Изменение нелинейного температурного поля, связанное с коэффициентом теплопроводности
Автор: Чочиев Тимофей Захарович
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 3 т.2, 2000 года.
Бесплатный доступ
В настоящей статье удалось построить формулу, выражающую закон изменения нелинейного температурного поля, установлена ее непосредственная связь с заданием начального и краевого условий, а также физическими свойствами среды.
Короткий адрес: https://sciup.org/14318011
IDR: 14318011
Текст научной статьи Изменение нелинейного температурного поля, связанное с коэффициентом теплопроводности
В настоящей статье удалось построить формулу, выражающую закон изменения нелинейного температурного поля, установлена ее непосредственная связь с заданием начального и краевого условий, а также физическими свойствами среды.
В работе [4], ввиду сложности нелинейного температурного поля, не дана общая схема функции отношения р(ж,Ц, поэтому не вскрыта ее связь с физическими условями задачи. В настоящей статье удалось построить формулу, выражающую закон изменения нелинейного температурного поля, установлена ее непосредственная связь с заданием начального и краевого условий, а также физическими свойствами среды. Напоминаем, что если коэффициент теплопроводности к является функцией от температуры: к = к Д'), то задача нелинейного температурного поля
ЭТ 9
= fc Г 1
at ох \ ох / для однородного упругого полупространства, ограниченного поверхностью х = О, при соблюдении условий
Г Ц=о = То, ^ - у(Т - 0) = 0 при х = О ох к
и при принятии обозначения Кирхгофа
т
F =
-
1- I кДДД
КО J
То приводится к уравнению теплопроводности ср 8F 8Д кД)"81 ~ д^"’
где ср — объемная теплоемкость, ко — коэффициент теплопроводности, который соответствует линейному температурному полю, То — начальная температура, a(t) — коэффициент теплоотдачи на поверхности х = 0 полупространства, 6 — температура, установившаяся на поверхности в результате теплообмена. Вводя промежуточные функции А(Т) и Т* [4] формулой получаем
Г dF J т |
_ гр* — ) |
(*) |
||
ЭР "dt = |
РО Р ££-Дх = —eJo ркЛж, Р |
ЭР Эх |
Р ^dx = PqCJo Рк |
(4) |
(v =p0(t) |
р С£_ еЗо рк |
dx \ |
(5) |
гДе Ро(£) — произвольная функция, а (4) удовлетворяет уравнению (3). Функция отношения p(x,t) определяется равенством
ЭР ! ЭР _ ЭТ* ! ЭТ* _ ЭТ / ЭТ
Эх j dt Эх / dt Эх / dt "
В связи с тем, что Р(х, £) температурная функция, также должно иметь место
9V - 1 9^* у
Эх \ р / dt Эх dt р Эх ’ решение которого есть
V = р(т)е 2 Jo (dr = pdx + dt, da = pdx — dt), (6)
где у)(т) — произвольная функция. Сравним ее правую часть с правой частью формулы (5),
РоеР рк = р(т)е 2 Jo ат (Мт)\1=о = PoWY
Обозначение Кирхгофа и (*) приводят к соотношениям (см. [4])
ЭР ЭТ* ро р = Х = е ° dt dt р |
рк |
9F _Х9Т* Эх Эх |
Г1 ^dx = poCJo рк |
ЭТ* pop д Г ^ - Ао eJo |
^4ж |
ЭТ* _ ррХо |
д Р ^dx --eJo рк^. |
Эх ср Эх |
dt ср |
Эх |
Здесь, так же, как и выше, правые части должны удовлетворять условию потенциальности поля
АоРо
9 Р £Lda;
i Г ^d
----—eJo рк = рр_тр-2 Jo ср Эх и приняв во внимание (7), получим
5 / / х -4 Г ^dx\ , .ср 1 Г 9^PdCT — I р(т)е - Jo 1 = рцт) — в-Jo .
Ox \ / Ао
Это и есть равенство, которому должна удовлетворять функция отношения р(ж, t). В (11) вошли новые переменные т и ст, поэтому возникает необходимость преобразования координат
0 ( 0 0 А
0х"Р\0т^ Оа)1
о огр
/ д_ _ о_\ \дт да)
(dx = pdx + dt, da = pdx — dt).
