h 2 ), | h | = max { h 1 , h ₂ } .

h ^0         W2 v^-)

Решение дискретной задачи при итерационной факторизации предобуславливателя

Определим матрицы Vx, Vy размерности N х N mn

( V хй, v) = XX (-(й/+1, j - й/, j ) hl^^vi, jh1 h 2, йш+1, j = vm+1,j = 0 j = 1»™»n, i=1 j=1

mn

( ^V y U , v ) = XX ^{( - ( й} / , j +1 ^{- й} / , j ) h 2 ^{- 1) v} z , j ^h 1 h 2 , ^U z , n +1 = v i , n +1 = ⁰ i = ¹»-» m .

i 1 j 1

Математика

Дополнительно введём матрицы V1 и V2 размерности m х m и n х n соответственно mn

^{( V} 1 ^{u ,} v ) = £ ( - ( ^U i +1 - ^U i ) ^h^)v i ^{, U} m +1 = ^V m +1 = ^{0 , ( V} 2 u ^, v ) = E ^{( - ( u} j +1 - ^u j ) ^h 2 1 ) ^V j ^{, u} n +1 = ^V n +1 = ⁰ • i =1                                                                    j =1

Они связанны с предыдущими матрицами следующим образом V x = V 1 ® E n , V y = E m ® V ₂ .

Здесь E m и E n - единичные матрицы размерности m х m и n х n соответственно, а (.,.) обычное скалярное произведение векторов. Определим матрицу

{ Au ^, v ) = £ Е ^{(( u} i +1, j ^{- u} i , j ⁾⁽ v i +1, j ^- v i , j ) ^h 1— ² + ⁽ u i , j +1 ^- u i , j ⁾⁽ v i , j +1 ^- v i , j ) h - ^{2) h} 1 ^h 2 ^, i =1 j =1

^u i , n +1 = ^v i , n +1 = ^0, i = ¹,..., ^{m , u} m +1, j = v m +1, j = ^{0, j} = I?"-? ⁿ •

Заметим, что

A = Vx‘Vx + Vy‘Vy = (V1 ® En)‘(V1 ® En) + (Em ® V2)'(Em ® V2) = (V1‘V1) ® En + Em ® (V 2‘V2).

Дополнительно введём матрицы Д 1 =V ₁ V ₁ и Д ₂ =V ₂ V ₂ размерности m х m и n х n соответственно, тогда A = A 1 ® E n + E_m ® Д ₂. Определим матрицу M = A ². Отметим, что

M = ( Д 1 ® E n + E_m ®Д ₂)² =Д 2 ® E n + 2 Д 1 ®Д ₂ + E_m ®Д 2 .

Матрица Л представляется в виде Л = Л ^2,0 + 2 Л ^1,1 + Л ^0,2 + а Л ^0,0, где матрицы Л ^{p ,} q :

(Л ^{p ,} q u , v ) = j u x p x q v x_px q d Q V u,v e V , ( p , q ) e { (2,0), (1,1), (0,2), (0,0) } .

Ω

Дополнительно введём матрицы Лx,p , Лy,q, p, q = 0,1,2 размерности m х m и n х n соответст венно, элементы которых следующие b1

x , ^p z,^-1 [ш( ^{p )}/_Yliui ^p

^Л k , i = ^h 1 j ^T 1, k ⁽ x ) 1 1, i ⁽ x ) ^{dx ,} k ^, i = ^1,

b 2

m , Л yjq = h 2 ¹ J V 2 q А У ) * q ( У ) dy , l , j = 1,..., n .

Утверждение 3. Имеют место формулы Л ^{p , q} =Л x ^{, p} ®Л ^{y , q} , p , q = 0,1,2.

Доказательство. Заметим, что т.к.

^Л n ( k -1)+ , , n ( i -1)+ j = ^h -1 ^h 2 ^{- 1} J ^Ф k p q, ( x ^, y ) ^ф i , p ,q ( x . y ) d ^Q = x , y x , y

Ω b1                                    b2

^{- 1      p )}Гу')Ч^{/( p}-xh^ Ф( ^{q )}fvW( ^{q )}fvWi ; X^х , ^pX^y , ^q

= ^h 1 j ^V 1, k ⁽ x ^{) V} 1, i ⁽ x ) ^dxh 2 j ^V 2, l ⁽ y ^{) V} 2, j ⁽ y ) dy = ^Л k , i ^Л l , j . 0                             0

Замечание 2. Имеет место Л = Л ^{x ,2} ®Л ^{y ,0} + 2 Л ^{x ,1} ®Л ^{y ,1} +Л ^{x ,0} ®Л ^{y ,2} + а Л ^{x ,0} ®Л ^{y ,0} и

Л ^{x ,2} = Д 2 , Л ^{y ,2} = д2, т.е. Л = Д 2 ® Л ^{y ,0} + 2 Л ^{x д} ® Л ^{y ,1} + Л ^{x ,0} ® Д 2 + а Л ^{x ,0} ® Л ^{y ,0} .

