Изменение нелинейного температурного поля, связанное с коэффициентом теплопроводности

В настоящей статье удалось построить формулу, выражающую закон изменения нелинейного температурного поля, установлена ее непосредственная связь с заданием начального и краевого условий, а также физическими свойствами среды.

В работе [4], ввиду сложности нелинейного температурного поля, не дана общая схема функции отношения р(ж,Ц, поэтому не вскрыта ее связь с физическими условями задачи. В настоящей статье удалось построить формулу, выражающую закон изменения нелинейного температурного поля, установлена ее непосредственная связь с заданием начального и краевого условий, а также физическими свойствами среды. Напоминаем, что если коэффициент теплопроводности к является функцией от температуры: к = к Д'), то задача нелинейного температурного поля

ЭТ 9

= fc Г                                    1

at ох \ ох / для однородного упругого полупространства, ограниченного поверхностью х = О, при соблюдении условий

Г Ц_=о = Т_о, ^ - у(Т - 0) = 0 при х = О ох к

и при принятии обозначения Кирхгофа

т

F =

• 1-    I кДДД

КО J

То приводится к уравнению теплопроводности ср 8F 8Д кД)"81 ~ д^"’

где ср — объемная теплоемкость, ко — коэффициент теплопроводности, который соответствует линейному температурному полю, То — начальная температура, a(t) — коэффициент теплоотдачи на поверхности х = 0 полупространства, 6 — температура, установившаяся на поверхности в результате теплообмена. Вводя промежуточные функции А(Т) и Т* [4] формулой получаем

	Г dF J т	_ гр* —   )		(*)
ЭР "dt =	РО Р ££-Дх = —eJo ркЛж, Р	ЭР Эх	Р ^dx = PqCJo Рк	(4)
	(v =p0(t)	р С£_ еЗо рк	dx \	(5)

^гД^е Ро(£) — произвольная функция, а (4) удовлетворяет уравнению (3). Функция отношения p(x,t) определяется равенством

ЭР ! ЭР _ ЭТ* ! ЭТ* _ ЭТ / ЭТ

Эх j dt Эх / dt Эх / dt "

В связи с тем, что Р(х, £) температурная функция, также должно иметь место

9V - 1 9^* у

Эх \ р / dt Эх dt р Эх ’ решение которого есть

V = р(т)е ² Jo (dr = pdx + dt, da = pdx — dt),          (6)

где у)(т) — произвольная функция. Сравним ее правую часть с правой частью формулы (5),

РоеР рк = р(_т)е ² Jo ат (Мт)\₁₌о = PoWY

Обозначение Кирхгофа и (*) приводят к соотношениям (см. [4])

ЭР   ЭТ*  ро р = Х = е ° dt      dt    р	рк	9F _Х9Т* Эх    Эх	Г1 ^dx = poCJo рк
ЭТ* pop д Г ^   - Ао eJo	^4ж	ЭТ* _ ррХо	д Р ^dx --eJo рк^.
Эх    ср Эх		dt     ср	Эх

Здесь, так же, как и выше, правые части должны удовлетворять условию потенциальности поля

9(рУо) dt = dVo дх ^И) = РоАо д Г :        о eJo ср дх (8) или уравнению д¥0 дУ0 др т т дх - 47^°’ dt (9) решением которого является И) = Р1(т)е2 j:^-. где Р1(т) произвольная функция. Сравнив Vq с правой частью выражения (8)

АоРо 9 Р £L_da;        i Г ^d

----—eJo рк  = рр_тр-2 Jo ср Эх и приняв во внимание (7), получим

5 / / х -4 Г ^dx\ , .ср 1 Г 9^P_dCT — I р(т)е - Jo 1 = рцт) — в-Jo       .

Ox \               / А_о

Это и есть равенство, которому должна удовлетворять функция отношения р(ж, t). В (11) вошли новые переменные т и ст, поэтому возникает необходимость преобразования координат

0     ( 0    0 А

0х"Р\0т^ Оа)1

о огр

/ д_ _ о_\ \дт да)

(dx = pdx + dt, da = pdx — dt).

Результат перехода дает pipe

UP^P+^P Д<^т> i Ч р^:,Т- РЕ'¹¹¹»¹¹⁰' ip(x) 2 \ да²           дадт

Э² J" In. pda

V Эт^

А ср , .I р (8 inp 1 = —р1(т)е² Jo 1 ^8т

-P^\da OCT /

I

/ Ао

Так как ^ есть некоторое решение (1.11) из [4] зависящее от т, то без ограничения общности можем допустить

Р1(т) = А0(т)р*(т)

('■"-Д)

Следовательно, последнее приводимо к сложному нелинейному уравнению

d2Jlnpd

Эт2 " дстдт          Эст2

—~ — Z----:—:— .