Результат перехода дает pipe
UP^P+^P Д<т> i Ч р:,Т- РЕ'111»110' ip(x) 2 \ да2 дадт
Э2 J" In. pda
V Эт^
А ср , .I р (8 inp 1 = —р1(т)е2 Jo 1 8т
-P^\da OCT /
I
/ Ао
Так как ^ есть некоторое решение (1.11) из [4] зависящее от т, то без ограничения общности можем допустить
Р1(т) = А0(т)р*(т)
('■"-Д)
Следовательно, последнее приводимо к сложному нелинейному уравнению
d2Jlnpd Эт2 " дстдт Эст2 —~ — Z----:—:— . Р2 ^*(т) которое можно записать в виде системы djlnpdcr djlnpdcr dV* dV* 2 Эт Эст 1 дт Эст p2 или, считая p*(x,t) заданной, можно построить равносильную систему Э J" In pdcr , d J" Inpdcr Ik + \p2 рЧЧ r dv* dv* v* - p* ——— ~h ——— — ------ Эт Эст I v* ^^^^^^^^. p* = 21 (A \p2 ^^^^^^^^. РЧЧ Г где l определим позднее. Из второго уравнения находим V* в виде 1"=Л^'*(с1(ч)-1у е"1^'*.^^ (5 = г + <7. О Ч = г - <т), и правую часть первого уравнения заменяем третьим Мая V* ^Г^ — J knpdCT = =4>p = e2 cla о По установленным формулам (15) и (16) третье соотношение из (14) пере- писывается как V* ^^^^^^^^. p-l = e-^Rv*^ 21 ^^^^^^^^. или, заменив левую из (14) — в форме часть данного равенства левой частью второго уравнения 3V* 5^ = e-^Jo5y*^ ^^^^^^^^™ После умножения на е ^Jjv*d^ Эст имеем ^ Пу^эу* ^'(т) ^ Му^ а^ edCTjo -----—-edcrjo — = —. Эст ^*(т) Эст Эст откуда получаем уравнение относительно экспоненты э ^.pv*dE, , ^^(т) ^.ру*^ т (a^ Д —ре9" Jo s j--е° Jo s = 1 1 Решая последнее уравнение получаем JJ v«. = c^h$^*Wt (IS) Следовательно (см. (16)), Р V С(,;) +/05 ^(т)^ а также учитывая, что У* допускает непрерывные производные (см. (15)), из (17) выводим а V'=J (Д"(т) - (/'(т) С^]Н Jo v4tVI^ <р*И С(лН Jo ^^d^ Idn + Vj^. Результат приравнивания правых частей (15) и (19) позволяет определить Р*(Д ?/) в виде Р* СТ ч/ о *2 V ^^^^^^^^. у- С^+^уаЦ V* \c^ + Jo V*d^ —dcr ст аи о ^^^^^^^^. v*' c^ + Jo^ V* \c^ + Jo p*d^ — dcr ^^^^^^^^. a a^ [ Уо е Jo I Далее, значения р, У*, р из (18)—(20) внесем в третье равенство выражения (14) при условии, что Уо* = 0 (это допущение упрощает нахождение /) =2 9 Гаda Э^ V v) JO ге S и С(ч)+ tp*dE, 9^ у*(т) °j га ip* {r)da <р*' (т) Jo c(4)+Joe¥,*^ ^^^^^^^^. у*(т) У* C^+Jq V'd-E, СТ I Отсюда и определяем I. Установленные выше формулы (18)—(20) удовлетворяют всем равенствам (14). Так как в формуле (19) при ст = 0, V* = 0, то в правой части (15) Ci(?/) = 0. Все выше перечисленные функции зависят от С(?/) и <р*(т) и, следовательно, согласно (10) будет E2.—eJ ^dx= ^*е2 J dXatPdCT ср Эх Тем самым установлено тождественное равенство (см. (11)) Я / 1 8р , \ 1 Гст ainp , — (у)(т)е 2 Jo 81 ° \ = ф(т)е2 Jo 8t ai на основании которого частные производные функции F^x^t^ выражаются (см. (5) и (7)) формулами 9F , х-г Г — = ^ т е - Jo Эх al лт4" эт =_vM_e-tp^ dt р^т^о) Более того, поскольку правые части удовлетворяют условиям теоремы Шварца (см. (5)), то дифференциальное соотношение dF = ^-K —-----е2 Jo 81 dt + tpvne2 Jo 81 do р(т, о) позволяет исключить температурную функцию Т(ж,^. Пусть fc(Ti) (Tq< Ti < Т) — есть значение ЦТ) в состоянии Т = Т^ (по теореме о среднем). Тогда вместо второго условия (2) будем иметь1 Т(ж,£)|г=о = 0, 9F/-х Г F То-У1 —--«С , /т х 4--;--- = 0 при х = 0 Эхv ' 4(4) к0 ] Р Так как где F обозначение Кирхгофа, то в этом смысле записанное краевое условие (23) обратно дает (2). Соотношение (22) можно представить в виде определенного интеграла т и То р^т,(т) -^da dr, где