Изучение элементов математической логики в общеобразовательной школе

На современном этапе развития системы российского образования школьное математическое образование призвано внести свой вклад в решение педагогических задач, поставленных Федеральными государственными образовательными стандартами (ФГОС) нового поколения. Математика является предметом, обязательным для всех общеобразовательных учреждений Российской Федерации, осуществляющих основное и среднее общее образование. Это обусловлено ролью предмета в интеллектуальном и общекультурном развитии человека.

Примерная учебная программа по математике определяет инвариантную (обязательную) часть учебного курса и наряду с требованиями стандарта, относящимися к результатам образования, является ориентиром для составления рабочих программ для всех общеобразовательных учреждений, обеспечивающих получение основного общего образования. В то же время она не задает последовательности изучения материала и распределения его по классам. Авторы рабочих программ и учебников могут предложить собственный подход к структурированию учебного материала и определению последовательности его изучения.

Содержание математического образования применительно к основной школе представлено в виде следующих содержательных разделов. Это арифметика; алгебра; функции; вероятность и статистика; геометрия. В содержание основного общего образования включены два дополнительных методологических раздела: логика и множества; математика в историческом развитии, что связано с реализацией целей общеинтеллектуального и общекультурного развития учащихся. Содержание каждого из этих разделов разворачивается в содержательно-методическую линию, пронизывающую все основные разделы содержания математического образования на данной ступени обучения. При этом первая линия — «Логика и множества» — служит цели овладения учащимися некоторыми элементами универсального математического языка, вторая - «Математика в историческом развитии» -способствует созданию общекультурного, гуманитарного фона изучения курса.

На сегодняшний день актуальна проблема одновременного изучения школьного курса математики и элементов логики. В тоже время, как показал проведенный анализ современных учебно-методических комплектов по математике, в них, как правило, не содержится материала по математической логике. И только учебники для 5-6 классов содержат теоретический и задачный материал.

Таким образом, возникает противоречие между необходимостью использования элементов математической логики на уроках математики и отсутствием необходимого методического материала (методических рекомендаций, планов-конспектов отдельных уроков, элективных курсов и др.). Возникает проблема: какой методический материал по математической логике необходим учителю, и во время какой деятельности (урочной или внеурочной) его необходимо использовать?

Проведенный анализ методической литературы показал, что за последние десять лет практически нет публикаций, посвященных использованию элементов математической логики на уроках математики. На наш взгляд, в первую очередь это связано с тем, что в настоящее время благодаря большим возможностям математической логики, об основах логики современные учащиеся узнают из курса информатики, где логика представлена в своем математическом выражении.

Из пособий для учителей по математической логике можно отметить лишь пособие сорокалетней давности Л.А. Калужнина «Элементы теории множеств и математической логики» [1] , а из учебных пособий – пособия для 5-7 классов Л.В. Ончуковой, опубликованные в 2001-2004 годах:

– Введение в логику. Логические операции: учебное пособие для 5 класса [2] .

– Элементы логики. Логические операции: учебное пособие для 6 класса [3] .

– Элементы логики. Логические приёмы в курсе математики: учебное пособие для 7 класса [4] .

– Введение в логику. Некоторые методы решения логических задач: учебное пособие для 5 класса [5] .

– Элементы логики. Логические методы на уроках математики: учебное пособие для 6 класса [6] .

Кратко охарактеризуем учебные пособия Л.В. Ончуковой.

Рассматриваемое учебное пособие [2] предназначено для работы по программам Открытого лицея и ориентировано на развитие творческих способностей и повышения культуры мышления школьников. Овладение основами логики поможет учащимся в изучении школьных предметов, в том числе на расширенном и углубленном уровне в профильных, гимназических и лицейских классов.

Материал дается в доступной форме, в виде рассказа. В ходе рассказа автор приводит исторические сведения, что вызывает еще больший интерес к теме. Даются все основные понятия, связанные с логикой и необходимые для успешного обучения школьников в 5 классе. После теоретических сведений даются задачи по новой теме для работы в классе, причем автор помогает разобраться в некоторых из них, а к некоторым дает пояснения. После практики автор предлагает написать тест, ответы к которому есть в конце книги. Также предлагается и домашнее задание.

В этом пособии рассматриваются следующие темы: отрицание высказываний, понятие отрицания, решение задач с помощью отрицания, свойства отрицания, отрицание отрицания, поиск противоречия, утверждения, одинаковые по смыслу, умозаключения. А так же такие темы как логические операции и признаки делимости, свойства импликации, конъюнкция высказываний, дизъюнкция высказываний, отрицание конъюнкции и дизъюнкции. Здесь много нестандартных задач, и на многие дается решение.

