Измеримые расслоения C*-алгебр

Устанавливается, что инволютивная алгебра. Банаха. — Канторовича, над кольцом всех измеримых функций, норма, которой удовлетворяет условиям, аналогичным аксиомам СУ-алгебры, допускает единственное с точностью до *-изометрии представление посредством измеримого расслоения С*-алгебр, обладающего векторнозначным лифтингом.

Настоящая работа посвящена изучению пространств Банаха — Канторовича, являющихся одновременно *-алгебрами, норма которых обладает С'*-свойством.

Такие объекты являются модулями над кольцом £q(Q) измеримых функций, и поэтому их естественно называть С* -алгебрами над Го (И). С*-алгебры над Го (И) дают новые содержательные примеры пространств Банаха — Канторовича, теория которых уже достаточно хорошо разработана (см., например [1]). Исследование свойств С*-алгебр над Го (И) с использованием методов булевозначного анализа предложено А. Г. Кусраевым [2].

В настоящей работе, следуя общей идеологии представления пространств Банаха — Канторовича в виде измеримых банаховых расслоений (см. [3]), дается описание С*-алгебр над Го (И) в виде измеримых расслоений классических С*-алгебр, что позволяет изучать их методами общей теории банаховых измеримых расслоений.

Используются терминология и обозначения из [1-4].

Пусть (Q, Е, А) — измеримое пространство с полной конечной мерой, Lq(H) — *-алгебра классов эквивалентности комплексных измеримых функций, заданных на (Н,Е,А).

Пусть U — произвольная *-алгебра над полем С комплексных чисел. Предположим, что U является модулем над L₀(Q), причем (/u)* = fu*, ДнД = /(ии) = иДД для всех / Е L₀(Q), u, v Е U. Рассмотрим на U А₀(П)-значнуто норму || • ||, наделяющую U структурой пространства Банаха — Канторовича, в частности, ||/и|| = / ||и|| для всех / Е £q(Q), и Е U. Будем говорить, что ^U, || • ||) является С*-алгеброй над L₀(Q), если для любых u,d Е U имеют место соотношения:

• (1)    ЬЧКН И;

• (2)    Ml = IMh

• (3)    h^ll = HI².

Примерами С*-алгебр над Lq(H) служат алгебры всех ограниченных Lq (Нелинейных операторов, заданных на А₀(Н)-гильбертовых пространствах, а также их *-подалгебры, замкнутые по А₀(Н)-значной норме.

Пусть X отображение, ставящее в соответствие каждой точке ш Е fl некоторую С*-алгебру А(ш).

Сечением X называется функция и, определенная почти всюду в Q и принимающая значения ДсД Е ХДД w Е domu, где domu — область определения и.

Пусть L — некоторое множество сечений.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Пару (X, L) назовем измеримым расслоением С*-алгебр, если

• (1)    пара (X, L) — измеримое расслоение банаховых пространств (см. [3]);

• (2)    если и Е L, то и* Е L, где и* : domu —> u(w)*;

• (3)    если и, v Е L, то и • v Е L, где и • v : w Е domu Л dom v —> u^w^ ■ u^wY

Сечение s называется ступенчатым, если оно имеет вид s(w) = ^ л(ш)%д, (ш), где _ . .                                                            ¹⁼¹

Ci Е L и Ai Е S, г = 1,... , п.

Сечение и называется измеримым, если существует такая последовательность {s„} ступенчатых сечений, что s_n(w) —> u(w) и. в.

Пусть М^Ч, X) — множество всех измеримых сечений, L₀(Q, X) — факторизация M(Q,X) по отношению равенства почти всюду. Через й обозначим класс, содержащий сечение и Е M(4,XY и ||й|| — класс из Lq^Y содержащий ||и(ш)||.

Положим й • и = u(w) • v(w) и й* = u(w)*.

Теорема 1. Если X измеримое расслоение С*-алгебр над Ч, то L_o(4, X) является С*-алгеброй над Lq^Y

• <    Согласно теореме 4.1.14 [3] L₀(H,X) есть пространство Банаха — Канторовича над Lo(H). Поскольку Х(ш) *-алгебра для всех w Е Ч, то Lq(H,X) — *-алгебра. Так какХ(ш) — банахова алгебра, то ||u-v|| = ||м(ш) 'у(ш)||х(ш) ^ 1М^Ш)IIхщ) • 1М^Ш)IIхщ) = ||u(w)Цх(с^) • 1М^Ш)||х(ш) = НИ • НИ- Аналогично устанавливается, что ||й*|| = ||й|| и ||й* • й|| = ||й||². Следовательно, Lq(H,X) есть С*-алгебра над £о(^)- >

Пусть С^^Ч) — алгебра ограниченных измеримых функций на (Q,S,A), а L°°(Q) — алгебра классов существенно ограниченных измеримых функций.