т|^=о = tq. Таким образом, выполнено начальное условие. Далее, замечая, что 9F ( \ "тГ -L Г ^dA —— = уцт)е Jo dI — ----е Jo dI Эх \ Р / краевое условие (23) можно при х = 0 представить в виде . . -1 Г 1 T *1 l г-^ ^т„-е ^P\T It, Ct ЦГ1) J 0 P Ko ДО). Введя обозначение j ^е 2 Jo Эх d"dT = Q (при ж = 0), (23)! о из дифференциального уравнения 8Q а а у? ~ pHt^v = р т0-0 \ ДО) ко а при х = 0 находим Q-. Q = _Г° ~ 9ЦТХ) + е™ L pdT ко т X Qo^1^-^-^^ / -^-e-™LT^dT ко J а дт о где в силу обозначений постоянная Qo получается равной 0. Подставим в правую часть (23) вместо Q значение из (24) и продифференцируем обе части по т: = аек№^ ^о Тр-9 ко ^^^^^^^^. т ф*№ j о 1 9--1-- ГТ О-Дт ——е к{Т1} Jo р йт ск от + ^(0) или Ф^т^е 2 Jo 81 — y?(0) 1 ---------------------- . . e k(Ti) Г ad,T Jo P -О , х П э__Г ^ат , \ = си—---^(0) —fc<To) Jo р dr ). V ко J а дт / о Предположим, что , х р ^da , х « Ct(O) __ Гт 2.dr юте2 Jo a. =---LHek(To)Jo PdT (25)1 а также — —£ k J a от о Тогда относительно D имеем уравнение ю_ ДО) 1 /а(0) ат кло куо\р№ to /’ решение которого ^(0) г /Q,m) То — 9\ 1 D = e^oT Do+ + —- L \Р(°) к0 / у)(0) J где D . И0) I Г°"^1 " \р(0) к0 /^(О)" Это решение вместе с обозначением (25)1 дает: — . . е кЛ1^ fTs^dT Jo р т _ м(0) Г __Д0)_т = DoTT^ ae kvT^ AtTD* о (у; = г ИЛИ т — , x —QT = In k^J p T _ (Z)(0) Г __Д0)_т D°TT^ ae kvT^ AtTD* о Следовательно, P ( g(0) , Tp-9 А ^У ’) т ^pW ко )e 1 й^ш (ae k^ T(iT - 1 к(Д\) \ P(0) k0 / JO при X = 0. В точке т = ст = 0 будет 1 =То-9 р(0,0) fco(l-a(O))' Если условимся, что С(0) = р(0, 0) (это предположение не накладывает никаких ограничений на установленные формулы (18), (19) и (20)), то из (18) сразу вычисляем значение <Д0): (ДО) = ^-^у- Таким образом, формула (26) полностью определяет функцию - всюду при х = 0, а это позволяет найти функции СД) и Дт) (см. (24) и (18) при х = 0), как зависящие от начальных и краевых условий - , ч /гх\ Ч 1 22, д™ ОД=^(о,„) AA-AAe^j?^ =-н;*^ VPWFl) Д0,0) J 1 р_ т_ О — р(т) = е 2 Jo 8111(7 , . а(2т) ,^0) + йЬт. ^^^^^^^^. (ДО) 1 Д —Дт р(0,0) от которых зависят все остальные функции, включая р(ф ту) (см. (18)) 1 _ рЧ^ ^ рЧ^ С^Н fo рЧЧс^ а также функцию Q(t, а) (см. (24)), которая обеспечивает выполнимость краевого условия (23). Все функции, которые были введены выше, зависят от р(т, о"), ср(т), С(7]), и они полностью определены в полупространстве, включая точки поверхности х = 0. Причем, £ = т + сг, р = т — сг и при х = 0, t = т — сг = ту, £ = 0, ст = — т, ту = 2т = —2<т. Теперь функцию F(x,t) можно считать определенной, т. е. удовлетворяющей уравнению (3), начальному и краевому условиям (23). А из (22) нужно попытаться явно определить температурную функцию Т. Далее, поскольку p*V4 найдена (см. (7)), находим ир0(Д- Вернемся к (*), F(x,t) уже известна, между F(x,t) и Т*(жД) (см. (4)) существует функциональная зависимость ГДЖД) = ^(^). С другой стороны (см. (8)) dF _ к(Т) и dT* = ^dF = ^dF.
Список литературы Изменение нелинейного температурного поля, связанное с коэффициентом теплопроводности
- Карлслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел.-М.: Наука, 1964.
- Коваленко A. Д. Основы термоупругости.-Киев: Наука думка, 1970.
- Лыков А. В. Теория теплопроводности.-М.: Высшая школа, 1967.
- Чочиев Т. З. О фундаментальной функции нелинейного температурного поля//Владикавказский мат. журн.-2000.-Т. 2, Вып. 1.-С. 32-44.