Замечание 3. Для любых u, v e Rm имеет место равенство m-1

(Лx,0u, v) = (Л,0(u1, u2 ); (v1, V2 У) + ^ (Лx,0 (ui-1, ui, ui+1)',(Vi-1, Vi, Vi+1)A) + (Лm,0 (um-1, um Y, (vm-1, vm Xh i=2                                                   i где используемые выше матрицы следующие

Л ^x ,0 =

86 14

14 6

Л ^x ,0 = ^{, 1 х}т

131 .у о 1

, Л, x ^,0 =-----

59      ¹    120

13 1

54 13 , i = 2,

13 6

m - 1.

Утверждение 4. Видно Д = 116, Х 2 = 16, ^ д = 1, если

^ ^{: Л} x ^{,0 (} v i -1 ^, v i ^, v i +1 ) ‘= ^ E i ⁽ v i -1 ^, v i ^, v i +1 ^{)Z, (} v i -1 ^, v i ^, v i +1 ) ’ ^ ^0, i = ^2,...^, m ^{- 1,}

E^x - диагональные матрицы, где на диагонали первый и последний элементы 16, а средний 2/3.

Утверждение 5 . Для спектральной задачи 2 : Л ^ ^,0( v 1 , v 2 ) = 2 E - ( v 1 , v 2 ) ' , ( v 1 , v 2 ) '^ 0 собственные числа 2 1 = 4/25, 2 2 = 1, здесь E \ диагональная матрица, у которой на диагонали первый элемент 5 6, а второй элемент, он же и последний 1 6 .

Утверждение 6. Для спектральной задачи 2 : Л^х_т^,0( v_m -1 , v_m ) ' = 2 E_m ( v_m -1 , v_m У, ( v_m -1 , v_m ) ' * 0 собственные числа 0 <  2 ,2 = (89 ± 3л/4б9)/200 <  1, здесь E 1 ^x диагональная матрица, у которой на диагонали первый элемент 1 6 , а второй элемент, он же и последний 5 6.

Введём вспомогательные матрицы V / , А / размерности т х т : А / = ( V / ) 'V / >  0 ,

^{( V /} u ^, V ) = £ ⁽ и /1 ^/ u_t ) v ^{, ( А /} u ^{, v} ) = £ ⁽ u_t /1 ^/ u i ⁾⁽ v /1 ^/ v ), u m /1 = v m /1 = ⁰ i =1                                          i =1

и матрицу S ¹ размерности m х m с элементами S - j = E(2/(i / j )), i , j = 1,..., m .

Утверждение 7. Имеют место неравенства 2/15 E_m <Л ^{x ,0} <  E_m ( 2/15 E n <Л ^{x ,0} <  E n ) .

Доказательство. Правое неравенство следует из замечания 3 и утверждений 4,5,6, т.к.

(EmU, v) = (Ex (U1, и2 )', (v, v2 У) / ^^ (Ex (U--1, Ui, U-/1)', (v-, v, v-/1У) / (Ex (U„-1, Um У, (vm-1, vm У) • i=2

Используя известный приём, имеем, что 120 Л ^{x ,0} >  120 M^{x ,0} - ( А / / 2 S ¹)² - 22( А / / 2 S ¹) = 16 E_m .

Замечание 4. Для любых u , v е Rm имеет место равенство

m -1

^{( Л x ,1 u , v} ) = (X^{,1( U} 1 ^{, U} 2 ^{), ( v} 1 ^{, v} 2 У) ^/ ^ ^{( Л x Д ( U} i -1 ^{, U} i ^{, U} i /1); ⁽ v i -1 ^, v i ^, v i /1 У) ^{/ ( Л} m ^{1 ( U} m -1 ^{, U} m У^{, ( v} m -1 ^{, v} m У1

i =2

i

где используемые выше матрицы следующие:

Л

x ,1 =

h

-2 Г1

-

^, Л

x ,1 =

m

h 1 ^{- 2} Г 2

-

x ,1

^{, 1} -I

h

-2

-

-

-

-

, i = 2,

.

.

.,

m - 1.

Утверждение 8. Имеют место неравенства

-2

¹ А x <Л_ x ^д<  А x , где А x = h³—

3 i i i i 2

Доказательство. Имеем 6 h 1 ² ( Л x ^,1

-

-

-

-

, i = 2,

.