Символом £°°(П,Х) обозначим множество {u Е M(Q,X) : ||и(ш) ||х(ш) G Z2°°(Q)}.

Факторизация £°°(П,Х) по отношению равенства почти всюду обозначается через L°°^4,XY Ясно, что L°°(Q,X) — С*-алгебра над L°° (Q) относительно операций, индуцированных из L₀^4,XY

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. (ср. [3]) Пусть р : L°°(Q) —> £°°(Q) лифтинг [3]. Отображение £ : L°°(Q,X) —> £°°(П,Х) будем называть векторнозначным лифтингом, ассоциированным с р, если для любых u,v Е £°°(Q,X) и е Е L°°(Q) имеют место соотношения

• (1)    1(й) Е й и dom£(u) = Ч'

• (2)    \№\\x_M=p(\HY

• (3)    Цй + i) = £^ -V^Y

• (4)    l(u-v) =£(Й) X(v);

• (5)    £(й*) = £^*\

• (6)    £(ей) = р(е)£(й);

• (7)    множество {£(й)(ш) : й Е L” (Q,X)} плотно в Х(ш) для всех w Е Ч.

Пусть X и У измеримые расслоения С*-алгебр над одним и тем же пространством с мерой (Q,S,A). Отображение Н : w Е Ч —> H^wY где Н^ш) : Х(ш) —> У(ш) инъективный *-гомоморфизм С*-алгебр, назовем С*-влолсением X в Y, если ^Ни : и Е М^Ч,Х^ С M^4,YY

В случае равенства ^Ни : и Е M(Q,X)} = М(П,У) вложение Н называется С'*-изоморфизмом из X на У (в этой ситуации расслоения X и У будут называться С'*-изоморфными).

Теорема 2. Для любой С*-алгебры U над L0^W) существует единственное с точностью до С* -изоморфизма измеримое расслоение С*-алгебр с векторнозначным лифтингом такое, что U — С*-изоморфно L0^fl,XY

< Положим Г = {u Е U : ||и|| Е L°°(Q)}. Ясно, что Г является L°°(Q (-модулем, (бо)-плотным в U. Кроме того, Г — *-алгебра и ||u*u|| = ||м||² для любого u Е Г. Определим полунорму а_ш на Г равенством а_шД) = р(||и||)(ш) для всех ш Е Q, где р — лифтинг в L^^Y

Пусть 1” = {« Е Г : а_шД) = 0}, = Г/ 1Д || • ||_ш норма на Г_ш, порожденная полунормой а_ш.

Пусть л_ш : Г —> Г_ш проекция из Г в Г_ш. Тогда тг_ш(и • и) = тг_ш(и) • тг_ш(г>) и тг_ш(и*) = тг_ш(и)*. Так как ||тг_ш(и)||_ш = аДД для и Е Г, то ||тг_ш (и)тг_ш (и) ||_ш = ||тг_ш(и • v)|k = «Дм • v) = pY\u • v||)(w) < р(||и|| • |Н|)(ш) = р(||и||)(ш) • р(|ф||)(ш) = аДД • аДД = lk^(«)L • lkk^y)L Д^{ля всех} Ш G Q и и,г Е Г. Аналогично ||тг_ш(и)*||_ш = ||тг_ш(и*)||_ш = а_ш(и*) = р(|Д*||)(ш) = р(|Д||)(ш) = а_ш(и) = |кш(^м)1к- Кроме этого, имеем |kk^u) • 7Г_ШМ*||_Ш = ||тг_ш(и • Ы*)||_ш = аДи • U*) = р(|Д • W*||)(w) = р(|Д||²)М = р(|Д||)²М = «ДД^ = ||тг_ш(и)||².

Таким образом, (Г_ш, || • ||_ш) удовлетворяет всем аксиомам Ф-алгебры, кроме полноты. Пополнение Х^ инволютивной алгебры Г_ш есть С*-алгебра [4].

Пусть Д : Г_ш —> Х^ каноническое вложение. Известно, что г_ш(ж-у) = гДД лДД и г_ш(ж*) = г_ш(ж)* для любых ж,у Е Г_ш. Поэтому у_ш = к_ш о Д *-гомоморфизм из Г в Х(ш).