Р2 ^*(т)

которое можно записать в виде системы

djlnpdcr djlnpdcr       dV* dV* 2    

Эт           Эст 1 дт Эст p2

или, считая p*(x,t) заданной, можно построить равносильную систему

Э J" In pdcr , d J" Inpdcr Ik ⁺

\p2 рЧЧ r

dv* dv* v* - p*

——— ~h ——— — ------

Эт Эст I

v*

^^^^^^^^.

p*

= 21

(A

\p2

^^^^^^^^.

РЧЧ Г

где l определим позднее. Из второго уравнения находим V* в виде

1"=Л^'*(с1(ч)-1у е"1^'*.^^ (5 = г + <7.

О

Ч = г - <т),

и правую часть первого уравнения заменяем третьим

Мая V* ^Г^

— J knpdCT =    =4>p = e^{2 cla}

о

По установленным формулам (15) и (16) третье соотношение из (14)

пере-

писывается как

V*

^^^^^^^^.

p-l = e-^Rv*^ 21

^^^^^^^^.

или, заменив левую из (14) — в форме

часть

данного равенства левой частью второго уравнения

3V*

5^

= e-^Jo5y*^

^^^^^^^^™

После умножения на е

^Jjv*d^ Эст

имеем

^ Пу^эу* ^'(т) ^ Му^ а^ e^dCTjo -----—-e^dcrjo     — = —.

Эст ^*(т)             Эст Эст откуда получаем уравнение относительно экспоненты э ^.pv*dE, , ^^(т) ^.ру*^ т (a^ Д

—ре9" Jo    s j--е° Jo s = 1          1

Решая последнее уравнение получаем

JJ v«. = c^h$^*Wt

(IS)

Следовательно (см. (16)),

Р V С(,;) +/05 ^(т)^

а также учитывая, что У* допускает непрерывные производные (см. (15)), из

(17) выводим

а

V'=J

(Д"(т) - (/'(т) С^]Н Jo v4tVI^

<р*И С(лН Jo ^^d^

Idn + Vj^.

Результат приравнивания правых частей (15) и (19) позволяет определить Р*(Д ?/) в виде

Р*

СТ ч/ о

*² V

^^^^^^^^.

у- С^+^уаЦ

V* \c^ + Jo V*d^

—dcr

ст

аи

о

^^^^^^^^.

v*' c^ + Jo^

V* \c^ + Jo p*d^

— dcr

^^^^^^^^.

a

a^ [

Уо е Jo

I

Далее, значения р, У*, р из (18)—(20) внесем в третье равенство выражения (14) при условии, что У_о* = 0 (это допущение упрощает нахождение /)

=2

9          Г^аda

Э^ V v) JO ге

S           ^и С(ч)+ tp*dE,

9^  у*(т) °j

га ip* {r)da         <р*' (т)

Jo c(4)+Joe¥,*^

^^^^^^^^.

у*(т)

У* C^+Jq V'd-E,

СТ

I

Отсюда и определяем I. Установленные выше формулы (18)—(20) удовлетворяют всем равенствам (14). Так как в формуле (19) при ст = 0, V* = 0, то в правой части (15) Ci(?/) = 0. Все выше перечисленные функции зависят от С(?/) и <р*(т) и, следовательно, согласно (10) будет

E2.—_eJ ^^dx₌ ^*_е2 J ^dXat^PdCT ср Эх

Тем самым установлено тождественное равенство (см. (11))

Я /          1 ⁸р , \             1 Г^ст ainp ,

— (у)(т)е 2 Jo 81 ° \ = ф(т)е2 Jo 8t ai на основании которого частные производные функции F^x^t^ выражаются (см. (5) и (7)) формулами

9F , _х-г Г — = ^ _{т е} - Jo Эх

al лт4"

эт ₌_vM__e-tp^ dt р^т^о)

Более того, поскольку правые части удовлетворяют условиям теоремы Шварца (см. (5)), то дифференциальное соотношение dF = ^-K

—-----е² Jo ⁸¹ dt + tpvne² Jo ⁸¹ do р(т, о)

позволяет исключить температурную функцию Т(ж,^. Пусть fc(Ti) (Tq< Ti < Т) — есть значение ЦТ) в состоянии Т = Т^ (по теореме о среднем). Тогда вместо второго условия (2) будем иметь¹

Т(ж,£)|г=о = 0,

9F_/-х Г F То-У1

—--«С , _{/т х} 4--;--- = 0 при х = 0

Эх^v ' 4(4) к₀ ] ^Р

Так как

где F обозначение Кирхгофа, то в этом смысле записанное краевое условие (23) обратно дает (2). Соотношение (22) можно представить в виде определенного интеграла

т и

То

р^т,(т)

-^da

dr,

где т|^=о = tq. Таким образом, выполнено начальное условие. Далее, замечая, что

9F ( \ "тГ           -L Г ^dA

—— = уцт)е ^Jo ^dI — ----е ^Jo ^dI

Эх                      \ Р             / краевое условие (23) можно при х = 0 представить в виде

. . -1 Г	1	T	*1 l г-^ ^т„-е
^P\T It,                    Ct	ЦГ1)	J 0	P                     Ko

ДО).