.

.,

m - 1.

13 А x ) >  0, т.к. ( v i

i -1

-

^{2 v} i -1 ^v i /1 ^/ v w) = ^{( v} i -1

-

v - /1 ) 2 >  0.

Видно, что 6 h 1 ² ( А x

-

Л x ^д) >  0, т.к.

v i ² -1

-

4 v -1 v - / 4 v ²

-

4 v i v i /1

^{/ 2 v} i -1 ^v i /1 ^{/ v} i ²/1 = ^{( v} i -1

-

2 v - / v - /1 )² > 0.

Замечание 5. Имеет место равенство -3 A x = Л X ^,

h

^, где ^A 1 = -y-

-2 Г1

-

-

.

Утверждение 9. Имеют место неравенства

1 x

m

x ,1

m

< ^а m ^, где a

X

h ₁

² Г 1

-

m

-

.

Доказательство. Имеем 12 h ₁²( Л x ^,1

-

12 А x ) >  0, т.к. ( v

m -1

-

2 v_{m - 1} v_m / v_m ) = ( v_{m - 1}

-

v m ) 2 >  0.

Видно, что 6 h ₁² ( А

x

m

-

^л m ¹) > ^o, т.к.⁽ v

m -1

-

m -1 m     m      m -1

-

2 v m )² >  0.

Следствие 1. Имеют место неравенства 3 ¹ А 1 <Л ^{x ,1}

<А 1 ( 3 ^{- 1} А 2 <Л y ^д<А 2 ) .

Доказательство. Следует из замечаний 4, 5 и утверждений 8, 9, т.к.

m -1

^{( A} 1 ^{U , v} ) = ^{( A} x ^{( U} 1 ^{, U} 2 ); ^{( v} 1 ^{, v} 2 У) ^/ ^ ^{( A x ( U} i -1 ^{, U} i ^{, U} i /1); ⁽ v i -1 ^, v i ^, v i /1 У) ^{/ ( A} m ^{( U} m -1 ^{, U} m У^{, ( v} m -1 ^{, v} m )) .

i =2

Утверждение 10. Имеют место следующие неравенства

Математика

• 1.    9 ^{- 1} ∆ ₁ ⊗ ∆ ₂ ≤Λ ^{x 1} ⊗ Λ ^{x 1} ≤∆ ₁ ⊗ ∆ ₂

• 2.    2 15 ∆ ₁ ² ⊗ E_n ≤∆ ₁ ² ⊗ Λ ^{y 0} ≤∆ ₁ ² ⊗ E_n

• 3.    2 15 E m ⊗ ∆ ² 2 ≤Λ ^{x 0} ⊗ ∆ ² 2 ≤ E m ⊗ ∆ ² 2 .

Доказательство. Если µ ∈ ℝ: Λ ^{x 1} v = µ ∆ ₁ v v ≠ 0 η ∈ ℝ : Λ ^{y 1} w = η ∆ ₂ w w ≠ 0 то учитывая следствие 1, ц , пе |^ 3 ^{- 1};1 ] • Если X e ^ ^: Л x ,1 ®Л y ^u = Х Д 1 ®Д 2 u , и Ф 0, то u = v ® w и X = цп^ [ 9 ^{- 1};1 ] , а, следовательно, имеет место 1., т.к. все рассматриваемые матрицы симметричны и положительно определенны. Аналогично доказываются остальные неравенства.

Следствие 2. Имеет место k ₁ A ² ≤ Λ ≤ k ₂ A ² , если k ₁ = 9 ^{- 1} γ ₁ = 9 ^{- 1} , k ₂ = γ ₂ = ( λ ₁ ² _,1 + a ₂ ) λ ₁²_,1 .

Доказательство. Из утверждений 2, 10 и замечания 2 получаются требуемые неравенства k ₁ A ² v , v = k ₁ M v , v ≤ Λ v , v = Λ ( v ɶ, v ɶ) ≤ k ₂ Μ ( v ɶ, v ɶ) = k ₂ M v , v = k ₂ A ² v , v .

Введём нормы v 2 = A ² v , v , v = Λ v , v , ∀ v ∈ ℝ ^N .