Зададим отображение X, ставящее в соответствие каждому ш Е fl построенную выше С*-алгебру ХДД Через L обозначим множество всех таких сечений й, для которых ДД = уДД, ^гД^е u Е Г. Ясно, что (X, L) является измеримым расслоением банаховых пространств. Справедливость условий (2) и (3) из определения измеримого расслоения С*-алгебр вытекает из определения L. Это означает, что (X, L) есть измеримое расслоение С'*-алгебр.

Рассмотрим £₀(Q,X) — С*-алгебру над £₀(Q) с Т₀(П)-значной нормой || • ||l₀(q_!x)- Покажем, что U — Ф-изоморфно £₀(Q,X).

Для и Е Г положим Фо (и) = й. Очевидно, что Фо — изометрия. Кроме того, Фо удовлетворяет следующим равенствам:

Фок • и) = _{у =} ^(_м . _у) _{= 7ш}(_м) . уф;) = 7ш(и) • 7_ш(и) = й • г = Ф₀(и) • Ф₀(и)

и

Фок*) = ^ = 7с>*) = 7шк) = (Й)* = ФокГ

Аналогично, как и в доказательстве теоремы 3.4.2 [3], Фо продолжается до Lq- модульного изометрического изоморфизма Ф из U на L₀(kX). Кроме того, ясно, что Ф будет сохранять умножение и инволюцию, т. е. Ф является С* -изоморфизмом из U на £q(^j X).

Теперь покажем, что (X, L) измеримое расслоение с векторнозначным лифтингом. Сначала установим, что Г = L^^fl^Y Так как U С'*-изоморфно L0(Q, X), то U можно отождествить с L0(Q,X). По определению Г = {й Е L0(Q,X) : ||й|| Е L°° (Q)}. Так как L°°(Q,X) = {й Е L0(Q,X) : ||й|| Е L°°(Q)}, получаем, что Г = L°°(Q,X) (более точно, Г отождествляется с L°°(Q,X) с помощью С*-изоморфизма Ф). Так как ||7ш(й)||х(ш) = ||7гш(й)||х(ш) = р(||й||)(ш) < ||p(||u||)||z:”(Q) = II k IIl”(Q) Для любого й Е Г и для всех ш Е Q, то 7ш(й) Е £°°^Ч,Ху Определим отображение £ : L°°(Q,X) —> Z2°°(Q,X) равенством 1(й)(ш) = 7ш(й).

Поскольку Г отождествляется с L°°(Q,X) с помощью Ф, то элемент й Е Г отождествляется с элементом Ф(й) = 7ш(й). Это означает, что £(й) Е й. Так как 7ш(й) определен для всех ш Е И, то doml = Q. Точно так же, из определения £ следует, что р(й)|| = р(||й||). Линейность £ очевидна. Из равенств £(й • и)(ш) = 7ш(й • и) = 7ы(й) ' 7ш(^) = ^№(ш) ' 1(^)(ш) и 1(^*)(ш) = 7ш(^*) = 7ш(^)* = 1(^)*(ш) следуют свойства (4), (5) из определения векторнозначного лифтинга. Свойство (6) проверяет ся аналогично.

По построению {1(й)(ш) : й Е L°°(Q,X)} плотно в Х(ш) для всех w E fl.

Покажем теперь единственность X (с точностью до (Л-изоморфизма). Пусть X и Y измеримые расслоения С*-алгебр с векторнозначными лифтингами £ и £' для которых L₀(Q,X) и L₀^4,Y^ (Л-изоморфны U.

Пусть г — С* -изоморфизм из L°°(Q,X) на £°°(Q, У). Определим линейную изометрию Я₀(ш) из Хо(ш) = {1(й)(ш) : й Е L°°(Q, X)} в Уо(ш) = {l'(v) (w) : и Е L°°(Q, У)} равенством НУшУУйУшУ = £'У^Уш). Из равенств Нушууйууу • 1(й₂)(ш)) = Но^ш^£^й1 • й₂)(ш)) = £'У^й1 • й₂))(ш) = С^'Уйу • г(й₂))(ш) = £'(г(й1))(ш) • 1'(г(й₂))(ш) = я₀(_ш)(1НМ) ■ н₀И№УИ) и щи^УИ) = н₀И№у_шу = су^уи = У(г(й)*)(ш) = У(г(й))*(ш) = Я₀(ш)(1(й)(ш))* следует, что Я₀(ш) сохраняет умножение и инволюцию. Ввиду плотности А^ш) в А(ш) и Уо(ш) в У(ш), оператор Я₀(ш) продолжается до *-изоморфизма С'*-алгебры Х(ш) на С*-алгебру У(ш). Таким образом, X и У — С'*-изоморфны. >