Измеримые разбиения, порожденные квазиэндоморфизмами пространства Лебега

В.А. Рохлин в своей знаменитой работе [1] дал определение пространства Лебега и описал измеримые разбиения ξ пространства Лебега.

Измеримое разбиение ξ может быть представлено как разбиение на прообразы точек, то есть £ = T-16, где 6 — разбиение на точки. При этом элемент Cx = T-1x имеет конечное или счетное число точек xi с условной мерой mi(x) > 0 и некоторое множество точек нулевой условной меры с общей условной мерой l(x) ^ 0, причем выполняется условие ^mi(x) + l(x) = 1. Величины mi(x) и l(x) легко устанавлива-i ются для эндоморфизма, то есть для сохраняющего меру преобразования. Их можно рассматривать как функции на фактор-пространстве M/£, которое, как показано в [1], изоморфно отрезку [0, 1]. Например, для эндоморфизма отрезка [0, 1) Tx = 2x(mod1) каждый элемент разбиения £ = T-16 состоит из двух точек условной меры 2, то есть m1(x) = m2(x) = 2.

В данной работе рассматриваются измеримые разбиения с такими же функциями m i (x) ^ 0 и l(x) ^ 0, у которых вместо свойства ^m i (x) + l(x) = 1 выполняется i

условие

J ^Е m i (x) + l(xf)

dx =

Показывается, что для каждого такого разбиения ξ существует квазиэндоморфизм

T , для которого T 1 6 = ^.

Квазиэндоморфизмом называется всякое измеримое несингулярное (прообраз каждого множества меры 0 есть множество меры 0) преобразование пространства Лебега M .

Рассмотрим три случая:

• 1)    разбиение ξ дискретное, то есть каждый элемент разбиения состоит из конечного или счетного числа точек положительных условных мер;

• 2)    разбиение ξ непрерывное, то есть каждый элемент состоит из точек нулевой условной меры;

• 3)    каждый элемент разбиения содержит как точки положительной условной меры, так и множество точек нулевой условной меры.

1.    Дискретные разбиения

Рассмотрим следующий пример квазиэндоморфизма.

Пусть M = (0, 1], f — действительная функция, определенная на (0, 1] и удовлетворяющая условиям:

• 1)    lim f (x) = 0;

x^ G

• 2)    f (x) — непрерывна и строго возрастает;

• 3)    f (1) = K , где K — натуральное число или + ^ .

Пусть y = Tx = f (x)(mod 1), x G (0, 1], T 1 = 1.

Вследствие свойства 2 почти всюду существует производная f ‘ (x). Отрезок (0, 1] разбивается на конечное или счетное число отрезков A i , A i = (x _i-1 ,x i ], таких что 1

x _G = 0 и f (x i ) = 1, i ^ 1. Длина отрезка A i равна J m i (y)dy. При этом V x G M ; x ^G

T ^{- 1} x = { x i } ,   i = 17^ , где x i = x i- 1 + / m i (y)dy , m i (y) = _f ‘ ¹ x ₎ , x G A i .

Пространство M изоморфно множеству, состоящему из отрезков Mi = {(x,y) : 0 < x < 1, y = 1 + 1}, i = 1,K, с плотностью mi(x), соответствующих отрезкам Ai. Точки (x, 1 + |) , i = 1,K, образуют элемент Cx разбиения £ = T-1e. Каждая из этих точек имеет условную меру mi (x). В этом представлении пространства M T-1 (x, 1 + k) = Cx, где k-1 1                 x x = У7 / mi(x)dx + / mk(x)dx    ^ / mi(x)dx = 0 .(1)

i-1 G              G               V-1 G/

Условная мера элемента C x ^(C _x ) = 72mi(x) = g(x), где g(x) > 0, Jg(x)dx = 1. i G

Обратно, если взять любые функции m i (x) со свойствами m i (x) > 0, g(x) = ^m i (x),

i

g(x)dx = 1, то формула (1) определяет квазиэндоморфизм T пространства M такой,

G что T-1e = £, где разбиение £ состоит из элементов Cx, представляющих собой K точек xi с условными мерами mi(x).

2.    Непрерывные разбиения

Пусть M есть криволинейная трапеция { (x,у) : 0 < x <  1, 0 < y <  l(x) } , где 1

l(x) > 0 и J l(x)dx = 1. ^ — разбиение на элементы C x = { (x,y) : x фиксировано, G

0 < y ^ l(x) } .

Так же как в [1] показывается, что пространство Лебега M изоморфно квадрату [0, 1) х [0, 1), можно доказать, что M изоморфно криволинейной трапеции площади 1.

Пусть Л — последовательность положительных чисел a i , i = 1,K, K — натуральное число или + ^ , такая, что ^ai = 1.

i

Определим квазиэндоморфизм Т л , задавая для каждой точки (x, y) G M ее прообраз ^т л¹ (х,у⁾.

i

Положим e i = 22 a s ,    a s G Л, i = 1, K,   в о = 0, и y i _i (x) = e i _i l(x), i 1 = 1, K .

s =1

Пусть L i l = { (x,y) : y i i - i (x) < y <  жим L j = { (x, y) : (x, y) G L i i, в:п - 1 < y i i - i (x) <  y i l (x) } .

Прообразами множеств L _{i l} , i ₁ = = { (x,y): e i i - 1 <  e i i , 0 <  l(x)}.

y _{i 1} (x), 0 < x <  1 } , i 1 = 1, K . Поло- ^x <  j ^} = { ^(x,y) • ^e j i - 1 < ^x <  j ,

1, K , берем ^-множества T ^-1 (L _{i 1} ) =

Обозначим e i i i 2 := e i i + a i i +1 • e i 2 , 0 ^ i 1 < K,

1 ^ i 2 <  k, e i i K = e i i +1 ;

^β i 1 .

