Изоморфизм недостижимых последователей типа РО и основания теории меры

Теория множеств с самопринадлежно-стью описана ранее в [6], [4].

Теорема о необходимости абстракции актуальной бесконечности для построения теории меры была доказана ранее [7], там же были описаны свойства изоморфизма счёта бесконечных последователей (типа PN): |PN(0)|=o, ш+ш=ш и др. Эти утверждения из [7] означали, что счётный базис точек сторон n-мерного интервала (прямоугольника) в его произведении отображается на прямую; однако упорядоченная последовательность точек на прямой (см. [6], [4]) не исчерпывается только счётным базисом – имеется всюду плотное множество (между любыми точками на прямой имеется ещё точка – в качестве точек принимаются недостижимые последователи типа PO); свойство их таково, что множество точек (объектов) между РО(.) и РО(РО(.)) изоморфно |РО(.)| = ψ (см. [5], [6]), т.е.

ψ + ψ = ψ.(1)

Из этого свойства следует, что у • ш преобразуется к равенству

ψ · ψ = (ψ + ψ + ψ +…+ ψ);

,(2)

в котором ψ раз по (1) ψ + ψ заменяется на ψ , и в итоге получается

ψ · ψ = ψ.(3)

ψ ψ преобразуется к равенству

ψψ = (ψ·ψ·ψ·…·ψ);     ψ раз, в котором ψ раз по (3) ψ·ψ заменяется на ψ, и в итоге получается

ψ ψ = ψ·ψ = ψ .(5)

ψψ (сверхстепень1) преобразуется к равенству

ψψ = (ψ^ψ^ψ^…^ψ);     ψ раз, в котором ψ раз по (5) ψ^ψ=ψ·ψ заменяется на ψ, и в итоге получается

ψψ= ψ.

И так далее. Тем самым доказана теорема.

Теорема 1 (о недостижимых последователях PО). Последователи вида PО(.) и их всевозможные бесконечные степени, строящиеся посредством самих последователей PО(.) и их PО(.) степеней, являются изоморфными. □

Построение теории меры для многомерных объектов рассматривать проще на примере 2-мерного случая.

Площадь прямоугольника является произведением его сторон S=a·b, его площадь отображаема на прямую; для обоснования наличия такого отображения (изоморфизма 2-мерия на 1-мерие) требуется, чтобы количество точек на стороне а, умноженное на количество точек на стороне b, отображалось бы изоморфно на прямую.

Такое отображение задаётся следующим образом:

|РО(.)| · |РО(.)| → |РО(.)|,       (8)

в другом обозначении

ψ · ψ → ψ,            (8')

по (3) ψ · ψ = ψ, т. о. (8') – изоморфизм.

Отображение множества точек всего прямоугольника (2-мерного интервала) на прямую (отрезок) строится с соблюдением его изоморфности в теории множеств с самопри-надлежностью.

Наличие такого отображения является основанием для построения количественной теории меры для многомерных объектов.2