К каждой теме даны задачи, решения некоторых задач подробно рассмотрены, во многих задачах рассматривается не один способ решения. Почти в каждой теме присутствуют тесты, на каждый тест отводится определенное количество времени. В конце пособия даны ответы к задачам и тестам.

Знакомясь с логикой с помощью данного пособия, ребята научатся логически правильно мыслить, составлять таблицы истинности, а в конце ответив на вопросы теста, смогут оценить свои успехи.

Предлагаемое пособие имеет структуру аналогичную пособию [3] . Здесь рассматриваются следующие темы: логические операции и признаки делимости, свойства импликации, конъюнкция высказываний. дизъюнкция высказываний, отрицание конъюнкции, отрицание дизъюнкции.

Обучающиеся продолжают знакомство со свойствами операции импликации, а также их применением к изучению делимости чисел. Кроме того, при изучении свойств конъюнкции и дизъюнкции происходит и углубление знаний о свойствах эквиваленции, что позволяет использовать полученные знания при решении более сложных логических задач, часть условий в которых ложна.

Как и в предыдущем пособии, ко всякой теме даны задачи. Отдельные задачи приводятся с готовым решением, в ряде задач предлагается несколько способов решения. Практически по каждой теме приводятся тесты, на которые предлагается установленное количество времени. В конце пособия даны ответы к задачам и тестам.

В данном учебном пособии [5] рассматриваются такие методы решения логических задач, как: решение задач с конца; геометрические методы решения логических задач; решение логических задач с помощью уравнений и неравенств; задачи с несколькими неизвестными. Это пособие в основном посвящено пропедевтике изучения действий с дробями, методов решения уравнений, неравенств и систем уравнений. В доступной для учащихся форме излагаются принципы решения задач соответствующего содержания.

В данном учебном пособии [6] рассматриваются такие темы, как: наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель; деление на части и расчёты; решение логических задач с помощью уравнений и неравенств; задачи с несколькими неизвестными.

В представленном пособии рассматриваются нестандартные задачи, связанные с делимостью чисел, рассматриваются нестандартные методы решения задач с несколькими неизвестными.

В рассматриваемом учебном пособии [4] , предлагаются такие темы, как: строгая дизъюнкция (или А , или В ); свойства строгой дизъюнкции; умозаключение в логике высказываний, модусы; модусы и решение задач.

Здесь обучающиеся кроме новой для них операции строгой дизъюнкции и её применения для решения логических задач, имеют все возможности взглянуть на изученный в 5-6-х классах материал с новой точки зрения, обобщить и проанализировать полученные ранее знания. Понятие модуса позволяет записывать условие задачи в буквенной форме и правильно определять, какие логические связки применялись при её составлении.

Проведённой анализ методической литературы, а также анализ педагогического опыта учителей г. Стерлитамак РБ, позволил выделить следующие методические рекомендации для учителей математики по введению и изучению элементов математической логики.

Педагогический опыт учителей свидетельствует о том, что кратковременное изучение основ логики не дает необходимого эффекта. Обучающиеся допускают ошибки при выполнении отдельных логических действий, а именно, при классификации объектов, при построении отрицаний сложных высказываний, при оперировании терминами «логическое следование» и «равносильность», при построении дедуктивных рассуждений.

Итак, изучение логики должно быть длительным, последовательным и систематичным.

Отметим, что подготовку школьников в данном направлении лучше разделить на три этапа:

– подготовительный;

– формирование понятия о логическом законе;

– выработка навыков использования логических законов в рассуждениях.

На подготовительном этапе (начальные классы), надо обучать школьников понимать логическую структуру предложений и правильно применять слова и словосочетания, такие как: “и”, “или”, “не”, “хотя бы…”, “если…, то…”, “необходимо”, “достаточно”, “необходимо и достаточно”, “все”, “некоторые” и др. Постепенно приучать находить истинность или ложность сложных предложений в зависимости от их логического строения и истинностных значений, составляющих их предложений. Ученик должен твёрдо усвоить, что запись 2 >  2 — истинное высказывание, потому что это сложное высказывание 2 = 2 или 2 > 2, которое истинно.

На следующем этапе необходимо помнить, что идею логического закона следует формировать постепенно, не стремясь к формальным и строгим определениям. Еще вначале научить выделять логические истины, делая акцент на их отличии от не логических, фактических истин, учить замечать общую форму логических истин, прибегая к символике, доказывать простые логические законы и опровергать ошибочные гипотезы о логической истинности предложений.

На третьем этапе необходимо осознавать, что без четкого понимания логических связей, логических законов, отношений следования и эквивалентности ученики способны лишь заучить доказательство, оказываются беспомощными в попытках самостоятельно его отыскать.