Введя обозначение j ^е 2 Jo Эх d"dT = Q (при ж = 0),             (23)!

о из дифференциального уравнения

8Q а а у? ~ pHt^v = р

т₀-0 \ ДО) ко а

при х = 0

находим Q^-.

Q ₌ _^Г° ~ ⁹ЦТ_Х) + е™ L p^dT ко

т

X

Qo^1^-^-^^ / -^-e-™LT^dT ко                   J а дт

о где в силу обозначений постоянная Qo получается равной 0. Подставим в правую часть (23) вместо Q значение из (24) и продифференцируем обе части по

т:

= ае^к№^ ^о

Тр-9 ко

^^^^^^^^.

т ф*№ j о

1 9--1-- Г^Т О-Дт

——е ^к{Т1} Jo ^р йт ск от

+ ^(0)

или

Ф^т^е ² Jo ⁸¹   — y?(0)

1 ----------------------                                    .                                             . e k(Ti)

Г ad,T

Jo P

-О , _х П э__Г ^ат , \ = си—---^(0)   —^fc<^To) Jo р dr ).

V ко         J а дт               /

о

Предположим, что

, _х р ^da , х « Ct(O) __ Г^т 2.dr юте² Jo a.         ₌---LH_ek(To)Jo P^dT

(25)1

а также

• — —£ ^{k' ^ p di" = D.}

J a от о

Тогда относительно D имеем уравнение ю_ ДО)       1 /а(0)

ат кло куо\р№ to /’ решение которого

^(0) г /Q,m) То — 9\ 1

D = e^oT Do+    +   —-

L \Р(°) к0 / у)(0) J где

D . И⁰⁾ I ^Г°"^¹

"     \р(0) к₀ /^(О)"

Это решение вместе с обозначением (25)1 дает:

—    .     .

е кЛ1^

f^Ts^dT

Jo р

т

_ м(0) Г __Д0)_т

^{= Do}TT^ ^{ae kvT}^ AtTD*

о

(у; = г

ИЛИ

т

— , _x —QT = In k^J p

T

_ (Z)(0) Г __Д0)__т

^D°TT^ ^{ae kvT}^ AtTD* о

Следовательно,

P

( g(0) , Tp-9 А ^У ’) т

^pW ко )^{e 1}

й^ш (^{ae k}^ ^T(iT - ¹ к(Д\) \ P(0) k₀ / JO

при X = 0.

В точке т = ст = 0 будет

1   ₌Т_о-9

р(0,0) fco(l-a(O))'

Если условимся, что С(0) = р(0, 0) (это предположение не накладывает никаких ограничений на установленные формулы (18), (19) и (20)), то из (18) сразу вычисляем значение <Д0): (ДО) = ^-^у-

Таким образом, формула (26) полностью определяет функцию - всюду при х = 0, а это позволяет найти функции СД) и Дт) (см. (24) и (18) при х = 0), как зависящие от начальных и краевых условий

-      , ч              /гх\                  Ч                       1               22, д™

ОД=^₍о,„) AA-AA_e^j?^ =-н;*^

VPWFl) Д0,0)                 J

₁ р_ т_ О — р(т) = е ² Jo    ⁸¹¹¹⁽⁷

, .     а(2т)

,^0) + йЬт.

^^^^^^^^.

(ДО) ¹ Д —Дт р(0,0)

от которых зависят все остальные функции, включая р(ф ту) (см. (18))

1 _ рЧ^ ^

рЧ^

С^Н fo рЧЧс^

а также функцию Q(t, а) (см. (24)), которая обеспечивает выполнимость краевого условия (23). Все функции, которые были введены выше, зависят от р(т, о"), ср(т), С(7]), и они полностью определены в полупространстве, включая точки поверхности х = 0. Причем, £ = т + сг, р = т — сг и при х = 0, t = т — сг = ту, £ = 0, ст = — т, ту = 2т = —2<т.

Теперь функцию F(x,t) можно считать определенной, т. е. удовлетворяющей уравнению (3), начальному и краевому условиям (23). А из (22) нужно попытаться явно определить температурную функцию Т. Далее, поскольку p*V4 найдена (см. (7)), находим ир₀(Д- Вернемся к (*), F(x,t) уже известна, между F(x,t) и Т*(жД) (см. (4)) существует функциональная зависимость

ГДЖД) = ^(^).

С другой стороны (см. (8))

dF _ к(Т)

и dT* = ^dF = ^dF.