A Λ

Рассматривается итерационный процесс:

u ^k ∈ ℝ ^N : A ²( u ^k - u ^{k - 1}) =- τ _k ( Λ u ^{k - 1} - f ), τ _k = τ = 2 ( k ₁ + k ₂ ) > 0, k ∈ ℕ, ∀ u ⁰ ∈ ℝ ^N . (9)

Теорема 2. Для итерационного процесса (9) имеют место оценки:

• 1.    u^k - u _Λ≤ ε u ⁰ - u _Λ ,

• 2.    u ^k - u _{A 2} ≤ ε u ⁰ - u _{A 2}, где относительная ошибка сходимости u ^k к решению u следующая ε ≤ q^k = ( ( k 2 - k 1 ) ( k 2 + k 1 ) ) ^k = ( (8 λ 1 ² ,1 + 9 a 2 ) (10 λ 1 ² ,1 + 9 a 2 ) ) ^k , k ∈ ℕ.

Доказательство. Пусть u ^k = u + ψ ^k , k ∈ ℕ ∪ { 0 } , тогда из итерационного процесса A ²( ψ ^k - ψ ^{k - 1}) =- τ _k Λ ψ ^{k - 1} , ψ ^k - ψ ^{k - 1} =- τ _kA ^{- 2} Λ ψ ^{k - 1}, ψ ^k = ( E - τ _k A ^{- 2} Λ ) ψ ^{k - 1}.

Пусть T_k = E - τ _k A ^{- 2} Λ , тогда ψ ^k = T_k ψ ^{k - 1} , где T_k = T_k ^′ >  0 и можно доказать первое неравенство.

Λψk,ψk = ΛTkψk-1,Tkψk-1 ≤ sup ( ΛTkψ,Tkψ Λψ,ψ ) Λψ,ψ = ψ∈ℝN sup ψ∈ℝN

' (Л TkV,^ У

I (Л^) J

(

(Л ^ ^{к - 1}, ^ ^{k -1}) = sup 1 - T k

^ eR N

ΛA-2Λψ,ψ

Λψ,ψ

_Λ ψ k -1 , ψ k -1 ₌

полагаем v = A ^{- 1} Λ ^{1 2} ψ ,

= sup ( 1 - τ _k Λ v , v   A ² v , v ) Λ ψ ^{k - 1}, ψ ^{k - 1} ≤ max { ( 1 - k ₁ τ _k ) ² , ( 1 - k ₂ τ _k ) ² } Λ ψ ^{k - 1}, ψ ^{k - 1}

v∈ℝN отсюда

Λ ψ ^k , ψ ^k = q ² Λ ψ ^{k - 1}, ψ ^{k - 1} , u ^k - u _Λ ≤ q u ^{k - 1} - u _Λ , u ^k - u _Λ ≤ q^k u ⁰ - u _Λ .

Далее можно привести вывод второго неравенства.

A ² ψ ^k , ψ ^k = A ² T_k ψ ^{k - 1}, T_k ψ ^{k - 1} ≤ sup ( A ² T_k ψ , T_k ψ    A ² ψ , ψ ) A ² ψ ^{k - 1}, ψ ^{k - 1}

ψ∈ℝN sup ψ∈ℝN

A T k ^ ’ ^

A 2 ^ , ^ к \ I )

A 2 ψ k -1 , ψ k -1 ₌

sup ψ ∈ ℝ N

1 - ^T k

к

Л^’^

^ A 2^,^

A 2 ψ k -1 , ψ k -1

≤ max { ( 1 - k ₁ τ _k ) ², ( 1 - k ₂ τ _k ) ² } A ² ψ ^{k - 1}, ψ ^{k - 1}

тогда

A ² ψ ^k , ψ ^k = q ² A ² ψ ^{k - 1}, ψ ^{k - 1} , u^k - u _{A 2} ≤ q u^{k - 1} - u _{A 2}, u^k - u _{A 2} ≤ q^k u ⁰ - u _{A 2} .

На каждом шаге итерационного процесса (9) возникает задача вида:

u ∈ ℝ ^N : A ² u = l , l ∈ ℝ ^N ,                                   (10)

для которой возможно расщепление на две однотипные задачи w∈ ℝN : Au =l , l ∈ ℝN, u ∈ ℝN : Au = w, w∈ ℝN .                              (11)

Для решения (11) можно применять варианты эффективного по количеству арифметических операций метода предложенного и изучаемого в работе [1]. В этом случае предполагается использование двухступенчатых итерационных процессов, где итерационные параметры могут выбираться с помощью наиболее подходящих в каждом случае вариационных методов для достижения необходимой точности в решениях вспомогательных и рассматриваемой задач.

Вывод. Учитывая всё ранее изложенное, можно отметить, что для решения рассматриваемой задачи (8) с N неизвестными на основании теоремы 2 предложенным итерационным процессом (9) с относительной погрешностью ε , требуется не более чем Ο ( N ln² ε ^{- 1}) арифметических операций.