Действительно, одна из центральных задач обучения математике состоит в обучении установлению истинности математических предложений (чаще всего с помощью доказательства), а истинностные значения этих предложений зависят от их логической структуры, то естественно считать одной из главных задач обучения математике раскрытие логической структуры математических предложений.

С каждым математическим предложением связаны содержание (выраженное в нем математическое содержание) и логическая форма (или структура).

Представление, что можно ограничиться в обучении математике лишь раскрытием содержания каждого математического предложения, ошибочно. Содержание неразрывно связано с формой, и нельзя осмыслить первое без понимания второй.

Раскрыть логическую структуру сложного (составного) предложения – значит показать, из каких элементарных предложений сконструировано данное сложное предложение и как оно составлено из них, т. е. с помощью каких и в каком порядке применяемых логических связок (слов или сочетаний слов) “не”, “и”, “или” , “если..., то” , “тогда и только тогда” , “для всякого” , “существует” (и некоторых синонимических выражений), обозначающих логические операции, с помощью которых из одних предложений образуются другие.

Всякое математическое (и не только математическое) предложение либо элементарное, (не расчленяется на части, каждая из которых в свою очередь есть предложение), либо построено из элементарных, определенным образом соединенных между собой логическими связками.

Без понимания точного смысла логических связок не может быть достигнуто и правильное понимание точного смысла всей логикоматематической конструкции, т.е. математического предложения, образованного с их участием, а, следовательно, и выраженного в нем математического содержания.

Для того, чтобы осуществлять эффективную подготовку школьников на данном этапе, необходимо использование, так называемых, бифункциональных задач. Под бифункциональными задачами будем понимать «задачи, при решении которых возникает необходимость выполнить одну или несколько логических операций над одним или несколькими математическими утверждениями» [7, с. 83] .

Приведем примеры таких задач.

Задача 1. Установите, находятся ли данные пары предложений в отношении равносильности или в отношении логического следования.

• а)    1. Число x делится на 3 и на 6.

• 2.    Число x делится на 18.

• б)    1. Число x –рациональное число.

• 2.    Число x –действительное число.

• в)    1. Диагонали четырехугольника взаимно перпендикулярны.

• 2.    Четырехугольник является ромбом.

Задача 2. Вставьте вместо многоточия одно из пропущенных словосочетаний («необходимо, но недостаточно», «достаточно, но не необходимо», «необходимо и достаточно») так, чтобы получилось истинное высказывание:

• а)    Для того, чтобы разность натуральных чисел a – b существовала, …, чтобы b < a .

• б)    Для того, чтобы сумма чисел делилась на 11, …, чтобы каждое слагаемое делилось на 11.

• в)    Для того, чтобы четырехугольник был квадратом, …, чтобы он был прямоугольником.

Бифункциональные задачи по математической логике можно использовать на обычных уроках математики, отводив им несколько минут.

Прежде чем рассматривать со школьниками серьезные вопросы из области математической логики, необходимо вызвать у них интерес к данному предмету. В силу этого целесообразно период обучения в пятом классе посвятить созданию у школьников мотивации изучения математической логики. Можно составить четыре серии задач, направленных на формирование у школьников мотивации изучения математической логики.

В первую серию включим задачи, для решения которых знание курса математики не является достаточным, нужно проявить еще сообразительность и смекалку. Во вторую серию вошли логические задачи, т. е. задачи, для решения которых не требуется никаких специальных знаний из области математики, т.е. нужны умения проводить логический анализ ситуации, умение отличать доказанное от недоказанного и умение выводить следствия из известных фактов путем логических рассуждений. Третья серия задач состоит из математических софизмов. В силу того, что при изучении основных понятий математической логики и логических операций у школьников возникают определенные трудности, в четвертую серию задач войдут задачи, цель которых (наряду с формированием мотивации изучения логики) заключается в осуществлении пропедевтики отдельных вопросов курса математической логики.

При решении предложенных серий задач у школьников формируются как познавательные, так и социальные мотивы. Кроме того, при решении данных серий задач развиваются такие качества ума, как гибкость, целенаправленность, доказательность и критичность, а также воспитываются аккуратность и обоснованность суждений, логичность выводов, настойчивость и трудолюбие. Следовательно, предложенные задачи помимо основной функции (формирование мотивации изучения математической логики) выполняют еще развивающую и воспитательную функции. Подчеркнем также, что такие факторы, как необычность содержания предлагаемых задач, новизна методов решений и возможность решения их несколькими способами, способствуют повышению уровня познавательной активности учащихся.

Формированию у школьников мотивации изучения элементов математической логики также будут способствовать беседы о пользе знания основ логики в повседневной и практической деятельности.