^..i n+1

Предположим, что

Lil. . .i k ^{{ (x}, y) • ^e ( j i - 1)( j 2 - 1) ... ( j k - 1) < ^x ^ ^e ( j i - 1) ... ( j k - i - 1) j k , y ( i i - 1) ... ( i k - i - 1)( i k - 1) ^(x)< y ^

^ ^y ( i i - 1) ... ( i k - i - 1) i k ^{(x) }} -

Положим L j ¹ ;;^jki_k+i = ^{{ (x,}y) •   ^(x,y) ^G L j ^{1 :} ,y (i i - 1) ... ( i k - 1)( i k+i - 1) ^(x) < y <

< y ( i i - 1) ... ( i k - 1) i k+i ^{(x) }} , ^{то есть}

L i i . . .i k+1 = ^{{ (x},^y) • ^e (j i - 1) . . . ( j k+1 - 1) < ^x ^ ^e (j i - 1) ... ( j k - 1) j k+i ,

y ( i i - 1) ... ( i k - 1) ^(x) <  y ( i i - 1) ... ( i k - i - 1) i k ^{(x) }} .

Прообразы введенных множеств определяем формулами:

T ^-1 L i i = { (x,y) • e i i - 1 < x ^ e i 1 , 0 <  l(x) } ,

Тл ¹ L ^j i = { (x, y) • e i i - 1 + a i 1 • в :- 1 < x ^ e i 1 - 1 + a i i • в : , 0 < y ^ l(x) } =

= ^{{ (x,}y) • ^e ( i i - 1)( : i - 1) < ^x <  ^e ( i i - 1) : i , ⁰<  у ^ ^{l(x) }} -

^ТЛ L i t i ₂     ^{{ (x}, y) • ^e ( i 1 - 1)( j 1 - 1)( i 2 - 1) < ^x ^ ^e ( i i - 1)( j i - 1) i 2 , ⁰< y ^ ^{l(x) }} .

Аналогично получаем

^ТЛ ^L iii 2      ^{{ (x}, y) • ^e ( i i - 1)( j i - 1)( i 2 - 1)( j 2 - 1) < ^x ^ ^e ( i i - 1)( j i - 1)( i 2 - 1) j 2 , ⁰< y ^ l^{(x) }} .

В результате получаем общую формулу

^Т Л Lil. ..in = ^{{ (x},^{y) : e} ( i i - 1)( j i - 1) . . . ( i n - i - 1)( j n - 1) < x ^ ^e ( i i - 1)( j i - 1) ... ( i n - i - 1) j n , ⁰< y ^ l^{(x) }} .

Для всякой точки (x, y) E M существует единственная последовательность мно-j j                                         ∞ j j жеств L1   , n = 1, то, такая, что (x,y) = L1 / . Пересечение соответствующей

• i1 i_n                                                                           i1 i_n

3.    Смешанные разбиения

n =1

j j                 ∞        j j последовательности TЛ 1L;1 n , n = 1, то,    Tк 1L3;1 n есть некоторый элемент C раз- л       i 1... in                                        л       i 1... in n=1

биения £. Поэтому полагаем T ^-1 (x,y) = Q T ^{- 1} L ^j 1 ^j . n

В противном случае T есть квазиэндоморфизм.

Пусть теперь разбиение £ такое, что каждый элемент C x E £ состоит из K точек положительной условной меры m i (x), i = 1, K и точек нулевой условной меры с общей условной мерой l(x), где функция плотности g(x) = ^m i (x) + l(x) удовлетворяет i 1

условию J g(x)dx = 1. о

Пространство M можно считать состоящим из криволинейной трапеции L = { (x, y) : 0 < x ^ 1, 0 < y <  l(x) } и отрезков M i = { (x, y) : 0 < x ^ 1, y = 1 + 1 } , i = 1,K, K — натуральное число или + то , с плотностью условной меры m i (x). Элементы C x E £ есть множества C x = { (x, y) E M : x фиксировано } .

Удобнее определить квазиэндоморфизм T , для которого T ^{- 1} е = £, задавая для каждой точки (x,y) E M ее прообраз T ^{- 1} (x, y). Для (x, D E Mk положим T ¹ (^x, k) = C x , где

^{1                      1}                    x

/ •v       fl                       fl

l(x)dx + У^ / m i (x)dx + / m _k (x)dx i=1

о

оо

о1

m _i (x)dx = 0

i =1 _о

Обозначим AL = J l(x)dx и положим T-1L = [0, AL]. Аналогично, как выше в о случае ^(L) = 1, с умножением координат по оси x на AL получаем

L il...^- = ^{{ (x,y) : A} L • ^в (i 1 - k)...(i _k - 1) , < ^x <  ^A L • ^в (i 1 - k)...(i _k- 1 - 1)i _k , y (i 1 - 1)...(i k - 1) ^(x) <  y (i 1 - 1)...(i k - 1 - 1)i k ^{(x) }} .

Прообразом этого множества полагаем

^{T -1} LE ^j = ^{{ (x,}y) ^{: (x,}y) ^{E M},

△ L • ^e ( i i - 1)( j i - 1) ... ( i k — 1)( j k — 1) < x ^ △ L • ^e ( i i — 1)( j i — 1) ... ( i k - 1) j k } •

Легко видеть, что можно построить квазиэндоморфизмы в том случае, когда измеримое разбиение £ имеет более общий вид, когда, например, l(x) или какие-то (или все) m i (х) = 0 для некоторых подмножеств х.

Замечание. В [2] показано, как можно в случае ^(L) = 1 сделать T (х) непрерывной нигде не дифференцируемой функцией.